专题04 自由落体和竖直上抛运 多过程和追及相遇问题（期中压轴·复习讲义）高一物理上学期人教版必修第一册

专题04 自由落体和竖直上抛运 多过程和追及相遇问题 目录 【重难考点突破】 1 考点01 自由落体 1 考点02 竖直上抛运动 2 考点03 自由落体和竖直上抛运动相遇问题 4 考点04 追及相遇问题 5 考点05 多过程问题 6 【压轴题训练】 8 【重难考点突破】 考点01 自由落体 1.自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。 2.自由落体运动的基本公式 匀变速直线运动规律自由落体运动规律 3.匀变速直线运动的一切推论公式，如速度—位移公式、平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动。 4.自由落体运动的v－t图像是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，斜率k＝g。 【例题1-1】雨后屋檐还在不断滴着水滴，如图所示。小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为，窗户的高度为。不计空气阻力的影响。则下列结论正确的是（）（     ） A．落地前，由于水滴在空中的运动情况都相同，相邻两水滴距离保持不变 B．每隔滴下一水滴 C．此时第2颗水滴已经过上边沿落到两窗台之间 D．水滴经过窗户的平均速度为 【例题1-2】一根长为2m的木棒，上端悬挂在天花板上的O点，如图所示，木棒的正下方距棒的下端2m处固定着一个高为1m的中空圆筒，木棒被释放后自由落下，取重力加速度大小g=10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．木棒的下端到圆筒上端时的速度大小为 B．木棒的上端到圆筒上端时的速度大小为 C．木棒通过圆筒所用的时间为 D．木棒通过圆筒所用的时间为 考点02 竖直上抛运动 1.基本公式: 以v0的方向为正方向，全程是加速度a=-g的匀变速直线运动 (1)速度时间关系：vt=v0-gt (2)位移时间关系： (3)位移速度关系：vt2-v02=-2gh 2.符号法则： (1)vt为正，表示物体正上升；vt为负，表示物体正下降； (2)h为正，表示物体在抛出点上方；h为负，表示物体在抛出点下方。 3.对称性： (1)速度的对称性： 上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反。 (2)时间的对称性： 对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等。 4.两个重要结论： (1)上升到最高点的时间:；(2)上升的最大高度： 5.竖直上抛运动的图像 【例题2-1】杂技演员在抛球表演时，用一只手把四个球依次竖直向上抛出，为了持续表演下去，该演员必须让回到手中的小球隔一个相等的时间，再向上抛出，假如每一个球上升的最大高度都是1.25m，且演员手中有一半时间没球，一半时间有球，那么球在手中停留的时间是（不考虑空气阻力，g取10m/s2）（     ） A． B． C． D． 【例题2-2】每年夏天在我国台湾地区都有一场超热闹的热气球嘉年华。一热气球下端悬挂一重物，以的速度匀速上升，当到达离地面处时悬挂重物的绳子突然断裂，不计空气阻力，已知绳子断裂后重物具有竖直向下的加速度，则下列说法正确的是（　　） A．重物经的时间落到地面 B．重物落地时的速度大小为 C．绳子断裂后时重物的速度大小为 D．绳子断裂后内重物的平均速度大小为 考点03 自由落体和竖直上抛运动相遇问题 1. 公式法： (1)同时运动，相遇时间：，解得： (2)上升、下降过程中相遇中的临界条件： ①若在a球上升时两球相遇，临界条件：，即：，解得： ②若在a球下降时两球相遇，临界条件：，即，解得： 2.图像法：左图（在a球上升时两球相遇）； 右图（在a球下降时两球相遇） 【例题3-1】如图所示，时刻，长直管在其底端离地高处自由下落，此时在直管正下方的地面上有一小球以的初速度竖直上抛。已知小球的直径小于直管的直径，小球穿过直管时互不影响，重力加速度大小。下列说法正确的是（     ） A．时，直管刚好落地 B．时，小球刚好穿过直管 C．小球在直管中的运动时间为 D．直管落地时，小球的速度方向向下 【例题3-2】如图所示，直杆长，圆筒高，直杆位于圆筒正上方处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为 B．直杆穿过圆筒所用的时间为 C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为 D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 考点04 追及相遇问题 1.情景分析法解题思路 2.图像分析法的解题思路 图像分析法是指将两个物体的运动图像画在同一坐标系中，然后根据图像分析求解相关问题。 (1)若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇。 (2)若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。 [注意]　x­t图像的交点表示两物体相遇，而v­t图像的交点只表示两物体此时速度相等。 3.函数判断法的解题技巧 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程xA=xB+x0 （1）若Δ>0有两解，说明两物体相遇两次； （2）若Δ=0有一解，说明两物体相遇一次； （3）若Δ<0无解，说明两物体不能相遇。 【例题4-1】在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。汽车甲以速度在邢衡高速公路上匀速行驶，正前方的汽车乙以速度做匀速直线运动，当两者相距s时，甲车司机意识到再以当前速度行驶可能会发生“追尾”事故，因此紧急刹车，假设司机的反应时间（从意识到应该刹车至操作刹车的时间）为t，刹车过程看成匀减速直线运动，为避免“追尾”，加速度大小a应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【例题4-2】甲、乙两车在同一水平直线上沿同一方向运动，时刻，乙车在甲车前方处，甲车以初速度为，加速度为运动；乙车以初速度为，加速度为运动。关于初始距离与两车相遇次数的关系，下列说法正确的是（　　） A．当时，两车恰好相遇一次 B．当时，两车不会相遇 C．当时，两车会相遇两次 D．无论取何值，两车都至少相遇一次 考点05 多过程问题 1.多过程问题的处理方法和技巧： （1）充分借助v-t图像，从图像中可以反映出物体运动过程经历的不同阶段，可获得的重要信息有加速度（斜率）、位移（面积）和速度； （2）不同过程之间的衔接的关键物理量是不同过程之间的衔接速度； （3）用好匀变速直线运动的三个基本公式和平均速度公式：v＝v0＋at；x＝v0t＋at2；v2－v＝2ax；x＝t。 2.两种常见的多过程模型 （1）多过程v-t图像“上凸”模型 【特点】 全程初末速度为零，匀加速直线运动过程和匀减速过程平均速度相等。 【三个比例关系】 ①由速度公式：v=a1t1；v=a2t2（逆向看作匀加速直线运动） 得：； ②由速度位移公式：v2=2a1x1； v2=2a2x2 （逆向看作匀加速直线运动） 得：； ③由平均速度位移公式：； 得：。 【衔接速度和图线所围面积】 ①衔接速度是两个不同过程联系的关键，它可能是一个过程的末速度，另外一个过程的初速度。 ②图线与t轴所围面积，可能是某个过程的位移，也可能是全过程的位移。 （2）多过程v-t图像“下凹”模型 【案例】车过ETC通道耽搁时间问题： 耽搁的距离：阴影面积表示的位移；耽搁的时间： 【例题5-1】目前，我国ETC（电子不停车收费系统）已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间。如图为甲、乙两辆车以相同的速度开始减速并通过收费站（离开收费站时已恢复到原来的速度）的 v—t图像，根据图像，下列描述正确的是（　　） A．甲车进入的是人工通道，乙车进入的是ETC通道 B．甲车从进入通道到恢复原来速度所运动的位移大小为30m C．两车通过收费站路程相同，ETC通道节约的时间为12.5 s D．甲车在减速阶段的速度变化率为5m/s²，乙车在减速阶段的速度变化率为2.5m/s² 【例题5-2】如图所示，A、B为弹性竖直挡板，相距L=4m，A、B之间为水平导轨。一小球（可视为质点）自A板处开始，以的速度沿导轨向B板运动，它与A、B挡板碰撞后瞬间均以碰前瞬间的速率反弹回来，且在导轨上做减速运动的加速度大小不变，为使小球恰好停在两挡板的中间，这个加速度的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【压轴题训练】 1．如图所示，有一长度为L（已知量）的空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度也为L，筒的轴线竖直。圆筒轴线上距水平地面的高度为16L处有一小球（可视为质点），现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后原速率反弹，小球碰地后的反弹速率为落地速率的一半，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。在筒壁顶端装有一个光电计时器，小球每次到达该处计时器就会计数一次，重力加速度为g，不计空气阻力，求： (1)圆筒第一次下落的时间和小球第一次下落的时间； (2)从小球和圆筒开始运动为计时起点，求计时器第一次计数的时刻； (3)整个运动过程中，计时器计了多少次数？ 2．如图所示，一竖直圆管下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现将它们由静止释放，圆管与小球相对静止一起做自由落体运动，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变，方向相反，且每次碰撞时间极短（可以忽略不计），在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间的相互作用，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为（重力加速度大小为g），方向竖直向下，球的加速度大小为g，方向竖直向上，直到管和球共速后一起运动，此时两者的加速度均为g，球始终没有从管中滑出。求： (1)管第一次落地前瞬间，管和球的共同速度大小； (2)管和球第一次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小； (3)管和球第三次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小。 3．如图所示，一圆管放在水平地面上，长为L=1.6m，圆管的上端离天花板的距离h=8m，在圆管的正上方紧靠天花板放一小球，小球直径小于圆管内径（可看成质点），让小球由静止释放，同时给圆管一竖直向上的初速度v0=10m/s，重力加速度g取10m/s2。求： (1)圆管经过多长时间上升到最高点； (2)小球释放后经多长时间与圆管上端相遇； (3)改变圆管的初速度v0的大小，要求小球穿过圆管下端瞬间，圆管正处于下降阶段，求v0的范围。 4．如图所示，在离地面高处以的速度竖直向上抛出一个可视为质点的小球，地面上有一长的小车，其前端距离抛出点的正下方，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动。已知小球落地时速度大小为，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度取。 (1)求小球从抛出到最高点的时间； (2)落到地面的时间及抛出点离地面的高度； (3)为了让小车接住小球，试确定小车加速度大小的取值范围。 5．如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，管长为为空管的上、下两端，空管由于受外力作用，静止在空中，同时在处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度竖直上抛，不计一切阻力，取。 (1)若小球上抛的初速度为，求小球上升过程中离抛出点的最大高度； (2)若小球上抛的初速度为，求小球穿过空管所需的时间； (3)改变外力作用，空管由静止开始竖直向下做加速运动，加速度大小为，若此空管静止时端离地高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度大小的范围。 6．如图所示，大桥上层为公路，下层为铁路，某时刻一辆汽车和一列火车恰好同时以的速度到达索塔。汽车保持匀速直线运动，火车以的加速度加速前进，其最大速度为，达到最大速度后做匀速直线运动。同一时刻一辆位于火车末端，速度的摩托车，开始以的加速度追赶汽车，摩托车的最大速度为，达到最大速度后做匀速直线运动。已知索塔、之间的距离，火车总长，汽车和摩托车均可视为质点。 (1)摩托车追上汽车前，求两者之间的最大距离； (2)摩托车追上汽车时，求汽车行驶的距离； (3)若在摩托车追上汽车的同时，汽车以的加速度开始匀加速直线运动，为了和火车同时到达索塔B，求汽车匀加速行驶的时间。 7．2025年9月3日，在阅兵场上亮相的“红旗”系列导弹是中国反导系统的重要组成部分，当反导导弹与敌方导弹相遇立即爆炸，即为拦截成功。某次模拟场景如图所示，在xOy平面内，O点放置反导系统。为防空识别区区域。敌方巡航导弹以速度水平向左匀速飞行，高度为，进入防空识别区边界时，反导系统立即识别，并在后发射反导导弹进行拦截。反导导弹发射后先以竖直向上加速运动，达到最大速度后改为匀速运动，直至达到高度H，随后立即调整方向（不考虑速度调整为水平方向的时间），水平向右以速度匀速飞行，拦截巡航导弹。已知巡航导弹和反导导弹均可视为质点，且两者始终在xOy平面内运动，，求： (1)反导导弹上升到高度H所用时间 (2)拦截点距离基地的水平距离x (3)若巡航导弹速度提高为，反导导弹发射加速度和发射角度可调，最大速度仍为，反导导弹发射后全程做直线运动，为使拦截点距离基地的水平距离，求反导导弹的最小加速度（取2.24） 8．ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前处减速至，以速度匀速行驶通过中心线，再加速至行驶；如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至0，经时间缴费后，再加速至行驶。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为。 (1)求通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (2)求通过人工收费通道的汽车从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (3)若两辆汽车一开始在两个车道并排行驶，一辆通过人工收费通道，另一辆通过ETC通道，到两辆汽车都恢复正常行驶的过程中，二者之间的最大距离； (4)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多长时间。 9．平直乡村公路上，初始相距的甲、乙两车静止在道路两端，同时启动、相向而行。甲车启动加速度，在该路段允许达到的最大速度；乙车启动加速度，在该路段允许达到的最大速度。初始，两车先匀加速行驶，此后乙车立即以大小的加速度减速，当乙车减速至掉头安全速度时，以该恒定低速完成掉头，掉头耗时；掉头全程乙车的位移可忽略不计，掉头结束后乙车立即以反向匀加速行驶。两车达到最大速度后均匀速行驶。求： (1)乙车完成掉头时，两车间的距离； (2)甲车追上乙车时，甲车的总位移； (3)甲车达到最大速度后匀速行驶时，两车同时开始匀减速，甲、乙两车减速的加速度大小分别为、，试判断两车是否会再次相遇，若相遇求出相遇时间，若不相遇说明理由。 10．2025年9月，深圳发布数据显示，全市功能型无人车运营数量已超700台，其中无人物流车（如图甲）占比过半，月配送快递90万单，无人配送实现从概念到实践的突破。如图乙，在某次无人物流车运载测试过程中，无人物流车A、B在同一平直车道同方向行驶，A车在前，B车在后。两车相距时（记为），A车的速度大小为，A车的激光雷达检测到前方有障碍物，立即以大小为的加速度做匀减速运动，此时，B车的速度大小为、正以大小为的加速度做匀加速运动，为了避免和A车相撞，时，B车开始以一定的加速度做匀减速运动，直至停车。本题中A、B车之间的距离均指的是B车车头和A车车尾之间的距离，求： (1)从到，A车的位移的大小； (2)从到，A、B车之间的最大距离； (3)为了避免相撞，B车减速时的加速度大小需满足的条件是什么？ 11．电子设备之间在一定距离范围内可以通过蓝牙连接进行数据交换，已经配对过的两电子设备，当距离小于某一值时，会自动连接；一旦超过该值时，蓝牙信号便会立即中断，无法正常通讯。如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶、两位置都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备在5m以内时能够实现通信。时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为5m/s，乙车的速度为2m/s，、的距离为3m。从该时刻起甲车以的加速度做匀减速运动直至停下，乙车保持原有速度做匀速直线运动。（忽略信号传递时间） （1）在甲车停下来之前，两车在前进方向上距离最大是多少米? （2）从时刻起，甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为多长?    12．ETC是电子不停车收费系统的简称。 (1)高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7s，刹车的加速度大小为5m/s2，则该ETC通道的长度是多少？ (2)某人在离汽车尾部20m处，以速度v=6m/s向汽车匀速跑过去，与此同时，汽车以1m/s2的加速度从静止启动，做匀加速直线运动。如果人能追上汽车，要用多长时间？如果人不能追上汽车，则人与汽车之间的最小距离是多少？ (3)如图所示，汽车以15m/s的速度匀速行驶，如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至0，经过20s缴费后，再加速至15m/s行驶。如果过ETC通道，需要在中心线前方10m处减速至5m/s，匀速到达中心线后，再加速至15m/s行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为1m/s2。汽车过人工收费通道，从收费前减速开始，到收费后加速结束，总共通过的路程是多少？汽车采用ETC缴费方式比采用人工缴费方式节约多长时间？ 13．“百公里加速”项目是对汽车动力最直观的体现，“百公里刹车”则是汽车刹车性能的一项重要指标。某车企对其新研发的一款汽车进行常规加速和减速测试。t=0时测试流程开始，此时汽车静止，某时刻汽车提速，以匀加速直线开出，然后经历匀速直线运动和匀减速直线运动直到停止。下表给出了几个不同时刻汽车的速度大小，据此表求： 时刻t/s 3.0 6.0 10.0 15.0 17.0 18.0 速度v/m·s⁻1 6 18 30 30 20 10 (1)该汽车加速和减速时的加速度a1和a2： (2)求汽车保持匀速运动的时间； (3)求测试开始后t=20秒内汽车的路程。 14．智能交通控制中，为提升通行效率，某些路段设置了“绿波带”，能使以一定速度行驶的车辆连续绿灯通行。小明选取某平直道路相邻三个路口A、B、C的信号灯进行模拟研究（如图），路口间距。三个路口绿灯、红灯持续时间均为30 s。时，A的绿灯开启；时，B的绿灯开启；时，C的绿灯开启。时，车由静止从A开始做匀加速直线运动直到速度大小为，之后一直做匀速直线运动并依次通过B、C路口。车视为质点，不计通过路口的时间，不考虑黄灯时间。 (1)求车做匀加速直线运动的平均速度大小。 (2)若时，车刚好通过B路口，求车做匀加速直线运动的位移大小。 (3)若车在内通过C路口，求车做匀加速直线运动的加速度大小范围。 15．甲、乙两车在平直公路的同一车道上行驶。在t=0时，甲车以v0=26m/s的速度匀速行驶，乙车在甲车前面以a1=2m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动。t=2s时，甲车发现前面乙车，立即采取行动。两车均可视为质点，并排即视为相遇，不计反应、变道、转向时间。 (1)若甲车不变道，立即以a2=9m/s2的加速度做匀减速直线运动，恰好未追尾。求t=0时两车之间的距离。 (2)若t=0时甲、乙两车相距112m，t=2s时甲车立即变道，甲车进入新车道后，以变道前的速度继续匀速行驶2s。之后，甲车以加速度做匀减速直线运动。 ①请定量分析甲乙两车相遇几次？ ②从t=0时刻到两车相遇，乙车行驶的位移是多少？（若相遇次数多于1次，分别求对应位移） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 自由落体和竖直上抛运 多过程和追及相遇问题 目录 【重难考点突破】 1 考点01 自由落体 1 考点02 竖直上抛运动 4 考点03 自由落体和竖直上抛运动相遇问题 6 考点04 追及相遇问题 8 考点05 多过程问题 11 【压轴题训练】 13 【重难考点突破】 考点01 自由落体 1.自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。 2.自由落体运动的基本公式 匀变速直线运动规律自由落体运动规律 3.匀变速直线运动的一切推论公式，如速度—位移公式、平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动。 4.自由落体运动的v－t图像是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，斜率k＝g。 【例题1-1】雨后屋檐还在不断滴着水滴，如图所示。小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为，窗户的高度为。不计空气阻力的影响。则下列结论正确的是（）（     ） A．落地前，由于水滴在空中的运动情况都相同，相邻两水滴距离保持不变 B．每隔滴下一水滴 C．此时第2颗水滴已经过上边沿落到两窗台之间 D．水滴经过窗户的平均速度为 【答案】D 【详解】A．设屋檐每隔相等时间滴下一水滴，水滴做自由落体运动，设前一颗水滴在空中已下落的时间为，可知相邻两水滴距离满足 因此随时间增大而增大，即相邻两水滴距离不断变大，故A错误； B．设水滴下落到达窗台下边沿用时为，屋檐到窗台下边沿的距离满足 解得 因第1颗水滴刚到下边沿时第5颗恰欲滴下，中间有4个时间间隔，即 解得 因此屋檐每隔滴下一水滴，故B错误； C．此时第2颗水滴下落的时间为 下落位移 窗台上边沿距离屋檐 可见第2颗水滴恰好运动到窗台上边沿，故C错误； D．水滴到达窗台上边沿的速度满足 解得 同理，水滴到达窗台下边沿的速度 水滴做匀加速直线运动，水滴经过窗户的平均速度为，故D正确。 故选D。 【例题1-2】一根长为2m的木棒，上端悬挂在天花板上的O点，如图所示，木棒的正下方距棒的下端2m处固定着一个高为1m的中空圆筒，木棒被释放后自由落下，取重力加速度大小g=10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．木棒的下端到圆筒上端时的速度大小为 B．木棒的上端到圆筒上端时的速度大小为 C．木棒通过圆筒所用的时间为 D．木棒通过圆筒所用的时间为 【答案】C 【详解】AB．题意可知L=2m，H=1m，根据自由落体运动规律 可知木棒的下端到圆筒上端时的速度大小为，故A错误； B．根据自由落体运动规律，可知木棒的上端到圆筒上端时的速度大小为，故B错误； CD．根据自由落体运动规律，木棒的下端到圆筒上端时间 木棒的上端到圆筒下端时间 联立解得木棒通过圆筒所用的时间为，故C正确，D错误。 故选C。 考点02 竖直上抛运动 1.基本公式: 以v0的方向为正方向，全程是加速度a=-g的匀变速直线运动 (1)速度时间关系：vt=v0-gt (2)位移时间关系： (3)位移速度关系：vt2-v02=-2gh 2.符号法则： (1)vt为正，表示物体正上升；vt为负，表示物体正下降； (2)h为正，表示物体在抛出点上方；h为负，表示物体在抛出点下方。 3.对称性： (1)速度的对称性： 上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反。 (2)时间的对称性： 对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等。 4.两个重要结论： (1)上升到最高点的时间:；(2)上升的最大高度： 5.竖直上抛运动的图像 【例题2-1】杂技演员在抛球表演时，用一只手把四个球依次竖直向上抛出，为了持续表演下去，该演员必须让回到手中的小球隔一个相等的时间，再向上抛出，假如每一个球上升的最大高度都是1.25m，且演员手中有一半时间没球，一半时间有球，那么球在手中停留的时间是（不考虑空气阻力，g取10m/s2）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把单个球从最高点下落到演员手中的过程作为研究对象，该过程初速度为零、下落高度为，由匀变速直线运动位移公式得 代入，，由上式得 所以。竖直上抛运动上升、下降过程对称，单个球在空中的总时间满足，所以。设相邻两次抛球的时间间隔为，球在手中停留时间为。同一个球再次被抛出前，需经历四个抛球间隔、空中运动和手中停留，因此本题对象的时间关系为 演员手中有球和无球各占一半时间，所以 由此得，代入前述时间关系 得 故选C。 【例题2-2】每年夏天在我国台湾地区都有一场超热闹的热气球嘉年华。一热气球下端悬挂一重物，以的速度匀速上升，当到达离地面处时悬挂重物的绳子突然断裂，不计空气阻力，已知绳子断裂后重物具有竖直向下的加速度，则下列说法正确的是（　　） A．重物经的时间落到地面 B．重物落地时的速度大小为 C．绳子断裂后时重物的速度大小为 D．绳子断裂后内重物的平均速度大小为 【答案】A 【详解】依题意，取竖直向下为正方向 A．根据位移公式可得可得解得故A正确； B．重物落地的速度大小故B错误； C．绳子断裂后经过重物的速度大小 故C错误； D．绳子断裂后内重物的位移 故平均速度为0，故D错误。 故选A。 考点03 自由落体和竖直上抛运动相遇问题 1. 公式法： (1)同时运动，相遇时间：，解得： (2)上升、下降过程中相遇中的临界条件： ①若在a球上升时两球相遇，临界条件：，即：，解得： ②若在a球下降时两球相遇，临界条件：，即，解得： 2.图像法：左图（在a球上升时两球相遇）； 右图（在a球下降时两球相遇） 【例题3-1】如图所示，时刻，长直管在其底端离地高处自由下落，此时在直管正下方的地面上有一小球以的初速度竖直上抛。已知小球的直径小于直管的直径，小球穿过直管时互不影响，重力加速度大小。下列说法正确的是（     ） A．时，直管刚好落地 B．时，小球刚好穿过直管 C．小球在直管中的运动时间为 D．直管落地时，小球的速度方向向下 【答案】B 【详解】A．直管做自由落体运动，直管底端离地，由自由落体位移公式可得 解得直管刚好落地，故A错误； B．当小球刚进入直管，小球与管底端相遇，则 解得进入时间 当小球刚好穿出直管，小球与管顶端相遇，则 解得穿出时间，故B正确； C．小球在直管中的运动时间，故C错误； D．直管底端落地时，小球的速度，速度为零，方向不向下，故D错误。 故选B。 【例题3-2】如图所示，直杆长，圆筒高，直杆位于圆筒正上方处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为 B．直杆穿过圆筒所用的时间为 C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为 D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 【答案】C 【详解】A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端时，下降高度为，故自由落体的时间，故A错误； B．直杆开始自由下落到上端刚好穿出圆筒时，下降高度为 故自由落体的时间 直杆穿过圆筒所用的时间为，故B错误； C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，可知此时直杆的速度大小为 释放圆筒自由下落，两者均存在竖直向下的重力加速度g，则以圆筒为参考系，直杆做匀速运动，穿过圆筒的时间为，故C正确； D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以的初速度竖直上抛，圆筒达到最高点用时 该段时间内，圆筒上升高度为 直杆下降高度为 可知直杆下端与圆筒A端相距，故D错误。故选C。 考点04 追及相遇问题 1.情景分析法解题思路 2.图像分析法的解题思路 图像分析法是指将两个物体的运动图像画在同一坐标系中，然后根据图像分析求解相关问题。 (1)若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇。 (2)若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。 [注意]　x­t图像的交点表示两物体相遇，而v­t图像的交点只表示两物体此时速度相等。 3.函数判断法的解题技巧 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程xA=xB+x0 （1）若Δ>0有两解，说明两物体相遇两次； （2）若Δ=0有一解，说明两物体相遇一次； （3）若Δ<0无解，说明两物体不能相遇。 【例题4-1】在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。汽车甲以速度在邢衡高速公路上匀速行驶，正前方的汽车乙以速度做匀速直线运动，当两者相距s时，甲车司机意识到再以当前速度行驶可能会发生“追尾”事故，因此紧急刹车，假设司机的反应时间（从意识到应该刹车至操作刹车的时间）为t，刹车过程看成匀减速直线运动，为避免“追尾”，加速度大小a应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设从开始发现乙车到两车共速时用时间T，则共速时 位移关系 解得 则为避免“追尾”，加速度大小a应满足的关系为 故选A。 【例题4-2】甲、乙两车在同一水平直线上沿同一方向运动，时刻，乙车在甲车前方处，甲车以初速度为，加速度为运动；乙车以初速度为，加速度为运动。关于初始距离与两车相遇次数的关系，下列说法正确的是（　　） A．当时，两车恰好相遇一次 B．当时，两车不会相遇 C．当时，两车会相遇两次 D．无论取何值，两车都至少相遇一次 【答案】A 【详解】甲车停车的时间根据可得两车的位移方程分别为： 甲车，乙车相遇条件为 代入得 整理为 该二次方程的判别式为。 A．当时，判别式，方程有唯一解，两车相遇一次，故A正确。 B．当时，判别式，方程有两正根、，均小于甲车停止时间，两车相遇两次，故B错误。 C．当时，判别式，方程无解。甲车停止后，乙车继续加速且位置更远，无相遇，故C错误。 D．当时，方程无解，故D错误。 故选A。 考点05 多过程问题 1.多过程问题的处理方法和技巧： （1）充分借助v-t图像，从图像中可以反映出物体运动过程经历的不同阶段，可获得的重要信息有加速度（斜率）、位移（面积）和速度； （2）不同过程之间的衔接的关键物理量是不同过程之间的衔接速度； （3）用好匀变速直线运动的三个基本公式和平均速度公式：v＝v0＋at；x＝v0t＋at2；v2－v＝2ax；x＝t。 2.两种常见的多过程模型 （1）多过程v-t图像“上凸”模型 【特点】 全程初末速度为零，匀加速直线运动过程和匀减速过程平均速度相等。 【三个比例关系】 ①由速度公式：v=a1t1；v=a2t2（逆向看作匀加速直线运动） 得：； ②由速度位移公式：v2=2a1x1； v2=2a2x2 （逆向看作匀加速直线运动） 得：； ③由平均速度位移公式：； 得：。 【衔接速度和图线所围面积】 ①衔接速度是两个不同过程联系的关键，它可能是一个过程的末速度，另外一个过程的初速度。 ②图线与t轴所围面积，可能是某个过程的位移，也可能是全过程的位移。 （2）多过程v-t图像“下凹”模型 【案例】车过ETC通道耽搁时间问题： 耽搁的距离：阴影面积表示的位移；耽搁的时间： 【例题5-1】目前，我国ETC（电子不停车收费系统）已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间。如图为甲、乙两辆车以相同的速度开始减速并通过收费站（离开收费站时已恢复到原来的速度）的 v—t图像，根据图像，下列描述正确的是（　　） A．甲车进入的是人工通道，乙车进入的是ETC通道 B．甲车从进入通道到恢复原来速度所运动的位移大小为30m C．两车通过收费站路程相同，ETC通道节约的时间为12.5 s D．甲车在减速阶段的速度变化率为5m/s²，乙车在减速阶段的速度变化率为2.5m/s² 【答案】C 【详解】A．经过人工通道缴费时车的速度应减为零，然后再启动，而经过ETC通道的不需要停车即可通过，由图可知甲只是减速，但速度并没有减为零，所以甲车进入的是ETC通道，乙车进入的是人工收费通道，故A错误； B．图像与坐标轴围成的面积表示位移，甲车从进入通道到恢复原来速度所运动的位移大小为，故B错误； C．人工通过收费站，从减速到恢复到原来的速度，通过的路程为 两车通过收费站路程相同，ETC通道所用时间为 ETC通道节约的时间为，故C正确； D．甲车在减速阶段的速度变化率 乙车在减速阶段的速度变化率为，故D错误。 故选C。 【例题5-2】如图所示，A、B为弹性竖直挡板，相距L=4m，A、B之间为水平导轨。一小球（可视为质点）自A板处开始，以的速度沿导轨向B板运动，它与A、B挡板碰撞后瞬间均以碰前瞬间的速率反弹回来，且在导轨上做减速运动的加速度大小不变，为使小球恰好停在两挡板的中间，这个加速度的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可把小球整个过程的运动看成是匀减速直线运动，设加速度大小为，为使小球恰好停在两挡板的中间，小球通过的路程应满足（，，） 根据运动学公式可得 可得（，，） 当时，可得 当时，可得 当时，可得 当时，可得 当时，可得 当时，可得 故选C。 【压轴题训练】 1．如图所示，有一长度为L（已知量）的空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度也为L，筒的轴线竖直。圆筒轴线上距水平地面的高度为16L处有一小球（可视为质点），现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后原速率反弹，小球碰地后的反弹速率为落地速率的一半，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。在筒壁顶端装有一个光电计时器，小球每次到达该处计时器就会计数一次，重力加速度为g，不计空气阻力，求： (1)圆筒第一次下落的时间和小球第一次下落的时间； (2)从小球和圆筒开始运动为计时起点，求计时器第一次计数的时刻； (3)整个运动过程中，计时器计了多少次数？ 【答案】(1)， (2) (3)4 【详解】（1）根据自由落体运动规律可得圆筒第一次下落的时间和小球第一次下落的时间分别为， （2）由题意，筒每次上升和下落的时间均为，以二者开始运动为计时零点，时刻，小球距地面的高度为 此时筒第2次碰地，而时刻，小球第1次碰地，筒第2次上升到最高点，由此可推知第1次计数发生在小球第1次下落和筒第2次上升过程中，筒每次碰地前后的速率均为 时刻，小球下落的速率为 设从时刻开始到第1次计时所经历的时间为，根据位移关系有 解得 则计时器第一次计数的时刻 （3）小球第1次碰地后瞬间的速率为 小球第1次上升的最高点到地面的高度为 小球从第1次碰地后到上升至最高点所经历的时间为 时刻，筒第3次碰地，此时球距地面的高度为 所以第2次计数发生在小球第1次上升和筒第3次下落过程中，时刻，小球第1次上升至最高点，筒第3次上升到最高点，时刻，筒第4次碰地，小球距地面的高度为 时刻，小球第2次碰地，筒第4次上升至最高点，所以第3次计数发生在小球第2次下落和筒第4次上升过程中，小球第2次碰地后瞬间的速率为 小球第2次上升的最高点到地面的高度为 小球第2次碰地后到上升至最高点所经历的时间为 所以时刻，筒第5次碰地，小球第2次上升至最高点，易知此时刚好发生第4次计数，之后小球继续下落不断碰地后速率不断减小，上升高度将始终小于L，将不会再发生计数，所以计时器计数的次数为4。 2．如图所示，一竖直圆管下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现将它们由静止释放，圆管与小球相对静止一起做自由落体运动，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变，方向相反，且每次碰撞时间极短（可以忽略不计），在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间的相互作用，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为（重力加速度大小为g），方向竖直向下，球的加速度大小为g，方向竖直向上，直到管和球共速后一起运动，此时两者的加速度均为g，球始终没有从管中滑出。求： (1)管第一次落地前瞬间，管和球的共同速度大小； (2)管和球第一次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小； (3)管和球第三次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）管和球一起做自由落体运动，有 解得 （2）设从管第一次与地面碰撞后到管和球再次共速所用时间为 ，以向下为正方向，碰后瞬间管速度 ，球速度 ，管加速度 ，球加速度 共速时速度相等 代入得 解得 共速速度 该段时间内管向上的位移 球向下的位移 球相对管运动的位移大小 代入 得 （3）第一次共速后，管和球一起以 向下运动，管距离地面高度为 一起下落至第二次碰撞前，速度 满足 第二次碰撞后，管速度 ，球速度 ，再次相对运动直到共速，第二次相对运动位移 第二次相对运动后，共速速度 ，管上升高度 一起下落至第三次碰撞前，速度 满足 因此 第三次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小 代入 得 代入 得 3．如图所示，一圆管放在水平地面上，长为L=1.6m，圆管的上端离天花板的距离h=8m，在圆管的正上方紧靠天花板放一小球，小球直径小于圆管内径（可看成质点），让小球由静止释放，同时给圆管一竖直向上的初速度v0=10m/s，重力加速度g取10m/s2。求： (1)圆管经过多长时间上升到最高点； (2)小球释放后经多长时间与圆管上端相遇； (3)改变圆管的初速度v0的大小，要求小球穿过圆管下端瞬间，圆管正处于下降阶段，求v0的范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆管做竖直上抛运动，初速度，上升到最高点时速度为零，根据逆向思维和速度时间公式有 可得 （2）小球做自由落体运动，向下的位移大小 圆管做竖直上抛运动，向上的位移大小 小球与圆管上端相遇时，应有 联立解得 （3）设当时，圆管刚落回地面瞬间，小球到达圆管下端。根据圆管竖直上抛运动对称性可得 小球竖直下落位移为，则 联立解得 设当时，圆管上升到最高点瞬间，小球到达圆管下端，则圆管上升阶段 小球与圆管位移大小之和为，则 联立解得 综上所述，的取值范围是 4．如图所示，在离地面高处以的速度竖直向上抛出一个可视为质点的小球，地面上有一长的小车，其前端距离抛出点的正下方，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动。已知小球落地时速度大小为，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度取。 (1)求小球从抛出到最高点的时间； (2)落到地面的时间及抛出点离地面的高度； (3)为了让小车接住小球，试确定小车加速度大小的取值范围。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）以竖直向上为正方向，上抛阶段 代入数据解得，小球从抛出到最高点的时间 （2）以竖直向上为正方向，小球落地时速度，小球全过程做匀变速直线运动，有 代入数据解得 设抛出点离地面的高度为，则全过程小球运动的位移为，根据匀变速直线运动的规律有 解得 （3）当小车接住小球，小车运动时间为；当小车车头端刚好到达抛出点正下方时，取最小值，此时 代入数据解得 当小车车尾端刚好到达抛出点正下方时，取最大值，此时 解得 则为了让小车接住小球，小车加速度大小的取值范围是 5．如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，管长为为空管的上、下两端，空管由于受外力作用，静止在空中，同时在处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度竖直上抛，不计一切阻力，取。 (1)若小球上抛的初速度为，求小球上升过程中离抛出点的最大高度； (2)若小球上抛的初速度为，求小球穿过空管所需的时间； (3)改变外力作用，空管由静止开始竖直向下做加速运动，加速度大小为，若此空管静止时端离地高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度大小的范围。 【答案】(1)5m (2)1s (3) 【详解】（1）最大高度 （2）最大高度 小球从最高点到有 得 小球从最高点到有 得 穿过空管所需时间 （3）（3）设空管经过时间到达地面 得 小球在时间内下降的位移 小球落入管内的条件是 解得 6．如图所示，大桥上层为公路，下层为铁路，某时刻一辆汽车和一列火车恰好同时以的速度到达索塔。汽车保持匀速直线运动，火车以的加速度加速前进，其最大速度为，达到最大速度后做匀速直线运动。同一时刻一辆位于火车末端，速度的摩托车，开始以的加速度追赶汽车，摩托车的最大速度为，达到最大速度后做匀速直线运动。已知索塔、之间的距离，火车总长，汽车和摩托车均可视为质点。 (1)摩托车追上汽车前，求两者之间的最大距离； (2)摩托车追上汽车时，求汽车行驶的距离； (3)若在摩托车追上汽车的同时，汽车以的加速度开始匀加速直线运动，为了和火车同时到达索塔B，求汽车匀加速行驶的时间。 【答案】(1)210m (2)350m (3)5s 【详解】（1）以索塔为原点，汽车速度方向为正方向。 追及问题中，当两者速度相等时，距离达到最大。汽车速度，摩托车初速度，加速度 令 解得 此时汽车位置为 摩托车位置 两者最大距离 （2）摩托车加速到最大速度的时间 时汽车位置 摩托车位置 此时摩托车未追上汽车，之后摩托车以匀速运动。 设追及总时间为 追上时 解得 汽车行驶距离 （3）索塔A到B距离，追上时刻汽车距B点 火车加速到最大速度的时间 加速阶段火车头位移 火车剩余位移 火车匀速时间 火车头从A到B总时间 追上时刻后，火车还需要的时间 设汽车匀加速时间为t，匀加速末速度 匀加速位移 剩余时间匀速，位移为 总位移 化简得 解得，（大于 22.5s 舍去），故匀加速时间为5s。 7．2025年9月3日，在阅兵场上亮相的“红旗”系列导弹是中国反导系统的重要组成部分，当反导导弹与敌方导弹相遇立即爆炸，即为拦截成功。某次模拟场景如图所示，在xOy平面内，O点放置反导系统。为防空识别区区域。敌方巡航导弹以速度水平向左匀速飞行，高度为，进入防空识别区边界时，反导系统立即识别，并在后发射反导导弹进行拦截。反导导弹发射后先以竖直向上加速运动，达到最大速度后改为匀速运动，直至达到高度H，随后立即调整方向（不考虑速度调整为水平方向的时间），水平向右以速度匀速飞行，拦截巡航导弹。已知巡航导弹和反导导弹均可视为质点，且两者始终在xOy平面内运动，，求： (1)反导导弹上升到高度H所用时间 (2)拦截点距离基地的水平距离x (3)若巡航导弹速度提高为，反导导弹发射加速度和发射角度可调，最大速度仍为，反导导弹发射后全程做直线运动，为使拦截点距离基地的水平距离，求反导导弹的最小加速度（取2.24） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）反导导弹发射后先以竖直向上加速运动，经过时间达到最大速度，根据匀变速直线运动速度公式可得 解得 此过程反导导弹上升的高度 反导导弹匀速上升时间为，可得 解得 反导导弹上升到高度H所用时间 （2）反导导弹上升到高度H时，敌方巡航导弹向左匀速飞行的位移 反导导弹调整方向,水平向右以速度匀速飞行，经过时间与敌方巡航导弹相遇。可得 解得 拦截点距离基地的水平距离 （3）由题意可知，当拦截点距离基地的水平距离最近，反导导弹的位移最小，运动时间最长，当反导导弹做匀加速直线运动，没有匀速过程，加速度最小。 巡航导弹运动时间 根据几何关系可得反导导弹位移 根据匀变速直线运动位移公式可得 解得反导导弹的最小加速度 由于此时反导导弹 则反导导弹应先加速后匀速，设加速时间为，匀速时间为，满足 解得 则反导导弹的最小加速度 8．ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前处减速至，以速度匀速行驶通过中心线，再加速至行驶；如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至0，经时间缴费后，再加速至行驶。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为。 (1)求通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (2)求通过人工收费通道的汽车从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (3)若两辆汽车一开始在两个车道并排行驶，一辆通过人工收费通道，另一辆通过ETC通道，到两辆汽车都恢复正常行驶的过程中，二者之间的最大距离； (4)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多长时间。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）根据对称性可知，通过ETC通道的车辆加速和减速的时间均为 车辆匀速过程的时间为 则通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间为 （2）通过人工收费通道的汽车减速过程和加速过程所用时间均为 通过人工收费通道的汽车从开始减速到恢复原来速度所用的总时间为 （3）通过人工收费通道的汽车减速过程和加速过程通过的位移大小均为 通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所通过的位移大小为 通过ETC通道的车辆在60 s内通过的总位移大小为 则二者之间的最大距离为 （4）通过人工收费通道的汽车从减速到恢复原来速度通过的总位移大小为 在内，通过ETC通道的汽车以初速度匀速运动的时间为 则汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为 9．平直乡村公路上，初始相距的甲、乙两车静止在道路两端，同时启动、相向而行。甲车启动加速度，在该路段允许达到的最大速度；乙车启动加速度，在该路段允许达到的最大速度。初始，两车先匀加速行驶，此后乙车立即以大小的加速度减速，当乙车减速至掉头安全速度时，以该恒定低速完成掉头，掉头耗时；掉头全程乙车的位移可忽略不计，掉头结束后乙车立即以反向匀加速行驶。两车达到最大速度后均匀速行驶。求： (1)乙车完成掉头时，两车间的距离； (2)甲车追上乙车时，甲车的总位移； (3)甲车达到最大速度后匀速行驶时，两车同时开始匀减速，甲、乙两车减速的加速度大小分别为、，试判断两车是否会再次相遇，若相遇求出相遇时间，若不相遇说明理由。 【答案】(1) (2) (3)不会 甲车达到最大速度后匀速，即从匀速至此时甲车位置，速度为 乙车：掉头结束后，至位置，速度 之后匀速至，时间，位移 乙车位置，速度为 时甲车在前，距离，且甲车速度，甲车仍在前方并远离。 两车同时减速，甲车加速度大小，停车时间，停车位移 甲车最终位置 乙车加速度大小，停车时间，停车位移 乙车最终位置 因为，甲车最终仍在乙车前方，故两车不会再次相遇。 【详解】（1）前： 甲车位移，速度 乙车位移，速度（方向向左） 乙车位置为，甲车位置为 ：乙车减速至，减速时间 减速位移 乙车位置变为 ：乙车以匀速掉头，位置仍为 此段时间内甲车继续加速。甲车达到最大速度需，故在时甲车位移 之后匀速，至，位移增量，甲车位置为。 故乙车完成掉头时两车距离 （2）掉头结束后乙车以向右加速，从加速至最大速度需 加速位移 此时乙车位置 时间 同一时刻甲车位置：，甲车仍在乙车后方，此时甲车速度，乙车速度，相对速度，追上还需 故追上时间为 甲车从到匀速行驶时间，位移，总位移 （3）见答案 10．2025年9月，深圳发布数据显示，全市功能型无人车运营数量已超700台，其中无人物流车（如图甲）占比过半，月配送快递90万单，无人配送实现从概念到实践的突破。如图乙，在某次无人物流车运载测试过程中，无人物流车A、B在同一平直车道同方向行驶，A车在前，B车在后。两车相距时（记为），A车的速度大小为，A车的激光雷达检测到前方有障碍物，立即以大小为的加速度做匀减速运动，此时，B车的速度大小为、正以大小为的加速度做匀加速运动，为了避免和A车相撞，时，B车开始以一定的加速度做匀减速运动，直至停车。本题中A、B车之间的距离均指的是B车车头和A车车尾之间的距离，求： (1)从到，A车的位移的大小； (2)从到，A、B车之间的最大距离； (3)为了避免相撞，B车减速时的加速度大小需满足的条件是什么？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从到过程中，取A车初速度方向为正方向，有 解得 （2）当A、B车共速时，两车的距离最大，设经过时间后两车共速，有 解法一：设此时A、B车的位移分别为、，有， A、B车之间的最大距离 解得 解法二：设此时A、B车速度为，位移分别为、，有，， A、B车之间的最大距离 解得 （3）设时，A、B车速度分别为、，有， 解得， 设时，B车位移为，A、B两车此时距离为，有， 解得 假设A车停止还需的时间为，有 若A、B车同时停止且恰好相遇，设两车在这段时间内相对位移为，有 解得，该情况不可能。 当B车先停止，A车后停止时，A、B车共速时距离最小，设共速的时间为，且这段时间内两车位移分别为、，B车减速时的加速度大小为，有，， 若两车不相撞，A、B车的位移需满足 解得 11．电子设备之间在一定距离范围内可以通过蓝牙连接进行数据交换，已经配对过的两电子设备，当距离小于某一值时，会自动连接；一旦超过该值时，蓝牙信号便会立即中断，无法正常通讯。如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶、两位置都装有蓝牙设备，这两个蓝牙设备在5m以内时能够实现通信。时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为5m/s，乙车的速度为2m/s，、的距离为3m。从该时刻起甲车以的加速度做匀减速运动直至停下，乙车保持原有速度做匀速直线运动。（忽略信号传递时间） （1）在甲车停下来之前，两车在前进方向上距离最大是多少米? （2）从时刻起，甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为多长?    【答案】（1）4.5m；（2）6.25s 【详解】（1）假设经过，两车的速度相等，此时相距最远 解得 此时两车在前进方向上的最大距离为 （2）根据几何知识可知，当甲车在乙车前方且时，有 根据运动学公式有 解得 ， 当时，有 当时，有 时，甲车的速度为 之后，甲、乙两车的距离不断减小，且甲车能够继续行驶的距离为 根据几何关系可知，从开始到乙车行驶至甲车前方4m的过程中，，这段过程经历的时间为 所以甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为 12．ETC是电子不停车收费系统的简称。 (1)高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7s，刹车的加速度大小为5m/s2，则该ETC通道的长度是多少？ (2)某人在离汽车尾部20m处，以速度v=6m/s向汽车匀速跑过去，与此同时，汽车以1m/s2的加速度从静止启动，做匀加速直线运动。如果人能追上汽车，要用多长时间？如果人不能追上汽车，则人与汽车之间的最小距离是多少？ (3)如图所示，汽车以15m/s的速度匀速行驶，如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至0，经过20s缴费后，再加速至15m/s行驶。如果过ETC通道，需要在中心线前方10m处减速至5m/s，匀速到达中心线后，再加速至15m/s行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为1m/s2。汽车过人工收费通道，从收费前减速开始，到收费后加速结束，总共通过的路程是多少？汽车采用ETC缴费方式比采用人工缴费方式节约多长时间？ 【答案】(1)9.6m (2)不能追上汽车，2m (3)225m，27s 【详解】（1）汽车的运动过程分为两个阶段，在识别时间内和司机反应时间内汽车做匀速运动，然后减速刹车。则识别时间内和司机反应时间内汽车行驶距离为 减速刹车过程中汽车做匀减速直线运动，则有 则该ETC通道的长度约为 （2）由题意经分析可知，人若在速度与汽车相等时仍然没有追上汽车，则人将不能追上汽车。设经时间t，人与汽车速度相等。由匀变速直线运动的速度与时间的关系可得 代入数据解得 设在6s内人与汽车位移分别为x人及x汽，则由运动学公式可得， 则 故人不可能追上汽车。当两者速度相等时，两者间距最小，为 （3）人工缴费： 减速到收费站中心线所需时间为 则减速至收费站中心线行驶的路程为 由题意可知缴费时间为 加速时间为 再加速至15m/s所行驶的路程为 故总时间为 总路程为 ETC缴费： 减速时间为 减速过程的位移为 匀速行驶的位移为 匀速时间为 加速时间为 加速过程的位移为 总位移为 则ETC缴费和人工缴费加减速的路程差为 ETC缴费通过这段路程差的时间为 故总时间为 则节约时间 13．“百公里加速”项目是对汽车动力最直观的体现，“百公里刹车”则是汽车刹车性能的一项重要指标。某车企对其新研发的一款汽车进行常规加速和减速测试。t=0时测试流程开始，此时汽车静止，某时刻汽车提速，以匀加速直线开出，然后经历匀速直线运动和匀减速直线运动直到停止。下表给出了几个不同时刻汽车的速度大小，据此表求： 时刻t/s 3.0 6.0 10.0 15.0 17.0 18.0 速度v/m·s⁻1 6 18 30 30 20 10 (1)该汽车加速和减速时的加速度a1和a2： (2)求汽车保持匀速运动的时间； (3)求测试开始后t=20秒内汽车的路程。 【答案】(1)，方向与运动方向相同；，方向与运动方向相反 (2) (3) 【详解】（1）取汽车运动方向为正方向，由加速度定义式，利用加速阶段时和时的数据，得 利用减速阶段时和时的数据，得 说明减速加速度方向与汽车运动方向相反。 （2）设为汽车开始加速的时刻，为加速结束并开始匀速运动的时刻，为开始减速的时刻，为停止的时刻。匀变速直线运动满足速度公式。汽车在时刻由静止开始加速，以为计时起点时初速度为，所以测试时刻的速度满足 将表中时和代入上式，得 解得汽车开始加速的时刻为。表中最大速度为，加速结束时汽车恰好达到该速度。将，和代入加速阶段的速度关系，得 解得加速结束的时刻为。减速阶段开始时汽车速度为，由匀变速直线运动速度公式，减速阶段任意时刻的速度满足 将时和代入，得 解得开始减速的时刻为。汽车在时刻停止，将，和代入减速阶段的速度关系，得 解得停止时刻为。因此汽车保持匀速运动的时间为 （3）时间内汽车保持静止，路程为。加速阶段的持续时间为 匀速阶段的持续时间为 减速阶段的持续时间为 匀变速直线运动的平均速度等于初速度和末速度的平均值，即。加速阶段初速度为，末速度为，所以加速阶段的路程为 匀速阶段速度为，所以匀速阶段的路程为 减速阶段初速度为，末速度为，所以减速阶段的路程为 汽车在时已经停止，到内没有路程。因此测试开始后内汽车的总路程为 14．智能交通控制中，为提升通行效率，某些路段设置了“绿波带”，能使以一定速度行驶的车辆连续绿灯通行。小明选取某平直道路相邻三个路口A、B、C的信号灯进行模拟研究（如图），路口间距。三个路口绿灯、红灯持续时间均为30 s。时，A的绿灯开启；时，B的绿灯开启；时，C的绿灯开启。时，车由静止从A开始做匀加速直线运动直到速度大小为，之后一直做匀速直线运动并依次通过B、C路口。车视为质点，不计通过路口的时间，不考虑黄灯时间。 (1)求车做匀加速直线运动的平均速度大小。 (2)若时，车刚好通过B路口，求车做匀加速直线运动的位移大小。 (3)若车在内通过C路口，求车做匀加速直线运动的加速度大小范围。 【答案】(1)7.5m/s (2)150m (3) 【详解】（1）对于匀变速直线运动，某段过程的平均速度满足 汽车由静止开始匀加速，初速度 ，末速度 ，因此平均速度： （2）汽车从A到B总位移 ，总用时 。设匀加速时间为 ，则匀速运动的时间为 总位移可表示为匀加速位移加匀速位移： 解得 因此匀加速位移： （3）汽车从A到C总位移 ，要求总运动时间 。 设匀加速加速度为，则匀加速到的时间 匀加速位移 总位移满足： 代入数值整理得： 化简后得到总时间与加速度的关系： 当 时，对应加速度最小值： 当 时，对应加速度最大值： 校验通过B灯时，是否闯红灯： 加速到最大速度时，最大位移 说明到B之前已达到最大速度； 车通过B的时刻满足，同理可得与加速度的关系： B的绿灯窗口为 结合得到的，代入的表达式可得： 当时，；当时，。 即满足B路口绿灯通行的要求，不存在闯红灯的情况。 因此加速度范围为 15．甲、乙两车在平直公路的同一车道上行驶。在t=0时，甲车以v0=26m/s的速度匀速行驶，乙车在甲车前面以a1=2m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动。t=2s时，甲车发现前面乙车，立即采取行动。两车均可视为质点，并排即视为相遇，不计反应、变道、转向时间。 (1)若甲车不变道，立即以a2=9m/s2的加速度做匀减速直线运动，恰好未追尾。求t=0时两车之间的距离。 (2)若t=0时甲、乙两车相距112m，t=2s时甲车立即变道，甲车进入新车道后，以变道前的速度继续匀速行驶2s。之后，甲车以加速度做匀减速直线运动。 ①请定量分析甲乙两车相遇几次？ ②从t=0时刻到两车相遇，乙车行驶的位移是多少？（若相遇次数多于1次，分别求对应位移） 【答案】(1)70m (2)①两次；②t3=6s时，x3=36m；t3=8s时，x3=64m 【详解】（1）两车速度相等时，恰好相遇，设从t=0时开始计时运动时间为t1，题目中t0=2s，则 解得t1=4s 甲车在时间内的位移 乙车时间内的位移则t=0时两车之间的距离解得 （2）①甲车匀速阶段，甲车位移 乙车位移加初始距离 因 ，故此阶段未相遇。 设甲车从0时刻到速度减为零所用时间为t2，对甲车分析 解得 设t3时并排，则 解得， 由此可知两车相遇两次。 ②当时， 当时， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $