29.2.2 圆心角 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆 29.2.2 圆心角 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 圆心角 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 8. 对接中考 1. 理解圆心角的定义，探究圆的旋转不变性. 2. 探究弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决相关问题. 学习目标 知识回顾 连接圆上任意两点的线段叫作弦.经过圆心的弦叫作直径. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. 大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧. 弦的定义 弧的定义 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 其中①过圆心②垂直弦③平分弦④平分优弧⑤平分劣弧，五个条件可以知二推三. 垂径定理 新课导入 前面我们研究了与圆有关的线段，接下来我们来研究与圆有关的角. 新课讲解 知识点1 圆心角 探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. . O A B 新课讲解 练一练 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴. D 新课讲解 O A B 1. 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如. 2. 圆心角所对的弧为. 3. 圆心角所对的弦为. 任意给定圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 圆心角 一条弧或一条弦所对的圆心角只有一个，反之，一个圆心角所对的弧或弦也只有一条. 注意 新课讲解 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 顶点在圆周上 圆心角 想一想 新课讲解 圆心角的条件： (1) 顶点在圆心； (2) 两边和圆相交． (1) 1的圆心角所对的弧叫做1的弧．n的圆心角所对的弧就是n的弧． (2) 圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致(或相等)的，即圆心角的度数等于它所对弧的度数.(注意这里仅指度数相等) 拓展 新课讲解 例 C 1. 在中，弦 等于圆的半径，则它所对的圆心角的度数为 ( ) A. B. C. D. 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，即弦 所对的圆心角的度数为 . 新课讲解 练一练 A 1. 下列选项中的角是圆心角的是 ( ) A B C D 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 的度数为( 　　) A.25° B.30° C. 50° D.65° C 解：连接CD.∵∠C = 90°，∠A = 25°， ∴∠CBD = 65°. ∵CD= CB， ∴∠CBD = ∠CDB= 65°. ∴∠BCD=180°- ∠CBD - ∠CDB =50°. 即的度数为50°. 新课讲解 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 思考 B O A B' A' 我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线与重合. ∵ ∠AOB=∠A′OB′， ∴ 射线  与  重合. 又 ， ， ∴ 点  与  重合，点  与  重合. 因此， 与  重合， 与  重合， 即 ，. 如图，在  中，当圆心角 ∠AOB=∠A′OB′ 时，它们所对的弧和 有什么关系？弦 AB 和 A′B′ 呢？为什么？ 新课讲解 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何语言 ∠ AOB= ∠ A′OB′ ，AB=A′B′. 前提 弧、弦与圆心角的关系定理： 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图，∠AOB=∠A′OB′，但， AB ≠A′B′. 新课讲解 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. ∠ AOB= ∠ A′OB′，AB = A′B′. AB = A′B′∠ AOB= ∠ A′OB′， . 因为一条弦所对的孤有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的孤相等” 弧、弦与圆心角关系定理的推论： 几何语言： 新课讲解 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等，其关系可表示为： 圆心角相等 所对的优弧、劣弧分别相等 所对的弦相等 简记为：知一推二. 思考 在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？ 新课讲解 例 证明：∵在  中，， ∴ AB=AC，△ABC 是等腰三角形. 又 ∵ ∠ACB=60°， ∴ △ABC 是等边三角形，可得 AB=BC=AC. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC. 2. 如图，在  中，，∠ACB=60. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 新课讲解 例 3. 如图，是的弦， 于点，连接，，， ，则下列结论中错误的是 ( ) B A. B. C. D. 解：是的弦，， ， ， ，，得不出 ，故选项B符合题意. 新课讲解 例 ①②③④ 4. 如图，已知，，，是 上的点，，给出下列结论： ；；； . 其中结论正确的是__________.（填序号） 解：， ， ， 即， ， . 故结论正确的是①②③④. 新课讲解 练一练 1. 如图 ，在 ⊙O 中，，则下列结论不一定正确的是 （ ） A.  B.  C.  D.  解：∵ ，∴ ， ∴ ， 即 ，∴ ， 故选项 A， B， C 正确. ∵  和  无法确定是否相等， ∴ 无法判断 . D 新课讲解 练一练 2. 如图，在中，是 的直径，， ，则 的度数为 ( ) A. B. C. D. 解：是的直径， . 又 ， ， ． A 新课讲解 练一练 3. 如图，在中，弦， 相交于点， . 求证：(1) ；(2) . 证明：(1) ， ， ，即 . (2) 连接， . 在和中， ， . 在和中， ， . 新课讲解 在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外两组量中的一组量相等，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角是常用的作辅助线的方法. 证弧、弦、圆心角相等的方法 课堂小结 圆的旋转对称性 圆心角 圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 顶点在圆心的角叫作圆心角. 当堂小练 1. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦. (1) 如果AB=CD，那么________________，________________. (2) 如果 ，那么________________，________________. (3) 如果 ∠AOB=∠COD，那么 ________________，________________. (4) 如果 =，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，OE 与 OF 相等吗？为什么？ 解：相等.理由： AECF AB=CD，∴AE=CF. 又 OA=OC， Rt△AOE ≌ Rt△COF OE=OF. ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD 当堂小练 2. 下列说法正确的有 ( ) ①圆心角相等，所对的弧也相等； ②圆心角相等，所对的弦也相等； ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤顶点在圆心的角是圆心角. B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 当堂小练 3. 如图，点，，都在上，点是 的中点，连接，，，， ，则____ . 解：， ， 点是 的中点， ， ． 80 当堂小练 A C B O N M 证明：∵ ∴∠AOC=∠BOC. ∵M,N 分别是 OA，OB 的中点, ∴OM，ON ∵OA=OB，∴OM=ON. 又 OC=OC， ∴△OMC ≌△ONC  (SAS), ∴MC=NC. 4. 如图，OA，OB，OC是 ⊙O 的三条半径，，M，N分别是OA，OB 的中点. 求证：MC=NC. 当堂小练 A. B. C. D. 5. 如图，在 的正方形网格中，一条圆弧经过，， 三点，那么 所对的圆心角的度数是 ( ) D 当堂小练 A. B. C. D.不能确定 6. 如图，点是上的点， 于点，于点，，则与 的关系是 ( ) 解：，， 又，， ， ， . A 当堂小练 7. 如图，，是的弦，连接 ，，分别交于点，，且.求证： . 证明：， . ， . ， ， ， ． 当堂小练 8. 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是_______. 解：如图，过点作于点 ，连接. 根据折叠方式可知，，， . 的度数是 . 当堂小练 9. 上顺次有，，，四点，，，， 所对的圆心角的度数之比为．则有下列结论：是 的直径；是的直径；；．其中正确的个数是_____． 解：，，， 所对的圆心角的度数之比为， 四条弧所对的圆心角度数分别为 ， ， ， ，如图. 是 的直径, 故①错误，②正确. , ， ，故③正确. ， ，故④正确．综上，结论正确的个数是3. 3 当堂小练 10. 如图，AB，CD 是 ⊙O 的弦，且 AB=CD，若 ∠BOD=84°，则 ∠ACO 的度数为 （ ） A. 42° B. 44° C. 46° D. 48° 解：如图，连接OA， ∵ AB=CD，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∠AOC=∠BOD=84°. ∵ OA=OC， ∴ ∠ACO(180°－∠AOC)(180°－84°)=48°. D 对接中考 1. 如图，，是 的两段弧，且，则弦与 之间的关系为 ( ) B A. B. C. D.不能确定 解：如图，在圆上截取 ，连接，，则有， ，，. ． 对接中考 A. B. C. D.5 2. 如图，四边形内接于 ，.若，，则 的半径是 ( ) 解：如图，过点作，垂足为点，交 于点，连接，， 则 ， ， ， ，. 在中， ，，. 设半径为，在中， ，，， 由勾股定理，得 ，即，解得 . A 解：如图，作点关于的对称点 ，根据圆的对称性， 得点 必在圆上，连接交于点，则此时 的值最小， 连接，此时. 连接， ， ， ， ， 在中，，即 的最小值是 ． 拓展与延伸 1. 如图，是半圆的三等分点，是的中点，是直径上一动点， 的半径为1，则 的最小值为____. 拓展与延伸 2. 已知， ，为上的点，且，为 的直径，于点 . (1) 求证： . 证明：如图，连接并延长，交于点 ， ，且过圆心 ，， . 又， . 在和中， ， ， . 拓展与延伸 2. 已知， ，为上的点，且，为 的直径，于点 . (2) 若，，求 的长. 解：设的半径为 ， ，，， . 在中，，解得 ， ，则 . 在中，， ， 的长为 . $