专题07投影与视图同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题07投影与视图同步讲义 【题型01 平行投影】...................................................3 【题型02 中心投影】...................................................4 【题型03 正投影】.....................................................5 【题型04 判断简单几何体三视图】.......................................6 【题型05 判断简单组合体三视图】.......................................7 【题型06 由已知视图判断其他视图】.....................................8 【题型07 绘制简单几何体三视图】.......................................9 【题型08 绘制简单组合体三视图】......................................10 【题型09 绘制小立方块堆彻三视图】....................................11 【题型10 由三视图还原几何体】........................................12 【题型11 由三视图求边长】............................................13 【题型12 由三视图求侧面积/表面积】...................................14 【题型13 求小立方块堆彻图形表面积】..................................15 【题型14 由三视图求体积】............................................16 【题型15 求几何体视图的面积】........................................17 【题型16 由三视图判断小立方块个数】..................................18 【题型17 由三视图求小立方块最值个数】................................19 【解答题6题】........................................................20 ★知识梳理 知识点01:投影的基本概念与分类 1. 投影三要素 投影：光线照射物体，在投影面上形成的影子，由光源、物体、投影面构成。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在平面（如地面、墙面）。 2. 正投影（本章核心，三视图基础） 定义：投影线垂直于投影面的平行投影（特殊平行投影）。 三大性质（必考）： 真实性：物体的面平行于投影面 → 投影与该面形状、大小完全相同（全等）。 积聚性：物体的面垂直于投影面 → 投影积聚为线段 / 点。 类似性：物体的面倾斜于投影面 → 投影与该面相似但缩小。 3. 投影的两大类型（核心对比） 投影类型 光线特点 核心性质 生活实例 判断方法 平行投影 投影线互相平行（如太阳光） ①同一时刻，物高与影长成比例；②影子方向相同；③物体平行于投影面时，投影与物体全等 阳光下树影、日晷、工程图纸 物体顶点与影子顶点连线互相平行 中心投影 投影线从 同一点（光源）发出（如灯光） ①物高与影长不一定成比例；②等高物体离光源越近，影子越短（近大远小）；③投影可放大 / 缩小 灯光下人影、手电筒照物、皮影戏 物体顶点与影子顶点连线相交于光源点 知识点02:三视图（重点） 1. 三视图定义 用三个互相垂直的投影面（正面、水平面、侧面），对物体做正投影得到的三个视图，合称三视图： 主视图：从正前方（由前向后）投射 → 反映物体的长和高。 俯视图：从正上方（由上向下）投射 → 反映物体的长和宽。 左视图：从正左方（由左向右）投射 → 反映物体的高和宽。 2. 三视图的位置与大小关系（黄金法则） （1）位置规定（不可随意摆放） 主视图在左上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。 （2）大小关系（“九字诀”，必背） 长对正：主视图与俯视图长度相等、左右对齐。 高平齐：主视图与左视图高度相等、上下对齐。 宽相等：左视图与俯视图宽度相等、前后对应。 3. 常见几何体的三视图（基础） 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 / 长方体 矩形 矩形 矩形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（带圆心） 球 圆 圆 圆 三棱柱 矩形 / 三角形 矩形 三角形 4. 三视图画法规则（易错点） 1.看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线（不可省略）。 2.严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，尺寸与实物一致。 3.组合体先分解为基本几何体，分别画三视图再整合。 5. 由三视图还原立体图形（难点） 步骤： ①看主视图定物体的长、高与正面形状； ②看俯视图定长、宽与顶面形状； ③看左视图定高、宽与左面形状； ④综合三图，想象立体结构，区分实线 / 虚线判断内部轮廓。 关键：牢记 “长对正、高平齐、宽相等”，结合正投影性质还原。 知识点03:核心考点与易错点 1. 核心考点 (1)区分平行投影与中心投影，利用物高与影长比例计算（平行投影）。 (2)正投影的三大性质应用（判断投影形状、大小）。 (3)画简单几何体 / 组合体的三视图，规范实线 / 虚线。 (4)由三视图还原立体图形，计算表面积 / 体积。 2. 易错点 (1)混淆平行投影与中心投影的比例关系（平行投影成比例，中心投影不一定）。 (2)画三视图时漏画虚线（看不见的轮廓）。 (3)还原立体图形时忽略 “宽相等”，前后位置判断错误。 (4)正投影性质应用错误（如倾斜面投影误判为全等）。 【题型1.平行投影】 【典例】凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 【跟踪专练1】甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为，，，则三根木棒中最长的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，1米竹竿垂直于地面，在太阳光照射下形成的影子为1.5米，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于9米，则树高等于_____米． 【跟踪专练3】如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型2.中心投影】 【典例】下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不是直角三角形 D． 【跟踪专练2】如图为达芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是______消失点在该变换中的类似物是______． 【跟踪专练3】如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【题型3.正投影】 【典例】把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为________． 【跟踪专练1】如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【跟踪专练2】如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是______． 【跟踪专练3】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【题型4.判断简单几何体三视图】 【典例】在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有__________．（填序号）    【跟踪专练1】图1是表面画有不同图案的正方体，其展开图如图2所示，则该正方体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有______．（直接填序号） 【跟踪专练3】“堑堵”是古代数学名词，指一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体图形，即两底面为直角三角形的三棱柱．如图水平放置的“堑堵”的主视图为（   ） A． B． C． D． 【题型5.判断简单组合体三视图】 【典例】如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 【跟踪专练1】如图，这是由5个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移到②的正前方，则从三个方向看所得几何体的视图中，下列叙述正确的是（   ） A．主视图和俯视图不变 B．左视图和俯视图不变 C．主视图和左视图不变 D．三种视图都不改变 【跟踪专练2】图①所示的是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分得到一个工件（如图②）．对于这个工件，它的俯视图、主视图分别是_______（填字母）． 【跟踪专练3】在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　） A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10 【题型6.由已知视图判断其他视图】 【典例】一个几何体有若干块大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．下面表示从左面看到的形状图的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为___________． 【跟踪专练2】如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(    ) A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个 【题型7.绘制简单几何体三视图】 【典例】在画三视图时应遵循______；_______；______原则． 【跟踪专练1】用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 【跟踪专练2】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． （1）这个几何体由________个小正方体组成； （2）有个面露在外面的正方体有________个； 【跟踪专练3】如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【题型8.绘制简单组合体三视图】 【典例】如图所示，在长方体的右上角，沿着斜面切掉右上角的一块后，剩余的几何体的左视图为（  ） . A． B． C． D． 【跟踪专练1】三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图____； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图____，与俯视图____； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 【跟踪专练2】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】 由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图可以看到5个小正方体的面，则俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为______． 【题型9.绘制小立方块堆彻三视图】 【典例】如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示的几何体是由5个小正方体摆放而成的，如果每个小正方体的棱长为1，则这个几何体的左视图的面积是___． 【跟踪专练2】如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【题型10.由三视图还原几何体】 【典例】若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是______． 【跟踪专练1】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有__________盒． 【跟踪专练3】由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是(　　　　  )．    A．18 B．19 C．20 D．21 【题型11.由三视图求边长】 【典例】如图所示，水平放置的长方体的底面是长为4、宽为2的长方形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于_________． 【跟踪专练1】如图所示是某几何体的三视图，已知主视图和左视图都是面积为16的正方形，则俯视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算该几何体的底面周长为______． 【跟踪专练3】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【题型12.由三视图求侧面积/表面积】 【典例】如图是某几何体的三视图．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为4和2，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的全面积为 __． 【跟踪专练1】一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【跟踪专练2】如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为_________． 【跟踪专练3】下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型13.求小立方块堆彻图形表面积】 【典例】如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，该几何体的表面积为___________． 【跟踪专练1】把个棱长为厘米的正方体重叠起来拼成一个如图所示的立体图形，则这个立体图形的表面积是（    ）． A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【跟踪专练2.】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是____________，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是____________个． 【跟踪专练3】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【题型14.由三视图求体积】 【典例】如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是_____． 【跟踪专练1】如图所示的是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是________． 【跟踪专练3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【题型15.求几何体视图的面积】 【典例】将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为______． 【跟踪专练1】如图所示的几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体的主视图与俯视图的面积和是（　　）    A．8 B．9 C．10 D．11 【跟踪专练2】如图是由7个棱长均为1的正方体组成的几何体，则它的左视图和俯视图的面积之和为__________． 【跟踪专练3】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） . A．2 B．3 C．4 D．5 【题型16.由三视图判断小立方体个数】 【典例】某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【跟踪专练1】从正面、左面、上面观察一个由相同的小正方体构成的几何体，依次得到图所示的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数，则__________． 【跟踪专练3】由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（    ） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个 【题型17.由三视图求小立方块最值个数】 【典例】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，若组成这个几何体的小立方块的个数为最少________，最多是______． 【跟踪专练1】如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体个数不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是___个． 则搭成该几何体的小正方体最多是（个）， 故答案为：． 【跟踪专练3】桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（   ）    A．6个、18个 B．6个、20个 C．12个、20个 D．12个、22个 【解答题】 1．如图，公路旁有两个高度相等的路灯，．小东上午去学校时发现路灯在阳光下的影子恰好落到里程碑处，他的影子恰好落在路灯的底部处．晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯下的影子恰好落在里程碑处．． (1)在图中画出小东的位置（用线段表示），并画出光线，标明阳光、灯光； (2)若小东上午去学校时高的木棒在阳光下的影长为，他的身高为，他距里程碑点E为，求路灯的高． 2．为了准备中考体育1000米跑步考试，小亮坚持每晚跑步．如图是某天晚上小亮在公园跑道跑步的示意图，图中线段表示跑道上的小亮，线段表示跑道边的路灯，点表示照明灯的位置． (1)小亮由处跑至处的过程中，他在地面上影子长度的变化情况为_____； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子． 3．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的名称，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积． 4．在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体． (3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？ 5．如图，礼盒的上、下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形．如果用彩带包装礼盒，求所需彩带的长度（不计损耗和连接处）． 6．一透明的敞口正方体容器中装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱'交于点，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②． 解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ； (2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积底面积高] 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07投影与视图同步讲义 【题型01 平行投影】...................................................3 【题型02 中心投影】...................................................5 【题型03 正投影】.....................................................8 【题型04 判断简单几何体三视图】......................................11 【题型05 判断简单组合体三视图】......................................13 【题型06 由已知视图判断其他视图】....................................15 【题型07 绘制简单几何体三视图】......................................18 【题型08 绘制简单组合体三视图】......................................19 【题型09 绘制小立方块堆彻三视图】....................................22 【题型10 由三视图还原几何体】........................................24 【题型11 由三视图求边长】............................................26 【题型12 由三视图求侧面积/表面积】...................................28 【题型13 求小立方块堆彻图形表面积】..................................30 【题型14 由三视图求体积】............................................33 【题型15 求几何体视图的面积】........................................36 【题型16 由三视图判断小立方块个数】..................................39 【题型17 由三视图求小立方块最值个数】................................41 【解答题6题】........................................................43 ★知识梳理 知识点01:投影的基本概念与分类 1. 投影三要素 投影：光线照射物体，在投影面上形成的影子，由光源、物体、投影面构成。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在平面（如地面、墙面）。 2. 正投影（本章核心，三视图基础） 定义：投影线垂直于投影面的平行投影（特殊平行投影）。 三大性质（必考）： 真实性：物体的面平行于投影面 → 投影与该面形状、大小完全相同（全等）。 积聚性：物体的面垂直于投影面 → 投影积聚为线段 / 点。 类似性：物体的面倾斜于投影面 → 投影与该面相似但缩小。 3. 投影的两大类型（核心对比） 投影类型 光线特点 核心性质 生活实例 判断方法 平行投影 投影线互相平行（如太阳光） ①同一时刻，物高与影长成比例；②影子方向相同；③物体平行于投影面时，投影与物体全等 阳光下树影、日晷、工程图纸 物体顶点与影子顶点连线互相平行 中心投影 投影线从 同一点（光源）发出（如灯光） ①物高与影长不一定成比例；②等高物体离光源越近，影子越短（近大远小）；③投影可放大 / 缩小 灯光下人影、手电筒照物、皮影戏 物体顶点与影子顶点连线相交于光源点 知识点02:三视图（重点） 1. 三视图定义 用三个互相垂直的投影面（正面、水平面、侧面），对物体做正投影得到的三个视图，合称三视图： 主视图：从正前方（由前向后）投射 → 反映物体的长和高。 俯视图：从正上方（由上向下）投射 → 反映物体的长和宽。 左视图：从正左方（由左向右）投射 → 反映物体的高和宽。 2. 三视图的位置与大小关系（黄金法则） （1）位置规定（不可随意摆放） 主视图在左上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。 （2）大小关系（“九字诀”，必背） 长对正：主视图与俯视图长度相等、左右对齐。 高平齐：主视图与左视图高度相等、上下对齐。 宽相等：左视图与俯视图宽度相等、前后对应。 3. 常见几何体的三视图（基础） 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 / 长方体 矩形 矩形 矩形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（带圆心） 球 圆 圆 圆 三棱柱 矩形 / 三角形 矩形 三角形 4. 三视图画法规则（易错点） 1.看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线（不可省略）。 2.严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，尺寸与实物一致。 3.组合体先分解为基本几何体，分别画三视图再整合。 5. 由三视图还原立体图形（难点） 步骤： ①看主视图定物体的长、高与正面形状； ②看俯视图定长、宽与顶面形状； ③看左视图定高、宽与左面形状； ④综合三图，想象立体结构，区分实线 / 虚线判断内部轮廓。 关键：牢记 “长对正、高平齐、宽相等”，结合正投影性质还原。 知识点03:核心考点与易错点 1. 核心考点 (1)区分平行投影与中心投影，利用物高与影长比例计算（平行投影）。 (2)正投影的三大性质应用（判断投影形状、大小）。 (3)画简单几何体 / 组合体的三视图，规范实线 / 虚线。 (4)由三视图还原立体图形，计算表面积 / 体积。 2. 易错点 (1)混淆平行投影与中心投影的比例关系（平行投影成比例，中心投影不一定）。 (2)画三视图时漏画虚线（看不见的轮廓）。 (3)还原立体图形时忽略 “宽相等”，前后位置判断错误。 (4)正投影性质应用错误（如倾斜面投影误判为全等）。 【题型1.平行投影】 【典例】凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【分析】本题考查投影，根据太阳光可视为平行光，得到影子是平行投影，作答即可. 【详解】解：太阳光由于光源距离远，光线近似平行，属于平行投影， 故凯歌楼在太阳光下的影子属于平行投影； 故答案为：平行 【跟踪专练1】甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为，，，则三根木棒中最长的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质，平行投影中只有同一时刻垂直于地面的物体，物高才与影长成正比，题目未给出木棒垂直放置的条件，无法确定木棒长度关系． 【详解】解：∵ 平行投影中，物高与影长成正比的前提是物体在同一时刻垂直于地面放置，本题未说明三根木棒均垂直立于地面，无法得到木棒长度和影长的确定对应关系； ∴ 无法确定三根木棒中哪根最长． 【跟踪专练2】如图，1米竹竿垂直于地面，在太阳光照射下形成的影子为1.5米，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于9米，则树高等于_____米． 【答案】8 【分析】本题考查平行投影的相似性质，解题的关键是利用平行光线形成的相似三角形对应边成比例． 先根据竹竿与影子的比例确定光线的相似比，再结合树到墙的距离计算树在地面的投影长度，最后加上墙上的影高得到树高． 【详解】解：由题意，1米竹竿的影子长1.5米， 光线形成的物体高度与水平影子长度的比为： 如图，过点作于点， 则米，米， 设树在水平地面的投影对应的树高部分为，根据相似性质：， 代入，得：， 树高（米）． 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 【题型2.中心投影】 【典例】下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握中心投影的定义． 根据中心投影的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线不会交于一点，不符合中心投影的特征，故A选项错误； B、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线交于一点，符合中心投影的特征，故B选项正确； C、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线是平行的，符合平行投影的特征，不是中心投影，故C选项错误； D、图中树高与影子成反比，故D选项错误． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不是直角三角形 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 根据中心投影的特点，逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，和的形状相同，均为直角三角形，故A、C选项错误，D选项正确； ∵当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大， ∴它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），越来越大，故B选项错误； 故选D． 【跟踪专练2】如图为达芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是______消失点在该变换中的类似物是______． 【答案】 中心投影 投影中心 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：透视画法在数学上的类似变换是中心投影，消失点在该变换中的类似物是投影中心， 故答案为：中心投影，投影中心． 【跟踪专练3】如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质，掌握中心投影的概念找出相似比是解题关键． 分别求出、、，再依据中心投影的概念，根据距离相等推出相似比为，利用相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， ，， 由题意，得，，， 由中心投影的性质，可知，相似比为， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，，故C、D选项错误， 故选：B． 【题型3.正投影】 【典例】把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为________． 【答案】 相同 不相同 一条线段 【分析】本题考查正投影，理解正投影的定义是解答的关键．根据光线照射角度不同，得到投影形状不同分析解答即可． （1）根据投影面与物体平行时，正投影与物体大小、形状相同求解即可； （2）根据投影面与物体不平行时，正投影与物体大小、形状不相同求解即可； （3）根据投影面与物体垂直时，正投影是一条线段求解即可． 【详解】解：（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小相同， 故答案为：相同； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不相同， 故答案为：不相同； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段， 故答案为：一条线段． 【跟踪专练1】如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，理解正投影的定义是解题的关键． 根据“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”判断即可． 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，勾股定理；由之间三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定义可求，即可求解；理解正投影，将正投影的长转化为的长是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是． 【跟踪专练3】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，过A作于C，在中，根据余弦的定义求出，然后证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 【题型4.判断简单几何体三视图】 【典例】在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有__________．（填序号）    【答案】②③ 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从正面看得到的图形是主视图是解决本题的关键，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：①球的主视图是圆，不符合题意； ②圆柱的主视图是长方形，符合题意； ③四棱柱的主视图是中间有两条虚线的长方形，符合题意； ④三棱柱的主视图是三角形，不符合题意． 所以主视图是长方形的是②③． 故答案为：②③． 【跟踪专练1】图1是表面画有不同图案的正方体，其展开图如图2所示，则该正方体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的表面展开图是一四一型，其中，带二点和四点图案的正方形是相对的面，带一点和三角形图案的正方形是相对的面，在还原展开图时，可以让四点图案的正方形固定为底面，把其他各面翻折回来，即可得到结论． 【详解】 解：由正方体的表面展开图情况，让四点图案的正方形固定为底面，三角形为前面，把其他各面翻折回来，可知该正方体的俯视图是． 【跟踪专练2】在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有______．（直接填序号） 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是解题的关键． 根据主视图与俯视图分别是从物体正面、上面看得到的图形来解答． 【详解】解：正方体，主视图、俯视图都为正方形，即主视图和俯视图相同； 球，主视图、俯视图都为圆，即主视图和俯视图相同； 圆柱，主视图是长方形，俯视图是圆，即主视图和俯视图不相同； 圆锥，主视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，即主视图和俯视图不相同； 故答案为：． 【跟踪专练3】“堑堵”是古代数学名词，指一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体图形，即两底面为直角三角形的三棱柱．如图水平放置的“堑堵”的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正面观看立体图形即可得到． 【详解】 解：从正面观看水平放置的“堑堵”的主视图为． 【题型5.判断简单组合体三视图】 【典例】如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 【答案】 主 左 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 【跟踪专练1】如图，这是由5个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移到②的正前方，则从三个方向看所得几何体的视图中，下列叙述正确的是（   ） A．主视图和俯视图不变 B．左视图和俯视图不变 C．主视图和左视图不变 D．三种视图都不改变 【答案】C 【分析】分别得到将正方体①移到②的正前方后的三视图，依此即可作出判断． 【详解】解：将正方体①移到②的正前方，主视图和左视图不变，俯视图改变． 【跟踪专练2】图①所示的是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分得到一个工件（如图②）．对于这个工件，它的俯视图、主视图分别是_______（填字母）． 【答案】 【分析】本题考查几何体三视图的判断，掌握从不同方向观察工件，确定视图的形状是解题的关键． 分别从俯视和主视的角度观察工件，确定其俯视图和主视图的形状． 【详解】解：俯视图：从上方观察工件，看到的是正三角形，对应图形， 主视图：从正面观察工件，看到的是带有虚线的直角梯形，对应图形， 虽然带有虚线的直角梯形，但其虚线位置与实际被遮挡的棱边不匹配， 实际主视图中，被遮挡的棱边是工件内侧较短的线段，而中虚线过长，超出了实际遮挡范围． 所以俯视图、主视图分别是． 故答案为：． 【跟踪专练3】在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　） A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10 【答案】A 【详解】由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9个相同的正方体组成，恰好构成了边长为3个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这个正方形的4个顶点处各放1个相同的正方体．因此最多有正方体n=9＋4＝13个；底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有m=2+3=5个小正方体组成． 故选：A． 点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少，来判断，解题关键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数，比较复杂，求最少时容易出错，应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2行即可. 【题型6.由已知视图判断其他视图】 【典例】一个几何体有若干块大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．下面表示从左面看到的形状图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何体的三视图，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字，据此选出图形即可． 【详解】解：由题意可得：从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3， 故选：A． 【跟踪专练1】几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为___________． 【答案】4 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积； 【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图， 所以这个几何体的左视图的面积为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图． 【跟踪专练2】如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的主视图和俯视图，再结合选项中左视图判断正方体的个数，即可得出结论． 【详解】解：∵俯视图中有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， A、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有2个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； B、由主视图和左视图可得，第2层有2个正方体，第3层有1个正方体，故共有（个）正方体，故此选项不可能是几何体的左视图，符合题意； C、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； D、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(    ) A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个 【答案】A 【详解】根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况. 所以选A. 【题型7.绘制简单几何体三视图】 【典例】在画三视图时应遵循______；_______；______原则． 【答案】 长对正 高平齐 宽相等 【分析】主视图和俯视图的长相等，主视图和左视图的高相等，俯视图和左视图的宽相等． 【详解】在画三视图时应遵循长对正，高平齐，宽相等原则． 故答案为：长对正；高平齐；宽相等． 【点睛】本题考查三视图的口诀，长对正，高平齐，宽相等是画三视图必须遵循的法则． 【跟踪专练1】用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．根据三视图的定义进行判断即可． 【详解】解：两个几何体的三视图，如图所示： 所以，只有左视图不相同， 故选：B． 【跟踪专练2】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． （1）这个几何体由________个小正方体组成； （2）有个面露在外面的正方体有________个； 【答案】 【分析】（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：6，2，2，相加即可； （2）数出3个面露在外面的正方体即可求解. 【详解】（1）6+2+2=10（个）； 故答案为10； （2）有3个面露在外面的正方体有3个． 【点睛】考查了作图-三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 【跟踪专练3】如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该工件的左视图为： 故选C． 【题型8.绘制简单组合体三视图】 【典例】如图所示，在长方体的右上角，沿着斜面切掉右上角的一块后，剩余的几何体的左视图为（  ） . A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了几何体左视图的判断，掌握左视图的定义是解题关键． 根据左视图的定义，左视图就是物体由左向右投影得到的视图，即可得出结论． 【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图是： 故选：A ． 【跟踪专练1】三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图____； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图____，与俯视图____； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 【答案】 长对正 高平齐 宽相等 【解析】略 【跟踪专练2】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，小正方体的个数确定主视图． 【详解】∵ ∴几何体的主视图为： 故寻B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握主视图的定义，清楚主视图与小正方体的个数的关系是画图的关键． 【跟踪专练3】 由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图可以看到5个小正方体的面，则俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为______． 【答案】7 【分析】左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1．据此计算即可． 【详解】解：根据题意可得左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1． ∴俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为：2+1+1+2+1=7． 故答案为：7 【点睛】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 【题型9.绘制小立方块堆彻三视图】 【典例】如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：由题意得：从左边看，为中间有一条线段的长方形，故选项D正确． 【跟踪专练1】如图所示的几何体是由5个小正方体摆放而成的，如果每个小正方体的棱长为1，则这个几何体的左视图的面积是___． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形是左视图，进而求得左视图的面积，即可求解． 【详解】解：这个几何体的左视图如图所示 ∴每个小正方体的棱长为1，则这个几何体的左视图的面积是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图、概率的定义等知识点，掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图成为解题的关键． 根据三视图的定义以及概率的定义即可解答． 【详解】解：去掉①的小正方体，左视图改变；去掉②～⑤的小正方体中的一个，左视图不变，则左视图不发生改变的概率是． 故选：D． 【跟踪专练3】老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【答案】16 【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形； 【详解】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排． 三排的左视图有：种； 两排的左视图有：种； 共种． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【题型10.由三视图还原几何体】 【典例】若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是______． 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握各个几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形即可解答． 【详解】解：由三视图可知：这个几何体是圆锥. 故答案为：圆锥． 【跟踪专练1】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从四个选项中立体图形的俯视图判断，只有B选项的俯视图与题中所给三视图的俯视图一致． 【跟踪专练2】小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有__________盒． 【答案】 【分析】本题考查三视图，掌握三视图是从三个方向观察物体是解题的关键； 根据题中的主视图、左视图、俯视图，分别得出第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，进而即可得出答案． 【详解】解：根据题意得第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，所以至少共有盒． 故答案为：． 【跟踪专练3】由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是(　　　　  )．    A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可. 【详解】解：∵由主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体， ∴n的最大值为6+6+9=21. 故选：D 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形. 【题型11.由三视图求边长】 【典例】如图所示，水平放置的长方体的底面是长为4、宽为2的长方形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于_________． 【答案】24 【分析】由主视图的面积=长×高，长方体的体积=主视图的面积×宽，得出结论． 【详解】因为主视图的面积为12cm2 ， 所以长方体的高为12÷4=3cm， 所以体积为3×4×2=24cm3． 故答案为：24 【点睛】本题考查了简单的几何体的三视图，解题的关键是明确主视图是由长和高组成的． 【跟踪专练1】如图所示是某几何体的三视图，已知主视图和左视图都是面积为16的正方形，则俯视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图．根据三视图，得到俯视图的直径为4，根据圆的面积公式进行进行求解即可． 【详解】解：∵主视图和左视图都是面积为16的正方形， ∴主视图的长为4， ∵主俯视图的长对正， ∴俯视图的直径为4， ∴俯视图的面积是； 故选D． 【跟踪专练2】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算该几何体的底面周长为______． 【答案】4πcm． 【分析】根据主视图是等腰三角形，利用等腰三角形的性质，勾股定理求得底边的长，这就是圆锥底面圆的直径，计算周长即可． 【详解】如图，根据主视图的意义，得三角形是等腰三角形， ∴三角形ABC是直角三角形， BC==2， ∴底面圆的周长为：2πr=4πcm． 故答案为：4πcm． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握圆锥的三视图及其各视图的意义是解题的关键． 【跟踪专练3】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 【题型12.由三视图求侧面积/表面积】 【典例】如图是某几何体的三视图．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为4和2，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的全面积为 __． 【答案】10π 【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积． 【详解】解：由三视图知几何体为圆柱， 且底面圆的半径是1，高是4， ∴这个几何体的体积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查由三视图求面积，掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征是关键． 【跟踪专练1】一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三视图求面积、正方形的性质；观察该几何体及其三视图可知，该几何体为底面是正方形的长方体，且正方形的对角线长为2，该长方体的高为3，进而求得侧面积，即可求解． 【详解】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且对角线长为2，该长方体的高为3， ∴正方形的边长为， 故其侧面积为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前.提． 先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是截去了圆柱后的剩余部分，且圆柱的底面圆的半径为2，高为3． 故该几何体的表面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 【题型13.求小立方块堆彻图形表面积】 【典例】如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，该几何体的表面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积求解，求出该几何体三视图中的正方形个数即可求解． 【详解】解：该几何体主视图上有个正方形，左视图和俯视图上有个正方形， ∴该几何体的表面积为：， 故答案为： 【跟踪专练1】把个棱长为厘米的正方体重叠起来拼成一个如图所示的立体图形，则这个立体图形的表面积是（    ）． A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的表面积，分别计算左视图、主视图以及俯视图的面积，再乘以即可． 【详解】解：组合体的主视图有五个正方形，那么面积为， 左视图有六个正方形，那么面积为， 俯视图有五个正方形，那么面积为， 所以表面积为：． 故选：D． 【跟踪专练2.】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是____________，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是____________个． 【答案】 7 4 【分析】本题考查了立体图形的表面积问题，解决本题的关键是得到上下所有正方体露在外面的上面面积之和为1，每增加一层相当于增加4个侧面． 若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面；若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面；若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面；根据规律分别计算外露面积即可． 【详解】解：若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面，所以外露面积为：； 若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； 若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； ∴塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是7；如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是4个． 故答案为：7，4． 【跟踪专练3】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 【题型14.由三视图求体积】 【典例】如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是_____． 【答案】96 【分析】本题考查了由几何体的三视图求体积，由三视图的形状可知，这个几何体是三棱柱， 底面是两条直角边分别为、的直角三角形，高是，根据棱柱的体积公式计算即可求解，由三视图的形状得出几何体是三棱柱是解题的关键． 【详解】解：由三视图的形状可知，这个几何体是三棱柱， 底面是两条直角边分别为、的直角三角形，高是， ∴它的体积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示的是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查观察几何体的三视图还原几何体，求几何体体积．根据题意可知几何模型底部有4个小正方体块，中间部分有2个正方体块，最上边有1个正方体块，共计7个正方体块，即可求得体积． 【详解】解：由题意得： 几何模型底部有4个小正方体块，中间部分有2个正方体块，最上边有1个正方体块，共计7个正方体块， ∴体积为：， 故选：C． 【跟踪专练2】如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据三视图求几何体的体积，等边三角形的性质，勾股定理，由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其高为2，其底面是一个高为的等边三角形，据此求出底边等边三角形的面积，再根据三棱柱的体积计算公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其高为2，其底面是一个高为的等边三角形， 如图所示，是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查三棱锥的三视图的判断与应用，几何体的体积的求法．判断几何体的形状，利用三视图的数据，然后求解几何体的体积即可． 【详解】 解：由题意可知，几何体是底面是等腰三角形，底边长为2，高为1，三棱锥的高为，侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，三棱锥的体积为：． 故选：A． 【题型15.求几何体视图的面积】 【典例】将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为______． 【答案】36 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形就是主视图是关键．根据题意判断出该几何体的主视图，进而得出它的面积． 【详解】解：该几何体的主视图是一个边长为的正方形， 所以该几何体主视图的面积是：． 故答案为：36． 【跟踪专练1】如图所示的几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体的主视图与俯视图的面积和是（　　）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．主视图是从物体的前面看得到的视图；俯视图是从上面看得到的视图． 【详解】解：主视图：    俯视图：    ∵几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的 ∴该几何体主视图与俯视图的面积和是． 故选：B． 【跟踪专练2】如图是由7个棱长均为1的正方体组成的几何体，则它的左视图和俯视图的面积之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的左视图及俯视图，根据左视图及俯视图的定义得到该几何体的左视图和俯视图，问题随之得解． 【详解】解：该几何体的左视图为： 左视图的面积为， 该几何体的俯视图为： 俯视图的面积为， 则它的左视图和俯视图的面积之和为． 故答案为：． 【跟踪专练3】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 【题型16.由三视图判断小立方体个数】 【典例】某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数． 【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层， 底层有块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体， 综上可知共有块正方体， 故答案为：． 【跟踪专练1】从正面、左面、上面观察一个由相同的小正方体构成的几何体，依次得到图所示的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．易得这个几何体共有层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层正方体的个数，相加即可． 【详解】解：根据题意得，这个几何体共有层，由俯视图可得第一层正方体的个数为个，由主视图和左视图可得第二层正方体的个数为个， 这个几何体的小正方体有（个）， 故选：B． 【跟踪专练2】用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数，则__________． 【答案】5 【分析】本题考查了三视图；由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体，即可求出的值． 【详解】解：∵由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体， ∴， ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练3】由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（    ） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个 【答案】B 【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可． 【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个． 故选：B． 【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 【题型17.由三视图求小立方块最值个数】 【典例】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，若组成这个几何体的小立方块的个数为最少________，最多是______． 【答案】 10 16 【分析】利用俯视图，在上面写出最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：最多有：（个）， 最少有：（个）， ， 【点睛】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体个数不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了已知三视图求最多或最少的小正方体的个数，先分析主视图和俯视图，得出最少小正方体个数是个；最多小正方体个数是个，然后结合四个选项，进行分析，即可作答． 【详解】解：俯视图最少如图所示： 最少小正方体个数是（个）； 俯视图如图所示： 最多小正方体个数是（个）； 观察四个选项，所需的小正方体个数不可能是， 故选：A． 【跟踪专练2】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是___个． 【答案】 【分析】根据主视图和俯视图的定义即可得． 【详解】解：由主视图和俯视图可知，搭成该几何体的小正方体最多如图所示：其中，各数字表示所在行、列上小正方体的最多的个数， 则搭成该几何体的小正方体最多是（个）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了主视图和俯视图，在俯视图上表示出正确的数字是解题的关键． 【跟踪专练3】桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（   ）    A．6个、18个 B．6个、20个 C．12个、20个 D．12个、22个 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 利用左视图以及主视图可以得出这个几何体最少的块数以及最多的块数即可解答． 【详解】解：如图所示：    小立方体的个数最少是（个）；最多是（个）小立方体． 故选：B． 【解答题】 1．如图，公路旁有两个高度相等的路灯，．小东上午去学校时发现路灯在阳光下的影子恰好落到里程碑处，他的影子恰好落在路灯的底部处．晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯下的影子恰好落在里程碑处．． (1)在图中画出小东的位置（用线段表示），并画出光线，标明阳光、灯光； (2)若小东上午去学校时高的木棒在阳光下的影长为，他的身高为，他距里程碑点E为，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，中心投影，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作阳光线，过点作的平行线交于点，过点作于点，则线段即为所求； （2）根据同一时刻物高与影长成正比得出比例式求出的长，再根据得出比例式得出的长即可； 【详解】（1）解：小东的位置（用线段表示），画出光线，标明阳光、灯光如图所示： 作阳光线，过点作的平行线交于点，过点作于点，则线段即为所求； （2）解：由题意可知，， ， ， ∴， ， ， ， 答：路灯的高为． 2．为了准备中考体育1000米跑步考试，小亮坚持每晚跑步．如图是某天晚上小亮在公园跑道跑步的示意图，图中线段表示跑道上的小亮，线段表示跑道边的路灯，点表示照明灯的位置． (1)小亮由处跑至处的过程中，他在地面上影子长度的变化情况为_____； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子． 【答案】(1)变短 (2)见解析 【分析】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的定义是解此题的关键． （1）根据中心投影原理分析影子长度变化即可； （2）利用中心投原理画出影子即可． 【详解】（1）解：小亮由处跑至处的过程中，他在地面上影子长度的变化情况为变短， 故答案为：变短； （2）解：连接并延长，交地面于点，线段即为小亮站在处的影子 3．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的名称，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积． 【答案】四棱柱，它的侧面积是，体积是 【分析】此题主要考查的是几何体的侧面积和体积，由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其侧面积和体积． 由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，则求出菱形的边长，从而求出它的侧面积和体积． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是四棱柱， 棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm，3cm， ∴菱形的边长为， 棱柱的侧面积为， 棱柱的体积为， 故它的侧面积是，体积是． 4．在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体． (3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查几何体的三视图、添加小正方体的限制条件及表面积计算，涉及知识点：三视图的画法、几何体的空间结构、表面积的计算（注意接触面不喷漆）．解题关键是准确判断三视图的形状及暴露面的数量，易错点是添加小正方体时忽略视图限制，或计算表面积时重复/遗漏面． （1）根据几何体的层数和列数画三视图；按正、左、上三个方向观察几何体，画出视图即可； （2）结合左视图和俯视图的限制，确定可添加小正方体的位置； （3）分别计算各个方向的暴露面，求和得喷漆面积． 【详解】（1） （2）保持左视图和俯视图不变，如图所示： 最多添加3． （3）小正方体棱长为，每个面面积为，计算暴露面： 前面/后面：各看到个面，共个； 左面/右面：各看到个面，共个； 上面：看到个面； 接触面（底面）不喷漆，故总面积为 5．如图，礼盒的上、下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形．如果用彩带包装礼盒，求所需彩带的长度（不计损耗和连接处）． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图，解题的关键是知道正六边形两个顶点间的最大距离，求对边之间的距离，需构造直角三角形，利用相应的三角函数求解． 由主视图知道，高是，两顶点之间的最大距离为，应利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可． 【详解】解：根据题意，作出实际图形的上底，如图所示． AC，CD是上底面的两边，则． 过点C作于点B，则， 所需彩带的长度为． 6．一透明的敞口正方体容器中装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱'交于点，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②． 解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ； (2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积底面积高] 【答案】(1)平行； (2) 【分析】本题主要考查了棱柱体积的计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键． （1）根据水面与水平面平行可以得到与平行，利用勾股定理即可求得的长； （2）液体正好是一个以是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积． 【详解】（1）解：∵液体的形状为直三棱柱， ∴， 由三视图可得，， ∵正方体容器， ∴， 根据勾股定理得：． 故答案为：平行；； （2）解： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $