湖北省监利市第一中学2026-2027学年高三上学期数学周测试题（三）

监利一中2027届高三数学周测三试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．若平面内的两个向量，满足，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．若恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．以下四个命题中，是真命题的是（    ） A． B．“”是“”的必要不充分条件 C．若命题，则的否定为： D．若，则 10．若奇函数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的一个周期为2 B． C． D．为偶函数 11．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，，且，则________． 13．已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 14．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 四、解答题（本大题共5题，写出必要的解答过程与文字说明） 15．如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且侧面PAD底面为侧棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正弦值． 16．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 17. 已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 18．已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 监利一中2027届高三数学周测三试题参考答案 一、单选题 1．设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 2．若平面内的两个向量，满足，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求向量的模，再对模长等式平方，利用数量积公式建立方程，最后解三角方程求夹角. 【详解】因为，所以. 设与的夹角为. 由，可得， 所以，解得. 3．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解. 【详解】由题意可得“，”为真命题， 设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立， 则， 解得. 4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由函数的关系式得到函数的周期性，结合函数的奇偶性得到函数值相等，利用二次函数的对称轴求得，结合奇偶性和函数关系，求得函数值，代入解析式求得参数. 【详解】，则，， 即，即的周期为， 故， 在上满足，说明的对称轴为，则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 7．某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将流量损耗函数化简为对勾函数形式，再结合点与圆的位置关系确定的取值范围，最后利用对勾函数单调性求最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 8．若恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化成，由恒成立，可得到需满足恒成立与恒成立，分离变量，利用导数可得答案. 【详解】， 恒成立， 即， ，， 要使恒成立， 只需对恒成立， 即， 设，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， ； 再令， ，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， . 综上可得，. 二、多选题 9．以下四个命题中，是真命题的是（    ） A． B．“”是“”的必要不充分条件 C．若命题，则的否定为： D．若，则 【答案】AB 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：命题，则的否定为：，故C选项为假命题 对于选项D：若，则，故D选项为假命题． 故选：AB. 10．若奇函数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的一个周期为2 B． C． D．为偶函数 【答案】AD 【分析】由得的对称轴为，结合的奇函数性质对选项逐一辨析即可. 【详解】因为，所以， 所以的对称轴为， 则，∴，A正确； 因为，故，， 又关于对称，故，B错误； 因为，且的周期为2， 所以， 所以是的对称轴，其值不一定为0，故C错误； 因为，所以为偶函数，D正确. 故选：AD. 11．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题 12．已知，，，且，则________． 【答案】/ 【分析】先根据的正弦值和所在象限求出正切值，将拆成，用两角差的正切公式算出，结合的范围确定象限，再利用同角三角函数平方关系求出． 【详解】由，，得， 所以， 又， 所以， 由，得，代入， 得，解得， 因为，，所以， 所以． 13．已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用条件得到，结合条件求的范围，设，则，结合对勾函数性质求的范围可得结论. 【详解】， ， 即，得，，因为，所以， 所以，设，则， 故， 由对钩函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 14．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 四、解答题 15．如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且侧面PAD底面为侧棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图，连接交于，连接， 因为底面是正方形，所以为中点，又为侧棱的中点， 所以，又平面平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接EO，根据已知证明，再应用线面平行的判定证明结论； （2）取的中点为，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，再由棱锥的体积公式求体积； （3）取BC的中点G，连接FG，PG，易得、，再由线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有为二面角的平面角，进而求其正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，易知，且， 又平面底面，平面底面，平面， 所以平面，则． （3）取BC的中点G，连接FG，PG， 因为底面为正方形，F、G分别为AD、BC的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 中，， 所以， ，二面角的正弦值为． 16．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 17. 已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据离心率以及四边形面积解方程可求得，，得出椭圆方程； （2）显然直线斜率不存在时不合题意，设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量关系，可求得直线方程. 【详解】（1）由，得， 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即， 再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和, 不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得； 解得，即， 直线的方程为. 18．已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，代入表达式化简后即可得到答案； （2）先由（1）得的表达式，再根据函数单调性的定义，任取并作差，通过判断差的正负来证明在上单调递减，由函数的单调性即可得到的取值范围； （3）先化简不等式左边得到，再代入的表达式，换元转化为函数最值问题，最后观察函数的单调性求出最小值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 令可得，，解得， 因此，实数的值为. （2）由（1）可知，则，则任取且， 则，即，因此函数在上单调递减， 由，解得，又由于，所以的取值范围是. （3）因为，，所以即， 令，因为，所以，则不等式转化为，整理得， 设，则， 因为，且函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围是. 19．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)两个零点 (3)3 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $