第23章 解直角三角形（复习讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

第23章 解直角三角形 复习要点 ①锐角三角函数定义：对边斜边，邻边斜边，对边邻边； ②特殊角三角函数值表（30°、45°、60°）； ③直角三角形中两锐角互余、勾股定理及边角关系； ④解直角三角形的类型与一般步骤； ⑤仰角、俯角、坡度（坡比）、方位角等实际应用模型。 复习重难点 重点：锐角三角函数的概念；特殊角三角函数值；解直角三角形的方法及其在实际问题中的应用。 难点：根据已知条件灵活选用恰当的边角关系式；从实际情境中抽象并构造直角三角形，建立数学模型解决实际问题。 知识点 锐角三角函数 1．正弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边与斜边 的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝. 2．余弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边 与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA＝. 3．正切的定义：在Rt△ABC中，把锐角A的 对边 与 邻边 的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝. 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 要点速测 1．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 2．在中，，，，求的三角函数值． 【答案】，，． 【分析】利用勾股定理求出的长，再结合锐角三角函数的定义计算的三角函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 知识点 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 要点速测 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 4．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 知识点 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 4．解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 要点速测 5．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 6．将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 知识点 解直角三角形的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 3．方向角（或方位角） 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋 转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西) 多少度，如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向) 要点速测 7．如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 8．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 知识点 解直角三角形实际应用的一般步骤 1.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 2.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； 3.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； 4.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 要点速测 9．如图1是某剧院连排座椅靠背及置物小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和置物小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． (1)在图2中，__________； (2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若观众的水杯竖直放在处（水杯宽度不计），出于安全考虑，要求水杯顶端点到靠背竖直方向的距离不得小于． ①在图3中，__________； ②求观众的水杯的最大高度． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）作，由题意可知，则，结合，可以计算出； （2）①根据平行线的性质可得； ②延长交于点M，先推导出，得到，则，求出，得到，则观众水杯的最大高度约为，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点B作， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：①如图，过点B作， 由（1），可知， ∵， ∴． ②如图，延长交于点M， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∵水杯顶端点到靠背竖直方向的距离不得小于， ∴， 即， 解得， ∴， 即， ∴观众水杯的最大高度约为． 10．项目课题：在不过河的前提下，测量河对岸两棵树之间的距离（与河岸平行）． 方案设计 方案一：如图①，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，，； 方案二：如图②，某同学提出可以构造全等三角形，利用全等三角形的方法测量两棵树之间的距离． 问题解决 (1)请根据方案一的设计，计算出两棵树之间的距离．（参考数据：，，） (2)你同意方案二的设计吗?请说明理由． 【答案】(1) (2)我不同意方案二的设计，理由见解析 【分析】（1）过点作于，易得四边形是矩形，分别解和，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）无法测量的距离，不能构造全等三角形. 【详解】（1）解：过点作于． ， ， ， 四边形是矩形； ， ， ， 在中，； ， ， 在中，； ； （2）解：我不同意方案二的设计，理由如下： ∵利用皮尺可以测量出、、的长度，但无法测量、的长度 ∴不能证明与全等 ∴不能利用三角形全等的方法测量两棵树之间的距离. 题型1 特殊角函数值混合计算 ▌例1计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值是解答本题的关键． 先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 解题要点 1. 1.熟记公式：特殊角三角函数值、平方差公式（用于分母有理化）。 2.细心运算：注意负指数幂的计算（取倒数），以及去绝对值时的符号判断。 3.化简合并：实数运算最后一步通常是合并同类项，要时刻留意是否有可以抵消的项。 ▌迁移练1-1计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入特殊角的三角函数值进行运算即可； （2）直接代入特殊角的三角函数值进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练1-2计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． ▌迁移练1-3计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 题型2 网格中求三角函数值 ▌例1如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 【答案】(1)解：画图如下： 则点P即为所求． (2)解：画图如下： 则点Q即为所求． (3)解：画图如下： 则点M即为所求． 【分析】（1）根据题意，得，根据，只需作即可； （2）作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，解答即可； （3）根据三角形相似的判定和性质，得到，根据正切函数的定义，得到． 【详解】（1）解：根据题意，得，作，则， 画图略， 则点P即为所求． （2）解：作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，画图略． 则点Q即为所求． （3）解：根据三角形相似的判定和性质，得到，连接交于点M，根据正切函数的定义，得到， 则点M即为所求，画图略． 解题要点 1.构造直角三角形（作高法）求的关键是把这个角放在直角三角形中。 2.网格勾股定理计算（求斜边/直边）网格题的基石是单位长度和直角关系。解析中利用网格构建了直角，运用勾股定理求出。这是解决后续比例问题的关键长度。 3.巧用特殊角通过观察网格发现。在直角中，因为，，所以得出该三角形是等腰直角三角形。利用此特性，只需知道 (MC) 就能轻松求出 (CN) 和 (MN)。 ▌迁移练1-1如图，在的正方形网格中，点都在格点上，请用无刻度直尺作图． (1)在图1中，在线段上找一点，使与的面积比为． (2)在图2中，在线段上找一点，使． 【答案】(1) 如图： (2) 如图 【分析】（1）结合网格特征，证明，相似比为，结合等高，与的面积比即为底长的比，即，满足与的面积比为，故点P即为所求； （3）结合网格特征，证明，得，连接，与的交点为点Q，理由如下：则，运用勾股逆定理，即，得，此时，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，以及正切值，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ▌迁移练1-2图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的线段上找一点D，连接，使； (2)在图②中的线段上找一点E，连接，使； (3)在图③中的线段上找一点F，连接，使． 【答案】(1) 如图，点D即为所求； (2) 如图，点E即为所求； (3) 如图，点F即为所求； 【分析】（1）取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取的中点，连接即可 ； （3）取格点，连接并延长交于点，点即为所求； 【详解】（1）解：根据图象可得， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：根据图象可得， ∴， ∴； （3）解：根据图象可得， ∴， ∴． 【点睛】该题是格点作图题，考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，角的正切等知识点，根据要求正确作图是解题的关键． ▌迁移练1-3如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画出点D在边上，使； (2)在图②中，画出点F在边上，且； (3)在图③中，画出点M在边上、点N在边上，使． 【答案】(1) 如图：D为所求； (2) 如图：F为所求； (3) 如图：，为所求； 【分析】（1）取格点E，连接交于D，； （2）取格点D，E，连接交于F，证明，可得，即； （3）取格点D，M，连接交于N，连接，根据可证，可得，则，可证，根据斜边中线等于斜边的一半可证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，斜边中线，三角函数，解题的关键是灵活运用全等三角形，相似三角形，斜边中线，三角函数构造图形求解是解题的关键． 题型3 仰角与俯角问题 ▌例1如图，，．从A看B的仰角是__________；从B看A的俯角是___________；从B看D的俯角是___________；从D看B的仰角是___________． 【答案】 / / / / 【分析】根据俯角及仰角的定义解决即可． 【详解】解：∵，， 则从A看B的仰角是；从B看A的俯角是；从B看D的俯角是；从D看B的仰角是． 解题要点 1.几何转换（内错角相等）：利用“水平视线”与“地面”平行的几何性质，将俯角转化为直角三角形中的内角。如图所示，因为水平视线平行于地面 BC，所以内错角相等，即。 2.寻找直角三角形：确定是直角三角形（高度 AC垂直于地面 BC，即。 3.列三角函数求解：根据已知对边 AC和要求的斜边 AB，选择合适的三角函数关系式： ▌迁移练1-1白玉山塔（图1）是位于辽宁省大连市旅顺口区白玉山顶的侵华日军建筑遗址，原为日俄战争后日军修建的“表忠塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量白玉山塔的高度，具体过程如下：如图2，将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，此时测得白玉山塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则白玉山塔的高度约是_______．（结果保留整数．参考数据：tan） 【答案】67 【分析】过点C作，延长交于，易证得四边形是矩形，则，在中，根据求出的值，进而得到，根据进行求解即可． 【详解】解：过点C作，延长交于，如图： ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ． ▌迁移练1-2某数学兴趣小组利用无人机测量建筑物的高度．已知无人机在距离水平地面高为的空中飞行，飞行至处时测得建筑物的顶端的俯角，建筑物的底端的俯角，求建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】建筑物的高度约为 【分析】过点作于点，构造直角三角形，再解直角三角形，设，建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， 根据题意可得，，， 设，则， 在Rt中，，则， ∴ ． 在Rt中，，则， 解得 ， ∴， 答：建筑物的高度约为114m． ▌迁移练1-3某科技小组用无人机测量教学楼的高度，具体过程如下：将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度为____．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ． 题型4  坡度与坡角问题 ▌例1某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米． 【答案】12 【分析】过点作交于点，作于点G，则四边形为平行四边形，且，结合平行四边形的性质及正切函数求解即可； 【详解】过点作交于点，作于点G，则， ∵ ∴四边形为平行四边形， ，， 由题意得：，， 在中，， 在中，， ， ． 解题要点 1.作高补全模型:题目中有斜坡（非水平）和信号塔（竖直），为了将已知量转化到同一个直角三角形中，最核心的步骤是作辅助线：过点 D作水平线 CE 的垂线 DG，并将塔 AB 延长与 CE 相交于点 H。这样就得到了两个关键的直角三角形和以及一个矩形BHDG。 2.分步各个击破（从局部到整体） ①解斜坡直角三角形 。 ②求矩形边长并计算总水平距离 CH。 ③解塔顶仰角直角三角形。求最终目标 AB ▌迁移练1-1如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． ▌迁移练1-2如图，在山坡上植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．现测得斜坡的坡角为，求相邻两树间的坡面距离．（结果精确到） 【答案】 【分析】延长过点B的铅直直线交水平面于点C，利用，求解即可． 【详解】解：延长过点B的铅直直线交水平面于点C， 根据题意，得，， ， 答：相邻两树间的坡面距离约为． ▌迁移练1-3如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过．从斜坡的起点至房屋门的最短的水平距离应该是多少？（精确到） 【答案】 【分析】设从斜坡的起点至房屋门的最短水平距离为，根据坡度进行求解即可． 【详解】解：设从斜坡的起点至房屋门的最短水平距离为，则 ， 答：从斜坡的起点至房屋门的最短的水平距离应该是． 题型5 方向角问题 ▌例1如图，已知外婆家在小明家的正东方向，学校在外婆家的北偏西方向，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】由题意可知：学校、小明家和外婆家构成了一个等腰三角形，其中小明家到学校与外婆家到学校的距离相等，再根据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”即可得出学校在小明家的东偏北（或者北偏东），据此解答即可． 【详解】解：据分析可知：因为学校、小明家和外婆家构成了一个等腰三角形，所以学校在小明家的北偏东． 解题要点 1.构造直角三角形（作垂线）因为不是直角三角形，直接求 AC很困难。核心方法是过点B 作 AC所在直线的垂线 BD。这样就构建了和这两个直角三角形。 2.转化方向角为三角形内角第一个方向角,第二个方向角： 3.分步求线段先求 AD、BD，再求 CD 4.线段相减求最终结果这是本题最容易出错的地方。 ▌迁移练1-1如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知角度求出和，在中，根据三角形内角和定理求出的度数即可． （2）根据轮船距离小岛最近时得到的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）解：如图①．由题意，得，，， ，， ． （2）当轮船行驶到距离小岛最近点时，此时，如图②． ． 由题意，得，， ， ． ▌迁移练1-2如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． 【答案】 【分析】过点作交线段的延长线于点，求出，，根据得到，根据速度等于路程除以时间即可得到该车从点A到点B的平均速度． 【详解】解：过点作交线段的延长线于点， 由题意可得，，， 在中，， ， ∴ 在中，， ， ∴ ∴， ∴该车从点A到点B的平均速度为． ▌迁移练1-3近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 题型6 双直角三角形模型 ▌例1如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中利用三角函数求出，由即可求解； （2）分别在和中利用勾股定理求出、，再根据正弦定义求出即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ； （2）解：在中，， 在中，， ． 解题要点 1.抓旋转找全等：由AE 绕点 A逆时针旋转得到 AF可知，是等边三角形 2.倍长中线法。遇到线段中点 H和求证 时，首选辅助线是延长 AH一倍，即延长 AH至 A'，使得 。 3.构造平行四边形：连接 A'B，因为 H是 BF和AA' 的共同中点，所以四边形 ABA'F是平行四边形，证明全等后，。 4.找隐含的直角三角形结合第 (2) 问的证明过程和图形特点通常这种题在证明完 后，会隐含着 的情况），可以直接得出线段 AH, EH, AC)之间的数量关系。 ▌迁移练1-1如图，在中，，，，，求，的长． 【答案】， 【分析】解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出，利用含30度角直角三角形的性质求出，然后结合勾股定理即可求解． 【详解】解：， 在中，，， ， ． 在中，， ， ， ． ▌迁移练1-2如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，结合，解答即可． （2）设，则，故，得，代入解答即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ，， ，，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ． （2）解：，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 设，则， 故， 解得， ， ， ． ▌迁移练1-3如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度的长为，，求中柱的高．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的长，在中，根据三角函数即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 在中，， ， ， 答：中柱的高约为． 题型7 与相似三角形、勾股定理结合 ▌例1已知：四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，点F在边AB上，联结DE、EF． （1）如图1，如果tan∠BEF＝，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果tan∠BEF＝，求证：∠DEF＝3∠CDE． 【答案】 （1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）证明△FBE∽△ECD可得∠FEB=∠EDC，从而可得∠FED=90°，即可得证； （2）过E作EH⊥AD于H，联结AE，证明∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA即可得到∠DEF=3∠CDE． 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=90°，BC=CD， 设正方形ABCD边长为m，则BC=CD=m， ∵点E是BC边的中点， ∴BE=CE=m， ∵tan∠BEF=， ∴，而 ∴， ∴△FBE∽△ECD， ∴∠FEB=∠EDC， ∵∠EDC+∠DEC=90°， ∴∠FEB+∠DEC=90°， ∴∠FED=90°， ∴EF⊥DE； （2）过E作EH⊥AD于H，联结AE，如图： ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠CDE=∠DEH， ∵E是BC中点， ∴AH=DH， ∴EH垂直平分AD， ∴∠AEH=∠DEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH， Rt△BEF中，tan∠BEF=，即， 设BF=3m，则BE=4m， ∴BC=2BE=8m，EF=5m， ∴AB=BC=8m，AF=AB-BF=5m， ∴EF=AF， ∴∠FAE=∠FEA， 而∠FAE=∠AEH， ∴∠FEA=∠AEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA， ∴∠DEF=3∠CDE． 【点睛】本题考查正方形性质、相似三角形性质与判断、三角函数等综合知识，解题的关键是把三角函数转化为线段比． 解题要点 1.算底边：作高DG，解 得 BC长。 2.定极值：连接DF，应用三角形不等式 。 3.求中位线：由 D、F 都是中点可知DF是的中位线，。 4.得结论：最大值为。 ▌迁移练1-1如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点和分别在轴和轴上，点的坐标为，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，直线的解析式为__________． 【答案】， 【分析】分两种情况讨论：当在AB边上的时候和在正方形内部的时候，分别计算一次函数的解析式即可； 【详解】①当在AB边上，此时 ， ，OA=8， 则 ， ∴ 解析式为： ； ②当在正方形内部时， 设CE=m，则 ，BE=8-m， ∴ ， 故 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， 由∠ +∠ =90°，∠ +∠=90°， ∴∠=∠， ，即 ， ∴ ， 在△CFO中，由勾股定理得 得：m=4， ∴ ， ∴ ， ， ∴解析式为： ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，一次函数的解析式，勾股定理以及分情况讨论的问题，重点是注意分情况讨论求解． ▌迁移练1-2在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是__． 【答案】2 【分析】由，可以设菱形ABCD边长为t，AD=AB=t，推出DE=4，BE=2，可得． 【详解】设菱形ABCD边长为t， ∵BE=2， ∴AE=t﹣2， ∵cosA=， ∴， ∴=， ∴t=5， ∴AE=5﹣2=3， ∴DE==4， ∴tan∠DBE===2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． ▌迁移练1-3如图，点A、B均为格点，线段AB与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC； （2）在AC上找一点E，使∠ABE＝∠ACD； （3）在BC上取一点P，使． 【答案】 （1）解：如图： 线段AC为所求； （2）由于点D与点A的纵向距离是1格，根据旋转的性质，故点E在点A左边一格的竖线上，且点E在线段AC上，则点E为竖线与线段AC的交点； ∴AE=AD， ∵∠BAE=∠CAD，AB=AC， ∴△ABE≌△ACD， ∴∠ABE＝∠ACD； 则点E为所求； （3）作BF⊥AB，取BF=5，取格点G、H，连接GH，与BF相交于点M，连接AM，与BC相交于点P； ∴△ABM是直角三角形； ∵， 易得△BHM∽△FGM， ∴， ∵， ∴， ∴； 则点P为所求． 【分析】（1）由旋转的性质，找到格点C使得，即可； （2）在AC上取AE=AD，得到△ABE≌△ACD即可； （3）利用勾股定理求出AB=5，构造直角三角形ABM，使得BM=1，即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了复杂作图，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形． 题型8 非直角三角形转化为直角三角形 ▌例1如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，， ∴ 设 ，（）， 由勾股定理，， ∴ ，， ∴ ． 解题要点 1.“找特殊角”思维：遇到、 等非特殊角时，不要害怕，必须主动拆分。 2.线段相加减的判断：作高后，务必看清垂足是落在所求线段上，还是在其延长线上。 3.利用边长推导边长：不需要算出整个三角形的所有边长，只求出当前直角三角形能推导出的边长，传递给下一个直角三角形即可。 ▌迁移练1-1如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． ▌迁移练1-2【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】(1)，证明： 如图，作于点E． 在中，， 在中，． ， ， ． (2) 【分析】（1）仿照图1的证明方法，首先构造直角三角形，即作于点E，在和中根据正弦的定义得到 ，，然后利用建立等量关系即可得解； （2）利用第（1）问探究的结论可知然后代入相关数据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ，即， 解得． 答：点A到点B的距离为． ▌迁移练1-3在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】(1) 射线为所求． (2) 【分析】（1）根据可得，结合三角形内角和可得平分，故作的角平分线交边于点M，即可解题； （2）过点M作，垂足为H，根据解三角形很容易求出，，进而求出边长． 本题主要考查了解三角形，利用又，得是解题关键． 【详解】（1）解：∵在中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M； （2）过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ 难点一 双直角三角形模型 难点1：并列式（在目标同侧）两观测点A、B和目标底部C在同一直线上，且A、B在C的同一侧。此时，两个直角三角形有水平距离之差。图形特征：从A、B看目标顶端，仰角不同，A点更远。等量关系：两水平距离之差 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为（其中，(d)为AB长）。 难点2：分离式（在目标两侧）两观测点A、B位于目标C的两侧。此时，两个直角三角形有水平距离之和。 图形特征：从A、B看目标顶端，分别形成直角三角形，分居目标左右。 等量关系：两水平距离之和 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为。 难点精练 1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 2．综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 【答案】 【分析】连接交于点，证明四边形为矩形，结合矩形性质进而证明四边形，为矩形，，进而利用矩形性质与解直角三角形的相关计算推出，，再根据建立方程求出，进而即可求出牌楼的高度． 【详解】解：连接交于点， ，， ，， ， 四边形为矩形， ， ，， ， 四边形，为矩形， ，， ， ， ， ， 即， 解得， ． 3．如图，在中，是上的高．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的长，在中利用求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是上的高， ∴， 在中，， ∴， 在中， 由勾股定理得． 难点二非直角三角形的“化斜为直”转化 难点1：已知两边一角：作高后，先用解直角三角形求出相关边长，再用勾股定理求目标边。 难点2：已知两角一边：过第三个角的顶点作高，设高为 x，用 x 表示被分割的两段线段，利用它们的和或差等于已知边来列方程。 难点精练 4．如图，在中， ，，，求、的长． 【答案】 【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：过作，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 5．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 6．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 基础达标 一、单选题 1．在中，，，的对边分别是，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由勾股定理求得斜边长度，再根据锐角正弦的定义计算的值； 【详解】解：∵， ∴为斜边，由勾股定理得， ∴． 2．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦的定义结合计算器的使用方法求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∴计算器按键顺序为． 3．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题． 【详解】解：∵大正方形的面积是100， ∴． ∵小正方形的面积是4， ∴小正方形的边长为2， ∴， 设， 则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 4．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ∴米． 6．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据刻度尺读出斜边的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质求出的长． 【详解】解：由图可知，点A对应的刻度为，点B对应的刻度为， ∴线段的长度为：（）． ∵，为边的中点， ∴是斜边上的中线． 根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），可得：， ∴（）． 7．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 二、填空题 8．如图，在中，于点D，于点E．下列关于的表示方法，正确的是__________（填写所有正确的序号）． ①，②，③；④，⑤；⑥，⑦． 【答案】④⑦/⑦④ 【详解】解：∵于点D，于点E． ∴， 在中，； 在中，． 综上可知，正确的有④⑦． 9．直角三角形两直角边长，则斜边上中线的长为____________． 【答案】2.5 【分析】首先用勾股定理计算斜边的长度．因为是斜边上的中线，所以长度等于斜边长度的一半，据此推导的长． 【详解】由题可知是直角三角形，直角顶点为，两直角边，， ∴根据勾股定理，斜边． ∵是斜边上的中线， ∴． 10．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 11．如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】2.2 【分析】过点作，由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作 ∴，， 由题意可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 三、解答题 12．完成下列表格并熟记：              锐角A 锐角三角函数 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 【答案】填表如下： 锐角A锐角三角函数 1 【分析】根据锐角三角函数的定义，结合特殊直角三角形的边长关系，即可计算得到结果. 【详解】解：对于含角的直角三角形，设角的对边长为，可得斜边长为，另一条直角边长为， 故；；； ；；； 对于含角的等腰直角三角形，设直角边长为，可得斜边长为； 故；；. 13．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】先根据勾股定理求出，再根据正弦，余弦，正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴，，，，，． 15．九年级一班综合实践小组利用所学知识测量了某教学楼的高度（如图），测量过程与数据信息如下： ①小亮在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得该教学楼顶端A的仰角； ②小强站在点D处，某一时刻，该教学楼在阳光下的影子顶端和小强在阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处； ③小强的身高米，小亮用皮尺测得米，米． 已知，，点B、D、F、C在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该教学楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】该教学楼的高度为12米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先说明，可得①，再根据可得②，然后将两式联立求出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∴， 即①． ，， 在中，， ， 即，② 联立①②解得， ∴该教学楼的高度为12米． 能力进阶 一、单选题 1．如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴，，，． 2．如图，已知菱形的边长为，对角线，相交于点，已知 ，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数及“菱形的对角线互相垂直”可求出线段的长，再利用“菱形的对角线互相平分”求得结果． 【详解】∵菱形的边长为，对角线，相交于点， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴． 3．如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠得，在中求出与，算出的长度．再利用折叠知，推导出，最后直接计算得到． 【详解】解：如图，连接． 由翻折可知， 在中，， ， 在中，， 由翻折的性质可得， ， ， ， ， 则的值为． 4．如图，在中，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，若，，， ∴， ∴ 5．如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，借助网格求出、、的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 由网格可知：，，， ， ， ， ． 7．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 二、填空题 8．如图，是的高，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先在中利用角求出，再根据求出，最后利用勾股定理求出斜边． 【详解】解： 是的高， ， ，， ， ， ，即， ， ． 9．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】 【分析】作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，进而即可求解． 【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图， 在中，米，， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，米，， ∴米， ∴米． 10．的三边长分别为，，，若，则最小角的正弦值为________． 【答案】 【分析】根据边长平方的比例关系设参数，先判断三角形形状，再根据大边对大角确定最小角，最后利用正弦的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴最短边为，其所对的为最小角，最长边为， 设（），则，， ∴， ∴为直角三角形，最大角为， ∴． 11．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________． 【答案】24 【分析】解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵在中，对角线，相交于点， ∴， ∴． 三、解答题 12．如图，在中，，已知，，求的长． 【答案】 【分析】设，在中根据正弦定义用含的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，在中，，根据正弦定义得 ， 则， 由勾股定理，得 ， 代入，，，得 ， 解得（负值已舍去）， 即． 13．某厂房前安装了遮阳棚，其截面如图所示，在截面图中，高为的遮阳棚立柱垂直于地面，遮阳棚与立柱垂直，若经过点的光线恰好照射在地面点处，且，若地面阴影宽度为，求遮阳棚的宽度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】遮阳棚的宽度约为 【分析】过点作，垂足为，在中，解直角三角形求得的长，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，则． 由题意知， 四边形是矩形， ，，， ． 在中，， ． 答：遮阳棚的宽度约为． 14．在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ，， ． （2）解：①如图，作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ， 在中，，，， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ， ． ②如图，作交于点，使， ∴， 则， 设，则， ， 设点到，边上的距离为， ∴， ∵， ，即， ， 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ． 15．如图，四边形中，平分，，，为的中点． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？试说明理由； (3)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)，理由如下： ∵，且， ∴，即为直角三角形，为斜边， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似”，证明结论即可； （2）结合相似三角形的性质易得，即为直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，即可证明结论； （3）首先根据题意可得，再证明，进而证明，设，，则，然后计算的值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形 复习要点 ①锐角三角函数定义：对边斜边，邻边斜边，对边邻边； ②特殊角三角函数值表（30°、45°、60°）； ③直角三角形中两锐角互余、勾股定理及边角关系； ④解直角三角形的类型与一般步骤； ⑤仰角、俯角、坡度（坡比）、方位角等实际应用模型。 复习重难点 重点：锐角三角函数的概念；特殊角三角函数值；解直角三角形的方法及其在实际问题中的应用。 难点：根据已知条件灵活选用恰当的边角关系式；从实际情境中抽象并构造直角三角形，建立数学模型解决实际问题。 知识点 锐角三角函数 1．正弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边与斜边 的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝. 2．余弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边 与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA＝. 3．正切的定义：在Rt△ABC中，把锐角A的 对边 与 邻边 的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝. 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 要点速测 1．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 2．在中，，，，求的三角函数值． 知识点 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 要点速测 3．计算： (1)； (2)． 4．计算 (1)； (2)． 知识点 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 4．解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 要点速测 5．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 知识点 解直角三角形的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 3．方向角（或方位角） 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋 转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西) 多少度，如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向) 要点速测 7．如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 8．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 知识点 解直角三角形实际应用的一般步骤 1.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 2.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； 3.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； 4.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 要点速测 9．如图1是某剧院连排座椅靠背及置物小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和置物小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． (1)在图2中，__________； (2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若观众的水杯竖直放在处（水杯宽度不计），出于安全考虑，要求水杯顶端点到靠背竖直方向的距离不得小于． ①在图3中，__________； ②求观众的水杯的最大高度． （参考数据：，，，） 10．项目课题：在不过河的前提下，测量河对岸两棵树之间的距离（与河岸平行）． 方案设计 方案一：如图①，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，，； 方案二：如图②，某同学提出可以构造全等三角形，利用全等三角形的方法测量两棵树之间的距离． 问题解决 (1)请根据方案一的设计，计算出两棵树之间的距离．（参考数据：，，） (2)你同意方案二的设计吗?请说明理由． 题型1 特殊角函数值混合计算 ▌例1计算：． 解题要点 1. 1.熟记公式：特殊角三角函数值、平方差公式（用于分母有理化）。 2.细心运算：注意负指数幂的计算（取倒数），以及去绝对值时的符号判断。 3.化简合并：实数运算最后一步通常是合并同类项，要时刻留意是否有可以抵消的项。 ▌迁移练1-1计算： (1)； (2)； ▌迁移练1-2计算： (1)； (2)； (3)． ▌迁移练1-3计算： (1)； (2)． 题型2 网格中求三角函数值 ▌例1如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 解题要点 1.构造直角三角形（作高法）求的关键是把这个角放在直角三角形中。 2.网格勾股定理计算（求斜边/直边）网格题的基石是单位长度和直角关系。解析中利用网格构建了直角，运用勾股定理求出。这是解决后续比例问题的关键长度。 3.巧用特殊角通过观察网格发现。在直角中，因为，，所以得出该三角形是等腰直角三角形。利用此特性，只需知道 (MC) 就能轻松求出 (CN) 和 (MN)。 ▌迁移练1-1如图，在的正方形网格中，点都在格点上，请用无刻度直尺作图． (1)在图1中，在线段上找一点，使与的面积比为． (2)在图2中，在线段上找一点，使． ▌迁移练1-2图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的线段上找一点D，连接，使； (2)在图②中的线段上找一点E，连接，使； (3)在图③中的线段上找一点F，连接，使． ▌迁移练1-3如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画出点D在边上，使； (2)在图②中，画出点F在边上，且； (3)在图③中，画出点M在边上、点N在边上，使． 题型3 仰角与俯角问题 ▌例1如图，，．从A看B的仰角是__________；从B看A的俯角是___________；从B看D的俯角是___________；从D看B的仰角是___________． 解题要点 1.几何转换（内错角相等）：利用“水平视线”与“地面”平行的几何性质，将俯角转化为直角三角形中的内角。如图所示，因为水平视线平行于地面 BC，所以内错角相等，即。 2.寻找直角三角形：确定是直角三角形（高度 AC垂直于地面 BC，即。 3.列三角函数求解：根据已知对边 AC和要求的斜边 AB，选择合适的三角函数关系式： ▌迁移练1-1白玉山塔（图1）是位于辽宁省大连市旅顺口区白玉山顶的侵华日军建筑遗址，原为日俄战争后日军修建的“表忠塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量白玉山塔的高度，具体过程如下：如图2，将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，此时测得白玉山塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则白玉山塔的高度约是_______．（结果保留整数．参考数据：tan） ▌迁移练1-2某数学兴趣小组利用无人机测量建筑物的高度．已知无人机在距离水平地面高为的空中飞行，飞行至处时测得建筑物的顶端的俯角，建筑物的底端的俯角，求建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） ▌迁移练1-3某科技小组用无人机测量教学楼的高度，具体过程如下：将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度为____．（参考数据：，，） 题型4  坡度与坡角问题 ▌例1某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米． 解题要点 1.作高补全模型:题目中有斜坡（非水平）和信号塔（竖直），为了将已知量转化到同一个直角三角形中，最核心的步骤是作辅助线：过点 D作水平线 CE 的垂线 DG，并将塔 AB 延长与 CE 相交于点 H。这样就得到了两个关键的直角三角形和以及一个矩形BHDG。 2.分步各个击破（从局部到整体） ①解斜坡直角三角形 。 ②求矩形边长并计算总水平距离 CH。 ③解塔顶仰角直角三角形。求最终目标 AB ▌迁移练1-1如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． ▌迁移练1-2如图，在山坡上植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．现测得斜坡的坡角为，求相邻两树间的坡面距离．（结果精确到） ▌迁移练1-3如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过．从斜坡的起点至房屋门的最短的水平距离应该是多少？（精确到） 题型5 方向角问题 ▌例1如图，已知外婆家在小明家的正东方向，学校在外婆家的北偏西方向，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 解题要点 1.构造直角三角形（作垂线）因为不是直角三角形，直接求 AC很困难。核心方法是过点B 作 AC所在直线的垂线 BD。这样就构建了和这两个直角三角形。 2.转化方向角为三角形内角第一个方向角,第二个方向角： 3.分步求线段先求 AD、BD，再求 CD 4.线段相减求最终结果这是本题最容易出错的地方。 ▌迁移练1-1如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． ▌迁移练1-2如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． ▌迁移练1-3近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 题型6 双直角三角形模型 ▌例1如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且． (1)求的长； (2)求的值． 解题要点 1.抓旋转找全等：由AE 绕点 A逆时针旋转得到 AF可知，是等边三角形 2.倍长中线法。遇到线段中点 H和求证 时，首选辅助线是延长 AH一倍，即延长 AH至 A'，使得 。 3.构造平行四边形：连接 A'B，因为 H是 BF和AA' 的共同中点，所以四边形 ABA'F是平行四边形，证明全等后，。 4.找隐含的直角三角形结合第 (2) 问的证明过程和图形特点通常这种题在证明完 后，会隐含着 的情况），可以直接得出线段 AH, EH, AC)之间的数量关系。 ▌迁移练1-1如图，在中，，，，，求，的长． ▌迁移练1-2如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． ▌迁移练1-3如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度的长为，，求中柱的高．（结果精确到） 题型7 与相似三角形、勾股定理结合 ▌例1已知：四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，点F在边AB上，联结DE、EF． （1）如图1，如果tan∠BEF＝，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果tan∠BEF＝，求证：∠DEF＝3∠CDE． 解题要点 1.算底边：作高DG，解 得 BC长。 2.定极值：连接DF，应用三角形不等式 。 3.求中位线：由 D、F 都是中点可知DF是的中位线，。 4.得结论：最大值为。 ▌迁移练1-1如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点和分别在轴和轴上，点的坐标为，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，直线的解析式为__________． ▌迁移练1-2在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是__． ▌迁移练1-3如图，点A、B均为格点，线段AB与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC； （2）在AC上找一点E，使∠ABE＝∠ACD； （3）在BC上取一点P，使． 题型8 非直角三角形转化为直角三角形 ▌例1如图，在中，，，，求BC的长． 解题要点 1.“找特殊角”思维：遇到、 等非特殊角时，不要害怕，必须主动拆分。 2.线段相加减的判断：作高后，务必看清垂足是落在所求线段上，还是在其延长线上。 3.利用边长推导边长：不需要算出整个三角形的所有边长，只求出当前直角三角形能推导出的边长，传递给下一个直角三角形即可。 ▌迁移练1-1如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． ▌迁移练1-2【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． ▌迁移练1-3在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 难点一 双直角三角形模型 难点1：并列式（在目标同侧）两观测点A、B和目标底部C在同一直线上，且A、B在C的同一侧。此时，两个直角三角形有水平距离之差。图形特征：从A、B看目标顶端，仰角不同，A点更远。等量关系：两水平距离之差 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为（其中，(d)为AB长）。 难点2：分离式（在目标两侧）两观测点A、B位于目标C的两侧。此时，两个直角三角形有水平距离之和。 图形特征：从A、B看目标顶端，分别形成直角三角形，分居目标左右。 等量关系：两水平距离之和 = AB之间的距离。解法：设目标高为 (h)，则方程恒为。 难点精练 1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 2．综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 3．如图，在中，是上的高．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 难点二非直角三角形的“化斜为直”转化 难点1：已知两边一角：作高后，先用解直角三角形求出相关边长，再用勾股定理求目标边。 难点2：已知两角一边：过第三个角的顶点作高，设高为 x，用 x 表示被分割的两段线段，利用它们的和或差等于已知边来列方程。 难点精练 4．如图，在中， ，，，求、的长． 5．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 6．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 基础达标 一、单选题 1．在中，，，的对边分别是，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 3．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么（     ） A． B． C．1 D． 4．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，于点D，于点E．下列关于的表示方法，正确的是__________（填写所有正确的序号）． ①，②，③；④，⑤；⑥，⑦． 9．直角三角形两直角边长，则斜边上中线的长为____________． 10．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 11．如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 三、解答题 12．完成下列表格并熟记：              锐角A 锐角三角函数 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 13．计算：． 14．如图，在中，，求的值． 15．九年级一班综合实践小组利用所学知识测量了某教学楼的高度（如图），测量过程与数据信息如下： ①小亮在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得该教学楼顶端A的仰角； ②小强站在点D处，某一时刻，该教学楼在阳光下的影子顶端和小强在阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处； ③小强的身高米，小亮用皮尺测得米，米． 已知，，点B、D、F、C在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该教学楼的高度．（参考数据：，，） 能力进阶 一、单选题 1．如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形的边长为，对角线，相交于点，已知 ，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，若，，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 6．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 8．如图，是的高，，，，则的长为__________． 9．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 10．的三边长分别为，，，若，则最小角的正弦值为________． 11．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________． 三、解答题 12．如图，在中，，已知，，求的长． 13．某厂房前安装了遮阳棚，其截面如图所示，在截面图中，高为的遮阳棚立柱垂直于地面，遮阳棚与立柱垂直，若经过点的光线恰好照射在地面点处，且，若地面阴影宽度为，求遮阳棚的宽度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 14．在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 15．如图，四边形中，平分，，，为的中点． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？试说明理由； (3)若，，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $