湖北省监利市第一中学2026-2027学年上学期高三数学周测试题（八）

监利一中2027届高三数学周测八试题 2026.10.8 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 6．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 7．已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 8．设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数（，），则下列说法正确的有（    ） A．在上为单调函数 B．在有最大值 C．在恰好有8个零点 D．若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小正周期与的最小正周期相同 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象，则是偶函数 D．的单调递增区间为 11．已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程在上无解，则 B．存在关于直线对称 C．若存在关于轴对称，则 D．若存在满足，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若向量与向量的夹角为，，，则___． 13．定义在上的函数，，则不等式的解集为_______． 14．已知数列满足，且．设表示的前项和，则_______． 四、解答题（本大题共5题，写出必要的解答过程与文字说明） 15．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数；（5分） (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立， 两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的 总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝次数 银行卡次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望．（8分） 16．如图，在三棱锥中，其外接球球心为的中点，平面平面.已知.   (1)求证：平面平面.（6分） (2)求平面与平面的夹角的余弦值.（9分） 17．在中，． (1)求角；（3分） (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式；（6分） (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和．（6分） 18．已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程；（3分） (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：；（6分） （ⅱ）求面积的最大值．（8分） 19．已知函数. (1)当时，若恒成立，求实数的值；（5分） (2)当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点；（6分） (3)在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论.（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．A 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，所以， 则． 2．C 【详解】集合，而， 所以. 3．D 【详解】不等式可化为，整理得 ， 解得，即该不等式的解集为. 分式不等式等价于， 解得，即该不等式的解集为. 因为不包含于，也不包含于，所以是既不充分也不必要条件. 4．B 【详解】，则有，， ， ， ， ， 所以. 5．C 【详解】以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为， 因为，，应用长方体的对称性，计算以为三棱锥顶点的三棱锥， 所以， ， 则的取值集合为. 故选：C. 6．C 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象 如图所示：与的图像交点 为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 7．D 【详解】A：甲摸到红球的概率且有放回，乙摸球时口袋中球的情况没有变化， 所以乙摸到红球的概率，故，正确， B：甲摸到红球的概率且不放回， 乙摸到红球可以分为两种情况： 甲摸到红球的概率，乙摸到红球的概率为，则， 甲摸到白球的概率，乙摸到红球的概率，则， 所以乙摸到红球的总概率，故，正确， C：由A分析知且放回，甲摸到红球对乙摸球没有影响， 所以，故，正确， D：由B分析知且不放回，已知甲摸到红球后，袋中剩余2个球（1红1白）， 此时乙摸到红球的概率为，显然，即，错误. 8．D 【详解】由题意作出函数图象如下： 由在区间上图象可知， 在区间上为非单调函数，故A错误； 在区间上，，没有最大值，故B错误； 在区间上有5个零点，在内有1个零点， 故在恰好有6个零点，故C错误； 要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点， 则函数与的图象恰好有4个交点， 由图象得，解得，故D正确． 9．ABD 【详解】已知函数，其导函数为，则， 对于A，由于，所以是奇函数，故A正确； 对于B，由于，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于，令，则， 再令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误； 对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有， 即，化简得， 显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾， 因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题， 所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确. 10．BC 【详解】对于A，由图可知，，，则， 即，又， 则，又在附近为增函数， 则，即， 又，则，故A错误； 对于B，由A知函数的最小正周期为， 而的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，最小正周期也为，故B正确； 对于C，由题意，， 为偶函数，故C正确； 对于D，由A知，， 令，解得， 则的单调递增区间为，故D错误. 11．BCD 【详解】函数， 对于A，方程在上有解， 显然函数在上单调递增，则有，解得， 因此关于的方程在上无解，则或，A错误； 对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上， 即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数， ，即函数在上单调递增，， 而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为， 因此函数的值域为，又，于是在有解， 所以存在关于直线对称，B正确； 对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上， 即，令，， 即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确； 对于D，令，由得， 显然，且，，令，， 当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因此，即有，， 而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确. 故选：BCD 12．3 【详解】因为，所以， ， 所以，整理得， 解得或（舍去）. 13． 【详解】由得 ，即，解得， 则，函数的定义域为，由可知函数为奇函数， 对于，因函数为上的增函数且恒为正数，则可得在上单调递增，且当时， 设函数，则由，可得是偶函数. 因为当时，单调递增，单调递增且 ，则在上单调递增.又因， 则不等式等价于，可得，解得或， 故不等式的解集为. 14．13．（或） 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 15．【详解】（1）依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为 （2）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 所以的数学期望 16．【详解】（1）因为是三棱锥外接球的球心，且为中点，， 因此球半径，则， 已知，由勾股定理逆定理： ，得， 又，所以，作于H， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，结合已知条件可得各点坐标： ， 向量，， 设平面的法向量，由， 即， 令，则，所以，， 向量，， 设平面的法向量，由，即， 令，则，所以，， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因此平面与平面夹角的余弦值为.   17．【详解】（1）中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． （2）设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． （3）结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 18【详解】（1）由可得① 由点在上， 则② 联立①②得，，所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故； （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 19．【详解】（1）当时，， 当时，恒成立； 当时，恒成立；综上：. (2)①当时，， ， 显然：在上单调递增，， ， 由零点存在定理和单调性可知，存在唯一的，满足， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增； 综上：函数在上有唯一的极小值点. ②由以上分析，在上单调递减，在单调递增， 则，， 故存在唯一，满足， 即在有唯一的零点. (3)，证明如下： 由（2）可知，，， ， 令，，则， 则， 即在上单调递减，所以，即， 则， 由于在上单调递增， 又，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $