专题06解直角三角形及其应用同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题06解直角三角形及其应用同步讲义 【题型01 解直角三角形的基本计算】................................3 【题型02 非直角三角形的解法】....................................7 【题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长/面积】.................10 【题型04 解直角三角形的应用:仰角俯角问题】.......................14 【题型05 解直角三角形的应用:方位角问题】.........................18 【题型06 解直角三角形的应用:坡度坡比问题】.......................22 【题型07 解直角三角形的应用:其他实际应用问题】...................25 【解答题6题 】..................................................29 ★知识梳理 知识点01:解直角三角形的定义 在Rt△ABC中，∠C=90∘，除直角外还有 5 个元素（2 条直角边、1 条斜边、2 个锐角），已知其中2 个元素（至少 1 个是边），求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 知识点02:解直角三角形的三大依据 1）三边之间的关系（边→边） 勾股定理a2+b2=c2 作用：已知两条边，求第三条边。 2）两锐角之间的关系（角→角） 两锐角互余∠A+∠B=90∘作用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 3）边角之间的关系（边↔角） 锐角三角函数 sinA cosA tanA​ 作用：已知一边一角或两边，求其余边 / 角。 知识点03.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 知识点04:解直角三角形的实际应用（中考核心） 1. 三个必考概念 (1)仰角：从下往上看，视线与水平线的夹角 (2)俯角：从上往下看，视线与水平线的夹角 (3)坡度（坡比） 坡面竖直高度 h 与水平宽度 l 的比：itanα α为坡角。 2. 方向角（方位角） 北偏东 30∘、南偏西 45∘ 等 做题关键：画出水平线、竖直线，构造直角三角形 知识点05:实际应用解题通用步骤（万能模板） 1.审题：画出几何图形，转化为直角三角形问题 2.标已知：标出已知边、角、所求量 3.选函数： 已知 / 求斜边 → 用 sin,cos 无斜边 → 用 tan 4.列方程：用三角函数 / 勾股定理列关系式 5.计算：代入数值、保留精确度（根式或近似值） 6.作答：写实际意义的结论 易错点提醒 1.仰角、俯角都是与水平线的夹角，不是与竖直线。 2.坡度是 竖直：水平，不是竖直：斜坡。 3.解直角三角形必须至少已知一条边，只给角求不出边长。 4.计算时尽量用乘法，少用除法，减少误差。 5.题目有近似值要求时，注意保留小数或根号形式。 【题型1.解直角三角形的基本计算】 【典例】如图在中，，则的值为_____．    【答案】10 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 直接利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中， ∴，即， 解得：． 故答案为：10． 【跟踪专练1】某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先根据太阳光线与地面夹角为、太阳能板与光线垂直，结合直角三角形两锐角互余，求出太阳能板与地面的夹角；再利用直角三角形的边角关系，将太阳能板顶端离地面的高度转化为太阳能板长度与对应三角函数的乘积，最后对比选项得出结论． 【详解】解：如图，设太阳能板为，太阳光线于，交于点，米，，． ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 在中，， ∴ （米）， ∴此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为米． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为______． 【答案】 【分析】作于，，交的延长线于点，根据角平分线的性质得，根据三角函数求出即的长，最后利用等面积法即可求解． 【详解】解：作于，，交的延长线于点， 平分，，即， ， ，， ， ， 在中，， 中， ， ，即， ， 中，， ，即， ，即点B到的距离为． 【跟踪专练3】如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，得到三点共线，设，则，，利用勾股定理建立方程，求得，从而求得，然后易证，可得为等腰直角三角形，进而求得，接着过点M作于点，利用，结合勾股定理，求得，进而求得． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵沿着折叠，点、恰好重合于点， ∴，，， ，，， ∴， ∴三点共线， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点M作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【题型2.非直角三角形的解法】 【典例】如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ，. 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字） A．11 B．8.5 C．7.2 D．10 【答案】D 【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到CA的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度． 【详解】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG． ∵i==，设BE=4x，则AE=3x，AB=5x． ∵AB=10.5，∴x=2.1，∴BE=8.4，AE=6.3． ∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7． 在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=10，tan30°==，∴CH≈17． 又∵CH=CA+7，即17=CA+7，∴CA=17﹣7=10（米）． 故选D． 【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 【题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长/面积】 【典例】如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 【答案】20 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【跟踪专练1】如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 【题型4.解直角三角形的应用:仰角俯角问题】 【典例】如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 【答案】 【分析】此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解． 【详解】解：如图， 根据题意可得，，，米， ∴（米）， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正切值求出，再求出即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色．”王勃笔下的滕王阁是我国四大名楼之一，位于江西省南昌市赣江江畔，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量滕王阁的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得滕王阁顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得滕王阁的高度是________（参考数据：）．      【答案】58 【分析】作于点E，证明四边形是矩形，在中，求出，在中，求出，即可求出结论． 【详解】解：作于点E， 由题意得：， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即测得滕王阁的高度是． 【跟踪专练3】某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高为 【分析】由题意得，，然后根据锐角三角函数列出等式，得到，最后由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：旗杆的高为． 【题型5.解直角三角形的应用:方位角问题】 【典例】如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 【跟踪专练2】如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，再在对岸岸边选两个点B，C，并且测得点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向．量得的长为，则河的宽度约为__________m．（假设河两岸笔直且平行，参考数据：） 【答案】84 【分析】本题考查了方向角的应用，等腰三角形的性质及正切的定义．过点A作，根据已知方位角利用平行线的性质得出，，得出为等腰直角三角形，设，则，利用正切的定义列出方程求解即可得出结果． 【详解】解：如图，过点A作， ∵点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：84． 【跟踪专练3】如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是600海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？（参考数据：，，） 【答案】(1)处与灯塔的距离约是270海里 (2)灯塔在货轮的南偏东方向上 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由题意得，，，则， 根据灯塔，相距海里，可得，在中，已知，利用三角函数定义即可解答； （2）由题意得为直角三角形，利用正弦函数定义，，故，结合方位角定义即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，，则， 灯塔，相距海里， ， 在中，， 解得（海里）， 故处与灯塔的距离约是270海里； （2）由（1）可得（海里）， 在中，， 所以，即灯塔在货轮的南偏东方向上． 【题型6.解直角三角形的应用:坡度坡比问题】 【典例】已知一个斜坡的坡度是1，那么这一斜坡的坡面与水平面的夹角为___________． 【答案】 【分析】依据坡度的定义，坡度为坡面与水平面的夹角的正切值，结合特殊角的三角函数值即可求出夹角的度数． 【详解】解：设斜坡的坡面与水平面的夹角为，根据坡度的定义可知， 坡度． 是锐角，且， ． 【跟踪专练1】某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（   ） A．米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查了坡度问题，勾股定理． 设米，则米，根据勾股定理求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设米， ∵， ∴米， ∵，米， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴米． 故选：B． 【跟踪专练2】河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是______ ． 【答案】米 【分析】本题考查了坡度的定义，解题的关键是根据坡度的定义（铅直高度与水平宽度的比）建立比例关系． 根据坡度的定义“坡度”，已知米，代入比例式，计算得的长． 【详解】解：迎水坡的坡度为， 米， 米， 故答案为：米． 【跟踪专练3】如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)； (2)求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点的垂直高度； （2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合角的三角函数关系列方程求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ． 答：点的垂直高度约为． （2）解：过点作于点， ，， ∴四边形是矩形， ，． 设山体的垂直高度，则． ，， 是等腰直角三角形， ． 在中，， ， ． 在中，，， ， 解得． 答：山体的垂直高度约为． 【题型7.解直角三角形的应用:其他实际应用问题】 【典例】如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为______m．（精确到）（参考数据：，，）． 【答案】1.70 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得玲玲的身高为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：玲玲的身高为； 故答案为1.70． 【跟踪专练1】如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．原来树的长度是的长．已知的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( ) （参考数据：） 【答案】 【分析】设，解得到；求出，解得到，则可推出，根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， 如图2所示，在中，， ∴； 在中，，则， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【跟踪专练3】某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】(1)的长度约为 (2)点到台面的距离约为 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 【解答题】 1．在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可； （2）解直角三角形求出，进而根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． ∵是边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴在中，． ∴． 2．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 3．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 4．某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】雕像的高度约为米 【分析】延长交于点，交于点，过点作，垂足为，则，根据正切的定义求出和，并设米，米，代入求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，过点作，垂足为，则，四边形为矩形， ∴米， ∵在中，， ∴， ∴米， ∵， ∴， 在中，， 故设米，米， 根据题意得， ∴，即， ∴米， ∵， 即， ∴， ∴米，米， ∴米， 答：雕像的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角和俯角问题，掌握仰角和俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了，，求A打卡点与B打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点A作于点A，过点C作于点C，交于点F，交于点G，过点D作于点E，然后利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：过点A作于点A，过点C作，交于点F，交于点G，过点D作于点E， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ∴，，，， ∵小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． (1)求的大小及的值； (2)在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 【答案】(1)，米 (2)透光长度比原来增大了0.7米 【分析】（1）根据即可求出的值，进而可得，即可得的大小； （2）连接并延长交的延长线于点G，根据求出的值，再根据即可得解． 【详解】（1）解：∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∵厘米米， ∴米， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，连接并延长交的延长线于点G， ∵厘米米， ∴米， 根据题意，得， ∴（米）， ∴（米）， 即透光长度比原来增大了0.7米． 【点睛】解题的关键是掌握三角函数的定义及理解题意． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06解直角三角形及其应用同步讲义 【题型01 解直角三角形的基本计算】................................3 【题型02 非直角三角形的解法】....................................4 【题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长/面积】..................5 【题型04 解直角三角形的应用:仰角俯角问题】........................6 【题型05 解直角三角形的应用:方位角问题】..........................7 【题型06 解直角三角形的应用:坡度坡比问题】........................8 【题型07 解直角三角形的应用:其他实际应用问题】....................9 【解答题6题 】...................................................11 ★知识梳理 知识点01:解直角三角形的定义 在Rt△ABC中，∠C=90∘，除直角外还有 5 个元素（2 条直角边、1 条斜边、2 个锐角），已知其中2 个元素（至少 1 个是边），求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 知识点02:解直角三角形的三大依据 1）三边之间的关系（边→边） 勾股定理a2+b2=c2 作用：已知两条边，求第三条边。 2）两锐角之间的关系（角→角） 两锐角互余∠A+∠B=90∘作用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 3）边角之间的关系（边↔角） 锐角三角函数 sinA cosA tanA​ 作用：已知一边一角或两边，求其余边 / 角。 知识点03.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 知识点04:解直角三角形的实际应用（中考核心） 1. 三个必考概念 (1)仰角：从下往上看，视线与水平线的夹角 (2)俯角：从上往下看，视线与水平线的夹角 (3)坡度（坡比） 坡面竖直高度 h 与水平宽度 l 的比：itanα α为坡角。 2. 方向角（方位角） 北偏东 30∘、南偏西 45∘ 等 做题关键：画出水平线、竖直线，构造直角三角形 知识点05:实际应用解题通用步骤（万能模板） 1.审题：画出几何图形，转化为直角三角形问题 2.标已知：标出已知边、角、所求量 3.选函数： 已知 / 求斜边 → 用 sin,cos 无斜边 → 用 tan 4.列方程：用三角函数 / 勾股定理列关系式 5.计算：代入数值、保留精确度（根式或近似值） 6.作答：写实际意义的结论 易错点提醒 1.仰角、俯角都是与水平线的夹角，不是与竖直线。 2.坡度是 竖直：水平，不是竖直：斜坡。 3.解直角三角形必须至少已知一条边，只给角求不出边长。 4.计算时尽量用乘法，少用除法，减少误差。 5.题目有近似值要求时，注意保留小数或根号形式。 【题型1.解直角三角形的基本计算】 【典例】如图在中，，则的值为_____．    【跟踪专练1】某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练2】如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为______． 【跟踪专练3】如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【题型2.非直角三角形的解法】 【典例】如图，在中，，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，则的长为___________． 【跟踪专练3】如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字） A．11 B．8.5 C．7.2 D．10 【题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长/面积】 【典例】如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 【跟踪专练1】如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【跟踪专练3】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型4.解直角三角形的应用:仰角俯角问题】 【典例】如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 【跟踪专练1】如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色．”王勃笔下的滕王阁是我国四大名楼之一，位于江西省南昌市赣江江畔，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量滕王阁的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得滕王阁顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得滕王阁的高度是________（参考数据：）．      【跟踪专练3】某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 【题型5.解直角三角形的应用:方位角问题】 【典例】如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【跟踪专练1】某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，再在对岸岸边选两个点B，C，并且测得点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向．量得的长为，则河的宽度约为__________m．（假设河两岸笔直且平行，参考数据：） 【跟踪专练3】如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是600海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？（参考数据：，，） 【题型6.解直角三角形的应用:坡度坡比问题】 【典例】已知一个斜坡的坡度是1，那么这一斜坡的坡面与水平面的夹角为___________． 【跟踪专练1】某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（   ） A．米 B．5米 C．4米 D．3米 【跟踪专练2】河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是______ ． 【跟踪专练3】如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)； (2)求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 【题型7.解直角三角形的应用:其他实际应用问题】 【典例】如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为______m．（精确到）（参考数据：，，）． 【跟踪专练1】如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练2】如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( ) （参考数据：） 【跟踪专练3】某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【解答题】 1．在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 2．如图，在中，，求和的长． 3．如图，在中，已知，，，求的面积． 4．某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 5．2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了，，求A打卡点与B打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 6．在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． (1)求的大小及的值； (2)在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $