专题23.4 解直角三角形 （高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题23.4 解直角三角形 教学目标 1.掌握直角三角形中角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、角与边（锐角三角函数）之间的关系，会用这些关系解直角三角形。 2.掌握解直角三角形的基本类型及解法，会解非直角三角形（构造直角三角形）。 3.理解仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念。 4.能运用解直角三角形解决实际问题，发展应用意识与建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形边角关系的应用 （2）解直角三角形的基本类型及解法 （3）用解直角三角形解决实际问题 2.难点 （1）解非直角三角形（"化斜为直"构造直角三角形） （2）将实际问题抽象为数学问题建立模型 （3）与折叠、旋转、坐标系等综合的解直角三角形问题 知识点01：解直角三角形的概念与依据 1.定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2.元素：直角三角形除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。 3.依据（在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c）： （1）三边关系（勾股定理）：； （2）两锐角关系：（互余）； （3）边角关系（锐角三角函数）：，，，。 【即学即练】 1．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 【答案】 / / / / 【分析】根据直角三角形定义确定直角顶点，区分斜边与直角边，结合锐角对边与邻边的概念进行识别． 【详解】解：由题意得的对边是，的邻边是 的对边是，的邻边是． 知识点02：解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形至少需要已知一条边，基本类型及解法如下： 基本类型 已知条件 解法步骤 已知两边 斜边c、一直角边a （1）；（2）由求∠A；（3）∠B＝90°－∠A 已知两边 两直角边a、b （1）；（2）由求∠A；（3）∠B＝90°－∠A 一边一角 斜边c、锐角∠A （1）∠B＝90°－∠A；（2）；（3）或 一边一角 直角边a、锐角∠A （1）∠B＝90°－∠A；（2）；（3）或 3.解直角三角形的原则： （1）有斜用弦、无斜用切：涉及斜边用正弦、余弦，不涉及斜边用正切； （2）宁乘勿除：能用乘法优先用乘法； （3）取原避中：能用原始数据求值就避免用中间数据，以减小误差。 【即学即练】 1．在中，已知，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】通过已知元素将未知元素求解出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 知识点03：解非直角三角形 1.思路：解非直角三角形问题时，往往要构造直角三角形，把问题转化为解直角三角形问题，即"化斜为直"。 2.常见类型： （1）斜三角形问题：通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形； （2）一般的平行四边形与梯形问题：通过过顶点作高，转化为含直角三角形的图形； （3）特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）问题：通过连接对角线转化为含直角三角形的图形。 【即学即练】 1．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作于点，将分割成两个直角三角形，根据锐角三角函数关系求边长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，． ． 在中，， ． ． 知识点04：解直角三角形在实际问题中的应用（仰角、俯角、方向角） 1.一般过程：将实际问题抽象为数学问题（画平面图形，转化为解直角三角形）→选用锐角三角函数解直角三角形→得到数学答案→检验得实际答案。 2.仰角、俯角：视线在水平线上方，视线与水平线的夹角叫仰角；视线在水平线下方，视线与水平线的夹角叫俯角。 3.方向角：以观察点为中心，以正北或正南方向为始边，旋转到目标方向线所成的锐角，通常表达成"北（南）偏东（西）多少度"。 4.注意：南偏东45°又叫东南方向，北偏西45°又叫西北方向；解决实际问题时可用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形。 【即学即练】 1．如图，某飞机在空中A处时的高度，此时，从飞机上看地面目标B的俯角为．求A，B两点间的距离．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据题意，得，结合，变形计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ， （）， 答：A，B两点间的距离约为． 知识点05：解直角三角形的应用——坡度、坡角 1.坡度（坡比）：坡面的竖直高度h与水平长度l的比，记作i，即，通常写成i＝1∶m的形式。 2.坡角：坡面与水平面的夹角，记作α。 3.关系：坡度是坡角的正切，即；坡度越大，坡角越大，坡面越陡。 【即学即练】 1．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 题型01 已知两边解直角三角形 由勾股定理求第三边，再用锐角三角函数（或）求锐角，由互余求另一锐角。 【典例1】. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，b，c分别是，的对边，，．解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】先求出，再根据求出，即可求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∴． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．解这个直角三角形． 【答案】，，. 【分析】利用勾股定理求出的长度，即可求出的正弦，根据的正弦求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，，． ， ， ， ， ， 【变式2】. （25-26九年级上·山东淄博·期中）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，， 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键． 根据三角形面积公式求出，再根据三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ． 【变式3】. （2025·广东江门·一模）在中，为直角，、、所对的边分别为、、，且，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据题意得到，求出，得到，求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型02 已知一锐角和一边解直角三角形 由两锐角互余求另一角，按"有斜用弦、无斜用切"选三角函数求其余边，注意区分直角边与斜边。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·阶段检测）如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 【答案】 【分析】将实际问题转化为直角三角形模型，已知斜边和一个锐角，求对边，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意可知，，则为直角三角形，且． 在中，． ，， ． 故高为米． 【变式2】. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ∴米． 【变式3】. （25-26九年级上·山东威海·期末）2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得的水平距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，千米， ∴（千米）， ∴此时火箭距海平面的高度为千米， 故选：B． 题型03 已知一锐角的三角函数值和一边解直角三角形 把已知三角函数值代入边角关系建立比例，结合勾股定理求出各边及未知角。 【典例3】. （26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 【变式1】. （2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了通过余弦值求线段长度，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 利用余弦定义可知，再通过勾股定理可得的长 ． 【详解】解：∵， ∴， 又∵, ∴， ∴， 故选：C ． 【变式2】. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正切的定义求出直角边的长，再利用勾股定理计算斜边的长度； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ． 【变式3】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【答案】 12 9 【分析】先利用正弦的定义求出，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵在中，已知，，且， ∴，即，解得：， ∴． 题型04 网格中解直角三角形 借助网格中小正方形的边长，用勾股定理求三角形各边，再由定义求三角函数值或判定形状。 【典例4】. （2026·四川泸州·一模）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，，，进而可证，代入数值到即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出的值． 【详解】解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为， ， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 【变式2】. （26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ， 由网格可知 ，， 在 中，． 【变式3】. （25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在网格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值． 用网格求出三边的长，根据等腰三角形的性质，求出边上的高，进而求出边上的高，最后根据三角函数的意义求解即可． 【详解】解：如图，取的中点D，连接，则，过点C作，垂足为E， 由网格可得，， 则边上的高， 由三角形的面积公式得，， 即， ∴， ∴． 故选：C． 题型05 解一图多三角形的直角三角形 分析图形中多个直角三角形的公共边、公共角，从一个可解的三角形入手逐步求解。 【典例5】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【答案】 /0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据同角的余角相等得到，最后根据锐角三角函数的定义求出的值． 【详解】解：∵ 是直角三角形，，， ∴ 由勾股定理得 ∵ 是斜边 上的高， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 【变式1】. （26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 【变式2】. （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，先解直角三角形求出的长，再求出，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点． ∴， ∵， ， ， ， ． ． ． （2）解：，， ． ． 【变式3】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中利用三角函数求出，由即可求解； （2）分别在和中利用勾股定理求出、，再根据正弦定义求出即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ； （2）解：在中，， 在中，， ． 题型06 四边形中解直角三角形 连接对角线或作高把平行四边形、梯形、矩形、菱形、正方形转化为含直角三角形的图形，再用三角函数求边长或面积。 【典例6】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 【答案】 【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴． 【变式1】. （2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别延长，两线交于点G，则可证明，从而得，再由正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，分别延长，两线交于点G， ∵F是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴． 【变式2】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知菱形的边长为，对角线，相交于点，已知 ，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数及“菱形的对角线互相垂直”可求出线段的长，再利用“菱形的对角线互相平分”求得结果． 【详解】∵菱形的边长为，对角线，相交于点， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴． 【变式3】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________． 【答案】24 【分析】解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵在中，对角线，相交于点， ∴， ∴． 题型07 解直角三角形解决仰角、俯角问题 识别仰角、俯角，作辅助线构造直角三角形，用等关系列式求高度、距离。 【典例7】. （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴建筑物A、B之间的距离为米． 【变式1】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可知，， ． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，两幢大楼相距，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为．如果甲楼高，那么乙楼的高为多少米？（精确到） 【答案】乙楼的高约为89米 【分析】根据题意可得：，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴乙楼的高约为89米． 【变式3】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 【答案】两建筑物间的距离约为 【分析】过点作于点，设，则，，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则， 设， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，即 ， 解得． 答：两建筑物间的距离约为． 题型08 解直角三角形解决坡度、坡角问题 利用坡度构造直角三角形，结合已知条件列式求坡长、高差或距离。 【典例8】. （26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，无障碍坡道的坡度为，小丽在处乘坐直升电梯竖直升高了到达点处．若小丽从点沿这条坡道步行，则需前进_________到达点处． 【答案】 【分析】先根据坡度定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴． 【变式1】. （26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 【变式2】. （26-27九年级下·全国·单元测试）一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． 【答案】 【分析】过梯形两个上顶点向下底作高，构造两个直角三角形与中间矩形，利用坡比结合勾股定理求出坝高，矩形对边相等得到，由得到是等腰直角三角形，从而，再由勾股定理即可求出坡面长度． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 背水坡的坡比， ， 在中，米，设,则， ， ， ， ， ， ， 米， ， ， 四边形是矩形， 米， ， ， 米， 在中，米． 【变式3】. （25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 【答案】米 【分析】根据坡度定义求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：由题意可知，在中，，． 斜坡的坡度， ， 在中，由勾股定理得： ， 故斜坡的长度是米． 题型09 解直角三角形解决方向角问题 以正北或正南方向为基准确定方向角，利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形，列式求距离或高差。 【典例9】. （2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 【变式1】. （2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知角度求出和，在中，根据三角形内角和定理求出的度数即可． （2）根据轮船距离小岛最近时得到的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）解：如图①．由题意，得，，， ，， ． （2）当轮船行驶到距离小岛最近点时，此时，如图②． ． 由题意，得，， ， ． 【变式3】. （26-27九年级上·重庆·阶段检测）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 题型10 解非直角三角形 过顶点作高构造直角三角形（"化斜为直"），将斜三角形转化为两个直角三角形，分别用三角函数求解。 【典例10】. （26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （2）解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 【变式1】. （26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】/45度 【详解】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数值求解角度． 【解答】解：过点A作于D， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式2】. （26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的中点． (1)求线段的长． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）过点A作于点E，利用三角函数可计算出，，计算出，利用勾股定理计算出即可； （2）利用正切函数的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， 在中， ，， ∵，点D是边上的中点， ∴， ∴ 在中， ． （2）解：由（1）可知，，， ∴， 在中，． 【变式3】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，结合，解答即可． （2）设，则，故，得，代入解答即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ，， ，，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ． （2）解：，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 设，则， 故， 解得， ， ， ． 一、单选题 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， ， ， ， ． 2．长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由图可知，， 即米． 3．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 【答案】B 【分析】根据正弦和余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，长度不变， ∴， ∴的值越小，则的值越小，此时梯子越平缓，故A、C错误； 的值越小，则的值越小，此时梯子越陡，故B说法正确，D说法错误． 二、填空题 4．在中，，，，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据题意，首先排除不是直角三角形，然后分两种情况：当为锐角时或当为钝角时，过点作，构造直角三角形，利用三角函数定义与勾股定理求出相关线段长度，计算的长即可． 【详解】解：由题意可知，不是直角三角形； 当为锐角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 当为钝角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 综上所述，的长为或． 5．在中，，，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当点在延长线上时；过点作垂直于于点，在直角三角形中，利用角的正切值和勾股定理求解；②当点在上时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：①当点在延长线上时，如图，过点作垂直于于点， 在中，， ， 设，， ， ， ， ，， ， 在中，， ； ②当点在上时， ， 在中，， ； 综上可知，线段的长为或． 6．在中，若，，，则_________． 【答案】4或6 【分析】过A作于，在中，由已知条件设，根据勾股定理求出x的值，从而得出，在中，根据勾股定理得出，可得到的长度． 【详解】解：如图，过A作于， 在中，， 设， ， ，即， 解得， ． 在中，， ， 同理可求． 则的值为4或6． 三、解答题 7．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 8．如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为12.9米 【分析】过点 A 作，垂足为 E，解求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点 A 作，垂足为 E．则米，米． 在中，，， ∴（米）．   ∴（米）．   答：建筑物的高度约为 12.9 米． 9．如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，过点作于点，此时点相对于点升高了多少？ 【答案】点相对于点升高了． 【分析】过点作，由题意得，，利用三角函数得出、，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 此时点相对于点升高了． 1．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③ ，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 2．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 3．已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形性质求出，分点在上和上两种情况，再分别讨论和，利用三角函数计算长并验证点是否在边上． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在中， ， ， 当点在边上时，， ①若， 在Rt中，； ②若， 在Rt中，； 当点在边上时， ③若， 在Rt中，； ④若， 在Rt中，， 作于， 设， ， ， ， ， ， ， 前三种情况点均在边上，符合题意， ， 第四种情况点在延长线上，舍去， 综上所述，的长是或或． 4．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 5．如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动，过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． (1)整个运动过程中，的最大值为______； (2)当点E与点C重合时，求的长； (3)若点D在边上，当是直角三角形时，求的值； (4)点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为时，直接写出线段的长． 【答案】(1)3； (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）过点A作于点M，根据三角形面积公式求出，即为的最大值根据，求出； （2）当点C与点E重合时，由题意得，，根据求即可． （3）作于，由，得，再由得，，从而．折叠后，，利用和相似三角形分类讨论直角情形． （4）利用、关于对称得，，按、位置分三种情况求． 【详解】（1）解：作于点， ，， ， ，， ， ， ． 当与重合时，最大，最大值是3； （2）解：折叠后与关于直线对称， ，， 与重合， ， ， ， ． （3）解：设，则，， 作于，由已知，，， 当在上（），在线段上或延长线上， ， ①若： ， 又， ， ， ， 即， 解得，， ∴， ②若： ，， 又， ， ， ， 即， 解得，， ； 综上，或． （4）解：、关于直线对称， ，， ， ， 到的距离为，，， ，到距离， ， 当在上，在线段上时， 即， ， ， ， ； 当在上，在延长线上， 即， ， ，， ； 当在线段上时，分得的三角形为，翻折后的对称点为， 故，， 此时在上，，在左侧， ，， ， ； 综上，或或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.4 解直角三角形 教学目标 1.掌握直角三角形中角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、角与边（锐角三角函数）之间的关系，会用这些关系解直角三角形。 2.掌握解直角三角形的基本类型及解法，会解非直角三角形（构造直角三角形）。 3.理解仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念。 4.能运用解直角三角形解决实际问题，发展应用意识与建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形边角关系的应用 （2）解直角三角形的基本类型及解法 （3）用解直角三角形解决实际问题 2.难点 （1）解非直角三角形（"化斜为直"构造直角三角形） （2）将实际问题抽象为数学问题建立模型 （3）与折叠、旋转、坐标系等综合的解直角三角形问题 知识点01：解直角三角形的概念与依据 1.定义：在直角三角形中，由已知元素求出 的过程，叫做解直角三角形。 2.元素：直角三角形除直角外，共有五个元素，即 和 。 3.依据（在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c）： （1）三边关系（勾股定理）： ； （2）两锐角关系： （互余）； （3）边角关系（锐角三角函数）：，，，。 【即学即练】 1．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 知识点02：解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形至少需要已知一条边，基本类型及解法如下： 基本类型 已知条件 解法步骤 已知两边 斜边c、一直角边a （1）；（2）由求∠A；（3）∠B＝90°－∠A 已知两边 两直角边a、b （1）；（2）由求∠A；（3）∠B＝90°－∠A 一边一角 斜边c、锐角∠A （1）∠B＝90°－∠A；（2）；（3）或 一边一角 直角边a、锐角∠A （1）∠B＝90°－∠A；（2）；（3）或 3.解直角三角形的原则： （1）有斜用弦、无斜用切：涉及斜边用正弦、余弦，不涉及斜边用正切； （2）宁乘勿除：能用乘法优先用乘法； （3）取原避中：能用原始数据求值就避免用中间数据，以减小误差。 【即学即练】 1．在中，已知，解这个直角三角形． 知识点03：解非直角三角形 1.思路：解非直角三角形问题时，往往要构造直角三角形，把问题转化为解直角三角形问题，即"化斜为直"。 2.常见类型： （1）斜三角形问题：通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形； （2）一般的平行四边形与梯形问题：通过过顶点作高，转化为含直角三角形的图形； （3）特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）问题：通过连接对角线转化为含直角三角形的图形。 【即学即练】 1．如图，在中，，，，求的长． 知识点04：解直角三角形在实际问题中的应用（仰角、俯角、方向角） 1.一般过程：将实际问题抽象为数学问题（画平面图形，转化为解直角三角形）→选用锐角三角函数解直角三角形→得到数学答案→检验得实际答案。 2.仰角、俯角：视线在水平线上方，视线与水平线的夹角叫 ；视线在水平线下方，视线与水平线的夹角叫 。 3.方向角：以观察点为中心，以正北或正南方向为始边，旋转到目标方向线所成的锐角，通常表达成"北（南）偏东（西）多少度"。 4.注意：南偏东45°又叫 ，北偏西45°又叫 ；解决实际问题时可用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形。 【即学即练】 1．如图，某飞机在空中A处时的高度，此时，从飞机上看地面目标B的俯角为．求A，B两点间的距离．（结果精确到） 知识点05：解直角三角形的应用——坡度、坡角 1.坡度（坡比）：坡面的 与 的比，记作i，即，通常写成i＝1∶m的形式。 2.坡角：坡面与水平面的夹角，记作α。 3.关系：坡度是坡角的 ，即；坡度越大，坡角越大，坡面越陡。 【即学即练】 1．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 题型01 已知两边解直角三角形 由勾股定理求第三边，再用锐角三角函数（或）求锐角，由互余求另一锐角。 【典例1】. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，b，c分别是，的对边，，．解这个直角三角形． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．解这个直角三角形． 【变式2】. （25-26九年级上·山东淄博·期中）在中，，，，解这个直角三角形． 【变式3】. （2025·广东江门·一模）在中，为直角，、、所对的边分别为、、，且，，解这个直角三角形． 题型02 已知一锐角和一边解直角三角形 由两锐角互余求另一角，按"有斜用弦、无斜用切"选三角函数求其余边，注意区分直角边与斜边。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·阶段检测）如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 【变式2】. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3】. （25-26九年级上·山东威海·期末）2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得的水平距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 题型03 已知一锐角的三角函数值和一边解直角三角形 把已知三角函数值代入边角关系建立比例，结合勾股定理求出各边及未知角。 【典例3】. （26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【变式1】. （2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．13 【变式2】. （26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 题型04 网格中解直角三角形 借助网格中小正方形的边长，用勾股定理求三角形各边，再由定义求三角函数值或判定形状。 【典例4】. （2026·四川泸州·一模）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 【变式2】. （26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在网格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型05 解一图多三角形的直角三角形 分析图形中多个直角三角形的公共边、公共角，从一个可解的三角形入手逐步求解。 【典例5】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【变式1】. （26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【变式2】. （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【变式3】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且． (1)求的长； (2)求的值． 题型06 四边形中解直角三角形 连接对角线或作高把平行四边形、梯形、矩形、菱形、正方形转化为含直角三角形的图形，再用三角函数求边长或面积。 【典例6】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 【变式1】. （2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知菱形的边长为，对角线，相交于点，已知 ，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________． 题型07 解直角三角形解决仰角、俯角问题 识别仰角、俯角，作辅助线构造直角三角形，用等关系列式求高度、距离。 【典例7】. （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【变式1】. （26-27九年级下·全国·单元复习）如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，两幢大楼相距，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为．如果甲楼高，那么乙楼的高为多少米？（精确到） 【变式3】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 题型08 解直角三角形解决坡度、坡角问题 利用坡度构造直角三角形，结合已知条件列式求坡长、高差或距离。 【典例8】. （26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，无障碍坡道的坡度为，小丽在处乘坐直升电梯竖直升高了到达点处．若小丽从点沿这条坡道步行，则需前进_________到达点处． 【变式1】. （26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【变式2】. （26-27九年级下·全国·单元测试）一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． 【变式3】. （25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 题型09 解直角三角形解决方向角问题 以正北或正南方向为基准确定方向角，利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形，列式求距离或高差。 【典例9】. （2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】. （2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【变式2】. （26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． 【变式3】. （26-27九年级上·重庆·阶段检测）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 题型10 解非直角三角形 过顶点作高构造直角三角形（"化斜为直"），将斜三角形转化为两个直角三角形，分别用三角函数求解。 【典例10】. （26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【变式1】. （26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，，则的度数为________． 【变式2】. （26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的中点． (1)求线段的长． (2)求的值． 【变式3】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． 一、单选题 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 二、填空题 4．在中，，，，则的长为________． 5．在中，，，，则线段的长为________． 6．在中，若，，，则_________． 三、解答题 7．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 8．如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 9．如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，过点作于点，此时点相对于点升高了多少？ 1．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 3．已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 4．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 5．如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动，过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． (1)整个运动过程中，的最大值为______； (2)当点E与点C重合时，求的长； (3)若点D在边上，当是直角三角形时，求的值； (4)点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为时，直接写出线段的长． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $