精品解析：湖北省团风中学2025-2026学年高三上学期数学周考卷（A卷，1.14）

2026届高三周考卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. 0 B. 6 C. -4 D. 4 4. 若是椭圆的半焦距，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有实根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知曲线：，则下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 10. 已知 ，其中为常数，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ） A. B. 记为数列的前项和，则为 C. 记为数列的前项和，则 D. 数列的前项和为 三、填空题 12. 若，且，则_______． 13. 如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 四、解答题 15. 如图，中，为上一点，． （1）若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; （2）若，求AD． 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求. 17. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，动点在内（含边界）且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三周考卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合，利用绝对值不等式的解法求出集合，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义及单调性的判断方法即可判断. 【详解】对于A，二次函数关于轴对称，所以函数为偶函数， 在上单调递减，故A错误； 对于B，函数的定义域为， ，，所以函数为偶函数， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为， ，， 即，所以函数为奇函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为， ，， 所以函数为奇函数，故D错误. 故选：B. 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. 0 B. 6 C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解的值，即可得的值. 【详解】因为空间向量与共线，显然， 所以，解得，，所以. 故选:A. 4. 若是椭圆的半焦距，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中的关系，结合基本不等式先求的取值范围，再求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 且. 故. 故选：B 5. 在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 6. 在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设动点坐标，由题意建立方程，化简后得到动点轨迹为圆，写出圆心和半径.先求得圆心到直线的距离，即可得到动点到直线的距离的取值范围. 【详解】设，由题可得， 两边平方并化简得，故点在圆心为（8，4），半径为的圆上， 而圆心到直线的距离为， 故点到该直线的距离的取值范围为，即． 故选C． 7. 已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，的中点，得到为菱形，故有过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，根据题意求出的长度，取的中点，连接，根据勾股定理求出的长度，故菱形的面积为，代入数值得解. 【详解】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面， 过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A 8. 关于的方程有实根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可. 【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 点到直线的距离， 设，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，，则， 检验：当时，，由，解得，此时； 由，解得，此时， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选题 9. 已知曲线：，则下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合已知条件及圆锥曲线方程逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：若，方程可化为，符合圆的标准方程，其中圆心坐标为，半径为，故选项A正确. 选项B：若，则、一正一负，此时曲线为双曲线. 若，，方程可化为，渐近线为； 若，，方程可化为，渐近线为； 故选项B错误. 选项C：若，，方程可化为，即，表示两条平行于轴的直线，故选项C正确. 选项D：若，方程可化为，由得，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知 ，其中为常数，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】①构造函数和式，利用三角函数线性组合的有界性；②利用绝对值不等式放缩，推导参数绝对值和的范围；③构造特殊角度的函数和，分析函数的最大值；运用以上性质逐步推导各选项的正确性； 【详解】， ，A正确； ， ，B不正确； ， ，C正确； ， ， D正确. 故选：ACD. 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ） A. B. 记为数列的前项和，则为 C. 记为数列的前项和，则 D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.首先由正三角形求得点和的坐标，代入曲线，即可求解；B. 由为边长为的等边三角形，求得的坐标；C.将坐标代入曲线，判断C；D.根据C的结果，利用公式，即可求通项公式. 【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则， 因为点在曲线上，可得，解得或（舍）， 又由题意可知为边长为的等边三角形，则， 则，可得，解得或（舍），故A错误； B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确； C.由点在曲线上，则，整理得， 可知，故C正确； D.当时，可得， 所以， 可化为， 因为，则，所以，， 又因为，符合上式，故， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 若，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数对数的互化结合对数的运算求解即可. 【详解】若，则，，由， 可得：， 解得：; 故答案为： 13. 如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【解析】 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由椭圆及双曲线的定义可得，，设，从而可得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦的定义可得，从而得，求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义知，①，， 由双曲线的定义知，②， 由①②解得，， 设， 因为点与右焦点的连线交轴于点， 且平分， 所以， 在中，由余弦定理知， ③， 设， 则， 由角平分线定理知，， 即， 解得， 在中，④， 由③④得，， 解得或（舍）， 所以双曲线的离心率为． 故答案为： 四、解答题 15. 如图，中，为上一点，． （1）若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; （2）若，求AD． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用三角形面积公式求解. （2）法1，利用三角形面积公式可得，再利用和角的余弦公式，结合直角三角形边角关系列式求解；法2，利用余弦定理、垂直关系的向量表示并结合数量积的运算律列出方程组求解. 【小问1详解】 令，， 由为钝角，为等腰三角形，得， 又为等腰三角形，且，则， 在中，，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 法1：在中，由，得，而，， 由，得， 由，得， 则， 因此，即，又， 所以. 法2：在中，，由余弦定理得， 而，即，又，则， 即，于是，解得， 则，解得， 所以. 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合题设可得数列为2为首项，2为公差的等差数列，进而求解即可； （2）由题意可得，进而求和即可. 【小问1详解】 由，① 当时，，即或（舍去）； 当时，，② ①②得， 得到， 则， 因为，所以， 则，即， 所以数列为2为首项，2为公差的等差数列， 则. 【小问2详解】 由， 则 . 17. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，动点在内（含边界）且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1） 由，可知， 三角形为等腰直角三角形，，， 又因为，由余弦定理得：， 即得，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可完成证明； （2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①依题意，建立如图坐标系， 设的坐标为，， 由， 化简得：，即， 设线段的中点， 则动点的轨迹是以线段的中点为圆心， 1为半径的四分之一圆弧，故其长度为. ②由①可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以， 综上所述，. 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. 【小问2详解】 设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. 【小问3详解】 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $