【期中专项】专项04 规律探究与新定义问题（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项04 规律探究与新定义问题 目录 考点03循环周期规律 考点01数式规律探究 考点02图形规律探究 考点04新定义运算 考点05程序流程图与代数式求值 考点01数式规律探究 共6题（选择2·填空2·解答2）|由易到难排列 1.A 2.B 3.-7 4.2501 675 5.(1) 1=1×1.1,1—=1×1.1_ 2)5(3) 8×102810'2n2n+222n2n+2 24 2026 6.(1)49:n2.(2)其和为1；-63.(3)存在，三数为：100、102、-99. 考点02图形规律探究 共6题（选择2·填空2·解答2）【由易到难排列 7.C 8.C 9.28 10.①11②10 11.(1)15, n(n+1) 2 (2) 400 201 12.(1)13,（2n-1),n2(2)2500(3)nm2-2500 考点03循环周期规律 共6题（选择2·填空2·解答2）|由易到难排列 13.C 14.C 15.n2个，4n个 1/2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.①7②2”.1#.1+2m 17.(1)72(2)nn+1(3)990692 18.(1) 1=1.1(2) 2024 (3) 1012 5×656 2025 1013 考点04新定义运算 共6题（选择2·填空1·解答3）「由易到难排列 19.D 20.A 21.134 22.(1)4a+b(2)≠(3)91 23.0)l,182243)m=子aab-a△C-日 24.4f10)=9.g-10j=02）-wy-y+7,1 考点05程序流程图与代数式求值 共6题（选择2·填空2·解答2）|由易到难排列 25.B 26.C 27.9 28.5 29+3y)a7 30.(1)-2(2)2或-1 (3)问题1：9,13：问题2：3m+4n-1 212 专项04　规律探究与新定义问题 目 录 考点03 循环周期规律 考点01 数式规律探究 考点02 图形规律探究 考点04 新定义运算 考点05 程序流程图与代数式求值 考点01 数式规律探究 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 1．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（为正整数）个图形中共有的点数是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前三个图形可得规律：第（为正整数）个图形中共有的点数是，据此可得答案． 【详解】解：第1个图形有个点， 第2个图形有个点， 第1个图形有个点， ……， 以此类推，第（为正整数）个图形中共有的点数是， 故选：A． 2．按一定规律排列的多项式：，第n个多项式是（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键．根据所给多项式次数总结出次数的变化的规律求解即可． 【详解】解：多项式的x项的次数依次为1，2，3，…， 第n个多项式的x项的次数为n， 多项式的y项的次数依次为1，3，5，…， 第n个多项式的y项的次数为， 第n个多项式为． 故选：B． 3．在下表从左到右的每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻格子中所填的有理数之和都为，则第2022个格子中应填入的有理数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法及数字的变化规律，根据题意，任意四个相邻格子中的和等于，列出等式，找出规律，计算出a，b，c，d，e，f的值；再求出第2022个数是几即可． 【详解】解：根据题意，得：，即， ，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由， ∴， 故可以发现，这些有理数的顺序为：a，，b，，a，，b，，2，…， 四个一个循环，可以看出，， ∴， ∴， ∴第2022个数是． 故答案为：． 4．观察数阵：第51行第1个数是________． ① 1 ② 2 3 4 ③ 5 6 7 8 9 ④ 10 11 12 13 14 15 16 ⑤ 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，第①行有个数，第②行有个数，第③行有个数，第④行有个数，第⑤行有个数，第行有个数，可求行总数字的个数为，即可求解；找出规律并求出规律的表达式是解题关键． 【详解】解：第①行有个数，第②行有个数，第③行有个数，第④行有个数，第⑤行有个数，第行有个数， 行总数字的个数为 ， 当时， ， 第51行第1个数是， 故答案：． 5．观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； … （1）按以上规律，第④个等式为：________：第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算；的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】（1）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （2）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （3）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； 本题考查数字变化类规律探究，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问详解】解：第④个等式为：， 第个等式为：， 故答案为：，； 【小问详解】解： ； 【小问详解】解：∵， ∴ ． 6．观察下面三行数： 1，4，9，16，25，36，．．．．．① 3，6，11，18，27，38，．．．．．② 0，﹣3，﹣8，﹣15，﹣24，﹣35，．．．．．③ （1）第①行第7个数是 ；第n个数是 ； （2）将位于同一列的第①行数与第③行数相加，你能发现什么规律 ，根据这个规律可得第③行的第8个数是 ； （3）三行数中位于第n列的三个数之和可能为103吗？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 【答案】（1）49； n2．（2）其和为1；-63．（3）存在，三数为：100、102、-99． 【分析】（1）根据题目中数字的特点，可以写出第7个数以及第n个式子； （2）可以直接与第三行相应的数相加，即可找到规律，进一步求解即可； （3）先写出三行的第n个数，再列出式子，求解即可． 【详解】解：（1）∵1，4，9，16，25，36，．．．．．① ∴第①行第7个数是49；第n个数为：n2． （2）1+0=1,4+(﹣3)=1,9+(﹣8)=1, 16+(﹣15)=1…… 故将位于同一列的第①行数与第③行数相加，发现其和为1； ∵第①行，第n个数为：n2，则第8个数是64 ∴第③行的第8个数是-63． （3）∵第①行第n个数为：n2，第二行第n个数为：n2+2，第三行第n个数为：-（n2-1）， 所以，第n列的三个数之和n2+ n2+2+[-（n2-1）]= n2+3 当n2+3=103时， n=10． ∴三数为：100、102、-99． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数据． 考点02 图形规律探究 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 7．小红用珠子串出如图所示的饰品，第1个饰品中有10颗珠子，第2个饰品中有19颗珠子，第3个饰品中有28颗珠子，……按此规律串下去．由199颗珠子制作的饰品是（ ） A. 第20个 C. 第22个 B. 第21个 D. 第23个 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类规律题．第一个饰品有颗珠子，第2个饰品有颗珠子，第3个饰品有颗珠子，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第一个饰品有颗珠子， 第2个饰品有颗珠子， 第3个饰品有颗珠子， ……， 由此发现，第n个饰品有颗珠子． 当时，则， ,故选：C． 8．将一些半径相同的小圆圈按如图所示的方式摆放，第1个图形有4个小圆圈，第2个图形有8个小圆圈，第3个图形有14个小圆圈，……，按这种方式摆下去，第20个图形的小圆圈个数是（ ） A. 462 C. 422 B. 460 D. 420 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，由前几个图形中的小圆个数得出规律是解题关键．分别数出前4个图形中小圆的个数，总结规律，即可得出答案． 【详解】解：由图可知第1个图形有个小圆圈， 第2个图形有个小圆圈， 第3个图形有个小圆圈， 第4个图形有个小圆圈， ……， 所以第n个图形有个小圆圈． 当时，即第20个图形的小圆圈个数是个． 故选C． 9．为美化市容，某广场要在人行雨道上用的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．若所选的图中灰砖有36块，则白砖有________块． 【答案】28 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16…，即：12-8=4、16-12=4，由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，所以第n个图案中，白色瓷砖的个数为，灰色瓷砖的块数等于． 【详解】解：根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16…，即：、，由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，所以第n个图案中，白色瓷砖的个数为，灰色瓷砖的块数等于， 灰砖有36块时， 即， ， 块． 故答案为：28． 10．如图，摆1个用3根小棒，摆2个用5根小棒，摆3个用7根小棒，照这样，摆5个用________根小棒，用21根小棒可以摆________个． 【答案】① 11 ② 10 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，后一个图形比前一个图形多2根小棒，进而得到摆个所用的小棒数，进一步求解即可． 【详解】解：观察图形，可知后一个图形比前一个图形多2根小棒， ∴摆个所用的小棒数为：， ∴摆5个用根小棒， 当时，， 即用21根小棒可以摆10个； 故答案为：11，10 11．我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… （1）根据以上规律，可得 ； ； （2）计算： 【答案】（1）15， （2） 【分析】本题主要考查图形规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题意易得图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，然后问题可求解； （2）根据（1）可代入进行求解． 【小问详解】解：由图可知： 图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，图5有颗弹珠，……； ∴； 故答案为15，； 【小问详解】解：由（1）可得： 原式= = =． 12．校园内某公共区域使用盆栽装饰，其摆放位置如图所示．观察图形可知，盆栽被折线隔开分成若干层．其中第层有盆，第层有盆，第层有盆，第层有盆……以此类推．请根据以上摆放规律，解答下列问题（若涉及到与层数有关的情况，用含的代数式表示）： （1）第层有_____盆，第层有______盆，前层共有______盆； （2）计算：______； （3）当，且为整数时，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【分析】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律并求值是解题的关键． （1）结合图形发现，后面一层比前面一层多盆，根据规律可求出其值； （2）图形刚好构成边长为的正方形的面积，求面积即可； （3）利用整体思想，可得原式，代入计算即可． 【小问详解】解：由图形规律可知，第层有盆， 当时，， 前层共有：（盆）． 故答案为：，，． 【小问详解】解：． 故答案为：． 【小问详解】解：当，且为整数时， 考点03 循环周期规律 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 13．正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与 对应的点是( ) A. E C. G B. F D. H 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．由图可知正方形边长为1，顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转则点落在1，点落在2，点落在3，点落在4，可知其四次一循环，由此可确定出2023所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动第一周的过程中，点落在1，点落在2，点落在3，点落在4， 四次一循环， ， 所对应的点是， 故选：C． 14．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律第个图案中涂有阴影的小正方形个数为（用含有的代数式表示）（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键． 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， ， 第个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故选：C． 15．如图是某花圃摆放的一组花盆图案（“”代表红花花盆，“”代表黄花花盆）． 观察图形并探索：在第n个图案中，红花和黄花的盆数分别是________． 【答案】个，个 【分析】本题考查图形类规律探究，根据已有图形，求出前几个图形中的“○”“×”的个数，进而得到相应的数字规律即可． 【详解】解：∵第一个图形中“”为4个，“”为1个， 第二个图形中“”为8个，“”为4个， 第三个图形中“”为12个，“”为9个， 第四个图形中“”为16个，“”为16个， 第n个图形中“”为个，“”为个， ∴第n个图案中，红花和黄花的盆数分别是：个，个． 故答案为：个，个． 16．将一张长方形纸片对折，如图所示可以得到一条折痕．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得到________条折痕，想象一下，如果对折次，可以得到________条折痕（用含有的代数式表示）． 【答案】① 7 ② ## 【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定折痕变化规律是解题关键．根据题意，确定纸片对折过程中折痕变化规律：对折次，把纸片分成部分，可以得到条折痕，即可获得答案． 【详解】解：将一张长方形纸片对折， 对折1次，把纸片分成2部分，可得条折痕， 对折2次，把纸片分成部分，可得条折痕， 连续对折3次后，把纸片分成部分，可得条折痕， …… 如果对折次，把纸片分成部分，可以得到条折痕． 故答案为：7，． 17．小明同学平时爱好数学，他探索发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，它们和的情况变化规律，如表所示： 加数的个数n 连续偶数的和S 1 2 3 4 5 请你根据表中提供的规律解答下列问题： （1）如果时，那么S的值为 ； （2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S，则 ； （3）利用上题的猜想结果，计算的值（要有计算过程）． 【答案】（1）72 （2） （3）990692 【分析】本题考查的是有理数的运算规律探究，掌握从特殊到一般的探究方法并总结出规律，再运用规律解决问题是解本题的关键． （1）由表格信息总结运算式的特点直接可得当时的运算式及结果； （2）由题干信息结合（1）归纳可得运算规律； （3）将所求式子表示为，用上述规律计算，即可得到结果． 【小问详解】解：当时，； 故答案为：72 【小问详解】解：由题干信息及（1）的运算式归纳总结如下： 故答案为： 【小问详解】解： ． 18．“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： （1）【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； （2）【实践探究】请根据你发现的规律计算：； （3）【问题拓展】求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查有理数的数字规律，理解题意，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据已知条件得到规律，即可求解第五个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【小问详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 故答案为：； 【小问详解】解： ； 【小问详解】解：∵， ∴ ∴ ． 考点04 新定义运算 共6题（选择2·填空1·解答3）　|　由易到难排列 19．已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足．求（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义先求出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， 故选D． 20．定义一种新运算：，例如，则化简后的结果是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的法则，是解题的关键． 21．定义一种新运算：，如，则________． 【答案】134 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 故答案为：134． 22．定义一种新运算：观察下列式子： （1）请你想一想： （2）若 ，那么 ；(填入“=”或“≠”) （3）求的值 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义； （1）根据题目中的式子，可以写出； （2）分别写出和，然后作差，即可得到它们的关系； （3）根据（1）中的结果，可以计算出所求式子的值． 【小问详解】解：（1）∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； 【小问详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； 【小问详解】解：∵， ∴． 23．定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． （1）分别求出 ，的值； （2）若，求代数式 的值； （3）若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 【答案】（1）， （2） （3）， 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算得到，再将代数式去括号合并化简后，将整体代入计算即可解答； （3）根据定义的新运算列出的式子，代入已知数据利用整式加减法则化简，根据的运算结果与n 的 取值无关，先求出的值，然后代入m的值即可解答． 【小问详解】解：由题意得：， ； 【小问详解】解：∵， ∴，即， ∵ ； ∴原式； 【小问详解】解： ； ∵ ， ∴ ； ∵的运算结果与n 的 取值无关， ∴中， 解得：， ∴的值为． 24．符号表示一种新运算，运算示例如下： ，，，，……符号g表示另一种新运算，运算示例如下：，，，，……． 利用以上新运算，完成下列问题是： （1）分别求、的值； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）， （2）， 【分析】本题考查数字的变化规律，新定义，整式的化简求值． （1）观察各运算示例可得，，据此可解答； （2）根据新定义的运算与整式的运算化简式子，再代入求值即可． 【小问详解】解：∵，，，，…… ∴， ∴， ∵，，，，……， ∴， ∴， 【小问详解】 ， 当，时，原式． 考点05 程序流程图与代数式求值 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 25．有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，则第2022次输出的结果是（ ） A. 1 C. 4 B. 2 D. 8 【答案】B 【分析】输入为奇数代入中第1次输出为8；输入为偶数代入中第2次输出为4；输入为偶数代入中第3次输出为2；输入为偶数代入中第4次输出为1；输入为奇数代入中第5次输出为4；输入为偶数代入中第6次输出为2；输入为偶数代入中第7次输出为1；推导一般规律，然后进行求解即可． 【详解】解：输入为奇数代入中第1次输出为8； 输入为偶数代入中第2次输出为4； 输入为偶数代入中第3次输出为2； 输入为偶数代入中第4次输出为1； 输入为奇数代入中第5次输出为4； 输入为偶数代入中第6次输出为2； 输入为偶数代入中第7次输出为1； 故可得出之后每次的输出数值均为的循环 ∵ ∴第2022次输出结果为2 故选B． 【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值．解题的关键是通过求解代数式的值推导出一般规律． 26．如图，这是一种数值转换机的运算程序．若输入的数，则经过2022次运行后，输出的数是（ ） A. 1 C. 4 B. 2 D. 5 【答案】C 【分析】由图示知，当输入的数x为偶数时，输出，当输入的数x是奇数时，输出，按此规律，求出若输入的数为5，每次输出的数的规律，判断出第2022次输出的数是多少即可． 【详解】解：若输入的数为5， 第1次输出， 第2次输出， 第3次输出， 第4次输出， 第5次输出， 第6次输出， …， 故从第3次输出开始，三个一循环， 所以2022次输出的数为4； 故选：C． 【点睛】此题考查了代数式求值，找到输出数据呈周期性变化规律是解决本题的关键． 27．在如图所示的运算程序中，若第一次输入的值为，则第次输出的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，求代数式的值，有理数的运算，分别求出第一次输出，第二次输出，第三次输出，第四次输出，第五次输出，第六次输出，第七次输出，第八次输出，……由此可得，从第二次开始，每三次一个循环．能够通过所给例子，找到循环规律是解题的关键． 【详解】解：由题可知，第一次输出， 第二次输出， 第三次输出， 第四次输出， 第五次输出， 第六次输出， 第七次输出， 第八次输出， ……， 由此可得，从第二次开始，每三次一个循环， ∵， ∴第次输出结果与第次输出结果一样， ∴第次输出的结果为． 故答案为：． 28．如图所示的是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为25，则第2025次输出的结果为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 将代入依次计算出结果，并得出规律，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：第一次输入，输出结果为：； 第二次输入，输出结果为：； 第三次输入，输出结果为：； 第四次输入，输出结果为：； 第五次输入，输出结果为：； ， ∴从第一次开始输出的结果以，为循环节循环， ∴第次输出的结果为：． 故答案为：． 29．如图是一个数值转换机示意图． （1）用含x，y的代数式表示输出的结果； （2）当，时，求输出的结果． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用． （1）根据数值转换机写出代数式即可； （2）将，代入（1）中的代数式，计算后得出结果． 【小问详解】解：用含x，y的代数式表示输出的结果为； 【小问详解】解：当，时， 原式 ． 30．【问题背景】 新苏科版数学教材七上第68、81、83页分别出现了程序计算问题，这些问题直观演示了一个代数式所表示的运算过程．其实，计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是编制程序计算.根据你的学习经验，完成下列探究活动. 【课本变式】 （1）如图1中的程序计算，若小明输入a的值为，则输出的结果为______； (2）小丽设置了一个程序计算如图2．若输出结果为4，则输入的x的值为______； 【拓展延伸】 （3）小雷同学也设置了一个程序计算如图3，是数据输入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的结果由输出，此种程序完成的计算需同时满足以下三个特征： ①若由分别输入1，则输出结果3，记； ②若由输入1，由输入的自然数比原来增加1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若由输入任何固定自然数不变，由输入自然数比原来增加1，则输出结果比原来增大4，记． 回答下列问题： 问题1：计算______，______； 问题2：计算______．（用含的代数式表示） 【答案】（1）（2）或 （3）问题1：；问题2： 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算与程序图，代数式的求值，整式的混合运算，理解程序图的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）分两种情况讨论：第一种情况：当时，；第二种情况：当时，；解方程即可求解； （3）问题1：根据材料提示可得，，由此即可求解； 问题2：由材料提示的计算可得，，共有个，由此即可求解． 【详解】解：（1）当时，，， 故答案为：； （2）第一种情况：当时，， 解得，，（不符题意，舍去）； 第二种情况：当时，， 解得，； ∴输入的的值是或； （3）问题1：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 问题2：∵， ∴，，， ∴， 同理，，，， ∴，共有个， ∴， 故答案为：． 故答案为：（1）；（2）或（3）问题1：；问题2：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项04　规律探究与新定义问题 目 录 考点03 循环周期规律 考点01 数式规律探究 考点02 图形规律探究 考点04 新定义运算 考点05 程序流程图与代数式求值 考点01 数式规律探究 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 1．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（为正整数）个图形中共有的点数是（ ） A. C. B. D. 2．按一定规律排列的多项式：，第n个多项式是（ ） A. C. B. D. 3．在下表从左到右的每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻格子中所填的有理数之和都为，则第2022个格子中应填入的有理数是________． 4．观察数阵：第51行第1个数是________． ① 1 ② 2 3 4 ③ 5 6 7 8 9 ④ 10 11 12 13 14 15 16 ⑤ 17 18 19 20 21 22 23 24 25 5．观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； … （1）按以上规律，第④个等式为：________：第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算；的值． 6．观察下面三行数： 1，4，9，16，25，36，．．．．．① 3，6，11，18，27，38，．．．．．② 0，﹣3，﹣8，﹣15，﹣24，﹣35，．．．．．③ （1）第①行第7个数是 ；第n个数是 ； （2）将位于同一列的第①行数与第③行数相加，你能发现什么规律 ，根据这个规律可得第③行的第8个数是 ； （3）三行数中位于第n列的三个数之和可能为103吗？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 考点02 图形规律探究 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 7．小红用珠子串出如图所示的饰品，第1个饰品中有10颗珠子，第2个饰品中有19颗珠子，第3个饰品中有28颗珠子，……按此规律串下去．由199颗珠子制作的饰品是（ ） A. 第20个 C. 第22个 B. 第21个 D. 第23个 8．将一些半径相同的小圆圈按如图所示的方式摆放，第1个图形有4个小圆圈，第2个图形有8个小圆圈，第3个图形有14个小圆圈，……，按这种方式摆下去，第20个图形的小圆圈个数是（ ） A. 462 C. 422 B. 460 D. 420 9．为美化市容，某广场要在人行雨道上用的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．若所选的图中灰砖有36块，则白砖有________块． 10．如图，摆1个用3根小棒，摆2个用5根小棒，摆3个用7根小棒，照这样，摆5个用________根小棒，用21根小棒可以摆________个． 11．我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… （1）根据以上规律，可得 ； ； （2）计算： 12．校园内某公共区域使用盆栽装饰，其摆放位置如图所示．观察图形可知，盆栽被折线隔开分成若干层．其中第层有盆，第层有盆，第层有盆，第层有盆……以此类推．请根据以上摆放规律，解答下列问题（若涉及到与层数有关的情况，用含的代数式表示）： （1）第层有_____盆，第层有______盆，前层共有______盆； （2）计算：______； （3）当，且为整数时，求的值． 考点03 循环周期规律 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 13．正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与 对应的点是( ) A. E C. G B. F D. H 14．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律第个图案中涂有阴影的小正方形个数为（用含有的代数式表示）（ ） A. C. B. D. 15．如图是某花圃摆放的一组花盆图案（“”代表红花花盆，“”代表黄花花盆）． 观察图形并探索：在第n个图案中，红花和黄花的盆数分别是________． 16．将一张长方形纸片对折，如图所示可以得到一条折痕．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得到________条折痕，想象一下，如果对折次，可以得到________条折痕（用含有的代数式表示）． 17．小明同学平时爱好数学，他探索发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，它们和的情况变化规律，如表所示： 加数的个数n 连续偶数的和S 1 2 3 4 5 请你根据表中提供的规律解答下列问题： （1）如果时，那么S的值为 ； （2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S，则 ； （3）利用上题的猜想结果，计算的值（要有计算过程）． 18．“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： （1）【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； （2）【实践探究】请根据你发现的规律计算：； （3）【问题拓展】求的值． 考点04 新定义运算 共6题（选择2·填空1·解答3）　|　由易到难排列 19．已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足．求（ ） A. C. B. D. 20．定义一种新运算：，例如，则化简后的结果是（ ） A. C. B. D. 21．定义一种新运算：，如，则________． 22．定义一种新运算：观察下列式子： （1）请你想一想： （2）若 ，那么 ；(填入“=”或“≠”) （3）求的值 23．定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． （1）分别求出 ，的值； （2）若，求代数式 的值； （3）若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 24．符号表示一种新运算，运算示例如下： ，，，，……符号g表示另一种新运算，运算示例如下：，，，，……． 利用以上新运算，完成下列问题是： （1）分别求、的值； （2）先化简，再求值：，其中，． 考点05 程序流程图与代数式求值 共6题（选择2·填空2·解答2）　|　由易到难排列 25．有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，则第2022次输出的结果是（ ） A. 1 C. 4 B. 2 D. 8 26．如图，这是一种数值转换机的运算程序．若输入的数，则经过2022次运行后，输出的数是（ ） A. 1 C. 4 B. 2 D. 5 27．在如图所示的运算程序中，若第一次输入的值为，则第次输出的结果为________． 28．如图所示的是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为25，则第2025次输出的结果为________． 29．如图是一个数值转换机示意图． （1）用含x，y的代数式表示输出的结果； （2）当，时，求输出的结果． 30．【问题背景】 新苏科版数学教材七上第68、81、83页分别出现了程序计算问题，这些问题直观演示了一个代数式所表示的运算过程．其实，计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是编制程序计算.根据你的学习经验，完成下列探究活动. 【课本变式】 （1）如图1中的程序计算，若小明输入a的值为，则输出的结果为______； (2）小丽设置了一个程序计算如图2．若输出结果为4，则输入的x的值为______； 【拓展延伸】 （3）小雷同学也设置了一个程序计算如图3，是数据输入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的结果由输出，此种程序完成的计算需同时满足以下三个特征： ①若由分别输入1，则输出结果3，记； ②若由输入1，由输入的自然数比原来增加1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若由输入任何固定自然数不变，由输入自然数比原来增加1，则输出结果比原来增大4，记． 回答下列问题： 问题1：计算______，______； 问题2：计算______．（用含的代数式表示） / 学科网（北京）股份有限公司 $