湖北黄冈市黄梅县第一中学2026-2027学年上学期高三数学周测试题(10.27)

高三数学测试题10.27 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合A={x-1≤x<5},B={x0<x≤6}，则AUB=() A.{xl0<x<5} B.{x|-1<x≤6}C.{x|-1≤x≤6}D.{x|-1≤x 2.已知复数2=++（其中i为虚数单位），则z=(） i-1 A B.、143i 2 c D.-345i 2 3.已知幂函数f(x)=xm-1+m2-m的图象与坐标轴无公共点，则m=() A.0 B.1 C.0或-1 D.0或1 4.己知a=(1,-2),b=(x,2),若a/乃，则2a+五=() A.(1,-2) B.(1,0) C.(3,-2) D.(6,-2) 5.已知a,beR,则60是a1g>2() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在等比数列{a}中，a4,a16是方程x2+30x+36=0的两个根，则a10=() A.±6 B.6 C.36 D.-6 7.函数f(x)=cos2x·(nx-2π+1)，x∈(0,2π]零点的个数为() A.4 B.5 C.3 D.2 8.已知f(x)=e-sinx+coSx,a=f(Iog23),b=f1log34),c=f(1og45),则() A.b>c>a B.c>b>a C.ab c D.a>c>b 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.如图，函数f(x)=V3tan(2x+p)(Ip|<)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E, 的面积为n,则() A.f)在(-器8)上单调递增 B.f)的对称中心是(g-日，0，kEZ C.点D的纵坐标为V3 :F D.f)2V3的解集为停≤x<后+号，kEz 10.已知函数f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R,则() A.当a=8时，f(x)在R上单调递增 B.当a≤6时，f(x)有两个极值 C若f)有三个不同零点x1,x2,x为，则x1=号 ←6} D.过点(0，m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条，则-5<m<-3 11.定义max{a,b}= ,a≥b若函数f()=-x2+4x,g0) +x≤ b,a<b" 7 、7 H(x)= x+20x>2 max{f(x),g(x)}在区间[m,n]上的值域为[2,4]，则n-m的可能取值为() A.1 B.2 C.6 D.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a=(1,2),b=(-1,3),则a在b方向上的投影向量的坐标为 13.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a6=2,则Sg=__ 14.已知aR,函数fx+1)=log2(),若关于x的方程f(学)-1og2a-3)x+3a-7刀=0的 解集中恰好只有一个元素，则实数α的取值范围为一 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) 己知数列{an的首项a1=1,且满足m=m- an+12n+1 ,nE N. (1)求数列{an}的通项公式， (2②)若++…+<吕求满足条件的最大整数n的值 ala2 a2a3 anan+l F,且△DEF 第1页，共6页 16.已知向量a=(cos(x+),),万-(cos(x-),sim2x),函数f(x)=a.万+ (1)求函数f(x)的单调增区间及对称中心： (2)将函数f(x)的图象向右平移”个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点 24 的纵坐标变为原来的V2倍，横坐标不变，得到函数g)的图象，若存在x∈[一2]使lg(x)-m≤ 2成立，求实数m的取值范围. 17.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不 同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关 系式：y1=6-at(0<a<子，a为常数)，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2与时 间t满足关系式：y2= 3-,2≤t≤4现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和 (Vt,0<t<2 口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若a=1,求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数α的取值范围， 第2页， 18.如图，△ABC中，AB=6,AC=2,点D在线段BC上，点E与点D位于直线AB的异侧且 △ABE为等边三角形 (1)若3CD=DB,LCAB=求线段AD的长度； (2)若CD=DB,求线段DE的最大值： (3)若AD为LCAB的平分线，求△ACD与△ABD内切圆半径之比的取值范围， B D 19.已知函数f(x)=x2-2x-mex,m∈R. (1)当m=2时，证明：f(x)在R上单调递减 (2)若f(x)有两个极值点x1,2,满足x1<x2且2x1-1≤x2,求m的取值范围， (3)将函数y=f(x)的图象绕原点O逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求m的取值范围. 共6页 答案和解析 1.【答案】C【解析】解：因为集合A={x|-1≤x<5},B={x|0<x≤6}， 所以AUB={x|-1≤x≤6}. 故选C 2.【答案】B【解析】解：++ √(W3)+12+i_2+i_(2+041)_1+3i i-1 i-1 i-1(i-10(+1) 2 即z=-1+31 2 故选B. 3.【答案】D【解析】解：由题意，得m2-,m三0m=0或1. (m-1≤0 4.【答案】A【解析】解：因为a=(1,-2),b=(x,2),且a//b, 所以1×2-（-2)×x=0,即2+2x=0,解得x=-1, 所以2a+b=(2-1,-4+2)=(1,-2). 5【答宋】8【解折】解：令b=1,a-1,此时满足b于0，。-号<2， atb 说明b≠0分+会>2，充分性不成立 若+会>2，假设b=0,则：+日=2，这与牛+会>2矛盾，故假设不成立， atb a atb a b≠0成立，说明2++->2今b≠0，必要性成立， a+b 所以b≠0是2+1+1>2的必要不充分条件。 atb 故选：B. 6.【答案】D【解析】解：由题意，a4、a16是方程x2+30x+36=0的两根， 根据韦达定理：a4十a16=-30,a4×a16=36, 因为a4+a16<0且a4×a16>0,故a4<0,a16<0, 又{an}是等比数列，根据等比中项性质：a4×a16=a,代入得a0=36,故a10=士6， 等比数列中a10=a4×q(q为公比)，因q5>0,故a10与a4同号。结合a4<0,得a10=-6。 7.【答案】A【解析】解：f(x)=cos2x·Inx-2m+1)的零点，即方程 cos2x·(nx-2π+1)=0， 所以cos2x=0或lnx-2π+1=0， 由cos2x=0得2x=号+kr(kE2刀， 解得x=晋+受ke2刀， 从而0,2内，x取平票琴 故cos2x=0在定义域内有4个解； 设h()=lnx-x+1,则h'(x)=，易得函数h(x)在(1，+o)单调递减， 所以h(2π)<h(1)=0, 从而n2π-2π+1<0， 又函数g(x)=nx-2π+1在(0,2π]内单调递增， 而g(2π)=ln2m-2π+1<0， 故g(x)=lnx-2π+1在(0,2π]内无解 综上，f(x)的零点个数为4， 故选A. 8.【答案】C【解析】 f(x)=ex-sinx+cosx,f (x)=ex-cosx-sinx=ex-v2sin(x+), 当x>1时，e*>e>√2，V2sin(x+)≤V2→f'(x)>0, 故函数f(x)在(1，+o)单调递增， Inx In(x+1) 方法一：构造函数()=巴(x>1),则h')= (12, Inx In(x+1) ~x>1,0<nx<n(x+1),0<点<安h'(= dh2<0, 故函数h()=+-1ogr(x+1)在(1+∞)单调递减， Inx og23 l0g34 l0g45 >1 →f(log23)>f(1og34)>f(log45)→a>b>c. 方法二：对数糖水不等式：a>b>0,m>0→logab<loga+m(b+m), 先证明糖水不等式：a>b>0,m>0→<+m,理由：。-+m=mb-。<0, a atm aa+m a(a+m) 故a6只←等弩<te1吸no+m, l8(at) 1g(a+m) 则0<1a2<lg43<1gs4<1→>0>>1 1 →1og23>1og34>1og45>1 →f1og23)>f1og34)>f(log45)→a>b>c. > 7>=1→1og23>1g4, 方法国=8·图>g3→的 器是苦龄器-1-1hs85 2 1og34=g4.g4、lg24 则1og23>1og34>log45>1 →flog23)>f(1og34)>f(1og45)→a>b>c. 第3页，共6页 9.【答案】ACD【解析】解：最小正周期 T=?→EF=→SAED=}EPyD=→yD=V3,故选项C正确； 由yp=V3tanp=V3,lpl<→p=4→f()=V3tan(2x+F),令u=2x+年y=v3tanu, 当x∈(-g君)时，u=2x+单调递增且u∈(-)，此时y=√3tamu单调递增， 则f()=V3tan(2x+孕)在(-g,君)上单调递增，故选项A正确， 2x+:=号→x=誓-言k乙，所以函数)的对称中心为（号-后，0），kCZ,故选项B错误 f网-V3am(2x+≥V5,tam(2x+年21-是+k≤2x+星<+a →号≤x<受+后kE么，故选项D正确 故选：ACD. 10.【答案】ACD【解析】解：当a=8时，f′(x)=6x2+12x+8, 由4=122-4×6×8=-48<0，得f(x)>0恒成立，则函数f(x)在R上单调递增，故选项A正 确； f(x)=6x2+12x+a→△=122-4×6×a>0→a<6→f(x)有2个极值， 但a=6时，△=0→f'(x)≥0恒成立，此时函数函数f(x)在R上单调递增，无极值，故选项B错 误 设函数f(x)=2(x-x1)·(x-x2)·(x-x3) =2x3-2(x1+x2+x3)x2+2(x1x2+x23+x1x3)x-2x1x2X3 →-2x1x2=-3→x1x2x3=，故选项C正确： 设切点(x0,f(xo),f(x)=6x2+12x+a, 则切线方程为：y-(2x3+6x+ax0-3)=(6x行+12x+a)·(x-xo),代入点(0，m)得： m=-4x-6x-3台y=m与h(x)=-4x8-6x6-3图象有3个不同的交点， h(x)=-12x6-12x0≥0→-1≤x0≤0，h(x)=-12x6-12x0<0→x0<-1或x0>0, 函数h(x)在(-∞，-1)，(0，+o)单调递减，[-1,0]上单调递增，且h(-1)=-5,h(0)=-3, -5<m<-3,故选项D正确 故选：ACD. 第4页 11.【答案】BD【解析】解：f(x)=-x2+4x是开口向下的抛物线，顶点为(2,4)， （x=2 y=3y二 y=-x2+4x X三 2,7 2 y=5x+20 7 y一4 依题意：观察函数f(x)与函数g(x)的图象，谁的图象在上方就是H(x)的图象包含边界，如图所示： -10 12 因为H(x)=max{f(x),g(x)}在区间[m,n]上的值域为[2,4]， 由-x2+4x=2→x=2+V2 当n=2+V2时，m∈[-1,2]→n-me[V2,3+V②]符合题意； 由2=号x+品→x=品4=x+0→x=日 当m=是n=碧→n-m=5时符合题意： 8 而1E[√2,3+√②]，6E[N2,3+√②]，2∈[2,3+V2],故选项BD正确. 12.【答案】()【解析】解：a在方向上的投影向量为 萨-( a.6万1×(-1)+2×3 故答案为：（引 13.【答案】9【解析】解：由等差数列的性质可得，a4+a6=a1+ag=2, 则Sg=9a1ta91=9. 2 故答案为：9. 14.【答案】(1,2]U号，3} 【解析】解：f(x+1)=1og2(x+), x+1 令x+1=t, 共6页 则f=log,(+o,即f)=log2, 由f(③)=log22=-logzI(a-3)x+3a-7刀 得x+2=(a-3)x+3a-7且满足x+2>0→(a-3)x2+(2a-7)x-2=0, 当a=3时，x=-2,此时3x(2+2=2>0,符合题意， -2 当a≠3时，可得(x+2)[(a-3)x-1)=0→x=-2或x=。3 若=-23Q=5此时22-号>0，符合题高： a-3 21 -2 2 fax-2)+>0 1ax(-2)+2≤0 -2 -2 1 1 axa-3+2 或 ≤0 axat2、n→1<a≤2， ->0 a-3 a-3 综上，ae(1,2]U{号，3. 故答案为：(1,2]U{号33. 15.【答案】解：(1)依题意：=2+ 2n-11 当n≥2时，a,=a号号…2=1××××=2n-5 an-1 3 2n-3 当n=1时，a1=1符合， 故an=2m-1; (2)1 1 aran+i(2n-D)-(2n+D ++…+,好+甘++点)-好)<品<9， araz'aza3 故满足条件的最大整数n的值为8. 16【答案】解：(0a)-osc+)-cos(x3)+sin2x+月-竖sin(2x+导+1， 2kπ-≤2x+≤2kπ+→kπ-g≤x≤km+8 8 故函数f()的单调增区间为[km-g,km+],kEZ 2x+景=km→x=经-尽 故函数f()的对称中心为（号-后，1），k乙 (2)依题意：g)=sin(2x+g),xe[-02]→2x+e[0,]→sin(2x+8)e[0,1, g(x)max =1,g(x)min =0, lg()-m≤2→m-2≤g()≤m+2台m+2≥gemm=0 lm-2≤g(x)mx=1' 则m∈[-2,3]. 故实数的取值范围为[-2,3]. 17.【答案】解：(1)a=1时，y1=6-t, 则小白鼠血液中药物的浓度H(t)=y1+y2= 6-t+Vt,0<t<2 l9-t-t2≤t≤4' 当0<t<2时，Hd=-(W元-2+5VE=京即t=时，H)mx=, 当2≤t≤4时，H()=9-(t+)≤9-2t·1=5t=1即t=2时，H(0mx=5: 由于空>5，故小白鼠在时，浓度最高，达到票 6-at+Vt,0<t<2 (2)H()= 9-at2sts4e(0,4,H00≥4， 4 当0<t<2时，6-at+V元≥49a≤(2+方)mm, y=:+在te(0,2)时单调递减，ym>1+竖→a≤1+号， 2 当2≤t≤4时，9-at-是≥4→a≤(-含)mn: y=-=-4-8)2+器哈. 可得=子即t=4时，ymin=19a≤1； 又0<a< .a∈(0,1]. 18.【答案】解：(1)：3CD=DE,∠CAB- AD-AC+CD=AC+CB-AC+(AB-AC)=AB+AC, (2)△ABE为等边三角形→AE=6,∠EAB=号 CD=DB→D是线段BC中点→AD=号(AB+AC),不妨设LCAB=0, IDEI-ME-ADI-ME-ZA8-ZACI 第5页，共6页 ABAAGAE-AB-AE AC 7AC.AB =V28+6v3sin0, 当0=时，DElmax=3V3+1; (3)由角平分线定理知：A1=O1=3,不妨设1CD1=X,BD1=3x,要构成△ACB,则： lACI DCI (4x+2>6 4x+6>2→x∈(1,2)， (6+2>4x 不妨设△ACD与△ABD内切圆半径分别为r、R, =SAACD= (x+2+lADI)r 1=3x+6+A01=1-,2ADl → |BDl3S△ABD 3x+6+|ADD)RR-3x+6+31AD1 3x+6+3到AD1 AD12+x2-22IAD12+9x2-62 COS∠ADC=-COSLADB→ 2.AD|·x 2·AD·3x →|AD1=√12-3x2 r 2V12-3x2 2 9R=1- 6+3x+3W12-3z=1 V3. 4 -1+2- -+3 →e(,1), 19.【答案】解：(1)证明：若m=2,则f(x)=x2-2x-2ex,→f′(x)=2x-2-2e 令H(x)=2x-2-2ex,H'(x)=2-2e,H'(x)≥0→x≤0，H'(x)<0→x>0, 故H(x)在(-oo,0]单调递增，在(0，+∞)单调递减，→H(x)≤H(0)=-4<0, 即f'(x)<0在R上恒成立，·.f(x)在R上单调递减 (2)f′(x)=2x-2-mex,令h(x)=2x-2-mex,h′(x)=2-mex ①若m≤0，则h'(x)>0在R上恒成立，→h(x)在R上单调递增， →f(x)在R上最多一个极值点，不符合题意 ②若m>0,h'()≥0→x≤n品h'()<0→x>1n品 故h()在(-∞，ln品]单调递增，在(n品，+∞)单调递减， 且x→-0，h()→-0，x→+0，h()→-0，台h0n3)=2n2-4>0→0<m<3 且h(1)=-me<0,h(2)=2-me2>0, 依题意：1<x1<2<n2<x2且2x1-1≤x2, h(x1）=2x1-2-me1=-0→X1=me+,m=212, 2 e'1 X1>1·2x1-1>X1, h(2x1-1)≥0 ·.x1<2x1-1≤X2台 (x1>1 34x14-me2x112034×e,-4-me2031<x1≤lh2+1, 2 (x1>1 (x1>1 m'=22斗，：n2+1<2,m'>0恒成立，故m=2在(1,2+1]单调递增， ex1 今0<m≤2， e 构造函数：y=货y=0≥030<x≤e,y'=1<0→x>e, 故y=在(0，e]单调递增，在(e,+m)单调递减， g>2>2→3> e 综合：m∈(0，： (3)在函数y=f(x)图象上任取一点(x,y),饶原点逆时针 旋转0角得到点(x',y'),其中=xcos0-ysin0 ly'=xsin @ycos e 若6=则 '-号(x-)=号cx-x2+2x+me)=号(-2+3x+me) 2 -竖c+y-号(x+2-2x-me)=竖(2-x-me)） 要使旋转后，得到的曲线仍是函数图象，即对定义域内任意一个x'的值，都有唯一的y'与之对应 台M()=号(-2+3x+m)是单调函数，否则可能出现一个x', 至少两个y'与之对应，与函数定义不符合 →M'(g=号(-2x+3+me),x→-o,M'()→+o,故函数M(x)只能单调递增， 台M'(G)≥0在R上恒成立台m≥(2)mx 令N0=0,N')=52≥0→x≤号N)=2<0→x> 5 故Ny在（一）单调迷推，（原四）单调减M-)一是m产是 第6页，共6页