【期中专项】专项01 绝对值的化简与最值问题（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

专项01　绝对值的化简与最值问题 目 录 考点01 绝对值基础应用 考点02 绝对值的非负性 考点03 绝对值的化简 考点04 绝对值方程 考点05 绝对值的最值问题 考点01 绝对值基础应用 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 1．的绝对值是（ ） A. C. 7 B. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的概念，负数的绝对值是它的相反数．掌握绝对值的概念是解题的关键． 由的相反数是即可求解． 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数， ∴ ． 故选：B． 2．的倒数是（ ） A. C. 2024 B. D. 【答案】A 【分析】此题考查了倒数和绝对值．先求出绝对值，再根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可． 【详解】解：， 的倒数为， 故选：A． 3．绝对值小于2．5的整数有________（写一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值的定义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得： 绝对值小于2.5的整数有：、、0、1、2， 故答案为：2（答案不唯一）． 4．若与互为相反数，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义． 根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 解得， ∴． 故答案为3． 5．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，有理数的加法计算，相反数的定义，根据相反数的定义得到，再由非负数的性质得到，，再根据把所求式子裂项求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 考点02 绝对值的非负性 共5题（选择1·填空3·解答0）　|　由易到难排列 6．若a为有理数，且满足，则（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． 解得： 故选：D． 7．若，则的值为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性质，平方的非负性质，以及数的乘方求值， 根据绝对值非负性质，平方的非负性质可得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 8．若，那么________，________． 【答案】① 4 ② 【分析】本题主要考查了非负数的性质．根据绝对值的非负性和平方的非负性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：4； 9．若m，n满足，则________． 【答案】9 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出m，n的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】解：∵m，n满足， ∴，， ∴，， 则． 故答案为：9． 10．已知，，，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值以及有理数的乘方的意义，可得，，根据，可得同号，进而分类讨论，将的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了绝对值以及有理数的乘方的意义，有理数的除法，分类讨论是解题的关键． 考点03 绝对值的化简 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 11．如图，有理数a、b在数轴上分别对应点A、B，下列各式正确的是（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题考查根据数轴上数字的位置判断式子的正负，根据数轴得到，，结合有理数运算法则逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由数轴得， ，， ∴，故A选项错误，不符合题意， ，故B选项正确，符合题意， ，故C选项错误，不符合题意， ，故D选项错误，不符合题意， 故选：B． 12．下列各式中，化简正确的是（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号和化简绝对值，解题的关键是掌握相反数的意义和绝对值的意义．根据相反数的意义和绝对值的意义进行化简即可． 【详解】A. ，化简错误，不符合题意； B. ，化简错误，不符合题意； C. ，化简正确，符合题意； D. ，化简错误，不符合题意； 故选：C． 13．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出，，，再去掉绝对值，即可求解． 【详解】解：根据数轴可知：，，， 原式 ． 故答案为：． 14．化简________． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，先判断，，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示． （1）在数轴上表示有理数，； （2）试把，，0，，这五个数用“<”连接起来； （3）用“>”“=”或“<”填空：______，______． 【答案】（1）在数轴上表示、如图所示； （2） （3）， 【分析】根据数轴表示数的方法，以及有理数大小比较的方法进行解答即可． 【小问详解】略 【小问详解】解：； 【小问详解】解：由于为负数，为正数， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查数轴，掌握绝对值，数轴表示数的方法以及有理数大小比较方法是正确解答的前提． 考点04 绝对值方程 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 16．若，则的值为（ ） A. C. B. D. 以上答案都不对 【答案】B 【分析】对进行分类讨论求解即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解绝对值方程，解题的关键是进行分类讨论． 17．若，，且，那么的值为（ ） A. 4 C. 4或2 B. 2 D. 或 【答案】C 【分析】先根据绝对值的性质求出、的值，再根据，分两种情况计算的值即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 又， 需要分为两种情况， 第一种：，则； 第二种：，则， 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值等于一个正数的数有两个． 18．方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 19．如果，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， . 20．若，，且，求的值． 【答案】1，11，15 【分析】由绝对值的性质对x、y的取值分类讨论再计算即可． 【详解】由可知 若x+3＞0，则有x+3=6， 解得x=3，=3 若x+3＜0，则有-3-x=6， 解得x=-9，=9 由可知 若y-4＞0，则有y-4=2， 解得y=6，=6 若y-4＜0，则有4-y=2， 解得y=2，=2 ∵ ∴当=3时，=2满足条件 则 当=9时，=6满足条件 则 当=9时，=2满足条件 则 综上所述的值为1，11，15 【点睛】本题考查了绝对值方程，解决可化为一元一次方程的绝对值方程，其最基本的套路是：将方程中的绝对值符号去掉，转化为括号即可，括号里面的代数式，由绝对值里面代数式的符号确定：如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数． 考点05 绝对值的最值问题 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 21．x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，则的值是（ ）． A. C. 0 B. D. 2 【答案】A 【分析】根据最大的负整数、最小的正整数和绝对值最小的数的意义，求出字母的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数， 所以， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题关键是最大的负整数、最小的正整数和绝对值最小的数的意义，求出字母的值． 22．在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（ ） A. 或5 C. 或9 B. 或9 D. 5或9 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，如何表示数轴上两点之间的距离及绝对值的化简，得出是解题的关键．根据表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离，当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，且，可得绝对值方程，从而求出b的值． 【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离， 当点P在点A、点B两点之间时，的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴或9． 故选：C． 23．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，则|x-2|表示A，B点两间的距离，若记，则y的最小值为________． 【答案】8 【分析】进行分类，去绝对值符号，然后研究最小值． 【详解】解：当时，， 当，为最小值； 当时，， 当时，， 当，为最小值； 故y的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了去绝对值符号、数轴上两点间的距离，解题的关键是去绝对值符号． 24．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为________ 【答案】6 【分析】根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．此题考查了含有绝对值的最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力． 【详解】解：∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10， ∴设b为较大数字，当时，， 解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 设b为较大数字，当时，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 综上所述：k的最小值为6． 故答案为：6 25．画出数轴，在数轴上表示下列各数，用“”把它们连接起来并完成填空． ，，，0，． （1）上列数中，绝对值不大于2的数有________________________________； （2）上列数中，绝对值最小的数与绝对值最大的数的和为________． 【答案】（1），，0 （2）-4 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （2）根据绝对值的定义结合数轴解答即可； 【小问详解】如图所示： 由图可得，绝对值不大于2的数有：，，0； 【小问详解】由图可得，绝对值最小的数是：0， 绝对值最大的数是：， 绝对值最小的数与绝对值最大的数的和为：； 【点睛】本题考查了数轴、有理数比较大小，熟知数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解答本题的关键 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01　绝对值的化简与最值问题 目 录 考点01 绝对值基础应用 考点02 绝对值的非负性 考点03 绝对值的化简 考点04 绝对值方程 考点05 绝对值的最值问题 考点01 绝对值基础应用 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 1．的绝对值是（ ） A. C. 7 B. D. 2．的倒数是（ ） A. C. 2024 B. D. 3．绝对值小于2.5的整数有________（写一个即可）． 4．若与互为相反数，则的值为________． 5．已知与互为相反数，求的值． 考点02 绝对值的非负性 共5题（选择1·填空3·解答0）　|　由易到难排列 6．若a为有理数，且满足，则（ ） A. C. B. D. 7．若，则的值为________ 8．若，那么________，________． 9．若m，n满足，则________． 10．已知，，，求的值． 考点03 绝对值的化简 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 11．如图，有理数a、b在数轴上分别对应点A、B，下列各式正确的是（ ） A. C. B. D. 12．下列各式中，化简正确的是（ ） A. C. B. D. 13．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是________． 14．化简________． 15．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示． （1）在数轴上表示有理数，； （2）试把，，0，，这五个数用“<”连接起来； （3）用“>”“=”或“<”填空：______，______． 考点04 绝对值方程 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 16．若，则的值为（ ） A. C. B. D. 以上答案都不对 17．若，，且，那么的值为（ ） A. 4 C. 4或2 B. 2 D. 或 18．方程的解是________． 19．如果，则的值为________． 20．若，，且，求的值． 考点05 绝对值的最值问题 共5题（选择2·填空2·解答0）　|　由易到难排列 21．x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，则的值是（ ）． A. C. 0 B. D. 2 22．在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（ ） A. 或5 C. 或9 B. 或9 D. 5或9 23．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，则|x-2|表示A，B点两间的距离，若记，则y的最小值为________． 24．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为________ 25．画出数轴，在数轴上表示下列各数，用“”把它们连接起来并完成填空． ，，，0，． （1）上列数中，绝对值不大于2的数有________________________________； （2）上列数中，绝对值最小的数与绝对值最大的数的和为________． / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项01 绝对值的化简与最值问题 目录 考点01绝对值基础应用 考点02绝对值的非负性 考点03绝对值的化简 考点04绝对值方程 考点05绝对值的最值问题 考点01绝对值基础应用 共5题（选择2·填空2·解答0）|由易到难排列 1.B 2.A 3.2(答案不唯一) 4.3 5.2019 2020 考点02绝对值的非负性 共5题（选择1·填空3·解答0）「由易到难排列 6.D 7.-1 8.①4②-1 9.9 10.1或-1 考点03绝对值的化简 共5题（选择2·填空2·解答0）|由易到难排列 11.B 12.C 13.-3 14.1 1/2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(1)在数轴上表示-a、-b如图所示； (2)a<-b<0<b<-a(3)>,= a -b ，-a 图2 考点04绝对值方程 共5题（选择2·填空2·解答0）|由易到难排列 16.B 17.C 18.X=±4 9号 20.1,11,15 考点05绝对值的最值问题 共5题（选择2·填空2·解答0）|由易到难排列 21.A 22.C 23.8 24.6 25.(1)-2,-1.5,0(2)-4 212