湖北省监利市第一中学2026-2027学年上学期高三数学周测试题（五）

1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对数真数大于，得，即，解得或，所以，故. 由，其中，所以. 所以. 2．已知函数且，则（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则，求得，结合极限的运算法则，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 又由， 即，解得. 3．已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若,则，所以， 取，此时，但， 综上 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 4．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 5．已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 6．若函数有三个不同的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将待求问题转化为直线与函数的图象有3个不同交点的问题，通过分离常数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】. 若有三个不同的极值点，则有3个不等实根，且导数在根两侧变号， 即方程有3个不等实根，也即有3个不等实根. 当时，左边，右边，故不是的根， 则可化为，故有3个不等实根可化为直线与函数的图象有3个不同交点. 对求导得，. 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增， 当时，；当时，；所以. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，此时. 作出的图象如下： 若使直线与函数的图象有3个不同交点，则. 故实数的取值范围是. 7．已知三个数，，，，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间值法可得到a，b的大小，再构造函数可得到b，c的大小.. 【详解】先比较b和a，由得：； 由，两边取自然对数得，即，故； 再比较b和c，因为，两边取自然对数可得： ， 因为，利用换底公式可得：； ， 将两式联立，得到与的关系： ， 因为， 要比较和的大小，等价于比较与的大小， 将代入：， 这就转化为比较与的大小， 令(其中)， 求导：， 当时，，所以函数在上单调递减， 因为，所以， 即：， 所以， 两边再同除以（正数），得到： 即； 综上： 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则（  ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据为偶函数，可得，两边求导后可得，令，得，令，得；由，可得的周期为6，进而得，从而可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 两边同时求导得，即， 所以，即， 令，得， 令，得，又因为，所以， 由，所以， 所以的周期为6，则， 而，所以， 所以. 9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为2 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】A.由奇函数性质得，化简后不等于选项值；B.分段求零点，正半轴一个，原点一个，负半轴对称一个，共三个；C.求导得正半轴一个极值点，由奇函数对称性得负半轴对应一个，共两个；D.结合图象，方程有三个根需的取值范围为，题给区间遗漏部分范围. 【详解】由题，为奇函数，且时. A选项：，故A错误； B选项：当，令得； 由奇函数的性质，时零点为，且，共3个零点，B正确； C选项：时，，在上，单调递减， 在上，单调递增，故为极小值点；由奇函数对称性，为极大值点， 且处导数不为，不是极值点，因此极值点共2个，C正确； D选项：在坐标平面内作出函数的图象，如图. 观察图象得当且仅当的取值范围为时，函数的图象与直线有3个交点，因此D错误. 10．已知函数的定义域为，值域为.且满足；当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用赋值法判断A，利用单调性的定义证明B，可得，再由基本不等式判断C，推导出，即可判断D. 【详解】对于A：因为，令可得， 解得或，又的值域为，所以，故A正确； 对于B：设任意的且，令， 所以， 因为，，则，所以， 即，即，所以在上单调递增，故B正确； 对于C：因为且，令，则， 又，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：因为且，， 所以，则（舍去）， 所以， 则，故D正确. 故选：ABD 11．已知函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于原点对称 C．对任意的，的最大值与最小值之和为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】利用指数幂的运算性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；推导出函数的图象关于点对称，结合对称性可判断C选项；分析函数的单调性与对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性解之即可，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为， ， 所以，A错； 对于B选项，对任意的，， 故函数的定义域为， ， 即，故函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，B对； 对于C选项，对任意的， ， 所以函数的图象关于点对称， 故函数图象的最高点和最低点关于点对称， 所以，C对； 对于D选项，易知函数的定义域为， 函数在上为减函数， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为减函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上也为减函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上为减函数， 由可得， 所以，解得， 故不等式的解集为，D对. 12．已知的导函数为，且，则________． 【答案】3 【分析】对原函数求导后，将代入导函数，得到关于常数的方程并求解即可. 【详解】由题意得， 则，解得. 13．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 14．已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 【答案】 【分析】令，则，由题意可得必有不同两个根，且，转化为二次函数的两根分布在和内，列出不等式组求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 令，则有， 由图象可知可使有5个解， 则有必有不同两个根， 不妨设，则， 即二次函数的两根分布在和内， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 15．已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式可求的通项公式； （2）裂项相消法可求数列的前项和. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 16．记的内角，，的对边分别为，，.已知，. (1)求； (2)若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理处理已知条件，结合得到，再由内角和公式和两角和余弦公式求出，根据商的关系求结论； （2）方法一：设的外接圆半径为，由条件结合三角形面积公式可得，由三角形面积公式结合正弦定理可得，再由正弦定理求，根据余弦定理求结论； 方法二：由条件结合三角形面积公式可得，由正弦定理可得，结合可求，根据余弦定理求结论； 方法三：由条件结合三角形面积公式可得，由正弦定理和三角形面积公式结合，求，再由余弦定理求结论. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得. 因为，故， 又， 所以， 所以， 所以. （2）解法一：由（1）知，，且. 设的外接圆半径为，因为的面积为， 所以， 所以， 解得， 所以. 由余弦定理， 得，所以， 所以， 解得. 解法二：因为的面积为，且， 所以，所以，解得. 由正弦定理得，所以， 又，所以，所以， 所以. 由余弦定理， 得，所以， 所以， 解得. 解法三：因为的面积为，且， 所以，所以，解得， 又因为 ， 所以，所以. 由余弦定理 得，所以， 所以， 解得. 17．如图，三棱锥中，，是的中点，平面平面，． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为，是的中点， 所以,又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算即可. 【详解】（1）略 （2）如图，分别以所在直线为轴，以过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以, 设平面的法向量， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为．证明：为定值； (3)设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)设，则．设，其中． 依题意：，， ， 由椭圆方程知：，， 代入得， ，为定值． (3) 【分析】（1）根据已知条件列出方程，解出的值即可求得的标准方程； （2）设出点的坐标，根据斜率的定义代入计算即可得到为定值； （3）设直线，根据到的距离为可得，再将其代入面积的表达式，换元变形后利用基本不等式即可求得最大值． 【详解】（1）由离心率，得， 又，所以， 椭圆过点，代入椭圆方程得， 将代入得，从而． 故椭圆的标准方程为． （2）略 （3）设直线，与椭圆：联立，得， 即， 判别式， 原点到直线的距离， 将代入得恒成立， 设，， 则弦长， 的面积， 令，则， 令，变形得， 当时，由基本不等式：，当且仅当，即时等号成立， 此时，故， 综上可得，面积的最大值为． 19．设函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 所以的取值范围为. ②②不妨令，因为， 由①知，，即，而， 要证 只需证明， 即证， 令，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 即， 因此， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 监利一中2027届高三数学周测（五） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知函数且，则（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式对任意恒成立，则的最小值是（     ） A． B． C．8 D．10 5．已知直线与曲线和均相切，则（     ） A． B． C． D． 6．若函数有三个不同的极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知三个数，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为2 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 10．已知函数的定义域为，值域为.且满足；当时，，则下列说法正确的是（     ） A． B．在上单调递增 C． D．若，则 11．已知函数，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．的图象关于原点对称 C．对任意的，的最大值与最小值之和为 D．的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知的导函数为，且，则________ ． 13．已知 ，且 ，则的最小值为____________． 14．已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5题，写出必要的解答过程与文字说明） 15．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式；(6分) (2)求数列的前项和．（7分） 16．（本小题满分15分）记的内角，，的对边分别为，，.已知，. (1)求；（7分） (2)若的面积为，求.（8分） 17．（本小题满分15分）如图，三棱锥中，，是的中点，平面平面，． (1)证明：平面平面；（6分） (2)若，求直线与平面所成角的正弦值．（9分） 18．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程；（3分） (2)设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为．证明：为定值；（6分） (3)设不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．（8分） 19．（本小题满分17分）设函数（）． (1)讨论的单调性；（4分） (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围；（6分） ②证明：．（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $