重难点培优05 数列的绝对值、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦数列高考重难点，涵盖绝对值、奇偶项、插项类等六大核心题型，整合等差数列、等比数列及求和方法等知识点，通过知识重构固根基、题型精研提能力、实战检测验成效的教学流程，系统梳理考点联系，指导解题通法，强化真题训练，助力学生突破数列综合应用难点。 资料以素养提升为导向，创新采用分类突破策略，如绝对值数列通过确定项的正负分界点分段求和，培养数学思维的逻辑性；奇偶项数列分n为奇偶数讨论，提升推理能力。设置重难巩固与创新提升分层练习，适配不同学生需求，帮助教师精准把控复习节奏，高效提升学生数列问题的分析与解决能力。

重难点培优05 数列的绝对值、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 绝对值数列（★★★★★） 5 题型02 奇偶项数列（★★★★） 6 题型03 插项类数列（★★★★） 7 题型04 公共项数列（★★★） 9 题型05 取整数问题（★★★） 10 题型06 存在项问题（★★★★★） 11 03 实战检测·分层突破验成效 12 重难知识巩固 12 创新能力提升 16 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 等差数列 一、等差数列的有关公式 1、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 二、等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 3、，…仍是等差数列，公差为． 4、，…也成等差数列，公差为． 5、若，是等差数列，则也是等差数列． 三、等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 【常用结论】 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 4、若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点02 等比数列　　　　　　　　　　　　　　　 一、等比数列的有关公式 1、等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 2、等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注：①在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 二、等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 1、若，则． 2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 知识点03 数列求和的常用方法 1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 知识点04 裂项的技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 题型精研·技巧通法提能力 题型01 绝对值数列 【技巧通法·提分快招】 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 1．已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（25-26高三上·重庆·期中）已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 题型02 奇偶项数列 【技巧通法·提分快招】 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 3、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 1．（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 2．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 3．（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 4．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 5．数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型03 插项类数列 【技巧通法·提分快招】 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 1．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 2．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项，之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和. 3．（24-25高三下·广东广州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 4．（2025·陕西西安·二模）已知数列是等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入k个相同的数，构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，求的前100项和． 5．（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 6．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 题型04 公共项数列 【技巧通法·提分快招】 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 1．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． (1)求的通项公式； (2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 2．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 4．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 5．已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 题型05 取整数问题 1．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段检测）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 4．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 题型06 存在项问题 【技巧通法·提分快招】 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 1．已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 3．（2025·甘肃白银·三模）已知等差数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式． (2)设数列的前项和为． ①求； ②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．已知数列和满足． (1)求与； (2)设数列的前项和为，是否存在实数，使得成等差数列？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高三上·山东泰安·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记集合，若中有3个元素，求的取值范围； (3)是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·宁夏·阶段检测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 2．（24-25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 3．已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 4．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求满足不等式的最大整数． 7．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 8．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 9．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）记为正项数列的前项和，． (1)证明：是等差数列； (2)定义数列表示满足的整数的个数，求数列的前项． 10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式． (2)记，数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 11．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 12．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 13．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 14．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求实数的值； (2)若，求的通项公式； (3)将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值. 15．已知等差数列的前n项和，数列的前n项和，. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 16．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求，； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值. (3)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 17．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 创新能力提升 1．已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 2．（2026·河北邯郸·二模）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）． 3．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数. 4．（24-25高三下·江苏常州·阶段检测）已知和分别为正项等比和等差数列，且． (1)求的前n项和． (2)将数列与去除公共项后从小到大排列为，记表示去除项在原数列中的项数n，设．求和的通项公式以及． 5．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知数列的前项和为，其中，且． (1)求； (2)若，求； (3)是否存在数列，使得，若存在，写出一个，若不存在，请说明理由． 6．已知数列的前n项和为，，，且（）. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和. 7．（2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 8．（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由； (2)若是“组差数列”，且为定值，证明：； (3)记的前项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数，使得恒成立． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 数列的绝对值、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 绝对值数列（★★★★★） 5 题型02 奇偶项数列（★★★★） 9 题型03 插项类数列（★★★★） 15 题型04 公共项数列（★★★） 20 题型05 取整数问题（★★★） 26 题型06 存在项问题（★★★★★） 29 03 实战检测·分层突破验成效 35 重难知识巩固 35 创新能力提升 51 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 等差数列 一、等差数列的有关公式 1、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 二、等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 3、，…仍是等差数列，公差为． 4、，…也成等差数列，公差为． 5、若，是等差数列，则也是等差数列． 三、等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 【常用结论】 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 4、若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点02 等比数列　　　　　　　　　　　　　　　 一、等比数列的有关公式 1、等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 2、等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注：①在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 二、等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 1、若，则． 2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 知识点03 数列求和的常用方法 1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 知识点04 裂项的技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 题型精研·技巧通法提能力 题型01 绝对值数列 【技巧通法·提分快招】 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 1．已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据与的关系求得数列的通项公式； （2）分析，分和两组求和，合并计算可得数列的前100项和． 【详解】（1）由，得. 所以当时，. 又，不满足. 所以. （2）令，则. 所以当时，，所以当时，数列是等差数列. 所以. 又 ， 所以数列的前100项和为. 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）首先利用数列与的关系式，转化为数列的递推关系式，再通过构造求数列的通项公式； （2）由（1）可知，分和两段，集合数列的特征，和数列的前项和，分别求数列的和. 【详解】（1）由可得， 两式相减，得，即， 当时，，则． 当时，，即， 于是由递推关系得，得， 而，满足上式， 故数列的通项公式为． （2）由得， 当时，，则， 所以； 当时，，注意到， 故． 综上，． 3．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 4．（25-26高三上·重庆·期中）已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列的性质和通项公式，即可求解，进而可求解通项公式； （2）由（1）得，进而可得，从而求得，列方程即可求解. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以， 又，所以， 又，，解得， 所以由得到； （2）由（1）得，所以， 则， 所以，当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 所以， 又，即，解得（舍）或. 题型02 奇偶项数列 【技巧通法·提分快招】 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 3、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 1．（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)见解析 (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. （2）由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 2．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 3．（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先假设是等差数列，结合条件可得，从而假设错误，即可求解； （2）（i）根据条件可猜想当时，，用数学归纳法，即可求解；（ii）由（i）得，分为偶数和奇数，利用分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 4．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 5．数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可； （2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可. 【详解】（1）∵，，则， ∴，两式相除得：， 当时，， ∴，即， 当时，， ∴，即， 综上所述，的通项公式为：； （2）由题设及（1）可知：， 题型03 插项类数列 【技巧通法·提分快招】 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 1．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件，分类讨论时对应的； （2）根据题意，列出数列，结合等差数列和等比数列前项和公式，求解即可. 【详解】（1），当时，； 当时，，又，不满足； 故. （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，则新数列的前项为： 故 即. 2．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项，之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可； （2）利用错位相减法计算求和即可； （3）先求出，再利用裂项相消法及分组法计算求和即可. 【详解】（1）由已知，得，解得， . （2）记， 所以， 则， 则 ， 所以. （3）由（1）得，则， 则， 所以 . 3．（24-25高三下·广东广州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论. 【详解】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在，理由为： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 4．（2025·陕西西安·二模）已知数列是等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入k个相同的数，构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，求的前100项和． 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据等差数列通项公式求解； （2）设和插入的个数构成一组数，求出前组的项数，求解，再用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，设首项为，公差为， 依题意，，， 即 ，解得， 所以等差数列的通项公式为， （2）设和插入的个数构成一组数， 则前组共有个数， 令，又，解得：； 当时，， ∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个， ∴ ． 5．（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求； （2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案. 【详解】（1）对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. （2）新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 6．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1)见解析 (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 题型04 公共项数列 【技巧通法·提分快招】 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 1．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． (1)求的通项公式； (2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的方向向量求出直线方程，进而得到数列的递推关系，确定其为等比数列并求出通项公式； （2）根据等差数列的首项和公差求出数列的通项公式，结合求出数列的通项公式，最后求出数列的前项和. 【详解】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为 因此对任意正整数，即 因为，所以， 所以，是首项为2，公比为3的等比数列， 所以 （2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以 因为，所以，即 因为,所以,则的值为 所以，可得 2．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 【答案】(1)； (2)243 【分析】（1）根据等比数列的性质可得首项和公比，从而得到通项公式； （2）由（1）知，从而得到的通项公式，从而得到中，且从第2项起，等差数列，得到的通项公式，得到的前10项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故， 又，解得（负值舍去），故， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，所以， ， 当时，， 当时，． 所以， 由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数． 若，则，公共项为0； 若，则由，可得，n必须为偶数，令，， 则公共项为． 故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列， 即， 所以数列的前10项和为． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对，两边同时取对数，对分类讨论即可求出，由等差数列定义即可求出； （2）令，解出即可得解. 【详解】（1），， 当时，， 当时，，即， 而，满足上式， 所以数列的通项公式为； 若数列满足，（，）， 则， 从而数列的通项公式为； （2）令，解得，这表明， 从而只能， 所以， 所以数列的通项公式为. 4．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过得到即可求出数列的通项公式，通过即可求出数列的通项公式； （2）首先确定数列的通项公式，然后利用错位相减法即可求出数列的前项和. 【详解】（1）已知且满足，将等式移项变形得， 由题意数列 的各项均为正数，所以 ，得， 说明数列是一个首项，公差的等差数列。 故数列的通项公式为， 由于数列的前项和满足，则，即， 当时，有和，两式相减得：，即， 这说明数列是一个首项，公比的等比数列， 因此，数列 的通项公式为. （2）首先找数列和的公共项，以确定数列的通项公式， 数列为：（即的倍数，且大于等于） 数列为：（即的幂次） 观察两数列，可以发现： 第个公共项是， 第个公共项是，第个公共项是， 以此类推，第个公共项对应的是数列中的第项，所以， 因此，则数列的前项和， 设，则， 两式相减得，即， 而， 因此. 5．已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，. (2)①，； ②见解析 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为， 则，，，，. （2）①由，得. 当时，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 当时，，， 由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以． 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即．化简得． 又因为，所以， 得，所以， 又因为，所以， 即，所以，即，这与题设矛盾． 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列． 题型05 取整数问题 1．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论； （2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可. 【详解】（1）已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． （2）由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段检测）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设公差为， 方法1.，， ，. 方法2.. ，，. （2）由（1）知， . ， 即， ，. 3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)见解析 (2)2022 【分析】(1)由变形整理得到，从而证明出结论； (2)先求得，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案. 【详解】（1）证明：由得， 则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由(1)得，， 所以， 设，， 数列是单调递增数列， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为2022. 4．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以， 又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得. （2）由（1）得为等比数列， 设数列的前项和为，， 所以， 构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 题型06 存在项问题 【技巧通法·提分快招】 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 1．已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）由题可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，然后由累加法可得答案； （2）原题等价于有解，然后由判别式可判断是否存在k. 【详解】（1）由得，． 于是数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以， 当时，有． 于是，，，…，，， 叠加得，， 又当时，也适合． 所以，． （2）假设存在，使成等比数列，由（1）知，， 由得，， 整理得，． 由可知， 当时，，又当时，，当时，， 当时，，所以，当时，存在，使成等比数列． 2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据与的关系式计算即可； （2）运用裂项相消计算即可； （3）找出符合条件的，即可. 【详解】（1）当时，，解得. 当时，， 所以，即， 而，故，故，， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以 所以. （3）证明：∵，，，， 则， 所以结论成立. 3．（2025·甘肃白银·三模）已知等差数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式． (2)设数列的前项和为． ①求； ②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ；②存在； 【分析】（1）利用等差数列性质由求出，由求出，再根据与关系求公差，最后由与、关系求，进而得出通项公式. （2）①先根据求，再对裂项，最后通过裂项相消求. ②先表示出，再求时，，令其为常数确定的值. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 设数列的公差为，所以， 解得．因为，所以， 所以的通项公式是． （2）①由（1）知，所以， 所以， 所以， 故； ②存在；，理由如下： 设，由①知，所以， 假设存在实数，使得数列为等差数列， 当时， ， 只有当时，为常数，其他值均不合要求， 故存在实数时，使得数列是等差数列． 4．已知数列和满足． (1)求与； (2)设数列的前项和为，是否存在实数，使得成等差数列？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，． 【分析】（1）求出得，且根据递推公式可得，，从而得是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出，从而可求出，即可求解. （2）利用错位相减法求得 ，然后利用等差数列的性质可得，从而可求解. 【详解】（1）由题得， ， ，而， 是首项为1，公比为2的等比数列， ，即， ，则得， ， ．而也符合改式，故， 故，. （2）存在，．理由如下： ①， ②， ①-②得， 化简得 ， 代入， 可得， 故． 所以存在，使得成等差数列. 5．（24-25高三上·山东泰安·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记集合，若中有3个元素，求的取值范围； (3)是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用的关系式证明是以首项为1，公比为2的等比数列，可得； （2）易知在时为单调递减，再根据中有3个元素可得的取值范围； （3）利用错位相减可求得存在满足题意. 【详解】（1）当时，可得，即; 当时，由可得， 两式相减可得，即，所以， 因此是以首项为1，公比为2的等比数列， 可得. （2）由已知可得，即， 令， 可得， 又， 当时，， 即，因此时，单调递减； 因为中有3个元素，所以不等式的解有3个，所以， 即的取值范围为； （3）设存在等差数列使得条件成立， 则当时，有，所以； 当时，有，所以； 因此等差数列的公差为1，可得； 存在满足题意，证明： 设 即， 所以， 两式相减可得， 所以存在等差数列，满足题意. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·宁夏·阶段检测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）根据等差数列求和公式可得，再根据的符号分析的最值； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 2．（24-25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，解方程组即可得解. （2）先求的通项公式，然后再利用裂项相消求和法求得，根据等差中项定义得出等式关系，代入即可得出关于的等式关系，然后取值验证即可得解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 因此，. 假设存在正整数m，n，使得成等差数列， 则， 即，整理得， 显然是50的正约数，又，则或25，50. 当时，即时，与矛盾， 当时，即时，，符合题意， 当时，即时，无解 所以存在正整数使得成等差数列，此时. 3．已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，数列是从第2项起以1为公差的等差数列，由此可求得数列的通项公式及； （2）根据数列的项的正负，分，和三种情况分析并求得. 【详解】（1）由题意，，， 则数列是从第2项起以1为公差的等差数列， 所以， 因此，当时， ； 当时，，符合， 故. （2）由（1），令，得，即当或时，； 当时，. 当时，； 当时，，符合； 当时，. 故. 4．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 【答案】(1)，； (2)①；②9880. 【分析】（1）根据给定条件，列方程求出公差、首项即可得的通项；利用等比数列定义求出的通项. （2）①由（1）直接写出前4个公共项；②求出数列的前100项和，再减去其中的公共项即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则有，解得， 因此；由，得，而， 则数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）①由（1）知，，， 则，， 所以数列，的前4个公共项依次为. ②，而， 因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项， 所以剩下所有项的和为. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求满足不等式的最大整数． 【答案】(1) (2)7. 【分析】（1）通过证明找到数列的关系式从而证明等比数列，进而求通项公式； （2）通过化简数列的表达式，应用裂项相消法求前项和，通过数列的单调性来找到满足不等式的最大整数. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，所以，， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列， 数列的通项公式为，所以数列的通项公式为. （2）因为，所以， 所以， 因为，，所以随着逐渐变大，也逐渐变大，即单调递增， 当时，， 当时，， 所以满足不等式的最大整数为7. 7．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的概念和等比数列的基本性质，列出方程组，求出公比，写出等比数列通项公式即可； （2）根据等差数列的性质求出，进而求出数列的通项公式，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 8．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 9．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）记为正项数列的前项和，． (1)证明：是等差数列； (2)定义数列表示满足的整数的个数，求数列的前项． 【答案】(1)证明: 因为， 所以时，，有， 因为，所以. 因为，所以，又， 所以， 综上可得，则，即是等差数列； (2)． 【分析】（1）由题设及与关系可完成证明； （2）由（1）可得，然后由错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）略； （2）由题意知表示中正整数的个数， 因为，则中有 个自然数，所以，从而， 所以， 不妨设， 则， 两式相减可得，   所以， 所以． 10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式． (2)记，数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据求出通项公式； （2），裂项相消法求和得到，变形得到，假设存在实数，使得数列为等差数列，从而根据等差数列的定义得到． 【详解】（1）在①中， 令得，，解得， 当时，②， ①②得，，故， 当时，，满足要求， 综上，的通项公式为. （2）由， 则， 则 ， 假设存在实数，使得数列为等差数列， 故当时， ， 只有当，即时，为常数， 其他值均不合要求， 故当时，是等差数列． 11．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 12．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 13．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 故是首项为4，公差为1的等差数列． (2) (3)存在，或11 【分析】（1）将原等式进行展开化简，得到是首项为4，公差为1的等差数列． （2）先求出的通项公式，然后代入中进行化简，最后累加求和即可. （3）先求出的通项公式，然后根据等比数列的性质进行验证即可. 【详解】（1）证明：由， 得，得或． 因为是递增数列，所以． （2）由（1）可得． ， 所以． （3）． 假设存在不同的三项，，成等比数列，则，得， 得．因为，所以． 易得m，p是方程的两个不等实根，由，得． 因为m，p，k均为正整数，且，所以是完全平方数，且为不小于9的正奇数． 当，即时，，，不符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，不符合题意． 故或11． 14．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求实数的值； (2)若，求的通项公式； (3)将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入等式中，根据已知条件计算即可. （2）根据已知条件求出，然后计算并化简，可判定数列是等差数列，进而求得通项公式. （3）先求出公共项为，然后利用裂项相消法进行求和计算. 【详解】（1）因为. 令，， 得 化简得，解得. （2）由（1）得， 当时，所以， 两式相减得， 化简得，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以. （3）数列的项为，数列的项为 公共项需满足，即， 设，则公共项为. 所以 15．已知等差数列的前n项和，数列的前n项和，. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据题意和等差数列前n项求和公式列出方程组，解方程组可得公差、a、b，进而求得；利用和累乘法求出； (2)由(1)求出，利用裂项相消求和法分别求出n为奇数、偶数时的即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则 ， 所以所以 所以数列的通项公式为. 因为，当时，， 所以， 所以，即. 所以 . （2）， 当n为奇数时，. 当n为偶数时，. 综上所述，数列的前n项和. 16．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求，； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值. (3)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)6 (3)存在，的最小值为4 【分析】（1）根据与的关系求得，然后利用等差数列的通项公式求得，然后再利用等比数列通项公式基本量运算求得. （2）依次求出中相邻项之间插入1的个数，即可求出. （3）由裂项相消法求，即可将问题转化为，构造二次函数，根据函数的单调性求解. 【详解】（1）当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 因为，且， 故中； （3）， 故， 由于，故对于恒成立，则， 当，2，3时， , 而当时，单调递增，且， 故当正整数满足时，恒成立，故正整数的最小值为4. 17．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）求出，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和； （3）依据规律找出的项数和的个数即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 创新能力提升 1．已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得； （2）根据（1）求出，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围； （3）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由于， 所以，解得. （2）由（1）可得， 若数列为单调递减数列，则对于恒成立， 所以在上恒成立， 则，所以，又数列为递增数列，所以，即， 故的取值范围为； （3）若，则， 根据题意数列为： 第一组为：1，； 第二组为：，，； 第三组为：，，，； …… 第组为：，，，，…，； 则前组一共有项，当时，项数为. 故相当于是前组的和再加上这三项，即： 设，则可看成是数列的前项和 所以. 2．（2026·河北邯郸·二模）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式同时取以2为底的对数，再结合等比数列定义即可求证； （2）由题意确定插入多少项，再结合通项公式，错位相减法求和即可求解. 【详解】（1）由递推关系 ，且 ，可知所有 ， 对等式两边取以2为底的对数： ， 等式两边同时加 ，整理得： ， 即， 当时，首项为 ， 因此是首项为1、公比为2的等比数列，得证； （2）由（1）得 ，结合 ​， 得： ， 根据新数列 ： 到原数列第 项 结束时， 总项数为：原 项加插入的 项，共计项， 计算得：，， 即前190项恰好是1个 ，2个，，19个 ​，剩余 项均为插入的 ， 因此： 即 ， 令， 则， 两式相减可得， 即， 所以， 则. 3．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数. 【答案】(1)见解析 (2)； (3)6 【分析】（1）利用得到，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）在（1）基础上，得到，先当为偶数时，分组求和得到，再求出当为奇数时，为偶数，，从而得到答案； （3）求出公比，由（2）知，，即，令，则，，得到，又，，当时，，故使得成立的最大整数为6. 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①-②，化简得， 两边同时除以得， 中，令得， 即，又，故， ，故对， 数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2），则，设数列的前项和为， 当为偶数时，， ， ， 当为奇数时，为偶数. ， ； （3）设等比数列的公比为， 由，或， 又数列是递增数列，. 由（2）知，即， 令，则， ， 当时，，当时，，当时，， 即有， 又， 故当时，， 又， ，当时，，故使得成立的最大整数为6. 4．（24-25高三下·江苏常州·阶段检测）已知和分别为正项等比和等差数列，且． (1)求的前n项和． (2)将数列与去除公共项后从小到大排列为，记表示去除项在原数列中的项数n，设．求和的通项公式以及． 【答案】(1)； (2)，，. 【分析】（1）应用等差、等比的通项公式求公差、公比，进而写出通项公式，再应用分组求和、等差、等比前n项和公式求和. （2）令且，确定、去除项对应的n，进而确定和的通项公式，再确定的对应项即可得. 【详解】（1）由，则正项等比数列的公比，故， 由，则正项等差数列的公差，故， 所以，其前n项和. （2）令且，则， 所以满足条件的数对有， 对于数列去除项的对应值为，是首项为3，公差为2的等差数列，则， 对于数列去除项的对应值为，则， 由上分析，若两个数列最后一项为， 则数列前11项与前项有5项公共项，去除后共有项， 若两个数列最后一项为，则前13项与前项有6项公共项， 去除后共有项， 显然，故对应为的第项， 所以. 5．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知数列的前项和为，其中，且． (1)求； (2)若，求； (3)是否存在数列，使得，若存在，写出一个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或或. (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，，，计算求解即可； （2）由已知可得，计算，进而可求； （3）由题意可得，或，可判断结论，进而写出一个数列即可. 【详解】（1）依题意，， 即， 当时，，可得， 当时，， 即， 从而，解得或， 当时，， 若，则，解得， 若，则， 从而，解得或， 综上，或或. （2）因为，即， 所以， 两式相减得， 所以， 从而 相减得，即， 又，由（1）知，即， 从而是公差为1首项为1的等差数列，所以 从而. （3）由（2），所以， 故，或， 所以存在数列，使得， 其中可以为. 6．已知数列的前n项和为，，，且（）. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)5； (2)； (3). 【分析】（1）将代入即可得解； （2）将整理为，即，再运用构造法构造等比数列 ，即可得解； （3）利用裂项相消法求和，并分为偶数与为奇数进行讨论即可. 【详解】（1）当时，， 则. （2）当时，由，得， 则， 得， 当时，，也满足上式， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，即. （3）. 当n为偶数时， . 当n为奇数时， ， 故. 7．（2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在时，等式成立 【分析】（1）由，，求解数列，，⋯，共个数即可； （2）由可得，，，⋯，是首项为，公差为的等差数列，故，而，，，⋯，，是公比为的等比数列，并求解，可以得到，再由最大，则最大即可求解； （3）由题意可得，，可得，再由代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，所以，又因为， 所以，，构成等比数列，所以， 所以数列，，⋯，为，，，，，，，，，共个数， 此时，. （2）由，，，⋯，是首项为，公差为的等差数列，故， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，故，因此， 所以，因此，要使最大，则最大，又，故的最大值为， 由，即，故的最大值为. （3）由，，，⋯，是公差为的等差数列，可得：， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，所以，故， 即，又，， 所以，即， 即，即，因此， 所以，所以； 代入验证可得：当时，上式等式成立，此时， 所以当且仅当时，存在满足等式. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由； (2)若是“组差数列”，且为定值，证明：； (3)记的前项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数，使得恒成立． 【分析】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这四项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【答案】(1)是，理由如下： 当时，， 当时，，， 所以， 所以数列是以为公差的等差数列，且， 所以是“组差数列” (2)证明：因为是“组差数列”， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得： ， 所以，即； (3)因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 对于任意正整数，均存在非负整数和整数，使得， 此时，， 设这四项中的最小值为， 因为，所以， 从而， ， 令，由对任意的实数均成立，则 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $