第十五章 轴对称（单元测试）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 一、单选题 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列四个图标中，轴对称图案为（　　） A． B． C． D． 3．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（　　） A．13 B．12 C．15 D．20 4．已知平面直角坐标系中点A的坐标为（﹣4，3），则下列结论正确的是（　　） A．点A到x轴的距离为4 B．点A到y轴的距离为3 C．点A到原点的距离为5 D．点A关于x轴对称的点的坐标为（4，﹣3） 5．如图，点在线段上，点在线段上，且和均是等边三角形，那么（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2012m停下，则这个微型机器人停在（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点E处 7．如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 9．如图，在四边形中，，与交于点，，，且平分． 下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③ 10．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 11．如图，点D在△ABC内部，且DA＝DB＝DC，点E在AB边上，且EB＝EC，∠AEC＝60°，连接ED并延长交BD于点F．以下结论：①EF⊥BC；②∠BAD+∠BCD＝30°；③∠ADC＝60°；④AE+DE＝BE．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 12．如图，在中，分别是的垂直平分线，，则的大小是　 　． 13．已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当同时在不等边的内部时，若，则　 　． 14．如图，已知交于点，且，若，，则的长为　 　． 15．如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点M和N，过点M和N作直线分别交于点D，E．若，则的长度为　 　． 16．如图，在中，，，是的角平分线，若，则点到的距离为　 　． 17．如图，△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为　 　． 18．点P（－2，3）关于y轴的对称点P′的坐标为　 　. 19．在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=　 　． 20．如图，△ABC中， ∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动， 连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2， 则AB的长是　 　 21．已知等边△ABC的高为6，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到直线AB的距离是1，点P到直线AC的距离是3，则点P到直线BC的距离可能是　 　． 22．如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上一点， ，过 作 于 ，下列结论： ① ；② ；③ ；④ . 其中正确的序号是　 　. 23．如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为　 　． 24．如图，A点的坐标是（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，C在x轴上运动，在坐标平面内作点D，使AD=DC，∠ADC=120°，连结OD，则OD的长的最小值为 　 　． 三、解答题 25．如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（________，________）（结果用含，的式子表示） (3)若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求，的值． 26．如图，在中， 垂直平分交于点D，交于点E，垂直平分交于点F，交于点G. （1）若，求的周长. （2）若，求的度数. 27．如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数． 28．如图，在中，，点D在线段上运动（不含端点），连接，作，交线段于点E． （1）当线段的长为何值时，； （2）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由． 29．已知线段a， 如图 ，求作等腰三角形ABC，使得底边 ，BC边上的高线长为 保留作图痕迹，不写作法 30．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）． 已知： 　 　（只填序号） 求证：△AED是等腰三角形. 证明： 31．在直角坐标系中，有点A（3，0），B（0，4），若有一个直角三角形与Rt△ABO全等且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标（不要求写计算过程）．（至少写出三个） 32．已知是等边三角形，． 如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且，连接AE，BF交于点G，求的度数； 如图2，点M是BC延长线上一点，，MN交的外角平分线于点N，求的值； 如图3，过点A作于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边，连DQ，则DQ的最小值是______． 33．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为(-3，0)，点A是y轴正半轴上一点，且AB=5，点P是x轴上位于点B右侧的一个动点，设点P的坐标为（m，0） （1）点A的坐标为(　　) （2）当△ABP是等腰三角形时，求P点的坐标； （3）如图2，过点P作PE⊥AB交线段AB于点E，连接OE．若点A关于直线OE的对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE=________(直接写出答案) 34．已知，如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与∠ABC的角平分线交于点D， （1）如图1，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形不是轴对称图形． 故答案为：A． 【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论． 2．【答案】B 【解析】【解答】根据轴对称图形的定义，A，C，D均不是轴对称图形． 故答案为B． 【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=ED， 同理DF=CF， ∴△AEF的周长是AE+EF+AF =AE+ED+DF+AF =AE+BE+CF+AF =AB+AC =5+7 =12． 故选B． 【分析】根据平行线性质和角平分线定义得出∠EDB=∠EBD，推出BE=ED，同理DF=CF，求出△AEF的周长=AB+AC，代入求出即可．　 4．【答案】C 【解析】【解答】解：A、点A（﹣4，3）到x轴的距离为3，故本选项错误； B、点A（﹣4，3）到y轴的距离为4，故本选项错误； C、点A（﹣4，3）到原点的距离为 =5，故本选项正确； D、点A（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，﹣3），故本选项错误． 故选C． 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，以及“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”对各选项分析判断即可得解． 5．【答案】D 6．【答案】C 【解析】【解答】本题以6个为一个循环，则2012÷6=33……2，则最后落在点C处. 故答案为：C 【分析】根据机器人的运动路径和循环的周期性，每运动6米一个循环，运动2012米，包括335次循环，还需要再走2米，最后落在点C处. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：①∵等边和等边， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③作于N，于F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ④在上截取，连接． 由②知， ∴， 由③知：平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， 故，故④正确； 正确的有①②③④． 故答案为：D． 【分析】证明，可得，故①正确；；利用全等三角形的性质可得，由对顶角相等可得，利用三角形内角和可推出，故②正确；作于N，于F，可证，可得，根据角平分线的判定定理即证平分，故③正确；在上截取，连接．证，可得，从而推出为等边三角形，则，，故④正确. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：根据已知条件无法判定，则无法判定，结论①不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ，结论②正确； 由结论②正确得：， ， 平分， ，结论③正确； ，， 点为的三条高的交点， ，结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④， 故答案为：D． 【分析】根据角之间的关系可判断①；根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断②；根据等角对等边可得，再根据角平分线性质可判断③；根据三角形高的性质可判断④. 9．【答案】D 10．【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形； 以AC、BC为腰的三角形有2个； 以BC、AB为腰的三角形有2个． 则点C的个数是7． 故答案为：D． 【分析】利用等腰三角形的判定方法和性质及点坐标的定义分析求解即可. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：∵DB=DC， ∴点D在BC的垂直平分线上， ∵EB=EC， ∴点E在BC的垂直平分线上， ∴ED垂直平分BC， ∵ED的延长线交BC于点F， ∴EF⊥BC，①符合题意； ∵DA=DB=DC，EB=EC， ∴∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，∠EBC=∠ECB， ∵∠AEC=60°， ∴∠BEC=180°-∠AEC=180°-60°=120°， ∵EF⊥BC，EB=EC， ∴， ∴∠BAD+∠BCD=∠DBA+∠DBC=∠EBC=30°，②符合题意； ∵∠BAC=∠DAC+∠BAD，∠BCA=∠DCA+∠BCD， ∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=180°-30°=150°， 即∠DAC+∠BAD+∠DCA+∠BCD=∠DAC+∠DCA+30°=150°， ∴∠DAC+∠DCA=150°-30°=120°， ∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠DCA）=60°；③符合题意； 如图，在EC上取一点M，使得EM=EA，连接AM， ∵∠AEC=60°，EM=EA， ∴△AEM是等边三角形， ∴EA=EM=AM，∠EAM=60°， ∵DA=DC，∠ADC=60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴DA=DC=AC，∠DAC=60°， ∵∠EAD=∠EAM-∠DAM，∠MAC=∠DAC-∠DAM， ∴∠EAD=∠MAC， 在△ADE和△ACM中， ， ∴△ADE≌△ACM（SAS）， ∴ED=MC， ∵BE=CE=EM+MC， ∴AE+DE=BE，④符合题意； 故答案为：A. 【分析】 根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上可得ED垂直平分BC，即可判断①；根据等边对等角可推得∠BEC=120°，根据等腰三角形底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线三线合一、三角形内角和是180°可得∠EBC=30°，即可求解判断②③；在EC上取一点M，使得EM=EA，连接AM，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形、等边三角形的三条边相等、三个角都是60°可得EA=AM，∠EAM=60°，DA=AC，∠DAC=60°，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形、全等三角形的对应边相等即可判断④，得出答案. 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】8 【解析】【解答】解：， ，， 已知：， ， ， ， 故答案为：8． 【分析】根据全等三角形的性质得，，然后根据等腰三角形的判定和性质即可求解． 15．【答案】4 【解析】【解答】 解：∵由 分别以点A和B为圆心， 以大于 的长度为半径作弧，两弧交于点M和N，过点M和N作直线， ∴可得MN是AB的垂直平分线， 连接AE，如下图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴BE=AE=2CE=4． 故答案为：4． 【分析】 根据作图过程可知MN是AB的垂直平分线，可得AE=BE，再求出，可知BE=AE=2CE，即可得出答案． 16．【答案】3 17．【答案】40° 【解析】【解答】解：∵AB=AD=DC， ∴∠B=∠ADB=80°，∠C=∠CAD， 由三角形的外角性质得，∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=80°， ∴∠C=40°． 故答案为：40°． 【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ADB，∠C=∠CAD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答． 18．【答案】 【解析】【解答】解：点P（-2，3）关于y轴的对称点P'的坐标是（2，3）， 故答案为：（2，3）. 【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.根据关于y轴对称的点的特点解答即可. 19．【答案】100° 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C=40°， ∴∠A=100°， 故答案为：100°． 【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案． 20．【答案】4 【解析】【解答】如图，作∠CAF=15°， ∵AC是∠BAF的平分线， ∴DE=D´E， ∴当BE 、D´E在一条直线上时，即当E、D在如图位置上时，BE+ED最小， ∵∠F=90°， ∠FAB=30°， ∴AB=2BF=4. 故答案为：4. 【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，BF即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 21．【答案】2、4、8、10 【解析】【解答】解：到AB的距离是1的点P在与AB平行且与AB的距离为1的两条直线a、b上，到AC的距离是2的点P在与AC平行且与AC的距离为2的直线c、d上，直线a、b、c、d的交点即为满足条件的点P，这样的点有4个，如图所示， （ 1 ）P点在P2位置时 即点P到BC的距离为1． （ 2 ）P点在P1位置时 即点P到BC的距离为4． （ 3 ）P点在P3位置时 即点P到BC的距离为8． （ 4 ）P点在P位置时 故点P到直线BC的距离可能是：2、4、8、10. 【分析】由题意可得，到AB的距离是1的点P在与AB平行且与AB的距离为1的两条直线a、b上，到AC的距离是2的点P在与AC平行且与AC的距离为2的直线c、d上，直线a、b、c、d的交点即为满足条件的点P，这样的点有4个，分4种情况讨论：①P点在P2位置时；②P点在P1位置时；③P点在P3位置时；④P点在P位置时；由等边三角形的性质和三角形的面积根据等面积即可求解。 22．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：① 为 的角平分线， ， 又 ， ， ， ， ，即①正确； ②在 中， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，即②正确； ③根据已知条件，可得 不一定成立，故③错误； ④如图，过 作 于 点， 是 上的点， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ，即④正确. 故答案为：①②④. 【分析】由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，证明△ABD≌△EBC，得到∠BCE=∠BDA，据此判断①；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠BEA=(180°-∠ABE)，∠BDC=(180°-∠CBD)，推出∠BDC=∠AEB，得到△ACE为等腰三角形，则AE=EC，由全等三角形的性质可得AD=EC，据此判断②；无法得到AB∥CE，过E作EG⊥BC于G点，证明△BEG≌△BEF，△CEG≌△AEF，得到AF=CG，据此判断④. 23．【答案】 24．【答案】 ． 【解析】【解答】先判定△ABO∽△ADC， 得出 ，再 根据∠BAD=∠OAC， 得出△ACO∽△ADB， 进而得到∠ABD=∠AOC=90°， 得到D始终在直线BE上，当OD⊥BE时，OD最小，最后过O作OF⊥BD于F， 根据∠OBF=30°， 求得OF= OB= ，即OD最小值为 ； 作B关于y轴的对称点B'，则同理可得OD最小值为 ． 【分析】易由AB=BO，∠ABO=120°与AD=DC，∠ADC=120°可得△ABO∽△ADC，得到对应边成比例，再由∠BAO=∠DAC得∠BAD=∠OAC，证得△ACO∽△ADB，进而得到∠ABD=∠AOC=90°。利用点与直线之间，垂线段最短，可得当OD⊥BE时，OD最小；根据∠OBF=30°求得OD最小值为 ，作B关于y轴的对称点B'，则同理可得OD最小值为 。 25． 【答案】 26．【答案】（1）； （2）. 27．【答案】22.5° 28．【答案】（1）解：时，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下： ①当， ∴， ∴； ②由（1）得， ∵点D在线段上运动（点D不与B、C重合） ∴； ③当时，则， ∴， ∴当的度数为或时，在（1）的条件下的形状是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）先得到，然后得到，即可证明结论； （2）分为①，②，两种情况利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解题即可． （1）解：时，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下： ①当， ∴， ∴； ②由（1）得， ∵点D在线段上运动（点D不与B、C重合） ∴； ③当时，则， ∴， ∴当的度数为或时，在（1）的条件下的形状是等腰三角形． 29．【答案】解：如图所示： 即为所求． 【解析】【分析】首先作线段 ，再作BC的垂直平分线，然后在NM上截取 ． 30．【答案】解：选择的条件是：①∠B=∠C ②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）； 证明：在△BAD和△CDA中， ∵ ， ∴△BAD≌△CDA（AAS）， ∴∠ADB=∠DAC， 即 在△AED中∠ADE=∠DAE， ∴AE=DE，△AED为等腰三角形． 【解析】【分析】首先选择条件证得△BAD≌△CDA，再利用全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论． 31．【答案】解：∵A（3，0），B（0，4） ∴OA=3，OB=4，AB= 如图所示， 符合要求的点有： 若以BO为公共直角时边，C点的坐标为（﹣3，4）；(-3，0) 若以AO为公共直角边时，C点的坐标为（0，﹣4）和（3，﹣4）和（3，4）． 【解析】【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形AOB的斜边AB的长度，然后分成以BO为公共直角边和以AO为公共直角边时，分别写出符合要求的直角顶点点C的坐标即可。 32．【答案】(1)60°；(2)6；(3)1.5. 33．【答案】（1）0，4；（2）P点的坐标为(3，0)、 (2，0)或；（3） 34．【答案】（1）解：∠BAD+∠BCD=180°，理由如下： 过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥BA，交BA的延长线于点F， ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥BA， ∴DE=DF，∠DEC=∠DFA=90°， ∵点D在AC的垂直平分线上， ∴AD=CD， 在Rt△ADF与Rt△CDE中， ∵AD=CD，DE=DF， ∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL）， ∴∠DCE=∠DAF， ∵∠DAF+∠BAD=180°， ∴∠BAD+∠BCD=180°； （2）解：BD=AB+BC，理由如下： 在BD上截取点F，使BF=AB，连接AF， 由（1）知∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠DAC=60°， ∴∠ABC=120°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=60°， 又AB=BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴AB=AF=BF，∠BAF=60°， ∵AD=CD，∠ADC=60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AC=AD，∠DAC=60°， ∴∠BAC+∠CAF=∠DAF+∠CAF=60°， ∴∠BAC=∠DAF， 在△ABC与△AFD中， ∵AB=AF，∠BAC=∠DAF，AD=AC， ∴△ABC≌△AFD（SAS）， ∴DF=BC， ∵BD=BF+DF， ∴BD=AB+BC. 【解析】【分析】∠BAD+∠BCD=180°，理由如下：过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥BA，交BA的延长线于点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，∠DEC=∠DFA=90°，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=CD，从而由HL证Rt△ADF≌Rt△CDE，得∠DCE=∠DAF，进而根据邻补角定义及等量代换可得∠BAD+∠BCD=180°； （2）BD=AB+BC，理由如下：在BD上截取点F，使BF=AB，连接AF，首先判断出△ABF与△ADC是等边三角形，由等边三角形的性质得AB=AF=BF，∠BAF=60°，AC=AD，∠DAC=60°，推出∠BAC=∠DAF，从而由SAS判断出△ABC≌△AFD，得DF=BC，进而根据线段的和差及等量代换可得结论. 学科网（北京）股份有限公司 $