精品解析：辽宁大连市辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试高三数学试题

辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试 高三数学试题 时间：120min 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 已知集合，，若 ，则实数m的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由 可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 3. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立等式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，因为， 所以， 易知，所以， 因为， 则有， 即，即， 因为，所以， 即，所以， 所以. 4. 已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解得. 因为，所以， 在区间内恰有两个零点， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 5. 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ） A. 0.25 B. 0.27 C. 0.48 D. 0.52 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知： ，， 故. 故选：C. 6. 若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（ ） A. 27 B. 54 C. 81 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列通项与前项和的关系推出数列的递推关系,结合等差中项的性质求出首项,确定等比数列的通项后计算. 【详解】已知,当时,有,两式作差得: , 整理得,即数列从第二项起为公比为3的等比数列,因此. 当时, ; 又因为是与的等差中项,所以, 整理得,又因为,解得,满足, 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,所以因此. 7. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意可得，设锐角 的外接圆半径为， 所以，， 因此可得， 又因为，即 又，可得，因为，可得, 所以， 因此 由锐角三角形可得，即，可知， 所以 当 时,，此时， 因此可得. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得 构造函数， 讨论函数性质，可得，可得,构造函数,求导，求值域可得. 【详解】因为函数 的零点为 ，所以 ． 因为函数 的零点为 ，所以 ， 则 ，即 ， 可得 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递增． 所以 ，则 ，即 . 可得 . 由已知得 ，则 (关于自变量的函数,根据简单的复合函数单调性可知该函数单调递增)． 又 . 则 ，解得 ． 令 ，则 . 令 ,则 ;令,则. 可得在上单调递增,在上单调递减， 则的最大值为,,即. 【点睛】本题考查了学生指对同构的思想，利用指对同构找到，的关系，化多元为单变量，构造新函数解决问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分 9. 已知，下列结论中正确的是（ ） A. 若第项和第项的二项式系数同时最大，则 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项式定理写出展开式通项，结合各项描述及赋值法判断各项的正误. 【详解】的展开式第项为， A：根据二项式系数的性质，第项和第项二项式系数同时最大， 所以为奇数，且，解得，故正确； B：当时，为的系数， 取代入通项得，故错误； C：当时，展开式项系数的绝对值为， 因此等价于的所有项系数和， 令代入得，故正确； D：当时，展开式为， 由， 将代入，得， 因此，故正确. 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A变形已知等式，推导的取值范围，选项B应用均值不等式求解，选项C利用的代换变形，应用均值定理求解，选项D将所求式子变形为，求最值. 【详解】正实数，满足，， ，，选项A正确； ，，， 当且仅当时，即时，等号成立，选项B正确； ， 当且仅当，即时，即等号成立，选项C错误； ， ，，，选项D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，若函数的零点所在区间为，则 B. 若函数有两个零点，则 C. 函数有5个零点 D. 若函数有三个零点，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据函数单调性可知方程的解在区间，可判断A；函数有两个零点，即方程有两个解，结合图象判断B；方程的根为或，结合图象判断C；根据题意则，则，结合对勾函数的性质求范围，判断D. 【详解】当时，即， 令，则函数为上的增函数， 且， 所以方程的解在区间， 即函数的零点所在区间为，故，A正确； 函数有两个零点，即方程有两个解， 也就是的图象与直线有两个交点， 根据图象可得，B错误； 函数的零点即为方程的根， 则或， 根据图象，有两个解，有三个解， 所以函数有5个零点，C正确； 若函数有三个零点，且，则， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 且在上单调递减，所以， 所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 【答案】21 【解析】 【详解】依题意，总的样本容量，总样本均值， 代入公式计算： ． 故方差为21． 13. 在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 【答案】60 【解析】 【详解】首位是3，末位是4的有2个；首位是3，末位是6的有2个； 首位是4，末位是6的有个；首位是5，末位是4的有个； 首位是5，末位是6的有个；首位是6，末位是4的有个； 首位是7，末位是4的有个；首位是7，末位是6的有个， 所以由分类加法计数原理知共60个． 14. 记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则_____________． 【答案】2023 【解析】 【分析】分析得出，利用累加法求出数列的通项公式，可化简数列的表达式，求出，结合题中定义求得. 【详解】因为数列满足，且，则， 当且时， ， 也满足， 故对任意的，，故， ， 当时，，则，所以， 此时，， 所以， ， ，所以. 四、解答题：本题共5小题，共计77分 15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． （1）求A； （2）设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【小问1详解】 由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求a的值，并求的值； （2）求在上解不等式． （3）当时，有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，进而可得所求函数值； （2）由奇函数的对称性可求上的解析式，再由指数函数的单调性可得不等式的解集. （3）转化问题为在时有解，进而结合指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，，所以，解得， 则时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 当时，，且是定义在上的奇函数， 所以， 由，得，即， 则，所以，得， 由指数函数在上是减函数，所以，解得. 故当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，， 由，得，则， 即在时有解， 由指数函数和在上均为减函数， 所以函数在上为减函数， 且时，，时，，则， 所以实数的取值范围为. 17. 在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投个球，进球多的一方获得胜利，胜利次获得个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. （1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进球的概率. （2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少个积分且获得积分的每轮比赛至少要赢甲个球，求： ①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲个球，求；(结果用含的式子表示) ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛? 【答案】（1）. （2）①；②轮 【解析】 【分析】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，，根据题意，结合独立重复试验的概率公式可得； （2）①由题意得，结合独立重复试验的概率公式可得；②先求出，然后根据二项分布期望公式列不等式得，令，利用导数求最值即可得解. 【小问1详解】 设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，， 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进球，所以， . 【小问2详解】 ①. ②设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要赢甲个球的情况下获得的积分， 则，所以， 因为要满足题意，即，要使最小，则要取最大值， 令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 所以的最大值为， 即，所以，所以，即至少要进行轮比赛. 18. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．若对恒成立，求实数的取值范围． （3）设数列，，求证：； 【答案】（1） （2） （3） ， 所以 ，即命题得证． 【解析】 【分析】（1）构造数列是以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列公式求解； （2）裂项相消计算，通过分离参数，利用函数单调性求出最大值，； （3）采取放缩将，直接利用求和化解. 【小问1详解】 由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以为首项，为公差的等差数列， 解得，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得，即， 因为，所以，两边同乘得：， 令，则， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可知，，求导，利用导数分析单调性和最值； （2）参变分离可得，，令，，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （3）参变分离可得对任意，与在内有且仅有1个交点，可知在内单调递增，求导，结合（1）中结论分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，，则， 可知在内单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为. 【小问2详解】 若，，可得， 原题意等价于在内恒成立， 令，，则， 令，，则， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，可知在内单调递增， 则，可得，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数k的取值范围为. 【小问3详解】 令，，则， 原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点， 则在内的值域为，且为单调函数， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知在内单调递增， 则在内恒成立， 可得，即在内恒成立， 因为， 由（1）可知：当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，即， 所以实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试 高三数学试题 时间：120min 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 已知集合，，若 ，则实数m的取值集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ） A. 0.25 B. 0.27 C. 0.48 D. 0.52 6. 若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（ ） A. 27 B. 54 C. 81 D. 243 7. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分 9. 已知，下列结论中正确的是（ ） A. 若第项和第项的二项式系数同时最大，则 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，若函数的零点所在区间为，则 B. 若函数有两个零点，则 C. 函数有5个零点 D. 若函数有三个零点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 13. 在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 14. 记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分 15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． （1）求A； （2）设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求a的值，并求的值； （2）求在上解不等式． （3）当时，有解，求实数m的取值范围． 17. 在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投个球，进球多的一方获得胜利，胜利次获得个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. （1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进球的概率. （2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少个积分且获得积分的每轮比赛至少要赢甲个球，求： ①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲个球，求；(结果用含的式子表示) ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛? 18. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．若对恒成立，求实数的取值范围． （3）设数列，，求证：； 19. 已知函数． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $