湖北荆州市江陵中学2026-2027 学年高三上学期数学周考5

江陵中学2026-2027学年高三上学期 数学试题五 一、单选题 1.已知全集U=R,A={y=lg(x-2外，B={xy=Vx-司，则Bn(GA)=() A.(（1,2) B.(1,2] c.[1,2) D.[,2] 2.(2x+3)(x-1)的展开式中x3的系数为() A.-50 B.-10 C.10 D.50 3.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节 目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种 A.216 B.360 C.432 D.672 4.若，cos2a=sin2B 1+sin2a1+cos2B,则（） A.tan(a-B)=1 B.tan(a+B)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(a+B)=-1 5.若f闭=h女三o>06>o0为备证数，因后后的最小值为《) a b A.22-3 B.2√2+3 C.V2+3 D.√2-3 6.已知函数f(x)的定义域为(0，+o),导函数为f'(x),满足xf'(x)-f(x)=(x-1)e(e为自然对数的底 数)，且fI)=0,则下列说法错误的是() A.3f(2)<2f(3) B.f()<f(2)<f(e) C.f(x)在x=1处取得极小值 D.f(x)在x=e处取得极大值 7.从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步率都是1%，一年后是1.0165≈37.7834；而 每天退后0.01，那么每天的“落后率都是1%，一年后是0.99≈0.0255；这样，一年后“进步”的是“落后” 的1.0136s 099%*1481倍，“进步~的是落后的100倍只需要大约经过（)天（结果四舍五入取整数参考数据： lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) A.228 B.230 C.232 D.234 8.已知函数y=e*与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，函数f(x)=g(x)+(a-1)x,a>1,若方程 f[f(x]=x在区间[2,4]上有解，则实数a的取值范围为() A.[1+n2,1+ B 1,1+ L 2 e e c[-- In 2 2 D. （2+3+2 二、多选题 试卷第1页（共3页） 9.下列命题正确的是() A.若样本数据x,x2,…,x的方差为2，则数据2x-1,2x2-1,…,2x。-1的方差为8 B.若P(A=0.6,P(BA=0.5,PBA=0.2,则P(B)=0.38 C.以模型y=ce“去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=ly，,求得经验回归方程为 2=4x+0.3,则c,k的值分别是e3和4 D.在一组样本数据(X,y),（X2,y2),…,(xn,yn),(n≥2，x,x2,xn不全相等)的散点图中，若 所有样本点（长，y).=1,2网都在直线y=+1上，则这组样本数据的线性相关系数为 10.已知函数f(x)的定义域为R,函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函 数，则下列说法正确的是() A.函数f(x)的一个对称中心为(2,1) B.f(0)=-1 C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4 D.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=5 11.已知a>0,e+lnb=1,则() A.a+Inb<0 B.e+6>2 C.Ina+b<0 D.a+b>1 三、填空题 12.已知 cosa =5,则ama+】 cosa-sina 4 13.己知偶函数f(x)=ln(e+1)+a+b有两个零点，b的取值范围为 14.已知：()在一系列独立重复的伯努利试验中，用X表示事件A第一次发生时已经进行的试验次数， 记每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<I),则X的分布列为P(X=)=p1-p),k=1,23,….如 果随机变数X其有上式的形式。则称能机安量X服从几有分布，且E(X)- (i)若随机变量X,5满足X=∑5，则E(x)=E(5) 连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2,4,6点均出现为止，则抛掷总 次数的数学期望为一· 四、解答题 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2=(a+c)2-aC. 试卷第2页（共3页） (1)若b=3,a=2,求cosA的值： (2)若△ABC的面积为√5，D为AC的中点，且AC=2√3，求BD的长. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/IBC,AD⊥CD,且AD=CD,∠ABC=45 (1)证明：AC⊥PB; (2)若D=2PA,且四枝锥P-ABCD的体积为牙，求aPMB的面积 已知点P2③是离心率为3的椭圆c:+】(a>6>0)上的-威 (1)求椭圆C的方程： 2)斜率为5的直线1交椭圆c于A,B两点，求APHB面积的最大值，并求此时直线1的方程. 18.已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同. (1)若每次从A盒中任取1个球，记录颜色后放回A盒，共取球三次，求恰好有两次取出的球颜色相同的概 率； (2)现设计如下试验流程：每次从A盒中任取2个球，将取出的红球用B盒中的白球替换：取出的白球不进 行替换，然后把得到的2个球放回A盒，记作一次试验结束设两次试验结束后A盒中红球的个数为X,求 X的分布列及数学期望. l9.若定义在R上的单调函数f(x),满足对于任意的x∈R,都有f[f(x)-e]=e+1. (1)求∫(x)的解析式： (2)若f(x)>ax2+x+2对于任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围； (3)若g(x)=lnx,当x>0时，试比较：（f(x)-2)g(x+1)与x2的大小. 试卷第3页（共3页）江陵中学2026-2027学年高三上学期 数学试题五 一、单选题 1.已知全集U=R,A={y=lg(x-2外，B={xy=Vx-司，则Bn(GA)=() A.(1,2) B.(1,2] c.[1,2) D.[,2] 【答案】D 【分析】先求出集合A,B,再应用补集及交集定义计算求解即可： 【详解】对于A={xp=g(x-2},由x-2>0得x>2,故A=(2,+∞)，CA=(-0,2, 对于B={xy=Vx-,由x-1≥0得x≥1，故B=[l,+o), 则Bn(G)=[1,2],故D正确. 2.(2x+3)(x-1)°的展开式中x的系数为() A.-50 B.-10 C.10 D.50 【答案】C 【详解】(x-1)的通项公式T1=C5x(-I)， x2项系数为C(-1)=-10:x3项系数为C(-1)=10, 则(2x+3)(x-1)3的展开式中x的系数为2×(-10)+3×10=10 3.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节 目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种 A.216 B.360 C.432 D.672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排4个歌舞节目：A4=24,排好后会产生5个空位（包括两端）： 步骤2：将2个机器人节目插入空位：A?=20; 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有A}=24种方 法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器 人”的排列， 有A?=2种方法.故不满足条件的情况有A?·A2=48 试卷第1页（共15页） 故总数为：24×20-48=432 故选：C 4.若、cos2a sin2B 1+sin2a 1+cos2B,则() A.tan(a-B)=1 B.tan(a+B)=1 c.tan(a-β)=-l D.tan(a+B)=-1 【答案】B 【分析】根据题意，由二倍角公式分别将等式的左右两边化简，再由正切函数的和差角公式代入计算，即 可得到结果。 cos2a-sin2a cos2 a-sin2a 【详解】左边= cosa sin2a+cos2a+2sin a cosa sin a+cos a+2sina cosa cos-a 1-tan2a (1+tana)(1-tana)1-tana tan2a+1+2tana (1+tana)2 1+tana 2sin Bcos B 2sin Bcos B cos2 B 右边= 2tan B =tan B, 2cos2B 2cos2B 2 cos2B 即-tana -=tanB,化简可得l-tana=tanB+tan a tan B, 1+tana 0tana+tan B=1-tana tanB,1-tan atanB tan a+tan B _=1=tan(a+B). 故选：B 5.若代=ha>06>0)为商属数。则片+号的最小道为() a b A.2√2-3 B.2√2+3 C.2+3 D.√2-3 【答案】B 【分析】利用奇函数得f(x)+f(-x)=0,即a2=(1-b),又由f(x)的定义域得a=1-b,最后利用基本 不等式即可求解 【详解】由题意有：f(x)+f(-)=ha+x+n,a-x=n,a- "1-b-x 1-b+xn1-b}-=0, a2-x2 0-b}-x=1,所以d2=0-b, 所以 又a+x>0,所以(x+a(x+b-)<0,又函数定义域关于原点对称， 1-b-x 故a=1-b,即a+b=1, 试卷第2页（共15页） 又为a>0,>0,所以-日引a+-32+3 a b a=V2-1 当且仅当 b=√2a 即 a+b=1'b=2-2 时，等号成立. 故选：B 6.已知函数f(x)的定义域为(0，+o),导函数为f'(x),满足xf'(x)-f(x)=(x-)e(e为自然对数的底 数)，且f)=0,则下列说法错误的是() A.3f(2)<2f3) B.f()<f(2)<f(e) C.f(x)在x=1处取得极小值 D.f(x)在x=e处取得极大值 【答案】D 【分折1设g=月x>0):对共求导可得g-儿因.么，因此设g-+e,根 x2 据题意可得g(x),f(x)的解析式，对A:利用导数判断g(x)的单调性分析判断，对B、C、D:利用导数 判断f(x)的单调性分析判断 【#1回->0则回-但.-但 x2 可设g()-+c,则g0=e+e=0,解得c=e, 故g)=g-e,即f(x)=e-ex, 令g(x)>0,则x>1,故g(x)在(1，+o)上单调递增， ÷g(2)<g(3),即2）c3),则3f2)<2B),A正确： 2 3 ,f'(x)=e-e,令f'(x)=e-e>0,解得x>l, 则f(x)在(0，)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ∴f()<f(2)<f(©)，f(x)在x=1处取得极小值，无极大值， B、C均正确，D错误。 故选：D 7.从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步率都是1%，一年后是1.0135≈37.7834；而 每天退后0.01，那么每天的“落后率都是1%，一年后是0.996≈0.0255；这样，一年后“进步”的是“落后” 的1.016s 的0991481倍“进步的是落后的100倍只需要大约经过(）天（结果四舍五入取整数.参考数据： lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) 试卷第3页（共15页） A.228 B.230 C.232 D.234 【答案】B 【详解】设进步的是“落后的10倍只需要大约经过x天，则.0 0.99=100, 1.01 2 即： =100,两边取对数得：xlg 0.99 01-1g100=2,所以x=1g1.01-lg0.99 0.9 01 99 而lg1.01=l 100 =lg101-2≈0.0043，lg0.99=lg =lg99-2≈-0.0044， 00 2 代入得：x≈ =230 0.0043+0.0044 8.已知函数y=e与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，函数f(x)=g(x)+(a-)x,a>1,若方程 f[f(x)]=x在区间[2,4]上有解，则实数a的取值范围为() a[+2 1,1+ e e cp-- 2 D 2+3+ 2 【答案】c 【分析】令f(x)=t可将方程变为f(t)=x,通过分析可确定x=t,将问题转化为f(x)=x在[2,4]上有解 的问题，通过分离变量的方法，结合导数求得函数值域，进而得到所求范围， 【详解】y=e与y=g(x)图象关于直线y=x对称，.g(x)=lnx, ..f(x)=Inx+(a-1)x,a>1; 设f(x)=t,则由f[f(x)]=x得：f()=x, (x,),(6,x)均在函数y=f(x)图象上： 假设x>t,:y=f(x)在(0，+oo)上单调递增，∴f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾； 假设x<t,:y=f(x)在(0，+o)上单调递增，f(x)<f(t),即t<x,与假设矛盾： 1=x,即f(x)=x在[2,4上有解，即2-a=血x 令p)-则p-r。 .当x∈(0，e)时，p'(x)>0;当x∈(e,+oo)时，p'(x)<0: ∴.p(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减， 又2-0-2pe)-222-s解得2s2 1 2 e 2 试卷第4页（共15页） 即实数a的取值范围为 2 1,2-h2 2 二、多选题 9.下列命题正确的是() A.若样本数据x,x2,…,x的方差为2，则数据2x-1,2x2-1,…,2x。-1的方差为8 B.若P(A)=0.6,P(BA)=0.5,P(BA=0.2,则P(B)=0.38 C.以模型y=ce“去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=y,求得经验回归方程为 z=4x+0.3,则c,k的值分别是e.3和4 D.在一组样本数据(x,y),（x2,y2),…,(xyn),(n≥2，x,x,xn不全相等)的散点图中，若 所有样本点(，y)=2)都在直线)y=+1上，则这组样本数据的线性相关系数为】 【答案】ABC 【详解】原数据方差D(x)=2,设y,=2x-1, 则D(y)=2D(x)=2×2=8,故A正确； P(B)=P(A)P(BlA)+P(AP(BA=0.6×0.5+0.4×0.2=0.3+0.08=0.38, 故B正确： 模型y=ce取对数得lny=nc+kc, 令z=lny,则回归方程为2=x+lnc, 己知2=4x+0.3,故k=4,lnc=0.3,即k=4,c=e3,故C正确： 样本点都在直线y三)x+1上，说明完全线性相关，相关系数绝对值 直线斜率为负，故相关系数为-1，故D错误， 10.已知函数f(x)的定义域为R,函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函 数，则下列说法正确的是() A.函数f(x)的一个对称中心为(2,1) B.f(0)=-1 C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4 D.f(0)+f()+f(2)+f(3)+f(4)=5 【答案】ABD 试卷第5页（共15页） 【分析】先应用函数为奇函数代入化简得出对称中心判断A,根据函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数结 合赋值法判断B,特殊值法f(O)≠f(4)判断C,赋值法得出函数值判断D. 【详解】对于A,因为G(x)=f(2+3x)-1为奇函数，所以G(-x)=-G(x): 即f(2-3x)-1=-[f(2+3x)-1],所以f(2-3x)+f(2+3x)=2, 所以f(2-x)+f(2+x)=2,所以函数f(x)的图象关于点(2，)对称，所以A正确， 对于B,在f(2-x)+f(2+x)=2中，令x=0,得2f(2)=2,得f(2)=1, 因为函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，所以F(-x)=F(x): 所以f(1-x)-(1-x)=f(1+x)-(1+x),所以f(1+x)-f1-x)=2x, 令x=1,则f(2)-f(0)=2,所以1-f(0)=2,得f(0)=-1,所以B正确， 对于C,因为函数f(x)的图象关于点(2，)对称，f(0)=-1, 所以f(4)=3,所以f(0)≠f(4),所以4不是f(x)的周期，所以C错误， 对于D,在f(2-x)+f(2+x)=2中令x=1,则f(1)+f(3)=2, 令x=2,则f(0)+f(4)=2,因为f(0)=1,所以f(4)=3, 因为f(2)=1,所以f(0)+f(+f(2)+f3)+f(4)=5,所以D正确， 故选：ABD. 11.已知a>0,e°+lnb=1,则() A.a+Inb<0 B.e+b>2 C.Ina+b<0 D.a+b>1 【答案】ABD 【分析】先构造f(x)=e-x-1(x>0),再根据求导证明e“>a+l,再放缩1=e“+lnb>a+1+nb即可判断 A:先构造g(x)=lnx-x+l(0<x<1),再根据求导证明lnb<b-1,由x-1>nx,再放缩 1=e”+nb<e“+b-1即可判断B;取特殊值b= 己，得到a=h3,代入即可判断C:先根据题意得到 a+b=lnn+b,令n=1,从而得到a+b=nt+e“,1>l,再构造h)=lnt+e,t>l,利用导数 b 判断单调性求函数最小值即可判断D. 【详解】由e+lnb=l,得e“=l-lnb, 又a>0,则1-lnb>1,解得0<b<1, 试卷第6页（共15页） 对于A,构造f(x)=e-x-1(x>0),则f'(x)=e-1>0, 所以函数f(x)在(0，+o)上单调递增， 所以f(x)>e°-0-1=0，即e°>a+1, 所以1=e“+lnb>a+1+lnb,即a+lnb<0,故A正确： 对于B,有造（创=h-+0<x<小，则g-1产>0， 所以函数g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)<n1-1+1=0, 又0<b<1,所以lnb<b-1, 所以1=e“+lnb<e+b-1,即e“+b>2,故B正确； 对时c当6=过时，。-21，则a=n3. 又13>1，则h3到>0，所以nat=h(3)+宁>0，放c错误： 对于D,由e=l-hh=hg则a=hn月》所以a+b=h》b, 令n分=1，则b=e,1>l,所以a+b=lni+e, 设h(0=l血1+e,t>1,则0=}c=e=g-“ le' 令p(t)=e'-et,t>1,则p'(t)=e'-e>0, 则函数p(在(L,+o)上单调递增，则p(t)>e-e=0,则h(t)>0, 所以h(t)在(l,+o)上单调递增，则h(t)>lnl+e°=1，所以a+b>1,故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：比较式子的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合e>x+1(x≠O), x-1>hx≠)），放缩后判断AB选项，变形a+b=nn+b,再令n=,变形a+b=nt+e,是 b b 判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可. 三、填空题 12.已知 cosa =V5,则tana+ cosa-sina 4 【答案】2V3-1 【分析】根据齐次式可得aa=1-5 ,即可利用正切的和角公式求解。 3 cosa 【详解】由 =V3可得 cosa-sina 1-tana v5,枚ana=1-5 3 试卷第7页（共15页） tan at= ana+l 2、3 4 1-tan a 3=2N5-1, 3 故答案为：2√5-1 13.已知偶函数f(x)=ln(e+1)+ar+b有两个零点，b的取值范围为 【答案】（-oo,-ln2) 【分析】利用偶函数的性质可以计算a的值，再利用最小值小于0即可求得b的取值范围. 【详解】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x), 所以n(e+小-ax+lh(e+)++b,化简得：-x=2ax,则a=- 2 所o-e小.0动 令f'(x)>0,解得：x>0,即：f(x)在(0，+∞)单调递增，在(-o,0)单调递减， 所以f(x)=f(0)=h2+b,且当x→+oo时，f(x)→+oo,x→-0时，f(x)→+oo, 若f(x)有两个零点，则需满足ln2+b<0,即：b<-ln2,所以b的取值范围为(-∞，-In2) 14.已知：(1)在一系列独立重复的伯努利试验中，用X表示事件A第一次发生时已经进行的试验次数， 记每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<),则X的分布列为P(X=)=p1-p),k=l,2,3,…·如 果随机变量X具有上式的形式，则称随机变量X服从几何分布，且E(X)= p (i)若随机变量X,与满足X=立5，则E(X)=是E(5). 连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2,4,6点均出现为止，则抛掷总 次数的数学期望为 【答案】11 【分析】根据题中给的条件，构造随机变量，用题中给的规律计算期望 【详解】设事件A表示抛掷一枚骰子朝上的点数为偶数. 设随机变量5表示事件A第一次发生时已经进行的抛掷次数 由于每次试验中，事件A的概率总为2，故服从几何分布，E()=2。 记第一个投出的偶数点数为a, 设事件B表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了a以外的两个偶数. 试卷第8页（共15页） 设随机变量52表示从出现第一个偶数后，直到出现第二个不同偶数所进行的额外抛掷次数. 在接下来的每次试验中，事件B的概率总为，故5服从几何分布，E(5)=3. 记第二个出现的偶数点数为b, 设事件C表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了a,b以外的那个偶数， 设随机变量5表示从出现第二个不同偶数后，直到出现第三个偶数所进行的额外抛掷次数. 在接下来的每次试验中，事件C的概率总为。，故气服从几何分布，B传)）6。 经过三个步骤，能保证2,4,6点恰好均出现，且出现次数最少的点数出现的次数为1. 随机变量X为抛掷骰子直至2,4,6均出现时已经进行的试验次数， X=5+52+53 故E(X)=E(5)+E(52)+E(5)=2+3+6=11 故答案为：11 四、解答题 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知b2=(a+c)2-ac. (1)若b=3,a=2,求cosA的值； (2)若△ABC的面积为V3,D为AC的中点，且AC=2V3,求BD的长 【答案】(1) (2) BD=1 【分析】(1)由余弦定理及已知得aC=-2 accos B,求出角B的大小并求出C,再由余弦定理求cosA; (2)根据(1)和已知得ac=4、a2+c2-8,再由BD=)(B1+BC),利用向量数量积的运算律求边长 【详解】(1)已知b2=(a+c)2-ac=a2+c2+ac, 结合余弦定理得a2+c2+ac=a2+c2-2 ac cos B,则aC=-2 ac cos B, 因为ac为三角形边长，ac≠0，所以cosB=-1, 因为0<B<元，所以B=2 3 又因b=3,a=2,代入b2=(a+c)2-ac整理得c2+2c-5=0, 解得c=-1±√6，因为c>0,所以c=√6-1， 试卷第9页（共15页） 根据余弦定理，cosA= 6+c2-d_9+(6-2-4N6 2bc 2x3×V6-1=3 (2)白)知8=受，由aABC的面积S=cs如B= ac=V3,得ac=4, 4 又b=4C=2V3,代入b2=a2+c2+ac,得a2+c2=8, 因D为AC的中点，则BD=(BA+BC), 两边取平，方B0-(BA+BcC=4Bd+B+2 Ccos n, 即ad=4e+d+2 e)®-48-2x4x1, 所以BD的长为1. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ADI/BC,AD⊥CD,且AD=CD,∠ABC=4S°. B (1)证明：AC⊥PB: (2)若AD=2PA,且四棱锥P-ABCD的体积为}，求aPMB的面积 【答案】(1)证明见解析；(2)2 【分析】(1)根据已知可得∠BAC=90°，即AC⊥AB,再由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC,根据线面垂 直的判定定理可得AC⊥平面PAB,从而可得AC⊥PB: (2)根据(1)可求得四边形ABCD的面积S=3AD,由PA⊥平面ABCD可知PA为四棱锥P-ABCD的 高，再根据能体的体积公式可求出D=1,从而可求出PA=分B=2,由三角形面积公式即可求出答 案 【详解】(1)证明：因为AD⊥CD,且AD=CD,所以∠ACD=∠DAC=45°， 因为AD//BC,AD⊥CD,所以CD⊥BC, 所以∠BCD=90°，所以∠ACB=45°，又∠ABC=45°， 所以∠BAC=90°，即AC⊥AB 因为PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以PA⊥AC,又PAOAB=A,PA,ABC平面PAB, 所以AC⊥平面PAB,又PBC平面PAB, 试卷第10页（共15页) 所以AC⊥PB (2)解：由(1)可知，BC=√2AC=2AD 因为AD=CD, 所以四边形ABCD的面积S=x(AD+2AD)×AD=2AD, 1 2 2 又AD=2PA, 所以PM=D, 因为PA⊥平面ABCD, 所以PA为四棱锥P-ABCD的高， 所以四棱锥P-ABCD的体积V=SPA=x2 AD'xAD= 3 32 2 解得AD=1. 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB, 又PA=AD=, 2 AB=24D=, 所以aPAB的面积为xxN2=5 22 4 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，锥体的体积公式，属于基础题 17.已知点P2,V5)是离心率为5的椭圆C:。+片 2 d+尔=1(a>b>0)上的-点. (1)求椭圆C的方程： 2斜率为5的直线I交椭圆C于A,B两点，求△PAB面积的最大值，并求此时直线7的方程。 2 【答案】)+少 =1 164 24,y=2 x±2W2 【分析】(1)根据离心率得到a,b的关系，再将已知点代入椭圆方程，联立解得a2,b2,从而写出椭圆方程 (2)设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理和距离公式表示出弦长和点到直线的距离，写出三角形面积 表达式，用均值不等式求出最大值及对应的直线方程， 【详解】(1)由题意得9=5，且d=+2,所以a=2b。 将P,v5]代入椭圆方程得子+2=1，结合a=2b,得公=4，g=16, 所以椭圆C的方程为产+y =1; 164 (2)设直线1的方程为y=5x+ x+t,A、B两点的坐标分别为(x,),(x2,y2), 2 试卷第11页（共15页） 3 y= 由 2+1 消去y,整理得x2+V5x+2-4=0, 父+上 (16*4=1 由△=3-42-4)>0可得2<16，且x+x2=-31，xx2=2-4, 国-扩+6-+5-45-i6F, 点P到直线l的距离为d 5.2-23+24_24 5+-2 8wd-6-F号州i-F-F06-s"6-4 2 当且仅当t=16-2,即t=+22时（满足2<16）取得等号， 即△P1B面积最大，且最大值为4，此时直线1的方程为y=5 ±22. 2 18.已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同. (1)若每次从A盒中任取1个球，记录颜色后放回A盒，共取球三次，求恰好有两次取出的球颜色相同的概 率 (2)现设计如下试验流程：每次从A盒中任取2个球，将取出的红球用B盒中的白球替换；取出的白球不进 行替换，然后把得到的2个球放回A盒，记作一次试验结束设两次试验结束后A盒中红球的个数为X,求 X的分布列及数学期望」 【案1a8 (2)X的分布列为 0 1 3 9 57 6 1 50 100 25 100 27 E(X)= 25 【分析】(1)利用并事件的概率公式求解： (2)先求出X的取值范围，再求出每个X的取值的概率，列出分布列，利用期望公式求出期望 试卷第12页（共15页) 【详解】(1)记4：恰好有两次取出红球，B:恰好有两次取出白球， 小球中任取一个球，为红球的概率是，为白球的概 则两次取出的球颜色相同的概率为： (2)X的取值范围是{01,2,3}. r(x-0)-G.ccc.c:9 (x-)-g.g.co.co.gq_s r(x-2)-cc.c.cc_6 CC C2C2 25 P(X=3)= C2 C2 1 9^c2=100 所以X的分布列为 0 9 57 6 1 50 100 25 100 9 57 E(X)=0× +1 +2x6 +3× 127 50 10 5 10025 l9.若定义在R上的单调函数f(x),满足对于任意的x∈R，都有f[f(x)-e]=e+1. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)>ax2+x+2对于任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围： (3)若g(x)=lnx,当x>0时，试比较：（f(x)-2)g(x+1)与x2的大小. 【答案】(1)f(x)=e+l o引 (3)(f(x)-2)g(x+1)>x2 【分析】(1)由f(x)在R上单调，可得存在唯一的实数k,使得f(k)=+1,进而结合题设求解即可： 试卷第13页（共15页） (2)由题设可得e*-ax2-x-1>0对于x>0恒成立，设h(x)=e-ar2-x-1,x>0,利用导数分析其单 调性，进而求解即可： G3)方法-：结合2可得>+1对于e@m)恒定立，设(e-n(x+)2eto) 二> 2 利用导数分析其单调性，进而得到(x+D2 x+1,可得(e-1)n(x+1)>x2,进而得解； 方法二：设i(y)=e,x∈(0，o),利用导数分析可得x)在(0，o)上单调递增，设k)=n(x+)-x, x∈(0，+oo),利用导数分析其单调性可得n(x+l)<x,进而得到(e-1)n(x+)>x2,进而得解. 【详解】(1)f(x)在R上单调，存在唯一的实数k, 使得f(k)=e+l,则f(x)-e=k为定值对于任意的xeR恒成立. 故f(x)=e+k,而f(k)=e+k=e+l, 取h(k)=e+k,在R上单调递增，且h(1)=e+1,则k=1, 故f(x)=e+1. (2)由(1)知，f(x)=e+1, 由f(x)>ax2+x+2,得e+1>ax2+x+2, 则e-am2-x-1>0对于x>0恒成立， 设h(x)=e-ax2-x-1,x>0,则h(x)=e-2ax-1, 而h(0)=0,h(0)=0,设u(x)=e*-2ar-1,x>0, 则d(x)=e-2a,而W(x)在(0，+oo)上单调递增，且W(0)=1-2a, ①当a≤号时，w()>(0)=1-2a≥0， 则u(x)=h(x)在(0，+o)上单调递增，则h(x)>h(0)=0, 则h(x)在(0，+o)上单调递增，此时有h(x)>h(0)=0成立，满足题意. ②当a>2时，0)=1-2a<0, 由于u(x)在(0，+o)上单调递增，且(n2a=0, 故当x∈(0，ln2a)时，t(x)<0,u(x)=h(x)在(0，n2a上单调递减，则h(x)<h(O)=0, 故h(x)在(0，ln2a上单调递减，则h(x)<h(0)=0, 试卷第14页（共15页） 故有当xe(0,n2a)时，h(x)<0,不符合题意. 综上所述，a的取值范围为-心，2 (3)方法一：由(2)知：当a=时，e-}x2-x-1>0对于x(0,)恒成立， 2 则e->x+1对于x∈(0，+o)恒成立， x21 设)=s+2xe(0wj, p时+0 x2 故p()在(0，+o）上单调递增，故px)>p(0)=0,则有n(x+l)>2 +21 变形将28则2分则n分1： 1 即(e-)ln(x+1)>x2,则(f(x)-2)g(x+1)>x2. 方法二：设x)=c1,xe(0,o）, 则r=e---e+1 x2 x2 设j(x)=(x-1)e+1,x∈(0，+o), 则(x)=xe>0,所以j(x)在(0，+o)上单调递增， 故j(x)>j(0)=0,即(x)>0,则i(x)在(0，+o)上单调递增， 设k(x)=ln(x+1)-x,x∈(0，+o), 则()1<0，故（在(Q+四上单调递减， 故(x)<k(O)=0,则有n(x+)<x, 则（小>血(x+1叨，即e-e-1。x x In(x+1)In(x+1)' 即有x>0时，(e-)m(x+1)>x2,即(f(x)-2)g(x+)>x2. 试卷第15页（共15页）