期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题复习讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册讲义 期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题复习讲义 考点目录 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 竖直上抛运动的规律及应用 一、运动本质与成立条件 · 定义：将物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下的运动。 · 成立条件：初速度竖直向上；空气阻力远小于重力，可忽略不计。 · 运动性质：初速度竖直向上、加速度恒为（竖直向下）的匀变速直线运动；全程分为两个阶段：上升阶段做匀减速运动至最高点速度为0，下落阶段从最高点开始做自由落体运动。 二、两种处理方法 方法1：分段法（过程清晰，适合基础分析） · 上升阶段：初速度为、加速度的匀减速直线运动，最高点处瞬时速度为0； · 下落阶段：从最高点开始的自由落体运动，初速度为0，加速度为。 · 优势：阶段划分明确，符号不易出错，适合分析单一过程的物理量。 方法2：整体法（通用高效，适合综合计算） 取竖直向上为正方向，加速度，全程统一套用匀变速直线运动公式，位移、速度均带符号： · 正值：速度方向向上，或位置在抛出点上方； · 负值：速度方向向下，或位置在抛出点下方。 · 优势：无需拆分阶段，直接列方程求解，适合多过程、多解类问题。 三、 核心运动规律（整体法） 设初速度为，以抛出点为坐标原点，竖直向上为正方向： 1. 速度公式： 1. 位移公式： 1. 速度-位移关系： 四、三大核心特性 （1）对称性 上升与下落经过同一段路径时，物理量呈对称关系： · 时间对称：上升与下落经过同一段高度的时间相等；从抛出到落回原位置的总时间为上升时间的2倍： · 速度对称：经过同一高度时，上升与下落的速度大小相等、方向相反；落回抛出点时速度大小等于初速度，方向竖直向下。 （2）多解性 当物体位于抛出点上方某一高度（）时，对应两个运动时刻： · 较小时间：上升过程经过该位置； · 较大时间：下落过程经过该位置。 当时只有1个解（最高点），时无解。 （3）可逆性 上升阶段的匀减速运动，可逆向看成初速度为0的自由落体运动，常用于快速求解上升阶段的时间、位移。 五、最大高度结论 物体能到达的最大高度（距抛出点）： 例1．（26-27高一上·四川广元·阶段检测）如图所示，小球从地面上方距地面的高度处静止释放，落地后反弹上升的最大高度，不计空气阻力。重力加速度g取， (1)求小球第一次落地瞬间速度大小； (2)求小球落地反弹后离开地面的速度与落地瞬间速度大小的比值 【答案】(1) (2)3：4 【详解】（1）根据 可得小球第一次落地瞬间的速度大小为 （2）同理可得，小球反弹后的速度大小为 可知小球落地反弹后离开地面的速度与落地瞬间速度大小的比值为 例2．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）赤水丹霞是世界自然遗产，峡谷红岩地貌蔚为壮观，当地设有热气球观光项目。某搭载游客的热气球以的速度匀速竖直上升，当上升至距离地面高度时，吊篮内游客手中的钥匙串不慎从吊篮边缘滑落。不计空气阻力，将钥匙串视为质点，重力加速度。从钥匙串掉落开始计时，求： (1)经过时钥匙串的速度大小。 (2)经过时钥匙串距离地面的高度。 【答案】(1) 6m/s (2) 16m 【详解】（1）钥匙串从吊篮边缘滑落后做竖直上抛运动，规定竖直向上为正方向，由运动学公式 可得 则经过时钥匙串的速度大小为6m/s，方向竖直向下。 （2）由运动学公式 可得4s时钥匙串运动的位移为 则经过时钥匙串距离地面的高度为 例3．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）气球下端用绳子悬挂一重物，两者一起以的速度匀速上升，当重物到达离地高处时，悬挂重物的绳子突然断裂，不计空气阻力，。求： (1)重物上升所能达到的最大离地高度； (2)重物落地前的瞬间速度的大小； (3)自绳子断裂至重物落到地面的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）绳子断裂后重物做竖直上抛运动，速度减为0时到达最高点。由竖直上抛运动的规律有 解得绳子断裂后重物继续上升的高度为 因此重物的最大离地高度为 （2）从最高点到落地，重物做自由落体运动，则有 解得 因此重物落地前瞬间的速度大小为。 （3）由竖直上抛运动的规律有 以向上为正方向，则从断裂点到落地，重物的位移方向向下，即位移为 代入上式得 解得自绳子断裂至重物落到地面的时间为 例4．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）如图所示，初态竖直直杆AB长，下端B距地，杆正下方地面上的C处有一带水平抽拉洞盖的深洞，洞盖初态闭合，闭合时洞盖与地面平齐，当杆下端B到达洞口时洞盖自动水平抽开，当杆A端进入洞口时洞盖自动闭合。洞的截面积略大于杆的截面积。C点左侧有一以10m/s向右匀速行驶的长的小车。当小车右端距离C为时，给杆5m/s的竖直向上初速度，竖直上抛。为避免小车和杆相撞，小车立即做匀变速直线运动，忽略小车的高度，重力加速度g取。求 (1)杆的B、A端分别经多长时间到达洞口 (2)小车加速度的取值范围。 【答案】(1) (2)（向右加速），（向右减速，加速度向左） 【详解】（1）初态B端距洞口（地面C点）的位移为，根据匀变速运动的位移时间关系 代入数据解得 ，（舍去） 初态A端距洞口的位移为，根据匀变速运动的位移时间关系 代入数据解得，（舍去） （2）情况1：小车向右加速提前完全通过洞口，临界条件要求时小车左端到达C点，小车的位移至少为，根据匀变速运动的位移时间关系满足 代入数据解得 情况2：小车向右减速，在内右端未到达C点，速度减为零时位移最大，根据运动学公式 解得 故小车加速度取值范围为（向右加速），或（向右减速，加速度向左）。 变式1．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）如图所示，无人机下方悬挂一重物，两者同时由静止从地面以加速度匀加速上升，达到速度后匀速上升了，悬挂重物的绳子突然断裂，无人机继续以速度匀速上升。忽略空气阻力，不计悬挂重物的绳长，重力加速度g取。求： (1)绳子断裂时重物离地的高度h； (2)重物落地时与无人机之间的距离H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由匀变速直线运动速度与位移的关系得 解得速度达到时重物离地的高度 绳子断裂时重物离地的高度 （2）取向上为正方向，绳子断裂后，重物以初速度做竖直上抛运动，最终落到地面。 由匀变速直线运动位移与时间的关系得 解得正根 此过程中无人机以匀速上升，位移为 重物落地时两者的距离 变式2．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某自制水火箭从地面由静止发射，竖直向上运动。向下喷水时，火箭向上做加速度大小为的匀加速直线运动，时喷水结束，一段时间后火箭落回到地面。忽略空气阻力，取，求水火箭： (1)离开地面的最大高度； (2)从发射到落地的时间。 【答案】(1)60 m (2) 【详解】（1）火箭在4s内上升的高度 此时火箭的速度 喷水结束后做竖直上抛运动，继续上升的高度为 则上升的总高度为 （2）喷水结束后继续上升的时间 从最高点下落到地面的过程根据 可得 总时间 变式3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4s到达离地面80m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取，求： (1)燃料恰好用完时火箭的速度大小v； (2)火箭上升离地面的最大高度H； (3)火箭从发射到返回发射点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据匀变速直线运动的规律有 代入数据解得燃料恰好用完时火箭的速度大小为 （2）燃料用完后火箭做竖直上抛运动，则根据竖直上抛运动的规律可知，燃料用完后火箭上升的最大高度为 所以火箭上升离地面的最大高度为 （3）设从燃料用完后到火箭返回发射点的时间为，根据竖直上抛运动的规律有 代入数据解得 所以火箭从发射到返回发射点的时间为 考点二 自由落体和竖直上抛相遇类问题 一、核心本质 两个物体分别做自由落体、竖直上抛运动，相遇的充要条件是：同一时刻，两物体到达同一空间位置（坐标相同）。核心解法是分别建立位移-时间方程，联立求解。 二、通用解题步骤 1. 建系定正：通常取竖直向上为正方向，以地面/抛出点为坐标原点； 1. 列位移方程：分别写出两个物体的位置随时间变化的表达式，注意初始位置、初速度的正负与大小； 1. 联立求时间：令两物体位置相等，列方程求解相遇时间； 1. 验证合理性：舍去时间为负、相遇时物体已落地等无效解； 1. 求对应物理量：代入有效时间，计算相遇高度、相遇速度等结果。 三、经典场景分类 场景1：异地同时型（最高频考法） · 模型：物体A从地面以初速度竖直上抛，同时物体B从高度处由静止自由下落，求二者相遇的时间与位置。 · 方程建立：以地面为原点，向上为正方向 · A的位置： · B的位置： · 相遇求解：令，两式中重力加速度项相互抵消，得： 本质：两物体加速度均为，相对加速度为0，相对运动为匀速直线运动，因此相遇时间仅由初始高度差和初速度决定，与无关。 · 相遇高度：代入时间得 。 · 阶段判断： · 若：相遇时A仍在上升阶段； · 若：相遇时A刚好到达最高点； · 若：相遇时A处于下落阶段。 场景2：同地不同时型 · 模型：物体A从地面以竖直上抛，经过后，从同一位置由静止释放物体B（自由落体），求二者相遇的时间。 · 方程建立：设B的下落时间为，则A的总运动时间为，以抛出点为原点： · A的位置： · B的位置： · 令即可求解；这类相遇一定发生在抛出点下方，且A处于下落阶段。 场景3：临界相遇型 常考查两类临界条件： 1. 最高点相遇：相遇点为竖直上抛的最高点，对应相遇时间等于上升时间，相遇高度等于最大高度； 1. 落地相遇：两物体同时落地，对应总运动时间相等，可反推初始高度、初速度的关系。 例1．（26-27高一上·河南洛阳·阶段检测）如图所示，一空心、上下无底的弹性圆筒，下端距离水平地面的高度为H，圆筒的轴线竖直。圆筒轴线上与圆筒顶端等高处有一可视为质点的弹性小球，小球与圆筒同时由静止开始自由下落。圆筒与地面碰撞时间极短，可看作瞬间反弹，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，运动过程中圆筒轴线始终保持竖直。已知圆筒底部第3次落地时，小球恰好第1次落地，小球与圆筒无接触，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)圆筒第一次落地时的速度大小； (2)圆筒的长度L； (3)圆筒第二次落地瞬间，小球与圆筒顶端之间的高度差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 圆筒自由下落，有 解得 （2）圆筒从释放到第一次落地的过程中，有 圆筒从第一次反弹到第二次落地的过程中，有 圆筒从第二次反弹到第三次落地的过程中，有 圆筒从静止释放到第3次落地所用的时间为 小球下落的位移为 圆筒长度为 解得 （3）圆筒由静止释放到第二次落地的过程中小球的位移为 圆筒第二次落地瞬间，小球与圆筒顶端之间的高度差为 解得 例2．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度，同时让甲球自由下落，不计空气阻力（甲乙两球可看作质点）， 。求： (1)h为何值时，甲乙两球可以同时落地； (2)为确保乙球能在下降过程中与甲球相遇，h应满足什么条件？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对乙球，设抛出后经落地，则有 解得 易知甲离地高 （2）乙球上升到最大高度用时为 乙球上升的最大高度为 时间内甲自由下落的高度为 两球在乙球升至最高点时相遇，h应满足的条件为 综上所述，为确保乙球在下降过程中与甲球相遇，h应满足的条件为 例3．（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图所示，水平地面上一辆平板车以的速度向前匀速行驶，时刻，在平板车前端M的正前方距离处有一个小球从地面出发以的初速度竖直向上抛出。已知平板车高度为，平板的厚度不计，车身长度，重力加速度。 (1)求小球运动过程中距离平板车上表面的最大高度； (2)求小球落在平板车上的位置到平板车后端N的距离； (3)若在时刻，平板车改为以初速度向前，加速度大小为a做匀变速直线运动，题干中其余条件不变。为使平板车前端M碰到小球，求满足条件的加速度大小a。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小球做竖直上抛运动，根据速度-位移公式得 解得小球运动过程中距离地面的高度 小球运动过程中距离平板车上表面的最大高度 （2）小球做竖直上抛运动，根据速度-时间公式得 解得小球上升的时间 根据位移-时间公式得 解得小球下降到平板车上表面的时间 小球从开始上升到下降到平板车上表面的过程，平板车前进的距离 所以，小球落在平板车上的位置到平板车后端N的距离 （3）平板车前端M碰到小球，可得在小球运动的过程中，平板车前进的位移为。 若在小球下降过程中相遇，由位移时间公式得 解得 小球上升到平板车上表面高度的过程，根据位移-时间公式得 解得小球上升到平板车上表面高度的时间或(舍) 若在小球上升过程中相遇，由位移时间公式得 解得 所以，满足条件的加速度大小为或 变式1．（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）如图，同一竖直线上的小球A和小球B静止在地面上方，球B距离地面的高度h=1.25m，球A在球B的正上方，同时释放两小球。球B每次与地面碰后均以原速率反弹，重力加速度大小为g=10m/s2，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间，求： (1)球B第一次落地时的速度大小； (2)若球B在第一次碰地后上升到最高点时刚好与A球相遇，球A下落的距离； (3)若B球在第三次上升过程中与球A相碰，球A起始高度H的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）球由静止开始做自由落体运动，设首次落地前的速度大小为。由自由落体运动规律得 解得 （2）设球首次落地所用时间为，由自由落体运动规律得 解得 球以原速率反弹后做竖直上抛运动。取竖直向上为正方向，设反弹后到达最高点所用时间为，由最高点速度为零及速度与时间关系得 解得 球第一次反弹至最高点时与球相遇，因此相遇时距释放的总时间为 设球在此过程中下落的距离为，由自由落体运动规律得 （3）球每次与地面碰撞均以原速率反弹，故每次离地速度大小均为。竖直上抛运动的上升时间与下降时间相等，连续两次碰地的时间间隔为。自释放开始计时，第三次碰地、开始第三次上升的时刻为 设两球相碰发生在球第三次反弹后经过，此时球仍在上升，故时间应满足 以地面为高度零点，沿用竖直向上的正方向，设相碰时两球的离地高度分别为和。球从静止开始下落，由匀变速直线运动的位移公式，其高度为 球第三次反弹后从地面以速度向上运动，其高度为 两球相碰时高度相同，有 联立两球的高度方程，整理得 由于，和均为正，起始高度随相碰所需时间增大而增大。结合前述上升时间范围，得 代入数据，得 下限对应在地面处相碰，上限对应在最高点相碰，均不属于第三次上升过程中，故不取端点。 变式2．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）如图，同一竖直线上的小球A和小球B静止在地面上方，球B距离地面的高度，球A在球B的正上方，同时释放两小球。球B每次与地面碰后均以原速率反弹，并在第三次下降过程中与球A相碰，重力加速度大小为，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间，求： (1)球B第一次落地时的时间； (2)球B在第二次碰地后上升到最高点时，球A下落速度大小； (3)球A起始高度H的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，球B做自由落体运动，由公式 可得，球B第一次落地时的时间 （2）球B每次与地面碰后均以原速率反弹，B球从开始下落到第二次碰地后上升到最高点所用总时间 则球A下落速度大小为 （3）球B在第三次下降过程中与球A相碰，若球B在第三次刚下降时恰好与球A相碰，则有 若球B在第三次刚碰地时恰好与球A相碰，则有 可知，若球B在第三次下降过程中与球A相碰，则球A起始高度H的取值范围为 变式3．（26-27高一上·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为，M、N为空管的上、下两端面。现使空管由静止开始自由下落，同时在距空管N端面正下方处使一小球以初速度开始做竖直上抛运动，取。 (1)若经过，小球与N端面等高，求小球的初速度大小。 (2)若小球的初速度与第（1）问相同，求小球在空管内的停留时间。 (3)若在外力作用下空管在竖直方向做速度大小为的匀速直线运动，已知小球在运动过程中未超过M面，为使小球在空管内部运动的时间最长，求初速度的大小和最长时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）空管从静止自由下落，位移大小 小球做竖直上抛运动，位移大小 则 联立解得 （2）以空管为参考系，空管和小球加速度均为，相对加速度为0，即小球相对于空管做匀速直线运动，相对速度大小 小球从刚进入N端面到刚离开M端面，相对空管的总位移等于管长 因此停留时间 （3）空管以匀速向下运动，仍以空管为参考系，取向上为正，则小球相对空管的初速度为 相对加速度为，要让小球在管内运动时间最长，且小球未超过M面，临界情况是小球相对空管向上运动到M端面时，相对速度恰好减为0，之后小球相对空管向下运动，从N端面离开。 由相对运动关系，相对上升到M点时 解得 最长时间 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册讲义 期中复习：竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题复习讲义 考点目录 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 竖直上抛运动的规律及应用 一、运动本质与成立条件 · 定义：将物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下的运动。 · 成立条件：初速度竖直向上；空气阻力远小于重力，可忽略不计。 · 运动性质：初速度竖直向上、加速度恒为（竖直向下）的匀变速直线运动；全程分为两个阶段：上升阶段做匀减速运动至最高点速度为0，下落阶段从最高点开始做自由落体运动。 二、两种处理方法 方法1：分段法（过程清晰，适合基础分析） · 上升阶段：初速度为、加速度的匀减速直线运动，最高点处瞬时速度为0； · 下落阶段：从最高点开始的自由落体运动，初速度为0，加速度为。 · 优势：阶段划分明确，符号不易出错，适合分析单一过程的物理量。 方法2：整体法（通用高效，适合综合计算） 取竖直向上为正方向，加速度，全程统一套用匀变速直线运动公式，位移、速度均带符号： · 正值：速度方向向上，或位置在抛出点上方； · 负值：速度方向向下，或位置在抛出点下方。 · 优势：无需拆分阶段，直接列方程求解，适合多过程、多解类问题。 三、 核心运动规律（整体法） 设初速度为，以抛出点为坐标原点，竖直向上为正方向： 1. 速度公式： 1. 位移公式： 1. 速度-位移关系： 四、三大核心特性 （1）对称性 上升与下落经过同一段路径时，物理量呈对称关系： · 时间对称：上升与下落经过同一段高度的时间相等；从抛出到落回原位置的总时间为上升时间的2倍： · 速度对称：经过同一高度时，上升与下落的速度大小相等、方向相反；落回抛出点时速度大小等于初速度，方向竖直向下。 （2）多解性 当物体位于抛出点上方某一高度（）时，对应两个运动时刻： · 较小时间：上升过程经过该位置； · 较大时间：下落过程经过该位置。 当时只有1个解（最高点），时无解。 （3）可逆性 上升阶段的匀减速运动，可逆向看成初速度为0的自由落体运动，常用于快速求解上升阶段的时间、位移。 五、最大高度结论 物体能到达的最大高度（距抛出点）： 例1．（26-27高一上·四川广元·阶段检测）如图所示，小球从地面上方距地面的高度处静止释放，落地后反弹上升的最大高度，不计空气阻力。重力加速度g取， (1)求小球第一次落地瞬间速度大小； (2)求小球落地反弹后离开地面的速度与落地瞬间速度大小的比值 例2．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）赤水丹霞是世界自然遗产，峡谷红岩地貌蔚为壮观，当地设有热气球观光项目。某搭载游客的热气球以的速度匀速竖直上升，当上升至距离地面高度时，吊篮内游客手中的钥匙串不慎从吊篮边缘滑落。不计空气阻力，将钥匙串视为质点，重力加速度。从钥匙串掉落开始计时，求： (1)经过时钥匙串的速度大小。 (2)经过时钥匙串距离地面的高度。 例3．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）气球下端用绳子悬挂一重物，两者一起以的速度匀速上升，当重物到达离地高处时，悬挂重物的绳子突然断裂，不计空气阻力，。求： (1)重物上升所能达到的最大离地高度； (2)重物落地前的瞬间速度的大小； (3)自绳子断裂至重物落到地面的时间。 例4．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）如图所示，初态竖直直杆AB长，下端B距地，杆正下方地面上的C处有一带水平抽拉洞盖的深洞，洞盖初态闭合，闭合时洞盖与地面平齐，当杆下端B到达洞口时洞盖自动水平抽开，当杆A端进入洞口时洞盖自动闭合。洞的截面积略大于杆的截面积。C点左侧有一以10m/s向右匀速行驶的长的小车。当小车右端距离C为时，给杆5m/s的竖直向上初速度，竖直上抛。为避免小车和杆相撞，小车立即做匀变速直线运动，忽略小车的高度，重力加速度g取。求 (1)杆的B、A端分别经多长时间到达洞口 (2)小车加速度的取值范围。 变式1．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）如图所示，无人机下方悬挂一重物，两者同时由静止从地面以加速度匀加速上升，达到速度后匀速上升了，悬挂重物的绳子突然断裂，无人机继续以速度匀速上升。忽略空气阻力，不计悬挂重物的绳长，重力加速度g取。求： (1)绳子断裂时重物离地的高度h； (2)重物落地时与无人机之间的距离H。 变式2．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某自制水火箭从地面由静止发射，竖直向上运动。向下喷水时，火箭向上做加速度大小为的匀加速直线运动，时喷水结束，一段时间后火箭落回到地面。忽略空气阻力，取，求水火箭： (1)离开地面的最大高度； (2)从发射到落地的时间。 变式3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4s到达离地面80m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取，求： (1)燃料恰好用完时火箭的速度大小v； (2)火箭上升离地面的最大高度H； (3)火箭从发射到返回发射点的时间。 考点二 自由落体和竖直上抛相遇类问题 一、核心本质 两个物体分别做自由落体、竖直上抛运动，相遇的充要条件是：同一时刻，两物体到达同一空间位置（坐标相同）。核心解法是分别建立位移-时间方程，联立求解。 二、通用解题步骤 1. 建系定正：通常取竖直向上为正方向，以地面/抛出点为坐标原点； 1. 列位移方程：分别写出两个物体的位置随时间变化的表达式，注意初始位置、初速度的正负与大小； 1. 联立求时间：令两物体位置相等，列方程求解相遇时间； 1. 验证合理性：舍去时间为负、相遇时物体已落地等无效解； 1. 求对应物理量：代入有效时间，计算相遇高度、相遇速度等结果。 三、经典场景分类 场景1：异地同时型（最高频考法） · 模型：物体A从地面以初速度竖直上抛，同时物体B从高度处由静止自由下落，求二者相遇的时间与位置。 · 方程建立：以地面为原点，向上为正方向 · A的位置： · B的位置： · 相遇求解：令，两式中重力加速度项相互抵消，得： 本质：两物体加速度均为，相对加速度为0，相对运动为匀速直线运动，因此相遇时间仅由初始高度差和初速度决定，与无关。 · 相遇高度：代入时间得 。 · 阶段判断： · 若：相遇时A仍在上升阶段； · 若：相遇时A刚好到达最高点； · 若：相遇时A处于下落阶段。 场景2：同地不同时型 · 模型：物体A从地面以竖直上抛，经过后，从同一位置由静止释放物体B（自由落体），求二者相遇的时间。 · 方程建立：设B的下落时间为，则A的总运动时间为，以抛出点为原点： · A的位置： · B的位置： · 令即可求解；这类相遇一定发生在抛出点下方，且A处于下落阶段。 场景3：临界相遇型 常考查两类临界条件： 1. 最高点相遇：相遇点为竖直上抛的最高点，对应相遇时间等于上升时间，相遇高度等于最大高度； 1. 落地相遇：两物体同时落地，对应总运动时间相等，可反推初始高度、初速度的关系。 例1．（26-27高一上·河南洛阳·阶段检测）如图所示，一空心、上下无底的弹性圆筒，下端距离水平地面的高度为H，圆筒的轴线竖直。圆筒轴线上与圆筒顶端等高处有一可视为质点的弹性小球，小球与圆筒同时由静止开始自由下落。圆筒与地面碰撞时间极短，可看作瞬间反弹，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，运动过程中圆筒轴线始终保持竖直。已知圆筒底部第3次落地时，小球恰好第1次落地，小球与圆筒无接触，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)圆筒第一次落地时的速度大小； (2)圆筒的长度L； (3)圆筒第二次落地瞬间，小球与圆筒顶端之间的高度差。 例2．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度，同时让甲球自由下落，不计空气阻力（甲乙两球可看作质点）， 。求： (1)h为何值时，甲乙两球可以同时落地； (2)为确保乙球能在下降过程中与甲球相遇，h应满足什么条件？ 例3．（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图所示，水平地面上一辆平板车以的速度向前匀速行驶，时刻，在平板车前端M的正前方距离处有一个小球从地面出发以的初速度竖直向上抛出。已知平板车高度为，平板的厚度不计，车身长度，重力加速度。 (1)求小球运动过程中距离平板车上表面的最大高度； (2)求小球落在平板车上的位置到平板车后端N的距离； (3)若在时刻，平板车改为以初速度向前，加速度大小为a做匀变速直线运动，题干中其余条件不变。为使平板车前端M碰到小球，求满足条件的加速度大小a。 变式1．（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）如图，同一竖直线上的小球A和小球B静止在地面上方，球B距离地面的高度h=1.25m，球A在球B的正上方，同时释放两小球。球B每次与地面碰后均以原速率反弹，重力加速度大小为g=10m/s2，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间，求： (1)球B第一次落地时的速度大小； (2)若球B在第一次碰地后上升到最高点时刚好与A球相遇，球A下落的距离； (3)若B球在第三次上升过程中与球A相碰，球A起始高度H的取值范围。 变式2．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）如图，同一竖直线上的小球A和小球B静止在地面上方，球B距离地面的高度，球A在球B的正上方，同时释放两小球。球B每次与地面碰后均以原速率反弹，并在第三次下降过程中与球A相碰，重力加速度大小为，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间，求： (1)球B第一次落地时的时间； (2)球B在第二次碰地后上升到最高点时，球A下落速度大小； (3)球A起始高度H的取值范围。 变式3．（26-27高一上·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为，M、N为空管的上、下两端面。现使空管由静止开始自由下落，同时在距空管N端面正下方处使一小球以初速度开始做竖直上抛运动，取。 (1)若经过，小球与N端面等高，求小球的初速度大小。 (2)若小球的初速度与第（1）问相同，求小球在空管内的停留时间。 (3)若在外力作用下空管在竖直方向做速度大小为的匀速直线运动，已知小球在运动过程中未超过M面，为使小球在空管内部运动的时间最长，求初速度的大小和最长时间。 2 学科网（北京）股份有限公司 $