重难点培优03 等差、等比数列常考性质及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等差、等比数列常考性质及应用核心考点，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构梳理知识点内在联系，通过考点梳理、技巧通法指导、分层真题训练等环节，帮助学生系统突破重难点，体现复习教学的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与应用意识，如提炼下标和性质、片段和性质等解题通法，设计重难巩固与创新提升分层练习，培养学生用数学眼光分析问题、用数学语言表达规律的能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

重难点培优03 等差、等比数列常考性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 下标和的性质（★★★★★） 4 题型02 通项公式的函数特性（★★★★） 6 题型03 片段和的性质（★★★★★） 9 题型04 两个等差数列的前n项和之比（★★★★★） 11 题型05 前n项和的函数特性（含Sn的最值问题）（★★★★★） 13 题型06 等差、等比数列奇偶项的和（★★★★） 18 题型07 等差、等比数列中an与Sn的关系（★★★★★） 21 03 实战检测·分层突破验成效 25 重难知识巩固 25 创新能力提升 35 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 3、，…仍是等差数列，公差为． 4、，…也成等差数列，公差为． 5、若，是等差数列，则也是等差数列． 6、．数列是等差数列⇔（为常数）． 【常用结论】 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 4、若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点02 等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 1、若，则． 2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 知识点03 等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 知识点04 奇偶项问题 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 3、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 4、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 题型精研·技巧通法提能力 题型01 下标和的性质 【技巧通法·提分快招】 1、在等差数列中，当时，． 2、在等比数列中，若，则． 1．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以, 由于,所以数列的公差为，所以，解得： 2．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，， 根据等比数列的性质可得，则，即，解得. 同理可得，则，即，解得. 在等比数列中，，成等比数列，根据等比中项的性质可得， 则. 3．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 4．（多选题）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 5．（多选题）（2026·浙江·二模）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项. 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 6．已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质计算即得． 【详解】由题意，得，. 所以 7．（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【答案】 4 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 题型02 通项公式的函数特性 1．已知数列满足，，则数列是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据，得到数列是公比为的等比数列，然后求得其通项公式判断. 【详解】解：因为满足， 所以数列是公比为的等比数列， 所以， 又因为， 所以单调递增， 故选：A 2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数列的单调性、等比数列的通项公式即可求解. 【详解】取，显然数列不是递增数列，即“”不是“是递增数列”的充分条件； 若是递增数列，则，即，由知，即“”是“是递增数列”的必要条件. 综上，“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 3．若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质及二次函数的性质，结合数列的取值计算即可. 【详解】令，因为，所以，且随的增大而递减， 当时，；当时，；当时，； 则. 数列通项可化为. 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当，即时，，为最小项，即. 所以当，即时，，为最大项，即. 故. 4．（多选题）已知等差数列的通项公式是，则（    ） A．等差数列的公差 B．数列是递减数列 C．-100是数列中的某一项 D．数列一定是等比数列 【答案】BD 【分析】求出公差判断A；根据公差小于零判断B；令判断C；根据等比数列的定义判断D. 【详解】等差数列的公差故A错误； 因为，所以数列是递减数列，故B正确； 由得，所以-100不是数列中的某一项，故C错误； ，且，数列一定是等比数列，故D正确. 故选：BD. 5．（24-25高三下·重庆·阶段检测）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 【答案】ABD 【分析】根据递增数列和递减数列的定义分别判断即可． 【详解】对于A，若，则，为递减数列，故A正确； 对于B，若，则，为递减数列，故B正确； 对于C，取，此时，不满足递增数列，故C错误； 对于D，因为，当时，等比数列为正项且， 当时，等差数列各项为正且递增，即， 所以，即为递增数列，故D正确； 故选：ABD． 6．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________. 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 题型03 片段和的性质 【技巧通法·提分快招】 1、等差数列中，，…也成等差数列，公差为． 2、等比数列中，公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 又，所以， 所以． 2．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 【答案】B 【分析】先分析出，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出. 【详解】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 4．已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 5．（2025·广西·模拟预测）已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 6．记为等比数列的前n项和，若，，则______． 【答案】或 【分析】由等比数列性质得出也成等比数列，从而求得，然后求得公比后，再求得即得． 【详解】设的公比是， ，同理， 由已知，否则公比，，与已知矛盾， 所以也成等比数列，， 又，，所以，解得或， 又，所以与同号，因此， 所以，，， 若，则，，即， 若，则，，即． 故答案为：或． 题型04 两个等差数列的前n项和之比 【技巧通法·提分快招】 若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（2026·广东肇庆·二模）已知，分别为等差数列，的前项和，若，则___________． 【答案】/0.5 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知，． 故答案为： 2．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】. 3．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 【答案】 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 4．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则_____． 【答案】/0.5 【分析】运用等差数列前n项和的函数特征求解. 【详解】根据等差数列前n项和的函数特征，可设 则. 故答案为：. 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 题型05 前n项和的函数特性（含Sn的最值问题） 【技巧通法·提分快招】 1、将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 4、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 1．（2026·福建福州·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】应用等差数列求和公式结合充分必要条件定义计算判断求解. 【详解】当时，，是开口朝上的抛物线上的离散的点的纵坐标，一定有最小值； 当且时，也有最小值. 因此，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 2．（2026·重庆·模拟预测） 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：由 可得； 因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比， 当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立； 必要性：因为，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数， 所以，因此，即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件. 3．（2026·山东济南·模拟预测）记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】（充分性）若取，首项，则数列为······ 此时前项和满足：为奇数时，；为偶数时，； 显然可取，则对所有，都有，所以充分性不成立； （必要性）当时，前项和为， 由于恒成立，则恒成立，取， 则对所有，都有，必要性得证. 所以“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的必要不充分条件. 4．（多选题）（2026·湖南·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A． B． C．当取得最大值时，或 D．数列的前30项和为630 【答案】ABD 【详解】由题意知，， 化简得，解得. 所以，所以A，B正确； 因为， 令，得且， 所以当取得最大值时，或，所以C错误； 数列的前30项和为 . 所以D正确. 5．（多选题）（2026·广东肇庆·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. 6．（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BCD 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 7．（2026·湖南·三模）在等差数列中，若前n项和有最大值，且，则满足时的最大正整数n为________． 【答案】2026 【分析】应用等差数列求和公式及项的下标和性质计算求解. 【详解】由等差数列，其前项和有最大值，得是首项，公差的等差数列， 因为，故，，且， 则，， 故满足时的最大正整数为2026． 8．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足， ，则满足的最小整数为______． 【答案】4 【详解】①当时，代入得，又因为，所以， ②当时， ，两式作差得， 因为，所以数列从第二项起是公比的等比数列， 即， 当时，， 令，即， 当时，，当时，， 利用指数函数单调递增可知：满足的最小整数为4． 题型06 等差、等比数列奇偶项的和 【技巧通法·提分快招】 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 2．已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 3．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 4．等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 5．在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 6．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 7．若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 8．已知数列满足，，则的前40项和为_______________. 【答案】 【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解. 【详解】因为，，又，所以， 即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列． 所以前40项和为． 故答案为：. 题型07 等差、等比数列中an与Sn的关系 【技巧通法·提分快招】 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 1．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 又， 所以， 所以，， 所以. 故选：A 2．已知数列{}满足：则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的关系可推导出为等比数列，进而可得. 【详解】由题意，，即，又， 故是以1为首项，2为公比的等比数列， 故，故. 故选：B 3．（2026·河北衡水·模拟预测）设是数列的前项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系推出数列为等差数列，结合等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 4．（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数列等式进行变形化简确定数列从第二项起为公比为3的等比数列，从而利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 当时，，化简得， 又不满足， 所以数列从第二项起为公比为3的等比数列，所以. 5．设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，求得，，得到公差，，结合，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，可得， 因为，可得， 所以公差为，， 又因为，可得，则，解得， 则，所以. 故选：C. 6．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n项和，且，则数列的通项公式为______. 【答案】， 【分析】运用公式，根据数列前n项和求通项公式即可. 【详解】∵，∴当时， 当时， 当时，上式也成立，故． 故答案为：. 7．已知数列的前n项和为，满足，则________． 【答案】243 【详解】令，得，得， 由，当时，， 两式相减得，，即， 即，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. 8．若数列的前n项和，则数列的通项公式______. 【答案】 【分析】根据的表达式，由可得当时，；检验即可得出数列的通项公式. 【详解】由可得， 两式相减可得，即， 又时，，不符合， 所以， 故答案为： 9．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为______． 【答案】 【分析】根据求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为等比数列的前项和， 当时，， 当时，， 满足，即，解得，故， 故对任意的，，即数列为等比数列，故. 故答案为：． 10．设是数列的前项和，，令，则数列的前121项和为______. 【答案】 【分析】根据题意，结合，求得，进而得到数列是为等比数列，得到，得出，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列的前项和， 当时，可得， 两式相减，可得， 即，即， 当时，，可得，所以， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 则， 所以数的前121项和为. 故答案为：. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知正项等比数列的前项积为，若，，则（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质求得，然后求得公比，再由通项公式求得结论． 【详解】设的公比为.，， ，，， ，， .. 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据，再结合为等比数列，表示，求出的值. 【详解】当时，； 当时，， 又是等比数列，所以，解得. 故选：D. 3．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求解，并检验的情况即可求得答案. 【详解】因为数列的前项和， 所以，当时，; 当时，，， 故， 当时，不满足， 所以. 4．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 5．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 6．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 7．已知数列满足，，若的前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值是（    ） A．60 B．62 C．63 D．65 【答案】C 【分析】由，得到，从而数列是首项为4，公比为的等比数列，求得通项公式和前n项和求解. 【详解】由，得， ∴. 又因为， ∴数列是首项为4，公比为的等比数列， 则， ∴， ∴， 当时，单调递增，，， 故满足不等式的最小整数n的值为63. 故选：C 8．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）已知正项等差数列满足，则（     ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】A 【分析】利用等差数列性质及前项和公式变形给定等式得，再构造常数列求出目标值. 【详解】在等差数列中，， ， 则，即， 所以，所以，所以数列是常数列， 则，即，所以. 9．已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】分别证明充分性和必要性. 【详解】根据题意，等比数列中， 若数列为单调递增数列， 则，由于， 则，即或， 当时，，即数列为单调递增数列， 当时，数列正负交替出现，不是单调数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的不充分条件； 若数列为单调递增数列，因为，则，所以， 则，即数列为单调递增数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要条件， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件. 10．（多选题）（2026·山东东营·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 【答案】AC 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 11．（多选题）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 12．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）记为数列的前项和，若，，则（    ） A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 【答案】ACD 【分析】先利用与作差，推导出从第二项起数列是公比为2的等比数列，再据此逐一验证选项即可. 【详解】由题意可知，当时，；当时，， 所以， 所以()，， 从开始，数列是公比为2的等比数列：，，，，故A错误； 所以数列的通项公式为， 故数列不是等比数列，B错误； 所以，， 所以是公差为1的等差数列，CD正确. 故选：ACD. 13．（多选题）（2026·福建莆田·二模）记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B．为单调递增数列 C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过的赋值结合的符号，可判断D. 【详解】由，可得， 所以， 又，符合上式， 所以， 故为等差数列，且单调递增，AB正确， ，C错误， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当，可知， 此时， 由上可知的最小值为，D正确. 14．（多选题）（2026·山西忻州·模拟预测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D．，，，…，中最大的是 【答案】BCD 【分析】根据等差数列的通项、前n项和公式及性质，结合数列单调性判断项的正负和比值最值确定选项. 【详解】选项B： ，可得 ，B正确； 选项C： ，结合 ，可得 ，C正确； 选项A：由，，可得数列公差，数列递减， 因此时均为负，即得 ，故 ，A错误； 选项D：当时，，随增大递增，随增大递减， 故为正数且单调递增； 当 时，，，故为负数，因此所有比值中最大的是，D正确. 15．（多选题）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 【答案】BCD 【分析】由等差数列的前n项和公式与等差中项判断AD；利用作差法结合等差数列的性质判断B；由等差数列的单调性判断C. 【详解】对于A，， 若，由首项为正数可得一定大于零，不符合题意， 所以，，故A错误； 对于B，由A可知， ，故B正确； 对于C，由A可知，因为，，可知， 故时，取最大值，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 16．（25-26高三上·河南南阳·期末）设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 【答案】14 【分析】法一：利用等差数列的通项公式和前项和公式计算；法二：利用等差数列的性质计算. 【详解】由题知，，解得. 另解：因为，又，所以， 即，由等差数列性质知，得. 故答案为： 17．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）记为等比数列的前项和，若，则__________. 【答案】/ 【分析】本题利用等比数列的性质或者基本量法计算数列的首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式计算即可得出结果. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，，从而， 又，所以， 所以. 故答案为：. 18．等差数列，的前项和分别是与，且，则___________；______________. 【答案】 / / 【分析】空1：根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解；空2：设，，，代入即可求出. 【详解】空1：由等差数列的前项和公式，可得， 又由等差数列的性质，可得， 因为，可得. 空2：设， 所以， ，所以. 故答案为：；. 19．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 20．若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为______，项数为______． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 21．已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件推导出数列的通项公式，再求出，最后根据求出. 【详解】已知，且， 所以，两边同除以， 则，整理得：， 由得，故是首项为，公差为的等差数列， 因此：， 当时，， 所以. 创新能力提升 1．若是数列的前项和，已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，将进行转化，再构造新的数列，求出的通项公式，最后利用分组求和，求出. 【详解】解：由题意得，当时,，， 因为，所以， 设，则，所以， 则，设，则， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 因此，所以，即， 当时，，因此，， 所以， 即， 化简整理得. 2．（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案. 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于，无答案； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为10的情况下，， 解得，若，满足题干所有条件，综上的最小值为10. 3．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得，解得 又是整数，即是整数， 设，故，即，解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 4．（多选题）（25-26高三上·山东聊城·期末）是等差数列的前项和，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据等差数列的前项和公式和性质求解判断即可；对于B，设等差数列的公差为，求出，利用二次函数的性质进行判断；对于CD，利用B选项求出的进行判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 根据等差数列的性质，若，则， 所以，即，故，A正确； 对于B，设等差数列的公差为，由A选项可知，， 则，所以，所以， 所以， 当时，无最大值，故B错误； 对于C，， 又，所以，C错误； 对于D，， ，所以，故D正确； 故选：AD 5．（多选题）记公比为的等比数列的前项和为，前项积为，若数列满足，，，则（   ） A． B． C． D．是数列中的最大项 【答案】ABD 【分析】由题意分析得到，即可逐项分析判断. 【详解】因为，所以一个大于1，一个小于1， 又，，则， 所以，且，， 所以，且当，， 所以，故AB正确； ，故C错误； 因为当，， 所以， 即是数列中的最大项，故D正确. 故选：ABD 6．设等差数列的公差为是其前项和．已知，则_____． 【答案】2 【分析】根据等差数列前项和与通项公式计算可得公差. 【详解】使用将变为2025， 即，从而，得． 故答案为：. 7．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知数列满足，，则数列的前40项和______. 【答案】 【分析】由题意，根据递推公式可得，令，结合等比数列的定义和通项公式可得，进而，利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】由数列满足，， 得， 又，所以， 令，可得， 所以，由，可得，所以， 所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 则， 因为，适合上式，所以， 所以数列的前40项的和为 . 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 等差、等比数列常考性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 下标和的性质（★★★★★） 4 题型02 通项公式的函数特性（★★★★） 4 题型03 片段和的性质（★★★★★） 5 题型04 两个等差数列的前n项和之比（★★★★★） 6 题型05 前n项和的函数特性（含Sn的最值问题）（★★★★★） 7 题型06 等差、等比数列奇偶项的和（★★★★） 8 题型07 等差、等比数列中an与Sn的关系（★★★★★） 9 03 实战检测·分层突破验成效 10 重难知识巩固 10 创新能力提升 12 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 3、，…仍是等差数列，公差为． 4、，…也成等差数列，公差为． 5、若，是等差数列，则也是等差数列． 6、．数列是等差数列⇔（为常数）． 【常用结论】 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 4、若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点02 等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 1、若，则． 2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 知识点03 等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 知识点04 奇偶项问题 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 3、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 4、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 题型精研·技巧通法提能力 题型01 下标和的性质 【技巧通法·提分快招】 1、在等差数列中，当时，． 2、在等比数列中，若，则． 1．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2026·浙江·二模）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为，若，则________． 7．（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 题型02 通项公式的函数特性 1．已知数列满足，，则数列是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（多选题）已知等差数列的通项公式是，则（    ） A．等差数列的公差 B．数列是递减数列 C．-100是数列中的某一项 D．数列一定是等比数列 5．（24-25高三下·重庆·阶段检测）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 6．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________. 题型03 片段和的性质 【技巧通法·提分快招】 1、等差数列中，，…也成等差数列，公差为． 2、等比数列中，公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 2．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 4．已知等差数列的前项和为，且，则__________． 5．（2025·广西·模拟预测）已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 6．记为等比数列的前n项和，若，，则______． 题型04 两个等差数列的前n项和之比 【技巧通法·提分快招】 若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（2026·广东肇庆·二模）已知，分别为等差数列，的前项和，若，则___________． 2．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 3．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 4．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则_____． 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 题型05 前n项和的函数特性（含Sn的最值问题） 【技巧通法·提分快招】 1、将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 4、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 1．（2026·福建福州·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2026·重庆·模拟预测） 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．（2026·山东济南·模拟预测）记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选题）（2026·湖南·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A． B． C．当取得最大值时，或 D．数列的前30项和为630 5．（多选题）（2026·广东肇庆·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 6．（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 7．（2026·湖南·三模）在等差数列中，若前n项和有最大值，且，则满足时的最大正整数n为________． 8．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足， ，则满足的最小整数为______． 题型06 等差、等比数列奇偶项的和 【技巧通法·提分快招】 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 4．等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 5．在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 6．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 7．若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 8．已知数列满足，，则的前40项和为_______________. 题型07 等差、等比数列中an与Sn的关系 【技巧通法·提分快招】 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 1．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列{}满足：则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北衡水·模拟预测）设是数列的前项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n项和，且，则数列的通项公式为______. 7．已知数列的前n项和为，满足，则________． 8．若数列的前n项和，则数列的通项公式______. 9．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为______． 10．设是数列的前项和，，令，则数列的前121项和为______. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知正项等比数列的前项积为，若，，则（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 3．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 5．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，若的前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值是（    ） A．60 B．62 C．63 D．65 8．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）已知正项等差数列满足，则（     ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 9．已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 10．（多选题）（2026·山东东营·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 11．（多选题）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）记为数列的前项和，若，，则（    ） A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 13．（多选题）（2026·福建莆田·二模）记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B．为单调递增数列 C． D．的最小值为 14．（多选题）（2026·山西忻州·模拟预测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D．，，，…，中最大的是 15．（多选题）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 16．（25-26高三上·河南南阳·期末）设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 17．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）记为等比数列的前项和，若，则__________. 18．等差数列，的前项和分别是与，且，则___________；______________. 19．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 20．若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为______，项数为______． 21．已知数列的前项和为，则__________． 创新能力提升 1．若是数列的前项和，已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 3．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（多选题）（25-26高三上·山东聊城·期末）是等差数列的前项和，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D． 5．（多选题）记公比为的等比数列的前项和为，前项积为，若数列满足，，，则（   ） A． B． C． D．是数列中的最大项 6．设等差数列的公差为是其前项和．已知，则_____． 7．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知数列满足，，则数列的前40项和______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $