3.2 确定圆的条件 培优训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版九上 3.2《确定圆的条件》培优训练 答案与解析 一、选择题 1. 答案：B 解析：①三点确定一个圆：错误，必须是不在同一直线上的三点才可以确定一个圆； ②三角形的外心一定在三角形内部：错误，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点； ③等圆中优弧一定比劣弧长：正确，等圆半径相等，优弧大于半圆，劣弧小于半圆； ④外心到三角形三边距离相等：错误，外心到三个顶点距离相等；内心才到三边距离相等； ⑤矩形四个顶点共圆：正确，矩形对角线相等且互相平分，对角线交点到4个顶点距离相等，四点在以对角线交点为圆心的圆上。 真命题是③⑤，共2个。 2. 答案：B 解析：△ABC 中 ，，等腰三角形，作 ，。 勾股定理：。 外心 O 在高 AH 上，外接圆半径 ，。 在 Rt△OBH 中： 3. 答案：B 解析：依据：不在同一直线上三点确定一个圆。 A、B、C 三点共线，不能画圆； 可选组合：P,A,B；P,A,C；P,B,C，共3组不共线三点，最多画3个圆。 4. 答案：A 解析：在残片圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心。作图依据：垂径定理，弦的垂直平分线过圆心。 5. 答案：C 解析：三角形外接圆圆心（外心）：三边垂直平分线交点，到 A、B、C 三点距离相等，网格数格子计算。 点 ，，； 作 AC 垂直平分线：AC 竖直，中点 ，垂直平分线是水平线 ； 再作 BC 的垂直平分线，求得交点坐标 。 6. 答案：C 解析：点与圆的位置关系：圆心 ，半径3； 在 x 轴上，两点距离 。 点在圆内：距离＜半径：，，解得 。 7. 答案：D 解析：外心到三角形三个顶点距离相等，即 。 观察图形：O 到 A、C、D 距离相等，故 O 是△ACD 的外心。 8. 答案：D 解析： 是 AB 中点； 是 BC 中点； 是 AC 中点； DE、EF、FD 是△ABC 的中位线。 ∴ ，，。 已知 。 △ABC 周长 ，∴ ，。 9. 答案：A 解析：动点隐圆模型，半圆半径 ；M 是弦 CD 中点，，。 Rt△OMC，， 所以 M 点轨迹是以 O 为圆心，半径 的圆。 P 在直径 AB 上，PM 最小值：，P 就是原点 O，此时 。 10. 答案：A 解析：，⊙O 内接，∴ 弧 。△DEF 等边。 由图像函数，当 x 取某个值，y 对应，结合隐圆，得到△DEF 边长 2， 二、填空题 11. 答案： 解析：O 是外心，∴ ，△OAB 等腰。 ，。 12. 答案： 解析：圆周角 ，对应弧 AB，圆心角 。 ，， 等腰直角三角形：，，，。 13. 答案： 解析：，周长 ，周期8。 。走4个单位： A→B 长2（2秒到 ），B→C 长2（再2秒到 ）。余数4，坐标 。 14. 答案： 解析：建系，令 C(E) 为原点 。 ，，。外心是三点垂直平分线交点。 FG 水平线段，中点 ，垂直平分线：。 设圆心 ，到三点距离相等： ，解得 。圆心 ，半径 。 15. 答案： 解析：能完全覆盖三角形最小圆就是外接圆，外心三边垂直平分线交点，网格算得外接圆半径 。 16. 答案： 解析：，。圆心角 。 作外接圆，，相交弦定理：。设 。 ，，O 到 BC 距离 。计算得 。 三、解答题 17.(1) △ABC 是等腰三角形，。 证明：AD 是中线，；AD 是角平分线 。 沿 AD 翻折，B 落到 C，。 (2) AD 过外接圆圆心 O。 证明：△ABC 等腰，AD 既是角平分线又是中线， 所以 。AD 是 BC 的垂直平分线。 外心是三边垂直平分线交点， 所以 BC 垂直平分线 AD 必经过外心 O，⊙O 是△ABC 外接圆。 18.(1) ，，△ABC 等边。。 外接圆半径公式 。 (2) 设 ，，。 ，外心，。△BCD 等腰，分三类讨论： ① ；② ；③ 。 解得 或者 。 19.(1) 证明：，∴ 。 A,B,C,E 四点共圆，； ，∴ 。 两组对边平行，四边形 AECD 平行四边形。 (2) 要证 CO 平分 ，即证圆心 O 到弦 CE、CB 距离相等。 平行四边形 AECD：； 题目 ，∴ 。 BC、CE 是⊙O 两条相等弦； 等弦对应的圆心距相等，圆心 O 到 BC、CE 距离相等， 所以 CO 平分 。 20.(1) 示例：选①③ ，BD 平分 。 ∵ ，，，△ABD≌△CBD。 得到 。 B、D 都在 AC 垂直平分线上（到线段两端距离相等点在垂直平分线上）， 故 。 也可以选①④、③④。 (2) 只用圆规作图：利用圆定义，以 O 圆心，OM 半径画圆； 分别以 M、N 为圆心画弧找点，得到另一个交点。 21.(1) 证明：O 等边△ABC 外心，外心是三边垂直平分线交点，同时也是角平分线交点。 BO 平分 ，等边 ，∴ 。 (2) 证明：O 是△ABC 外心，∴ 。 △ABC 等边，。。 可证：△OBD≌△OCE≌△OAF，得到 。 ∴ O 到 D、E、F 三点距离相等，根据外心定义，O 是△DEF 的外心。 22.(1) ，AD 平分外角，∴ 。 圆内接四边形，，圆周角 。 圆周角 ，对应弧 度数 。 (2) 证明：，圆周角 对应弧 DC； 对应弧 BD。 ，，弧 BD 与弧 DC 度数相等，等弧对等弦，∴ 。 (3) 数量关系：。 证明：在 AD 截取 ，，△ABG 等边。证△BAG≌△BCD，得到 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九上 3.2《确定圆的条件》培优训练卷 教材：苏科版新版本九年级上册第3章 核心考点：不在同一直线上三点确定一个圆；三角形外接圆与外心（三边垂直平分线交点、外心位置、外心到三顶点等距）；网格求外心与半径；动点隐圆 一、选择题（共10小题，每题3分，合计30分） 1、下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心一定在三角形内部；③等圆中优弧一定比劣弧长；④外心到三角形三边距离相等；⑤矩形四个顶点共圆。其中真命题个数为（　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 2、已知 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，△ABC 的外接圆半径 R 为（　） A．3　　B．　　C．　　D．4 3、如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4、如图，破损圆形镜片保留一块弧段，仅用这块残片确定圆心，作图依据是（　） A．垂径定理，弦的垂直平分线过圆心 B．不在同一直线上三点确定一个圆 C．圆是到定点距离等于定长的点的集合 D．同圆中等弦对等弧 5、如图，点A、B、C都是格点，外接圆的圆心坐标是（　） A． B． C． D． 6、如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为（1，0），点B（m，0）在⊙A内，则m的取值范围是（　） A．m＜4 B．m＞﹣2 C．﹣2＜m＜4 D．m＜﹣2或m＞4 7、10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（　） A． B． C． D． 8、如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为D，E，F，连接．若 的周长为21，则的长为（　）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 9、如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（　） A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4 10、如图①，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，点E，F在BC上（不与B、C重合），点D在弧BC上，△DEF是正三角形，设BE＝x，CF＝y，已知y与x的函数图象如图②所示，则△DEF的边长是（　） A．2 B． C． D． 二、填空题（共6小题，每题3分，合计18分） 11、如图，点O是△ABC的外心，连接、，若，则的度数为 ． 12、如图，△ABC中，∠C=45°，AB=6，则△ABC外接圆的半径为 ______。 13、如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→A→B…路线运动,当运动到2020秒时,点P的坐标为______。 14、将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 15、如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 16、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝ 45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 ． 三、解答题（共8小题，合计72分） 17、（10分）如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断： （1）△ABC的形状； （2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论． 18、（10分）如图所示，在中，，是的外接圆，的延长线交边于点D． （1）若，，求的半径； （2）当是等腰三角形时，求的大小． 19．（11分）如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE． (1)求证：四边形AECD为平行四边形 (2)连接CO，求证：CO平分． 20、（12分）（1）如图1，和中，___________． 从下列4个信息“①，②，③BD平分，④”中，选取两个将其序号填写在横线上，使得结论成立，并说明理由． （2）如图2，已知3个点，只用圆规作出半径为OM的与点M，N所在直线的另一个交点（不写作法，保留作图痕迹）． 21、（13分）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图①，是等边三角形，点O是的外心，求证； （2）如图②，是等边三角形，分别延长等边三角形的边、、到点D、E、F，使，连接，，．若点O为的外心，求证：点O也是的外心． 22、（16分）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠EAC＝120°. （1）求的度数； （2）连DB，DC，求证：DB＝DC； （3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $