考点49数列的求和重难点讲义-2027届高考数学一轮复习

黄金考点49  数列的求和 1．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 2．据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（   ） A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 3．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．为递增数列 D．是等差数列 4．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 5．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前n项和为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 6．已知等差数列的前和为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知为数列的前项和，且，，则__________． 8．已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． （2025·全国二卷·高考真题） 9．记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． （2026·全国一卷·高考真题） 10．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题） 11．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． （2023·全国甲卷·高考真题） 12．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． （2026·江苏无锡·三模） 13．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在，，使得数列为等比数列 D．存在，，使得数列为等差数列 （2026高三·全国·专题练习） 14．已知等差数列中，公差且，是方程的两个根，那么使得前项和为负值的最大的的值是________． （2026·山东烟台·模拟预测） 15．在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． （2026·山西忻州·模拟预测） 16．记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． （2026·宁夏银川·模拟预测） 17．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； （2025·内蒙古赤峰·模拟预测） 18．记为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. （2026高三·全国·专题练习） 19．已知是等比数列的前项和，首项，公比，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，问从第几项开始数列中的连续20项之和等于102？ （2026高三·全国·专题练习） 20．一只蚂蚁从单位正方体的顶点A出发，每一步（等可能）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点A的概率为 (1)求，，； (2)设顶点A出发经过n步到达点C的概率为，求的值； (3)求. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《考点49 数列的求和 【练】黄金考点总动员2027届》参考答案： 1．D 【分析】利用求解即可. 【详解】，故， 故……， 故. 故选：D 2．C 【详解】∵ 火箭点火后每秒通过的路程依次构成数列，由题意得，， ∴ 数列是首项，公差的等差数列，设该过程需要的时间为秒， ∵ 前秒的总路程为240km，等差数列前项和公式为， ∴ 代入数据得，整理得， ∵ ，∴ 解得，即该过程大约需要15秒钟. 3．ACD 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，得到数列的通项公式和前项和，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，可得 ，即，解得， 所以，且， 对于A，由，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，所以B不正确； 对于C，由，所以，即， 所以数列为递增数列，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 所以数列是等差数列，所以D正确. 4．C 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 5．D 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，据此可得，再由裂项求和法即得答案. 【详解】由题意，则在点处的切线斜率为. 直线斜率为，则，解得， 函数，数列通项， 因此，所以. 故选：D 6．A 【分析】先根据已知，，结合等差数列公式计算可得， 进而得出，再应用裂项相消计算即可. 【详解】由等差数列，可得前项和为， 又因为，所以，所以， 即得，所以， 则. 故选：A. 7． ## 【分析】解法一：由递推关系，构造新的等比数列，得到数列的通项公式，从而求该数列的前项和. 解法二：由结合并项求和法以及等比数列的求和公式即可求出的值. 【详解】解法一：，则， 令，有， 又，， 数列是一个首项为，公比为的等比数列， ，所以， . 解法二：因为，， 所以，数列的前项和为 . 8．(1)证明：数列中，由，得， 而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以的通项公式为. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义推理得证，再利用等比数列通项公式求解. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求和即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，令数列的前项和为， 则，， 两式相减得， 因此，， 所以数列的前项和. 9．B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 10．B 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 11．C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 12．(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 13．AC 【分析】对于A，利用等差数列的定义判断；对于B，举反例，，再结合等比中项的性质即可判断；对于C，举例，，再结合等比数列的定义即可判断；对于D，利用反证法判断是否为关于的一次函数即可判断． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，， 对于A，由， 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，取，，则，前项分别为，，， 又，所以此时数列不为等比数列，故B错误； 对于C，取，，则，，则， 所以此时数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对于D，若存在，，使得数列为等差数列，则是关于的一次函数， 若，则，显然不可能是关于的一次函数； 若，则，显然不可能是关于的一次函数， 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误． 14．4017 【分析】根据韦达定理可得与的和、积关系，结合公差判断两项的正负性，再利用等差数列的性质与前项和公式，分别计算和的符号，即可得到使为负值的最大. 【详解】∵ ，是方程的两个根， ∴ ，. ∵ 等差数列的公差，∴ ，即，. 又因为，. ∴ . . ∴ 使得前项和为负值的最大的的值是. 15．(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 16．(1) ， (2) 【分析】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . （2）由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 17．(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 18．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的等差中项以及公差计算，结合其通项公式，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式，可得新数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 【详解】（1）由数列为等差数列，则，解得， 可得等差数列的公差， 可得 所以等差数列的通项公式为.. （2）由等差数列易知， 则，设数列的前项和为， 可得， 当时，； 当时，. 综上可得数列的前项和为. 19．(1) (2)从第2项或第5项开始数列中的连续20项之和等于102． 【分析】（1）运用等差中项的性质及等比数列的前项和公式，可得关于的方程，解方程可得公比，进而得到所求通项公式； （2）先利用（1）中结果求得，记数列从第项开始的连续20项和为，得，分和两种情况，由利用等差数列的前项和公式列方程求解. 【详解】（1）依题意得， 因为，所以， ，或（舍去）. ，． （2）． 记数列从第项开始的连续20项和为，则 若，则，不合题意； 所以， ， ， ，解得或， 所以从第2项或第5项开始数列中的连续20项之和等于102． 20．(1)，， (2)当n为奇数时，，当n为偶数时， (3), 【分析】（1）通过观察正方体的棱连接关系，得到一阶递推方程组后，代入初值进行逐项迭代即可求得等具体数值； （2）利用第（1）问的递推方程组可得到的递推关系，分奇偶可得答案； （3）利用第（1）问的递推方程组代入消元，整合成一个仅包含的递推关系，构造法可得到的通项. 【详解】（1）为了方便计算，我们将正方体的顶点按照到顶点的最短距离分为四类： 第0类：顶点（距离为0，共1个）； 第1类：顶点（距离为1，共3个）； 第2类：顶点（距离为2，共3个）； 第3类：顶点（距离为3，共1个）， 设蚂蚁经过步到达上述四类顶点的概率分别为， 显然， 初始状态为：，， 由正方体的结构可知， ， 利用递推公式逐步计算： 当时：，，，； 当时：，，； 当时：，， 当时：， 所以，，，. （2）点属于第2类， 因为第2类的三个顶点（）是完全对称的， 所以到达点的概率， 因此，， 由递推式可得： ， 同时，， 所以. 当为偶数时，； 当为奇数时，， 综上，当n为奇数时，，当n为偶数时，. （3）由可得， 将其代入得到：， 又因为，所以，① 将代入， 得到：，② 将②式中的替换为和代入①式： 化简得：， 即， 将换成， 得到递推式：（）， 当为奇数时，因为， 由递推式可知所有奇数项都为，即； 当为偶数时， 由， 令， 得 ，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 两边求和得： ， 即：， 所以，， 所以当为偶数时，， 综上：， 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄金考点49  数列的求和 2026年真题深入解读 【2026·全国二卷·第10题】（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ） A．    B． C．    D． 高考新趋势 1.从 "会套方法" 转向 "会选方法"：大题普遍先给递推 / 前 n 项和关系求通项，再让学生依据通项结构自选求和方法（分组、错位、裂项多法并用），方法识别能力被前置为得分关键. 2. 求和与函数结合：如2025 新 I・T16 等差数列" 与 "多项式函数 的导数求和" 嫁接，求和对象从 "数列" 扩展为 "函数展开式"，跨模块综合明显. 3. 奇偶项 / 分段求和加速升温，预计是未来两年的确定性增量. 4. 文化情境与真实问题入场：2026 新 I・T7"一百零八塔" 用古建筑包装等差求和，延续 2017"算法统宗・塔灯" 的命脉，情境化求和成为稳定出题模板. 5. 新定义成为压轴优选：求和被塞进 "最优分解"" 并集元素个数 "等新规则中，压轴题从" 技巧难 "转向" 理解难 + 运算量适中 ". 命题分析 （1）情境创设：纯数学情境，以等比数列为背景，考查等比数列的基本性质和前n项和公式． （2）问题设计：已知等比数列公比大于1，给出两项的值，要求判断四个关于公比、前n项和、数列单调性的命题． （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重等比数列基本公式的灵活运用和数列性质的推理判断． 知识总结 ①核心概念：等比数列通项公式an=a1∙q(n-1)；前n项和Sn=(q≠1)；等比数列各项同号时，公比q>1则递增，0<q<1则递减． ②解题要点：先由已知条件列方程求公比q，再验证各选项． ③拓展关联：等比数列与等差数列是数列的基础模型，等比数列前n项和公式中注意q=1时的特殊情况． 分步解析 第一步：列方程求q、判断A、B 由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. 第二步：计算，判断C ， ，所以C正确. 第三步：判断 ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 考情维度 2027命题预判 分值位置 数列求和是高考数列板块的核心落点，每年至少一卷在 "求和" 上直接命题，多数落在解答题第 2 问（10—13 分），选填中档题也常以 "前 n 项和" 为考点 核心考点 等差、等比数列求和公式、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等 命题特点 十年来命题主线：先求通项→再选求和方法→后综合（不等式 / 函数 / 新定义），且近年 "方法选择" 本身越来越成为考查重点. 备考策略 1.熟记等差、等比数列通项及求和公式；2.主次分明：把错位相减、裂项相消、公式法练到 "零失误"（占分大头），奇偶 / 分段与新定义作第二梯队重点，倒序相加等只作储备. 3. "先通项后求和" 一体化训练，别把两问割裂练，要练 "通项一出来，条件反射判断求和结构". 4. 书写模板化：错位相减、裂项验等、奇偶分段（n=2k、n=2k-1）都要有固定书写格式，降低考场失分. 考法一 公式法（等差、等比数列求和） 【十年真题*精选】 真题1-1（2026·全国二卷·高考真题） 1．记为等差数列的前项和.若，，则__________． 真题1-2（2025·全国二卷·高考真题） 2．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 真题1-3（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题） 3．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2026·全国二卷 等差数列通项、求和 1.根据已知条件，布列方程（组），确定等差数列、等比数列通项公式所需元素. 2.应用等差、等比数列求和公式. 2025·全国二卷 等比数列基本量计算、求和 2023·全国Ⅰ卷 等差数列通项、求和公式、数列递推 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026·宁夏银川·模拟预测） 4．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 模拟1-2（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试） 5．已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）. 模拟1-3（2026高三·全国·专题练习） 6．以数列的任意连续两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：且．求数列的前项和． 考法二 错位相减法 【十年真题*精选】 真题2-1（2025·全国一卷·高考真题） 7．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 真题2-2（2024·全国·高考真题） 8．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 真题2-3（2023·全国·高考真题） 9．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2025·全国一卷 递推、等差、等比数列、函数与导数 1.错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；2.用错位相减法求和应注意的问题： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 2024·全国甲卷 等比数列通项、错位相减法 2023·全国甲卷 与关系、递推、错位相减法 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2026·江苏徐州·模拟预测） 10．设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 模拟2-2（25-26高三上·四川内江·开学考试） 11．记为数列的前项和，，则（   ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列的前项和为，则 模拟2-3（2024·全国·模拟预测） 12．已知数列的首项，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 考法三 裂项相消法 【十年真题*精选】 真题3-1（2021·浙江·高考真题） 13．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 真题3-2（2017·全国·高考真题） 14．设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 真题3-3（2018·天津·高考真题） 15．设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设数列的前n项和为， （ⅰ）求； （ⅱ）证明. 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2021·浙江 递推求数列通项、裂项相消法 1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 3常见类型： （1）对于结构，其中是等差数列，公差为，则. （2）形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数. （3）常见“裂项”的数列通项： ， ， ， ， 2017·全国 递推求数列通项、裂项相消法求和 2018·天津 根据递推关系求等差、等比数列通项、裂项相消法 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2026·陕西西安·模拟预测） 16．在等差数列中，公差，已知成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列的前项和． 模拟3-2（25-26高三上·湖南·开学考试） 17．记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 模拟3-3（2024·全国·模拟预测） 18．已知正项等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 考法一 分组求和法（含奇偶分组、并项思想）、倒序相加法 【十年真题*精选】 真题1-1（2024·全国甲卷·高考真题） 19．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 真题1-2（2023·全国·高考真题） 20．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 真题1-3（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题） 21．已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【解题规律*总结】 1.分组求和法、含 (-1)ⁿ、绝对值符号项求和： ①通项拆分为 "等差 + 等比" 或 "等差 ± 等差" 分别求和再合并；②(-1)ⁿ型 / 周期型 / 分段通项的奇偶分组，去符号先判正负分段；(-1)ⁿ型先并项再求.③"并项求和"—— 相邻两项合并成等差 / 等比再整体求（近年填空压轴常用）. 2.    奇偶项分段（并项）求和： ①通项含 (-1)ⁿ或按奇偶分段时的 Sₙ分类表达；②"偶数项和 + 奇数项和" 两条线分别化归为等差 / 等比；③奇偶与递推、周期结合. 3.    倒序相加法：配对思想= 常数或规律）的应用；常与 "关于中点对称" 的函数性质结合. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026·陕西西安·模拟预测） 22．已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 模拟1-2（25-26高三下·陕西西安·阶段检测） 23．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 模拟1-3（2024·四川攀枝花·统考二模） 24．已知数列满足． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 预测角度 预测缘由 试题指引 备考提醒 等比数列基本量计算、求和 考查基础 如押题第1题 1.错位相减：相减时中间等比项漏写、项数数错（是 n-1 项还是 n 项）；最后一步 (1-q) 除过去时 q=1 未讨论.2.裂项相消：裂项系数（ 类）漏掉；"剩头剩尾" 多写或少写项；裂开后未通分验等. 3.奇偶分段：Sₙ的奇偶两种表达式在 n=1 处不衔接、k 的取值区间写错. 4.公式法：等比 q 含参忘分类；Sₙ与 aₙ退位时忘验 n=1；把 Sₙ误当通项直接用. 5. 分组 / 并项：分组后各子数列首项、项数错位（尤其从第几项开始分组）. 6. 放缩求和：放缩方向反了、放缩后不能裂项成可求和结构. 根据递推关系求通项公式、等差数列、裂项相消法 考查基础 如押题第2题 根据等差、等比基本量求等差数列通项、等差和的最值 考查基础 如押题第3题 基本量计算求等差数列通项、等比数列、分组求和 考查基础、体现融合 如押题第4题 基本量求等差、等比数列通项、错位相减法 考查基础、体现融合 如押题第5题 （押题1:等比数列基本量计算、求和） 25．已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. （押题2:根据递推关系求通项公式、等差数列、裂项相消法） 26．已知数列满足，则数列的前8项和为（    ） A． B． C． D． （押题3:根据等差、等比基本量求等差数列通项、等差和的最值） 27．设是首项为4，公差的等差数列的前项和，若和的等比中项为．求： (1)的通项公式； (2)使的最大值． （押题4:基本量计算求等差数列通项、等比数列、分组求和） 28．已知等差数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. （押题5:基本量求等差、等比数列通项、错位相减法） 29．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《考点49 数列的求和 【讲】黄金考点总动员2027届》参考答案： 1．24 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 2．AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 4．(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 5． 【分析】写出前11项的和，由等比数列的求和公式求解即可. 【详解】因为，，，， 所以. 故答案为： 6． 【分析】根据题意可得，进而求出，由此可得是首项为9，公比为2的等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意，． ． ． ． 则是首项为9，公比为2的等比数列， 所以． 7．(1)证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 8．(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 9．(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 10．(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 11．ACD 【分析】利用给定的递推公式求出判断A；求出数列的通项公式，并结合错位相减法，再逐一判断选项BCD. 【详解】对于A，数列中，，则，解得，A正确； 当时，，则，即， 数列是首项为，公比为2的等比数列，， 对于B，，B错误； 对于C，，则，因此数列为等比数列，C正确； 对于D，，，， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ACD 12．(1)因为，， 所以，，又， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明； （2）求出的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， ， 令，① 则，② ①②得，， ， . 13．A 【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解． 【详解】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当时， 则，当且仅当时等号成立， ， 由累乘法可得，且， 则，当且仅当时取等号， 由裂项求和法得： 所以，即． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得． 14．(1) ；(2). 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式. （2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和. 【详解】（1）数列满足 时, ∴ ∴ 当时,,上式也成立 ∴ （2） ∴数列的前n项和 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题. 15．(1)，； (2)（ⅰ）. （ⅱ）因为， 所以. 【分析】（1）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则；结合等差数列通项公式可得 （2）（ⅰ）由（1），有，则.； （ⅱ）因为，裂项求和可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为q.由 可得.因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （2）（i）由（1），有， 故. （ii）略 16．(1) (2)因为， 所以， 所以 【分析】（1）由可得，结合等差数列通项公式及等比数列定义计算求解即可； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【详解】（1）由，得 ，解得， 故． 将数列记为， 因为为等比数列，所以公比， 所以．① 又，② 由①②，得． （2）略 17．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求得，，即可求解通项公式； （2）由（1）得，所以，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知， 解得，，故； （2）由（1）得，所以， 数列的前项和为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出公比，继而求出首项，即可求得答案； （2）结合（1）求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，所以， 因为，所以； 因为，所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， ， 故. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 20．(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 21．（1）；（2）. 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 22．（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 23．B 【分析】首先利用等比中项的性质结合等差数列通项公式可求出，然后求出数列的通项公式，最后根据并项求和就可求解 . 【详解】设等差数列首项为，已知公差，故， 因为，，成等比数列，由等比中项性质： ， 代入表达式得： ，整理得：，解得或， 若，则，等比数列不能含0项，故舍去，仅保留，故, 数列的前20项和分组得： ， 对每组用平方差公式： ， 因此： . 24．(1) 数列满足,整理得：， 所以，即 又， 故是以为首项，为公比的等比数列． (2) 【分析】（1）根据题中递推公式化简得到，从而求解. （2）由（1）中结论得，然后利用分组并项求和，从而求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，， 所以 ． ． 25．21 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ， ， 因为数列为等比数列， 所以有， 所以有，即. 又因为 所以，且 所以 26．A 【分析】对已知等式进行变形，可得数列的特征，由此求出的表达式，再利用裂项相消法求出前8项和. 【详解】依题意，，由两边同时除以，得到， 则数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即， 因此， 所以数列的前8项和. 故选：A 27．(1) (2)4 【详解】（1）由题意可设， ， ，， 又， ， ，． （2）， ， ，即， 又，的最大值为4． 28．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式得出，再应用通项公式求解； （2）先结合（1）得出，再应用分组求和结合等差数列及等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）因为， 所以， 故的公差， 所以的通项公式为. （2）由（1）及题设得， 所以， 所以是首项为4，公比为2的等比数列. 29．(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列等比数列公式列出方程组求解. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则依题意有且 联立解得，， 所以，． （2）（2）， 则有， ． 则 ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $