18.3.2 分式的混合运算 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.3.2　分式的混合运算 学科：数学（人教版·八年级上册） 第十八章　分式（第 6 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 开场：我们已经学了分式的加、减、乘、除。今天把它们‘串’起来——加、减、乘、除、乘方混合在一道式子里，运算顺序和有理数的混合运算完全一样：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号。 学习目标 1. 巩固分式加、减、乘、除、乘方的运算，明确混合运算的顺序。 2. 能按“先乘方，再乘除，后加减，有括号先括号”逐步计算。 3. 会先因式分解、约分化简，再计算或求值，提高准确率。 4. 能用混合运算解决简单的实际问题。 重点：混合运算顺序与化简策略。难点：括号嵌套、分子分母都是多项式时的因式分解与符号处理。 复习引入：运算顺序知多少？ 有理数混合：先乘方、再乘除、后加减，有括号先括号。 分式四则：；；同分母 思考：若一道题同时出现 ，先算哪一步？ 把有理数运算顺序迁移到分式混合运算。用一道含乘方、乘除、减法的式子设疑，引出本节课主题。 一 情境引入 一道“综合”的分式题 问题：计算 。 　　第一步：（先乘方）。 　　第二步：（除法变乘）。 　　第三步：通分相减 → 。 关键就是——严格按运算顺序来。 用一道综合题直接演示三步顺序：乘方→乘除（含除法变乘）→通分相减。让学生‘先看顺序，再动笔’。 分式混合运算的顺序 与有理数混合运算一致： ① 先乘方，再乘除，最后加减； ② 有括号先算括号内（先小括号，再中括号）； ③ 同级运算从左到右依次进行； ④ 除法先化为乘法（乘倒数），再统一约分。 板书框出四条顺序规则，这是本节课的总纲，后面所有例题都按它执行。 二 例题示范 例1（1）：乘方 + 乘除 + 减法 例1（1）计算： 解：原式 = 　　 = 　　 = 　　 = 　　 = 完整展示：乘方→乘除→通分相减。强调第二步把除法变乘法；最后一步约去 b。 例1（2）：括号 + 加减 + 除法（较复杂） 例1（2）计算： 解：先分解分母 ， 原式 = 　　 = 　　 = 　　 = 第(2)题是综合大题：先因式分解分母，括号内通分相减，分子恰好化简为 (x−4)，与除式约去。强调‘分子相减要加括号’。 探究：混合运算的一般步骤 （１）看结构——判断有无括号、乘方、乘除、加减； （２）先处理——有括号先算；有乘方先算；除法变乘法； （３）先分解——分子分母含多项式先因式分解； （４）再约分——统一约分，化为最简分式或整式。 提醒：能约分的先约分，可大幅减少计算量、降低出错率。 把混合运算程序化为四步，像一线教师的‘操作手册’。强调‘先分解、早约分’能减负。 三 学以致用 例2：行程中的混合运算（谁先到？） 例2　张华、李明从学校到少年宫，路程均为 s。 张华前半程速度 a、后半程速度 b；李明前半段时间速度 a、后半段时间速度 b（）。谁先到？ 解：张华用时 　　李明用时 （由 得）。 　　差 　　因 故 ，李明先到。 例2把分式混合运算放进行程比较：张华分段按路程、李明分段按时间，t1−t2 化简后恰为 s(a−b)²/(2ab(a+b))>0，说明李明先到。这是‘学数学用数学’的好素材。 例3：巧用提取公因式简化计算 例3　计算： 解：括号内提取公因式 ： 原式 = 　　 = 　　 = 。 要点：先提取公因式再约分，比强行通分简洁得多。 例3体现‘观察结构、整体处理’：括号里两项都有 (a+b)，提出来直接与后面的 1/(a+b) 约去，避免大分母运算。是运算策略的升华。 四 巩固练习 巩固练习（一）：基础混合 1. = （答案） 2. = （答案） 3. = 0（答案） 第2题 a/b − a/b÷2 = a/b − a/(2b) = a/(2b)。第3题 1/(1−x) = −1/(x−1)，相加为 0。当堂练习并说顺序。 巩固练习（二）：含括号与分解 1. = 1（答案） 2. = 1（答案） 第1题 (1−1/x)=(x−1)/x，乘 x/(x−1) 得 1。第2题括号内得 (a+1)/(a+1)=1，再乘 (a+1)/a 也=1。巩固‘括号内先算、再乘除’。 学以致用：厦门步行与骑行 厦门环岛路，甲步行速度 u ，乙骑行速度 3u ，同走 d km。 甲用时 ，乙用时 ，用时之比为 。 即甲用时是乙的 3 倍——骑行明显更快，符合生活经验。 用厦门环岛路步行/骑行的真实情境，巩固分式除法化简：用时之比恰为速度的反比 3。 易错辨析 错1：见到加减就先通分，忽略乘方/乘除优先。　正：先乘方再乘除后加减。 错2： 直接通分忘提公因式。　正：先提 再约。 错3：除法不变倒数，如 。 错1是‘顺序错’；错2是‘不会整体处理’；错3是‘除法忘变倒数’。先找错再纠正。 课堂检测 1. 计算：。（答案：） 2. 计算：。（答案：） 3. 计算：。（答案：） 4. 计算：。（答案：） 当堂检测，覆盖乘方、加减、除法。第4题 1−1/(x+1)=(x+1−1)/(x+1)=x/(x+1)。 方法归纳 · 顺序：先乘方 → 再乘除（除变乘）→ 后加减 → 有括号先括号。 · 化简：先因式分解、早约分、善提公因式，化繁为简。 · 检查：结果是否为最简分式；代入值要使原式有意义。 把混合运算的顺序与化简策略总结为三句话，便于学生形成规范。 五 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先括号。 两个策略：先分解、早约分；善提公因式整体处理。 一种思想：类比有理数混合运算、转化（除变乘、异分母→同分母）。 预告：下节进入‘负整数指数幂与科学记数法’，为分式方程和更一般的分式运算做准备。 课后作业 1. 基础题：教材习题 18.3 第 3、4 题——分式混合运算； 2. 变式题：计算 ，写出括号内化简过程； 3. 应用题：厦门某段路，骑车 v 比步行 快多少？用分式表示时间比； 4. 思考题：化简 ，结果是什么？ 基础题面向全体；应用题结合厦门出行；思考题仿例3，提出 (x+y) 约分，结果为 (1−3x)/(3x)。 $