专题03相似三角形同步冲刺讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题03相似三角形同步冲刺讲义 【题型01 两角对应相等判定三角形相似】...........................4 【题型02 三边成比例判定三角形相似】..............................8 【题型03 两边成比例且夹角相等判定三角形相似】...................11 【题型04 补充/选择条件使三角形相似】.............................14 【题型05 相似三角形的判定综合】.................................17 【题型06 利用相似三角形性质求解】...............................20 【题型07 证明三角形对应线段成比例】.............................23 【题型08 利用相似求坐标】.......................................26 【题型09 网格中绘制相似三角形】.................................30 【题型10 相似三角形动点问题】...................................33 【题型11 相似三角形判定与性质综合】.............................36 【题型12 相似三角形综合问题】...................................39 【题型13 三角形重心的性质与应用】...............................44 【题型14 相似三角形的实际应用】.................................47 【解答题5题】...................................................51 ★知识梳理 知识点01:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 特例：全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形。 知识点02:相似三角形的判定定理 1.平行线判定法（预备定理） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 2.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 4.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 5.直角三角形特殊判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点03. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点04:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 易错点提醒 1.对应关系：书写相似时，顶点顺序必须对应，否则会导致边、角对应错误。 2.SAS 判定：必须是夹角相等，若两边成比例但夹角不相等，不能判定相似。 3.面积比：面积比是相似比的平方，不是相似比本身。 4.预备定理：平行线必须平行于三角形的一边，且与另外两边（或延长线）相交。 【题型1.两角对应相等判断三角形相似】 【典例】如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 【跟踪专练1】将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B．. C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 【跟踪专练2】如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 图中的相似三角形共有6对， 故选：D． 【题型2.三边成比例判定三角形相似】 【典例】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 【跟踪专练3】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 【题型3.两边成比例且夹角相等判定三角形相似】 【典例】如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） . 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 【跟踪专练1】在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 【答案】或 【分析】结合相似三角形的判定找出可能成比例的线段：或，设，则，分别由或推出，，再结合有且只有两个点进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， ， 当或时，与相似， 四边形是平行四边形， ， 设，则， 当时，， ， 当时，， ， 有且只有两个点， 有两种情况， 第一种情况：有两个相等的实数根， ， 或， 又， ； 第二种情况：有两个不等的实数根，且是它的一个根， ，， 或， 又， ； 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定、平行四边形的性质、根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定． 【跟踪专练3】如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解： 当时，， 当时，， 当时，． 故选：． 【题型4.补充/选择条件使三角形相似】 【典例】如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足______时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定∽的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴，即； A：添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证∽，故该选项不合题意； B：添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证∽，故该选项不合题意； C：添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证∽，故该选项不合题意； D：添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，无法证明∽，故该选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 【题型5.相似三角形的判定综合】 【典例】如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有__________对 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．设小长方形的长为，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为， ∴图①中的三角形三边长分别为、； 图②中的三角形三边长分别为，； 图③中的三角形三边长分别为，； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：B 【题型6.利用相似三角形性质求解】 【典例】如图，，，，则的长为______． 【答案】4 【详解】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 解：，， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个相似三角形可知三角形中的两个钝角相等，然后借助网格可得答案． 【详解】解：∵和相似， ∴． 【跟踪专练2】和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.先利用勾股定理计算出，再分类讨论：当时，则；当时，则，然后利用比例性质分别计算出的长． 【详解】解：∵，，． ∴， 当时，如图1所示，，即，解得， 当时，如图2所示，，即，解得， 即BD的长为或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图是一个由三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中的纸片的面积分别为，若，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如图，由三种直角三角形相似，设相似比为，，则，，根据线段的和差关系构建方程，求出的值，证明即可解决问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 【详解】解：如图，由三种直角三角形相似，设相似比为，， 则，， . ∴， ，， 则有：， 整理得，， ∴或(不合，舍去)， ∴， ， ∴， ∴这个矩形的面积， 故选：． 【题型7.证明三角形对应线段成比例】 【典例】如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出AB，再利用相似即可求解. 【详解】∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=30°， 又∵AD⊥AC，AD=3 ∴∠DAC=90°，CD=6 勾股定理得AC=AB=3， 由图可知△ABD∽△BCA， ∴BC=9 【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键. 【跟踪专练1】如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为(　　) A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 【答案】A 【分析】通过观查图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论． 【详解】解：观查图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴． 故选A. 【点睛】此题重点考查学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键. 【跟踪专练2】如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 【答案】 【分析】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时可以转化为，三点共线取到最小值． 【详解】解：如图，延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小， ， ，， ， ， 为公共边， ， ， ， 当三点共线时取到最小值， ， ， 即,解得：， 又， ， 即， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解． 【跟踪专练3】如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 【题型8.利用相似求坐标】 【典例】已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________. 【答案】 【分析】根据两相似三角形的对应边成比例求得DE的长度，然后由两点间的距离公式可以求得点E的坐标． 【详解】解：∵点A、B、C、D的坐标分别为（-5，3）、（1，3）、（1，-1）、（4，3）， ∴AB=6，AD=9，BC=4， . 又∵， ∴，BC∥DE， ∴DE=6，E点横坐标与D点相同， 设点E的坐标为（4，y）， ∴3-y=6， 解得，y=-3， ∴点E的坐标为（4，-3）． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质．解答该题的关键是根据相似三角形的对应边成比例求得线段DE的长度． 【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 【跟踪专练3】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 【题型9.网格中绘制相似三角形】 【典例】如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ）    A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断． 【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°， 又∵， ∴，， ∴△ABC∽△ADE∽△HFA， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【跟踪专练1】如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似． 【详解】解：在中，，，， 的三边之比为：； 在中，，，， 的三边之比为：， 与相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【跟踪专练3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 【题型10.相似三角形动点问题】. 【典例】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则____________． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 【跟踪专练1】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论． 【详解】解：设运动时间为秒． ，，， 当，， 即， 解得； 当，， 即， 解得， 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想． 【题型11.相似三角形判定与性质综合】 【典例】如图，中，点为的中点，点在上，且，，要使以、、为顶点的三角形与相似，则__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 若以、、为顶点的三角形与相似时，则分为或两种情况求解即可． 【详解】解：∵点为的中点，， ∴， ， 当时， ， ∴； 当时， ∴， ； 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，，与相交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则______ ． 【答案】 【分析】先证明，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的值，继而可求的值，最后可求的值． 【详解】解：∵， ， 又， ， ∵， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，对角线，交于点E，若，，且，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 设，则，，根据勾股定理求出，证明，利用对应边成比例，进行求解即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型12.相似三角形综合问题】 【典例】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为______. 【答案】1 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题． 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ ∴， ∴CD=，BD=BC-CD=6-=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴，即， ∴DM=，MB=BD-DM=-=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题. 【跟踪专练1】如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，点O是△ABC内一点，分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD，若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是_____． 【答案】24 【分析】证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质得到，再证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵AD＝2OA，BE＝2OB， ∴，， ∴， ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB∽△DOE， ∴， 同理可得，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴（）2，即， ∴S△DEF＝27， ∴阴影部分的面积＝27﹣3＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，，若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DFBE，垂足为F，如图所示，易发现，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用即可求出DF、BF. 【详解】延长AD、BC交于点E，过点D作DFBE，垂足为F，如图所示， ，， ， , 又， ， 设DE=x,CE=y, , 整理可得关于x,y的二元一次方程组， ， 解得， , 故选C. 【点睛】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解. 【题型13.三角形重心的性质与应用】 【典例】如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．先判断点为的重心，然后利用三角形重心的性质求出，从而得到的长． 【详解】解：、分别是，的中点， 点为的重心， ， ． 故答案为3． 【跟踪专练1】如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 根据重心的概念得到点D为中点，求出的长，再根据平行证明，结合点E是中点，得到，从而求出． 【详解】解：∵经过的重心， ∴点D是中点， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵点E是中点， ∴，即， 解得： 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，合理作图是关键． 根据三角形的重心得到，证明，求出，再证明即可求解． 【详解】解：如图1所示，连接并延长交线段于点，与交于点，连接， ∵点为三角形的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2所示，过作于， . ∵是的中线， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ． 故选：B． 【题型14.相似三角形的实际应用】 【典例】在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，理解物体高度和影长的关系是关键． 利用相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比，代入计算即可． 【详解】解：设熊猫雕塑的高度是米， ∵同一时刻物体高度与影长成正比， ∴， ∴（米） 故答案为：． 【跟踪专练1】为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意易证，然后利用相似三角形的高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知，，到点的距离为，，， ∴， ∴，即， ∴． 【跟踪专练2】如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【答案】 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 【跟踪专练3】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 解答题 1．如图，在菱形中，E为的中点，点F在的延长线上，，交于点G，H为上一点，且． (1)求证：． (2)若． ①求的长； ②连接，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②详见解析 【分析】（1）根据菱形的性质得，再说明，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案； （2）①连接，根据菱形的性质得是等边三角形，可得，，再结合已知条件得出，进而求出，然后说明，最后说明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案；②结合已知条件说明，可得=，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，可得，接下来说明可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①连接， ∵四边形是菱形， ∴． ∵E为的中点， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得：． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，连接交于点O， 可知， ∴． ∵ ∴， ∴=， ∴=． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 2．如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可知是直角三角形，根据旋转的性质可知，使用勾股定理计算即可； （3）根据旋转可构造角度相等，证明，可知． 【详解】（1）证明： 将绕点旋转得到，点的对应点在边上， ∴，，， ，， （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， 在中，， ， （3）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 3．鸿门寺塔，又称响铃塔，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小刚在周末利用所学知识测量了鸿门寺塔的高度（如图）．小刚在点处竖立一根高为1.8米的标杆，某一时刻，鸿门寺塔在阳光下的影子顶端与标杆在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后，小刚从点处沿方向移动12米到达点处（即米），在点处竖立一个高为1米的测角仪，测得，经测量得知米．已知，，，，点、、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚求出鸿门寺塔的高度． 【答案】27米 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，根据矩形的性质与判定求线段长，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先证明四边形为矩形，根据矩形的性质得出，，再证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得，从而可求得鸿门寺塔的高度为27米． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴鸿门寺塔的高度为米． 4．如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 【答案】2、12或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据题意，由相似三角形的判定方法，分类讨论：当时，；当时，；由相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：， ∴， 设，则， 情况1：当时，， ∴， ∴， 解得，或， 经检验，当或时，原方程有意义； 情况2：当时，， ∴， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义； 综上所述，长为2、12或． 5．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03相似三角形同步冲刺讲义 【题型01 两角对应相等判定三角形相似】...........................4 【题型02 三边成比例判定三角形相似】..............................5 【题型03 两边成比例且夹角相等判定三角形相似】....................6 【题型04 补充/选择条件使三角形相似】.............................7 【题型05 相似三角形的判定综合】..................................8 【题型06 利用相似三角形性质求解】................................9 【题型07 证明三角形对应线段成比例】..............................9 【题型08 利用相似求坐标】.......................................10 【题型09 网格中绘制相似三角形】.................................11 【题型10 相似三角形动点问题】...................................12 【题型11 相似三角形判定与性质综合】.............................13 【题型12 相似三角形综合问题】...................................14 【题型13 三角形重心的性质与应用】...............................15 【题型14 相似三角形的实际应用】.................................16 【解答题5题】...................................................17 ★知识梳理 知识点01:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点02:相似三角形的判定定理 1.平行线判定法（预备定理） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 2.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 4.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 5.直角三角形特殊判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点03. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点04:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 易错点提醒 1.对应关系：书写相似时，顶点顺序必须对应，否则会导致边、角对应错误。 2.SAS 判定：必须是夹角相等，若两边成比例但夹角不相等，不能判定相似。 3.面积比：面积比是相似比的平方，不是相似比本身。 4.预备定理：平行线必须平行于三角形的一边，且与另外两边（或延长线）相交。 【题型1.两角对应相等判断三角形相似】 【典例】如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【跟踪专练1】将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B．. C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【题型2.三边成比例判定三角形相似】 【典例】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【跟踪专练1】如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【跟踪专练3】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【题型3.两边成比例且夹角相等判定三角形相似】 【典例】如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） . 【跟踪专练1】在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 【跟踪专练3】如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （    ） A． B． C． D． 【题型4.补充/选择条件使三角形相似】 【典例】如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足______时，与相似． 【跟踪专练1】如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定∽的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【跟踪专练3】如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【题型5.相似三角形的判定综合】 【典例】如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有__________对 【跟踪专练3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【题型6.利用相似三角形性质求解】 【典例】如图，，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为______． 【跟踪专练3】如图是一个由三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中的纸片的面积分别为，若，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A． B． C． D． 【题型7.证明三角形对应线段成比例】 【典例】如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．    【跟踪专练1】如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为(　　) A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 【跟踪专练2】如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 【跟踪专练3】如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【题型8.利用相似求坐标】 【典例】已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________. 【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【跟踪专练3】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【题型9.网格中绘制相似三角形】 【典例】如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ）    A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 【跟踪专练1】如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是______． 【跟踪专练2】如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【跟踪专练3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【题型10.相似三角形动点问题】. 【典例】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则____________． 【跟踪专练1】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【跟踪专练2】如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 【题型11.相似三角形判定与性质综合】 【典例】如图，中，点为的中点，点在上，且，，要使以、、为顶点的三角形与相似，则__________． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，，与相交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则______ ． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，对角线，交于点E，若，，且，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【题型12.相似三角形综合问题】 【典例】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为______. 【跟踪专练1】如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点O是△ABC内一点，分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD，若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是_____． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，，若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【题型13.三角形重心的性质与应用】 【典例】如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则________． 【跟踪专练1】如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【跟踪专练2】如图，已知：G是的重心，，那么______． 【跟踪专练3】如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（　　） A． B． C． D． 【题型14.相似三角形的实际应用】 【典例】在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米． 【跟踪专练1】为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【跟踪专练3】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 解答题 1．如图，在菱形中，E为的中点，点F在的延长线上，，交于点G，H为上一点，且． (1)求证：． (2)若． ①求的长； ②连接，求证：． 2．如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 3．鸿门寺塔，又称响铃塔，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小刚在周末利用所学知识测量了鸿门寺塔的高度（如图）．小刚在点处竖立一根高为1.8米的标杆，某一时刻，鸿门寺塔在阳光下的影子顶端与标杆在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后，小刚从点处沿方向移动12米到达点处（即米），在点处竖立一个高为1米的测角仪，测得，经测量得知米．已知，，，，点、、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚求出鸿门寺塔的高度． 4．如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 5．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $