29.2.3 课时2 圆内接四边形 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第29章 圆 29.2.3 圆内接四边形 （第2课时） 圆周角 圆周角定理的推论 圆周角的概念 圆周角定理 推论1 推论2 复习导入 · O · O · O 四边形的外接圆 圆的内接四角形 五边形的外接圆 圆的内接五角形 六边形的外接圆 圆的内接六角形 任务：掌握圆内接四边形的性质. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边 形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. (1) 观察右图，四边形 ABCD 与☉O 有怎样的关系？它的四个角都是什么角？ O B A C D (2) 测量圆内接四边形ABCD 的四个角度数，并完成下列填空. ∠A+∠C=________；∠B+∠D=________. 180° 180° · O 圆内接多边形： 类似地，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个 多边形的外接圆.如图，六边形是的内接六边形，是六边形的外接圆. B C A D E F O B A C D E 解：∵ 四边形ABCD为☉O的内接四边形， ∴ ∠B + ∠ADC = 180°； ∵ ∠ADE + ∠ADC = 180°， ∴ ∠ADE = ∠B =110°. 圆内接四边形的任一外角等于它的内对角. 活动2：如图，四边形 ABCD 内接于 ☉O ，E 为 CD 延长线上一点. 若∠B = 110°，求∠ADE 的度数. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. A B C D O 几何语言： ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 推论1：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 推论2：同弦或等弦所对的圆周角相等或互补. 因为圆内接四边形的每个角都是圆周角，所以可以利用圆周角定理研究圆内接四边形的角之间的关系 【思考】圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为360°的性质，是否还有其他性质？ 如图，四边形为的内接四边形，为四边形的外接圆．∠与∠，∠与∠之间有什么关系？ 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º. 例1：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=100°， 求∠A和∠C的度数. O A B C D 解：在⊙O中，∠A与∠BOD所对的弧都是BD， ∴∠A=∠BOD=×100°=50°. 又四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180°. ∴∠C=130°. 变式：如图，点A，B，C，D在☉O上，若∠1+∠2=100°，则∠B的度数为_______. A O D B C 1 2 80° 如图，四边形为的内接四边形，为四边形的外接圆．∠与∠，∠与∠之间有什么关系？ 证明：连接，. ∵∠所对的弧，∠所对的弧为， 又∵ 和所对的圆心角的和是周角， ∴∠+∠= =180°. 同理∠+∠=180°. 这样，利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质： 圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形为的内接四边形，为四边形的外接圆．如果延长DC至点E，那么∠与∠之间有什么关系？ E 猜想： ∠与∠之间 的关系为： ∠=∠ 1.在求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数. 2.圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两类圆周角. A B C D O 1.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数． 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°. 又∵∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－36°＝144°. 如图，四边形为的内接四边形，为四边形的外接圆．如果延长DC至点E，那么∠与∠之间有什么关系？ E 证明：∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 这样，我们就得到圆内接四边形的另一个性质： 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= . 70º 100º 90º 【练习】填空 2.如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC. 求证：DC平分∠BDE. 证明：∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDA＋∠ABC＝180°. 又∵∠3＋∠CDA＝180°， 又∵AC＝BC， ∴∠3＝∠ABC. ∴∠1＝∠ABC， ∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， 即DC平分∠BDE. 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 19 针对本节课的关键词“圆内接多边形”，你能说说学到了哪些知识吗？ 圆内接多边形 概念 多边形的外接圆 性质 圆内接多边形 圆内接四边形的任一外角等于它的内对角. 圆内接四边形的对角互补. 谢谢大家聆听 $