湖北省监利市第一中学2026-2027学年高三上学期数学周测试题（四）

监利一中2027届高三数学周测四试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】对于选项A，由得，即，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B，取，则，所以不是的必要条件，故B错误； 对于选项C，等价于，所以是的充要条件，故C错误； 对于选项D，等价于，所以是的充要条件，故D错误. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为，所以的虚部为1. 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为，所以，两式联立可得 ，故选：D. 4. 将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【详解】由题有，则，得，结合，得. 5. 若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】的定义域为，，因为函数为其定义域上的增函数，所以，即在上恒成立，因为，，当且仅当时取等号，所以，即. 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由题， 令，解得，因为是极小值点， 所以当时，是极小值点，是极大值点成立， 当时，是极大值点，是极小值点，舍去， 所以，对于A，， 所以，故A不正确；对于B，令，则， 所以，故B不正确；对于C，令，， 所以，故C不正确； 对于D，， ， 所以，故D正确. 7. 在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若 ，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点，所以，， 则，因为点在线段上，设，则， 若，则，，所以，当时，有最大值为. 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ） A. 675 B. 1275 C. 1276 D. 676 【答案】B 【详解】，，， 以上三个等式相加得：，又，， ，，，，， 以上等式相加，得，又，. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. 的最大值为15 D. 的最小值为 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，又， 所以，即的最大值为15，故C正确； 因为，又， 所以，即的最小值为，故D错误.故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变 （附： ， ，） 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据条件概率和相互独立事件的概率公式，可判定B正确；根据回归直线方程的性质，可判定C错误；根据决定系数的公式，根据数据的变换前后分别相等，可判定D正确. 【详解】A，把数据从小到大排序，可得，共8个数据， 其中，所以数据的上四分位数为，所以A错误； B，因为，且，所以， 由条件概率的公式，可得， 所以，所以相互独立，所以B正确； C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，所以C错误， D，由，将变成，则新均值为，新回归方程为，因此新预测值，从而残差和总偏差与变换前分别相等，所以决定系数，所以D正确. 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期，已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误；C选项：由得， 由，，得，即，所以是奇函数，因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为，又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为，所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________． 【答案】1 【详解】解：∵ ，，， ∴ 或 ①当且时，； ②当且时， . 故答案为：1. 13. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_________．（用数字作答） 【答案】 【详解】由于的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故， 所以的展开式通项为，, 令，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：. 14. 在中，若，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】在中，，则， 通分化简可得， 由正弦和角公式可得，所以， 由正弦定理代入可得，即，又由余弦定理， 代入可得，所以，当且仅当时取等号，则，所以，即，所以，则的最大值为. 四、解答题（本大题共5题，写出必要的解答过程与文字说明） 15. 已知数列的前项积为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 当时，，由于，解得， 当时，由于，所以，化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，则，当时，，所以， 此时，则， 当时，，且， 此时， 综上， 16. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，证明：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：因为为正方形，所以，又因为平面，面，所以平面，又因为平面平面，平面，所以. （2） （2）设的边上的高为，则， 当三棱锥的体积最大时，，即B为的中点. 法1：因为B为的中点，所以，因为面，，面，所以，以，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示坐标系 因为，，，面，，所以面，所以面的法向量，设面的法向量，，，，，所以，令，则，，所以，设二面角的平面角为，， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 法2：连接，作，连接 因为，，，面，， 所以面. 又因为面，所以. 又因为，，面，， 所以面.因为面，所以. 因为，面，面，所以为二面角的平面角. 在中，，，， 所以，所以，所以二面角的余弦值为 17. 已知函数和，定义集合. （1）设，求； （2）设，当时，求的取值范围； （3）设，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】 已知，由即， 解得 ，则； 【小问2详解】 已知，由题意得，对任意恒成立， ，即恒成立， 当时，恒成立；当时，由 解得；综上，当时，的取值范围为； 【小问3详解】 已知，由得，不等式组有解，由， 又， 当，即时，对任意恒成立，则满足；当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有；当，即时，或，要使，则或， 解得，则有；综上所述，的取值范围是 18. 已知函数，． （1）若，求的极值点； （2）若，都有，求的取值范围； （3）证明：，有． 【答案】（1）有极小值点，无极大值点． （2） 【解析】 【分析】（1）代入求导并通分，解导数零点，根据定义域舍去负根，再由导数正负划分单调区间，判定极小值点； （2）化简导数分子为二次函数，以分界分类：时导数恒非负，函数在递增，；时处导数为负，存在正区间函数递减致，舍去，得； （3）借用（2）结论，令作放缩证明，对到累加，左边对数合并化简为，右边即为待证求和式，得证． 【小问1详解】 当时，，，， 令，则，，解得，（舍去）， 时，，单调递减；时，，单调递增，所以有极小值点，无极大值点． 【小问2详解】 ，， 由基本不等式知，当时，，， 则函数在上单调递增，所以，符合题意； 当时，，，记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数．又， 所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，，不符合题意， 综上． 【小问3详解】 （3）由（2）知，令，则， 所以， 即， 所以． 19. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使，证明：直线PB恒过定点； （3）设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，设直线QM、QN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】（1）【小问1详解】 由题意可知：，又，故，解得：，故椭圆C的方程为：； （2）证明如下：当时，设直线AB的方程为：， 且交椭圆C分别为点、，则， 联立，有，， 故，，故， 由图形的对称性知，直线恒过的定点在x轴上， 设定点为， 则有，即， 故， 即直线BP恒过定点；当时，直线BP方程为：，此时直线BP亦过定点； 综上，直线BP恒过定点； （3）证明如下：设，设切线为：， 联立，有， 由， 得， 即，即， 故，又Q在椭圆E上，即①， 将①代入得， 故为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 监利一中2027届高三数学周测四试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若 ，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ） A. 675 B. 1275 C. 1276 D. 676 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. 的最大值为15 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变 （附： ， ，） 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________． 13. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_________．（用数字作答） 14. 在中，若，则的最大值为_____. 四、解答题（本大题共5题，写出必要的解答过程与文字说明） 15. （本小题满分13分）已知数列的前项积为，且满足． （1）求数列的通项公式；（6分） （2）设，求数列的前项和．（7分） 16. （本小题满分15分）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，证明：；（7分） （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． （8分） 17.（本小题满分15分） 已知函数和，定义集合. （1）设，当时，求的取值范围；（6分） （2）设，若，求的取值范围.（9分） 18. （本小题满分17分）已知函数，． （1）若，求的极值点；（3分） （2）若，都有，求的取值范围；（6分） （3）证明：，有．（8分） 19. （本小题满分17分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为. （1）求椭圆C的方程；（3分） （2）过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使，证明：直线PB恒过定点；（7分） （3）设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，设直线QM、QN的斜率分别为、，证明：为定值.（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $