湖北省监利市第一中学2026-2027学年高三上学期数学周测试题（九）

监利一中2027届高三数学周测（九）20261022 参考答案 1.已知平面向量、不共线，，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【详解】因为平面向量、不共线，， 因为，所以存在，使得，即， 所以，解得，． 2. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图象可知函数的最小正周期， 所以，解得. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， ，所以， 已知，所以. 4. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直条件列出内积方程，再由投影向量定义列出第二个内积方程，联立得到两向量模长的比例关系，最后代入夹角余弦公式直接求出 ，结合夹角范围 得到具体角度. 【详解】由，得， 所以，所以 在 上的投影向量为：，所以 由①②得，所以，即， 所以，因为，所以. 5.已知函数，若为奇函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】先求出及的定义域，利用奇函数定义域关于原点对称求出，再根据奇函数性质求出，最终算出． 【详解】因为，所以， 由，得不等式解集为，即的定义域为 因为是奇函数，奇函数的定义域关于原点对称，所以，得， 所以的定义域为，又是奇函数，则，即，得， 故 6. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到直线方程，从而得到点坐标，再结合求出，最后由抛物线准线方程的公式即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为， 过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为， 由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为， 将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得， 解得或， 由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得， 所以点的坐标为， 又因为，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为. 7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简三角表达式得到，再分别利用在单调递增、在上恰好取得一次最大值 这两个条件列出关于的不等式，联立取交集得到的取值范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合， 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为. 8. 在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由排列组合的知识求含项的系数为，再由裂项相消法求数列的前项和为，再由不等式恒成立求解. 【详解】先取一个，有种取法，再取一个，有种取法，再取，有种取法，剩下的全是1， 所以，前项和， 由裂项相消求和：， 随着的增加而增加，且当趋于正无穷时，趋于， 由不等式恒成立得： 的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】设复数， 对于A，易知， 所以，可得A正确； 对于B，易知， 由可得，所以，即B正确； 对于C，， 而，所以，即C错误； 对于D，根据C中分析可知，即可得，所以D正确. 10 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 11.函数有两个极值点、，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则有个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及导数的几何意义，属于较难题． 根据有两个极值点、，对其求导可得，再根据极值的性质与导数的几何意义，即可判断． 【解答】 解：因为，所以， 又因为函数有两个极值点、， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时，为极大值，为极小值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时，为极小值，为极大值； 对于选项A：若，则或 在各有一个零点，故A正确； 对于选项B：三次函数关于拐点中心对称，在拐点处只有一条切线即拐点处的切线，不满足“至少两条”，故 B 错误； 对于选项C：若，当时，，此时只有一个零点； 当时，，此时只有一个零点，故C正确； 对于选项D：令， 则，为的平均数， 又因为函数为中心对称图形，故，故D正确． 故选ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且。则 = _______. 【答案】 【切入点】 是斜边中点、 在 上又给了分点比例，两条目标向量都能用基底 、 表示；而 说明这两条基底垂直，展开后交叉项直接消失。 【关键】 是 的中点，所以 。由 得 ，所以 。 于是 。 由 得 ，且 、。所以 ，化简得 。 13. 设数列为等差数列，且，若，记，则数列的前21项和为          . 【答案】21  【解析】解：由题意， 易知关于中心对称，数列为等差数列， 故，且， 故数列的前21项和… 故答案为： 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布可求，再根据导数可求何时概率取最大值. 【详解】甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜局乙胜1局；甲胜局乙胜2局， 故， 故， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在单调递减， 故时，取最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解； （2）先由正弦定理求得，再由三角形面积公式求得，利用割补法求面积即可. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∵，∴为锐角， ∴. ∴在中，由余弦定理得， ∴. 【小问2详解】 由题可得， ∴在中，由正弦定理得， ∴. ∴， ∴. 16.）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设“一人患这种疾病的年龄在区间”，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】解：证明：在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则即 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为，由， 得， 解得，即点到平面的距离为．  18. 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据右焦点坐标及渐近线方程，结合列方程组求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据题意及韦达定理求出的范围，结合求解即可. （ⅱ）由双曲线的对称性知，进而得到，设，得到；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为. 由题意得，，， 又，所以，， 所以的方程为. 【小问2详解】 易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，且， 联立，整理得， ， 所以，， 由直线与的右支交于两点，得. （ⅰ）因为，所以，即，所以. 将其代入，解得，，且， 所以，整理得，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为. （ⅱ）由双曲线的对称性知，，所以， 所以 ， 设，则， 则， 设， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以， 故面积的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）证明：由函数，可得， 则，其中， 当时，，，此时，单调递减， 所以函数在区间上无极值点； 设，可得， 所以在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， 当时，；当时，， 综上可得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有且只有一个极小值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集； （2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； （3）根据题意，得到，先求得在上无极值点，设，求得和在上单调递增，得到在上单调递增，得到存在唯一的使得，得出的单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，又由不等式，可得， 整理得，即， 可得，所以， 因为，即，可得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 学科网（北京）股份有限公司 $ 监利一中2027届高三数学周测（九） 一、单项选择题 1. 已知平面向量、不共线，，，若，则(    ) A. B. C. D. 2. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若为奇函数，则(    ) A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8. 在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 11. 函数有两个极值点、，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则有个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 三、填空题 12. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且。则 = ________． 13. 设数列为等差数列，且，若，记，则数列的前21项和为          . 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 四、解答题 15. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求；（6分） （2）求的面积．（7分） 16. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3分） (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；（3分） (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.（9分） 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面（4分） 若平面平面，求点到平面的距离．（11分） 18. 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程．（3分） （2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程；（6分） （ⅱ）求面积的取值范围．（8分） 19. 已知函数． （1）求不等式的解集；（4分） （2）讨论的单调性；（6分） （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点．（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $