第十五章 轴对称 单元测试卷- 2026‑2027学年人教版八年级数学上册

八年级上数学第十五章《轴对称》单元测试卷 测试时间：120分 试卷满分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 2．如图，与关于直线对称，，，则长度为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】解：与关于直线对称， 与是对应线段， ． ， ． 3．如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，首先根据等边三角形的性质可得，结合平行线的性质确定，进而可得，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，设直线交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 4．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为， ∴得到的点关于轴的对称点坐标是． 故选：B． 5．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得到，通过线段等量代换，的周长可表示为，即可求解． 【详解】解： 是边的垂直平分线， ， 的周长． 6．下列各命题都成立，判断它们的逆命题为真命题的是（     ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．全等三角形的对应角相等 C．成轴对称的两个三角形全等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【分析】先写出各选项命题的逆命题，再根据知识判断逆命题的真假． 【详解】解：A.逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数， ∵两个负数的积也为正数（如）， ∴逆命题为假命题， B.逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形不一定全等（如边长不同的等边三角形）， ∴逆命题为假命题， C.逆命题：两个全等三角形成轴对称， ∵两个全等三角形的位置不一定关于某条直线对称， ∴逆命题为假命题， D.逆命题：角平分线上的点到角的两边距离相等， ∵该命题是角平分线的性质，成立， ∴逆命题为真命题． 7．在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：以其中三个点为顶点的等腰三角形有、、、共4个． 8．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 9．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A．或1 B．1或2 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】根据运动可知：，则，分、、三种情况讨论即可作答． 【详解】解：根据运动可知：，则， 当时，，， ∴，即， ∴， 此时点Q的运动速度为：； 当时，，， ∵， ∴，即， 此时点Q的运动速度为：； 当时，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 此时点Q的运动速度为：； 综上：点Q的运动速度为或者． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 12．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是_______． 【答案】等边三角形 【分析】先根据，，得到，，再根据对顶角相等得到，最后根据三角形内角和为得到，可得到是等边三角形． 【详解】解：∵，， ∴．， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质． 13．如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 14．边长为2的正方形在如图的平面直角坐标系中，设点，轴，若把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2026次变换后，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变化规律问题，先根据已知条件求出点A的坐标，然后根据规定把正方形“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，求出点A连续三次变换的坐标，找出其变化的规律，根据规律确定点A经过2026次变换后的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点D的坐标为．且轴，正方形的边长， ∴正方形的顶点A的坐标为． 由题意得，经过1次变换点A的坐标变为． 经过2次变换点A的坐标为． 经过3次变换点A的坐标为． 经过4次变换点A的坐标为． 从以上可以看出，奇数次变换点A的横坐标为，偶数次变换点A的横坐标为1； 变换的次数与点A的纵坐标的和为3． ∴当点A经过2026次变换后，点A的横坐标为1，点A的纵坐标为． ∴经过2026次变换后，点A的坐标为． 故答案为：． 15．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 16．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键．首先证明，得到，得到是等边三角形，判断②正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为，判断④正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故②正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，故①正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是的边上的中线， ∴，故③正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，故④正确， 综上所述，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 3、 解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：，， ， 又∵，， ； (2)证明： ， ， ． ， ， 平分． 【分析】（1）首先得到，然后证明； （2）首先利用全等三角形的性质得到，得到，等量代换得到，即可得到平分． 【详解】（1）略 （2）略 18．（8分）如图，四边形的对角线、相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系（带箭头的水平实线记为x轴，带箭头的竖直实线记为y轴），的顶点都在格点上． (1)请画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于x轴对称的图形； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：点位置如图所示． ∵关于x轴对称的图形是， ∴， 故当在上时，的值最小． 20．（8分）如图，在中，，点在内部，连接，，，点在外部，连接，，．    (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证是等边三角形，，得到，，根据即可求解； （2）根据题意可证，，得到，由等边三角形的定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴, ∴． （2）略 21．（8分）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．    (1)若，则的度数是________； (2)若，在直线上找出一点，使的值最小，图中标出点的位置并直接写出的最小值是________． (3)若，的周长是，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据，和内角和定理得出，再根据垂直平分，得出运用三角形内角和定理即可解答； （2）根据垂直平分，点在直线上，得出，即可得出当P，A，C三点共线时，即点P在点D位置时，的最小，即可解答； （3）根据垂直平分得出，再根据得出，即可解答； 【详解】（1），， ， ， 垂直平分， ； （2）垂直平分，点在直线上， ， ， 当P，A，C三点共线时，即点P在点D位置时，的值最小， ；    （3）解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 即：的长为． 【点睛】该题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解答该题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 22．（10分）在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图，射线都在的内部． 设，则_______（用含有的式子表示）； 在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等． (2)如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； ； (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 根据角的和与差可得，把和的度数代入计算即可； 根据轴对称的性质可得，根据，等量代换可得； 在的延长线上截取，连接，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据，可证． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； 如下图所示，连接， ，， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：， 证明：如下图所示，在的延长线上截取，连接， 则有，， 又， ， 设， 则， ， 又， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， 23．（10分）在边长为的等边三角形中，是上一点，是上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图①，若 ，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动（当点到达点时，两点同时停止运动），求：当为何值时，为等边三角形． 【答案】(1)当时， (2)当时，为等边三角形 【分析】本题是等边三角形综合题，以动点问题为背景，根据等边三角形的判定与性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由题意可知， ． ， 解得， ∴当时，； （2）解：①当点在边上时，如图所示： 此时，不可能为等边三角形； ②当点在边上时，如图所示： 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ， 即，解得， ∴当时，为等边三角形． 24．（12分）图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 【答案】(1)， (2)垂直， 证明：过点E作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为垂直； (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果； （2）过点E作轴于H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接、，O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，根据三角形的面积关系可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 取点G，连接， ∵，， ∴O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则， 此时最小，， ∵E到的距离相等，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上数学第十五章《轴对称》单元测试卷 测试时间：120分 试卷满分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，，，则长度为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 6．下列各命题都成立，判断它们的逆命题为真命题的是（     ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．全等三角形的对应角相等 C．成轴对称的两个三角形全等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 7．在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A．或1 B．1或2 C．或 D．1或 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 12．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是_______． 13．如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 14．边长为2的正方形在如图的平面直角坐标系中，设点，轴，若把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2026次变换后，则点A的坐标为______． 15．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    16．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是______． 3、 解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 18．（8分）如图，四边形的对角线、相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系（带箭头的水平实线记为x轴，带箭头的竖直实线记为y轴），的顶点都在格点上． (1)请画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于x轴对称的图形； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小． 20．（8分）如图，在中，，点在内部，连接，，，点在外部，连接，，．    (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 21．（8分）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．    (1)若，则的度数是________； (2)若，在直线上找出一点，使的值最小，图中标出点的位置并直接写出的最小值是________． (3)若，的周长是，求的长． 22．（10分）在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图，射线都在的内部． 设，则_______（用含有的式子表示）； 在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等． (2)如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 23．（10分）在边长为的等边三角形中，是上一点，是上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图①，若 ，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动（当点到达点时，两点同时停止运动），求：当为何值时，为等边三角形． 24．（12分）图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 学科网（北京）股份有限公司 $