湖北省监利市第一中学2026-2027学年高三上学期周测数学试题（一）

2027届高三数学上学期周测试题（一）参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由，得或，而， 所以. 故选：B 2. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 27 【答案】A 【详解】根据等差数列性质，由可得， 所以可得，又可得， 所以. 故选：A 3. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由，有为第二象限角，则， 故 故选：B. 4. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由图可知，函数为奇函数. 对于A，函数，定义域为，是非奇非偶函数，排除； 对于C，函数，当，，不满足图象，排除C； 对于D，函数，当时，，不满足图象，排除； 对于B，函数，定义域为， 而，则函数为奇函数， 当时，，当时，，满足图象. 故选：B. 5. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以，又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以 ，所以， 所以， 故选：D. 6. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】记至少有两个球颜色相同为事件，两球颜色不同为事件，则 ，， 所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为 , 故选：B 7. 在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 如图，因，， 则，即， 因，又，则， 则， 因， 当且仅当与同方向时，； 当且仅当与反方向时，， 即. 故选：C. 8. 已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4 C. 已知随机变量服从二项分布，若，则 D. 对于样本相关系数，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】AC 【详解】对于A，因为随机变量X服从正态分布，， 则，A正确；对于B，将样本点的中心代入，可得，B错误； 对于C，随机变量X服从二项分布，则， 若，则，C正确； 对于D，样本相关系数r，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，D错误， 故选：AC 10. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【详解】A选项，，可能有，故A错误； B选项，若，则，而，则，所以B正确. C选项，若，可能，则未必有，故C错误. D选项，若，则，而，则，所以D正确. 故选：BD 11. 已知抛物线，为其焦点，过的直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以为直径的圆与直线相切 C. 若点在轴上的射影分别为，以线段为直径的圆与轴交于两点，则 D. 过点分别作抛物线的切线，两切线分别交轴于两点，则以线段为直径的圆与直线相切 【答案】BCD 【详解】由题意，抛物线的准线方程为， 设直线的方程为， ，， 选项A：将直线方程与抛物线方程联立，消去整理得， 所以，， 由抛物线的性质可知，因为， 所以， 解得，即直线的倾斜角为或，A说法错误； 选项B：设中点为，则， 以为直径的圆半径，圆心到直线的距离， 所以以为直径的圆与直线相切，B说法正确； 选项C：由题意，， 以为直径的圆圆心为，即，半径， 因为，所以， 又圆心到轴的距离，所以，C说法正确； 选项D：对求导得， 所以过点的切线方程为，即， 令解得点坐标为，同理可得， 所以以为直径的圆的圆心为，即，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，D说法正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为_______． 【答案】 【详解】根据二项定理展开式的通项式得 所以 ，解得，所以系数 故答案为： 【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 13. 已知，，，则的最小值为__________. 【答案】或 【详解】由，，，得. ， 当且仅当，即，由，得时不等式等号成立. 所以当时，有最小值. 故答案为：. 14. 某学校高一年级6个班各派1名学生代表参加年级组织的课室卫生检查，若每个班随机分配1位同学进行检查，则恰有2位同学检查本班课室卫生的概率是______． 【答案】/ 【详解】“恰有两位同学检查本班课室卫生”也就是“有4位同学不检查自己所在班的课室”， 记个同学不检查自己所在班课室卫生的情况总数为． 任意一人可检查的班有个，假设此人检查i班；考虑i班的学生代表的选择： 如果i班的学生代表与此人交换检查， 那么剩余人不检查自己所在班课室卫生，情况总数为； 如果i班的学生代表不与此人交换检查， 那么可以理解为人不检查自己所在班课室卫生，情况总数为， 所以 于是，所以恰有2位同学检查本班课室卫生的情况有种． 又高一年级6个班各派1名学生代表参加年级组织的课室卫生检查共有种情况 所以恰有两位同学检查本班课室卫生的概率是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. （1）求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； （2）已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 【答案】（1），相关性强 （2）分布列见解析 【小问1详解】样本的相关系数为 . 由于相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强. 故，故销售金额和月份编号成很强的正相关性. 【小问2详解】 由题意得：的可能取值为0，1，2， 20个月中有8个月的销售金额低于平均数，有12个月的销售金额不低于平均数， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 16. 已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，. （1）求，的通项公式； （2）记，求. 【答案】（1）， （2） 【小问1详解】 由时， ①，则当时，可得，将代入，解得， 当时，②，由①-②，可得，即， 因，故数列为等比数列，其首项为，公比为， 故数列的通项公式为， 设等差数列的公差为，由，解得， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由和，， 可得③， 则④， 由③-④，可得 ， 故得. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【小问1详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 设，则. 所以，又∵，∴. 【小问2详解】， 当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值. 又∵， ∴当时，取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值. 故，从而. 法一：设平面的法向量为，则且， 所以，即，令，可得. 又平面的一个法向量为， 记二面角的大小为，则有， 即二面角的余弦值为. 法二：∵平面，过作垂线交于点，连接，如图所示. 平面，平面， ∴平面，即为二面角的平面角. 在中，，根据等面积法可得， 在中，，可得边上的高为， 根据等面积法可得， 在中，.即二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. （i）求动点的轨迹； （ii）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）（ii）存在， 【解析】 【小问1详解】 由，得，故椭圆方程为：. 小问2详解】 （i）：设， 则， 两式相乘，，即， ∵在椭圆上，，即代入得， 化简得，因为点不与重合，所以. 即动点的轨迹为双曲线，不包含顶点. （ii）：因为， ∴，即，∴. 设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设，则，即. ∴，化简得. 又因为斜率存在，所以有. 所以，故在轴上存在点，使得. 19. 已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为． （1）求a的值； （2）求的最小值； （3）设，若对恒成立，求b的最大值． 【答案】（1）1 （2）0 （3）2 【小问1详解】 由得． 因为曲线在点处切线方程为， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 令，则． 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在单调递减， 又，所以存在唯一零点，使得． 所以在单调递增，在单调递减． 又，所以上恒成立， 所以在上单调递增，所以，即的最小值为0. 【小问3详解】 因为对恒成立，令，则， 由（2）知，所以，因为，所以． 假设当时，对恒成立． 由（2）知，则， 所以． 设，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即满足题意． 综上所述，整数的最大值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学上学期周测试题（一) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 27 3. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4 C. 已知随机变量服从二项分布，若，则 D. 对于样本相关系数，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 10. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知抛物线，为其焦点，过的直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以为直径的圆与直线相切 C. 若点在轴上的射影分别为，以线段为直径的圆与轴交于两点，则 D. 过点分别作抛物线的切线，两切线分别交轴于两点，则以线段为直径的圆与直线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为_________． 13. 已知，，，则的最小值为__________. 14. 某学校高一年级6个班各派1名学生代表参加年级组织的课室卫生检查，若每个班随机分配1位同学进行检查，则恰有2位同学检查本班课室卫生的概率是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. （1）求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； （2）已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 16. 已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，. （1）求，的通项公式； （2）记，求. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. （i）求动点的轨迹； （ii）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为． （1）求a的值； （2）求的最小值； （3）设，若对恒成立，求b的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $