精品解析：河南洛阳市新安县第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月能力提升练习数学试卷

命学科网命组卷网 2026-2027学年高二年级10月能力提升练 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 y-0x+1 1.已知直线1的两点式方程为√3-0-4+1，则直线1的倾斜角为() A.150° B.120° C.60° D.30° 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据两点式方程判斯直线'过点一1,0)和《4，V)。再利用斜率的坐标公式计算斜率的性， 最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角： 【详解】解：设直线的倾斜角为“，0≤α<180° y-yx-X 由直线的两点式方程：乃乃五-x得：直线I过点(-1,0)和(-4，V3): 直线7的斜率，K=5-0。店 -4-()-3,所以tana=- 3 又因为 0≤a<180,所以a=150 故选：A. 2.己知两条不重合的直线：+2y-1=0和：x+(Q+)y-1=0,a∈R,若M,则a的值为( 第1页/共27页 6学科网6组卷网 A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 1:ax+2y-1=012:x+(a+10y-1=0 平行， g=2(a≠- 则1a+1 ,交叉相乘得a(a+l)=2→a2+a-2=0→(a+2)(a-1)=0 故a=一2或a=1,但两直线不重合，需进一步检验： 当a=1时，：x+2y-1=04:x+2y-1=0 ,两直线重合，不符合题意： 当a=-2时，4：-2x+2y-1=0.4:x-y-1=0 ,两直线不重合，且斜率相等，满足平行 因此a=-2」 A,B,C 3.已知 三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点 M,A,B,C 共面的是 () A0M=201+0B-0C 3 B.0M=30A-20B-20C e.OM-04+108+0c 2 4 3 D.OM-204+208-0c 3 3 3 【答案】D 【解析】 【分析】 OM=xOA+OB+zOC,分析出当M,AB,C共面时，x+y+z=1,从而分析四个选项，得 到正确答案 第2页/共27页 学科网命组卷网 【详解】当M4,B,C共面时，不妨设AM=入AB+山AC 变形得到OM-0A=2(OB-O+μ(oC-0A】 则OM=0B-(+4-1)oa+u0c 设OM=x0A+OB+z0C,若点M与点4B,C共面。 则x+y+2=--+1+2+u=1 2,2.1 只有选项D中3十3十3) 符合题意 故选：D 4.直线 y=x+1 关于直线少=2x 对称的直线方程为() A.3x-y-1=0 B.4x-y-2=0 C5x-y-3=0 D.7x-y-5=0 【答案】D 【解析】 y=x+1,(-4,-3) y=2x 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线 上的点 关于直线 “的对称 点即可求解。 y=x+1 x=1 【详解】由y=2x,解得y=2,则直线y=x+1与直线y=2x交于点4A1,2), 在直线’=x+1上取点B(4,-3》,设点B关于直线y=2x的对称点 B(a,b) [b+31 a+42 依题意， 2.44,整理得0+2b=-10,解得口=0，即点 b-3 02 2 2a-b=5 b=-5 B'(0,-5) y=2-（0x-5 直线AB'的方程为1-0 ,即7x-y-5=0, 第3页/共27页 学科网命组卷网 y=x+1 y=2x 7x-y-5=0 所以直线 关于直线 对称的直线方程为 故选：D 1V=X+ B =2x A(1,1,-1),BL,2,2),C(-3,4,2) 5.在空间直角坐标系中，已知 则点A到直线BC 的距离为() 7V5 V39 35 A.5 B.V10 C.2 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可 BC 2W5V5 【详解】 BC=(-4,2,0) BC 故选：A. x2.y2 =1 6.已知耳，F是椭圆43的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，当△A的面积最大时， 其内切圆的半径是() 1 A.1 B.Z c.3 D.3 【答案】D 第4页/共27页 可学科网丽组卷网 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和三角形面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，设△M5的内切圆O的半径为'， 由4+31，则a=2,6=5,c=后-F=1,所以M+4奶=2a=4,=2c=2, 白5s-FF+h+hr-2Fr以，3r=. 若△15的面积最大，即少A最大，又因为V5≤y4≤V5,所以ym=V5, 所以rmax三 3,故D正确， 7,已知点A,2),点2是圆(c-5+(-6矿=1上的动点，点P是直线x-y-1=0上的一个动点， 则PO+P4的最小值为() A.2W10+1 B.2V10-1 c4W2+1 D.4V2-1 【答案】B 【解析】 【分析】先画草图，发现1(L,2)和圆心C(5,6)在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将 第5页/共27页 6学科网 命组卷网 A(,2)通过对称转化到异侧的4(3,0），这样根据两点之同线段最短就可以得出 P+PA=PO+P≥Ae,再利用圆的性质得出AO≥AC-'即可 【详解】设4,2)关于直线x-y-1=0的对称点4(m,m),则 m+1n+2-1=0 22 n-2 ,解得m=3,所以 由对称可知， ×1=-1 m-1 n=0 A(3,0) PA=PA∥ 所以Pg+PA=|PO+Pa≥Ag 由圆的性质可知，圆心C(5,6),r=1,A'≥ArC-r, 所以Pg+PA≥A'C-r=V(5-3)}+(6-0)}2-1=210-1, A',P,2,C 当且仅当 四点共线时，等号成立，如图所示。 C。 A A 8已知点P是直线1.2x+y+1=0上一点，过点P作圆C:(x-+0-2少=4的两条切线，切点 分别为A,B,则PAP 的最小值为() 3 A.8V2-12 B.12-8√2 n 【答案】A 第6页/共27页 6学科网命组卷网 【解析】 PA-PB-PCP+32 12,利用对 -12 【分析】根据题意，由圆的切线的性质以及向量的数量积公式得 勾函数的单调性即可求解 珠 1:2x+y+1=0 【详解】 已知点P是直线1：2x+y+1=0上一点，过点P作圆C:(-+(-2=4的两条切线，切点分别为 A,B 园C的圆心为CL,2),半径r=2,根据切线的性质，CA1PA,CB1PB,且PA=P8, 设∠APC=0,则∠APB=20, 在直角三角形P4C中，有sn0=HC三” 2 IPC-IPCPC.IPA=PC-=PC-4. 向量点积公式为PA-PB=-PBcos∠APB=|P4cos(20). 由于cos(20)=1-2sin20=1-2. 1、8 Irco,Ir4 =IPCP-4, Iro-1 uAm-心-84q 令1=|PC,因为P在直线1上，所以lPC的最小值为圆心C(1,2)到直线2x+y+1=0的距离d, V22+12 5,所以PC25,即1=PC≥5. 第7页/共27页 6学科网命组卷网 利用对勾函数 的性质，其在1=V32=4V2时取得最小值， 由于(42=32>52=25，所以4W2>5, 因此，1=4V2在定义域[5，+切)内，此时f0取得最小值， 01-45x0展.a回=a2+器12-45+72=4+4-12=8反-l2 所PA-P历的最小值为8V2-12,放A正确 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线4：2x-y-2=0,4:m+2y-6-2a=0(a∈R) 则下列说法正确的是() A.m=(2,-1)是直线4的一个方向向量 5 B.若l11儿2，则与12的距离为5 C.若在两坐标轴上的截距相等，则a=2 D。原点到？的距离的最大值为V3 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查直线的方向向量、平行直线的距离、截距的概念以及动直线到定点的距离最值，结合直 线的相关性质逐一分析选项即可 【详解】选项A:直线：2x-y-2=0 的斜率为2，其方向向量可表示为(1,2)， 而m=(2,-)是马的法向量，不是方向向量，A错误： 第8页/共27页 6学科网6组卷网 选项B:因为1八，4：2x-y-2=0,4:x+2y-6-2a=0(a∈R) 所以2=-1x0,解得a=4,此时方程化为2x-y-1=0, -2+1V5 两平行直线距离d= V22+(-12 5，正确： 选项c:h:ar+2y-6-2a=0(aeR) x=6+2a 当截距均不为0时，令y=0得ax-6-2a=0,解得=。(a≠0） 令x=0得2y-6-2a=0 y=3+a 得 ，解得 6+2a=3+a 因为2在两坐标轴上的截距相等，所以α 且3+a≠0，解得a=2, 当截距均为0时，6-2a=0,解得a=-3, 综上，a=2或a=-3,C错误： 选项D:将5：r+2y-6-2a=0(a∈R)整理为a(x-2)+20y-3)=0, x-2=0 x=2 则y-3=0,解得y=3则l2恒过定点P(2,3), 原点到，的距离的最大值为OP=V(2-0+3-0}=V13,D正确 10如图，平行六面体1BCD-4BGD的所有楼长均为1，且∠BAD=60, ∠AAB=120,∠AAD=90,记AB=ā，MD=b,MM=G下列说法正确的是(） 第9页/共27页 6学科网命组卷网 D B BD1=b+c-a B.BD=3 C.AC LAD 6 D.直线BD与AD所成角的余弦值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算判断A;利用向量数量积的运算律及模长公式计算判断B；通过计算向 量数量积是否为0判断C；利用向量夹角公式计算异面直线夹角的余弦值判断D 【详解】 选项A:由向量加法法则可得BD=BA+AD+DD=-d+b+=b+C-d,故A正确： 选项B:由圈意可知|aH6HcFI,a-b=lx1×cos60 2, a.c=1x1×cos120°=- ,b.c=0, 则|BD=(6+c-a=2+c2++26-c-2a-6-2a.c =1+1+1+0-1+1=3 所以 BD=V5,故B正确： 选项c:AC=a+b+c.AD=6-c 第10页/共27页 6学科网命组卷网 4G40-6+6+d6-d小a6-a6+6-e-（》1-11*0 所以 AC与4D 不垂直，故C错误： 选项D:4D=V6-c-2+2-2b=V2 m-40-6+8-6-小=6-e2-a6+ac=1-1分 =-1 设直线 BD与AD 所成角为日，则 cos0=cos<BD],A:Di= BDA D BDAD -1V6 BDAD BDA D 3×26,故D正确 BM 1 11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-4),B(0,2),动点M满足AM2,记动点M的轨迹 为曲线C,直线1：y=+2(a∈R)与曲线C分别交于P,0两点，点H(2,0）,则下列说法正确的 是() A曲线C的方程为x+(-4)=16 B.P9的最小值为25 C.存在点M,使得 ∠AMH= 2 D当∠HAM取得最大值时，am∠HAM-55+8 11 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直接法求轨迹方程，可判定A正确；根据直线过定点，结合圆的性质，可判B错误；求得以 第11页/共27页 6学科网列组卷网 AH为直径的圆与曲线C是否相交，得到是否存在点M,使 ∠AMH=π 2,可判定C正确；找到AM 与曲线C相切时，分别求得tan∠MAD和tan∠HAD,结合两角和的正切公式，可判定D正确 BM1 【详解】对于A,设M(x,y),由AM2,可得AM=2BM 所以V+0y+4=2?+0-2,整理得r+(0y-4)=16, 所以曲线C的方程为t2+(0y-4)=16 所以A正确： 对于B,直线'：y=+2恒过定点B(0,2),且曲线C的圆心为D0,), 当DB⊥1时，Pg取得最小值P=2F2-BD=24-22=45,所以B错误： 对于C,由点A(0,4)H(2,0) 以4H为直径的圆的方程为F:(x-+0+2=5,可得圆心为FL,-2),半径为5 则DF=V0-02+(-2-42=V37. 因为4-5<DF<4+5.所以圆F与圆C相交， 当点M为两圆的交点时， ∠AMH= 2,所以C正确： 对于D,如图所示，当AM与曲线C相切，且切点在第二象限时，∠HAM取得最大值， 比时MD=4D4=8,则∠MAD=30,所以am∠MID= 3, 第12页/供27页 6学科网 命组卷网 3,1 因为 pmaw了25Gs FI-tan∠MAD tan∠HAD 1-5xI1,所以D正 -X- 32 确. D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知圆G:2+2=5m0 5和圆C:r+少+4-8y+m=2011有3条公切线，则m= 【答案】2026 【解析】 【详解】两圆有3条公切线说明两圆外切，因G:Y+少=5，圆心G(0,0,半径为1=V5, 圆C:x+y+4x-8y+m=2011,化为标准方程(x+2+(0y-4=2031-m, 圆心C（-2,4),半径为5=V2031-m,圆心距为CC=V(-2-0)2+(4-0)2=2√5， 由外切性质可知，CC=+5,即V2031-m+V5=25,解得m=2026 13.在直角坐标系x0中，动圆M与圆0：(c++广=4外切，同时与圆O:2+y2-2x-15=0 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为 【答案】 第13页供27页 学科网 命组卷网 【解析】 【分析】先求两定圆的圆心与半径，根据圆与圆外切、内切的性质推导动圆圆心到两定圆圆心的距离之和 为定值，结合椭圆定义即可求得轨迹方程 【详解】圆0的标准方程为(x+旷+y=4,故圆心0(-1,0)，半径片=2： 圆0化为标准方程：(-+少=4，故圆心0,0,0)，半径5=4，两圆心距离100=2. 设动圆M的半径为R,动圆与O外切，故M0=片+R=2+R. 动圆与0内切，且动圆在O,内部，故M0,=方-R=4-R 两式相加得1M0+M0,=6,且6>00，=2.符合椭圆定义， x2.y2 设桃圆的标准方程为立+方=1a>6>0),则： 长轴长2a=6,得a=3:焦距2c=00,=2,得c=1, 由=a-c心，得=9-1=8 又R>0,若M(-3,0）,代入可得R=0,此时不能构成圆，故合去点 -3,0) 父+兰=1x≠-3列 因此动圆圆心M的轨迹方程为98 M 第14页/供27页 6学科网6组卷网 14.在四棱台 BCD-ABCD中，AM上平面ABCD,四边形MBCD为正方形， B=A4=24码=4.N为按DD中点，点M在制面BB4内.老GM1N,则△A4以百 积的最小值为 515 【答案】5拼5 【解析】 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，根据思意设M,0,2),由CM1BN转化为 CM·BN=0,得到x2的关系式，利用二次函数求最值即可得到4M的最小值，由四棱台的线面位置 关系判断出△D4M是直角三角形，当4M最小时△D4M 的面积最小，最后用面积公式求出即可， 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,4)，B(4,0,0）,N0,32).C(22,4) BN=(-4,3,2) 设M(x0,2）,则CM=(x-2,2,z-4).因为CM1BN, 所以CM·BN=4(x-2)-6+2(2-4)=0 由0≤z≤4,0≤x≤4，得z=2x+3≤4，所以 号时，等号成立，不M取得最小值，因为4山子西B么 第15页/供27页 6学科网命组卷网 155 ×2× 所以DA⊥AM,则△DAM面积的最小值为2 55 ZA 4 D BL 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15已知圆C经过A,2),B(3,4),D(16)=点 (1)求圆C的方程： (2)点P(0,5)为圆C内一点，弦MN恰好被点P平分，求直线MN的方程，并判断△CMN为钝角三角 形，直角三角形还是锐角三角形？ 【答案】1)(x-1)2+(0y-4)2=4 (2)x-y+5=0 直角三角形 【解析】 【分析】(1)根据圆的性质可得圆心在AB的垂直平分线上，又因为圆心在AD的垂直平分线上，所以可 以求出圆心坐标，从而得到半径： (2)根据垂径定理得到CP⊥MN,可求出直线MN的斜率，代入点P得到MN的方程，利用三边关系 进行三角形形状的判断。 【小问1详解】 4-2=1 直线AB的斜率 km=3-1 因此AB的垂直平分线方程为：y-3=((x-2）,即x+y-5=0 第16页/共27页 学科网 组卷网 AD 的垂直平分线方程为'=4 解得圆心C(1,4) 圆的半径”=AC=2 故圆的标准方程为：(x-+(0y-4}2=4 【小问2详解】 由垂径定理可知：CP-LMN,--4 =0-1-,kw=l 所以M 的直线方程为：少-5=x-0nx-y+5=0 ,即 心C到白线x-5=0距实d-儿-45：万 √2 所以MW=2WMC2-|PC2=2V2, Mc+iNc =IMN", ∴.△CMN为直角三角形. 16,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC,AB⊥BC,AP⊥平面 ABCD,O为线段PD上的点， DO=2PO AB=BC=PA=1 AD=2 第17页/供27页 6学科网命组卷网 (1)证明：BP/∥平面ACQ: (2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值. 【答案】(1) 如图，连接BD与AC相交于点M,连接MO, :BC/IAD,AD=2BC,则△AMD~△CMB, MD_AD=2 ∴.MBCB,MD=2MB, DQ=2PO MQIIBP :BP￠平面ACO, M0C平面4c0,÷BP1/ '平面ACQ: 1 (2)3 【解析】 【分折1（利用三角形相似得MD=2MB,结合D0=2PQ,则有M01/B ，利用线面平行的判定 即可证明； (2)以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法 即可得到答案。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 :APL平面MBCD.AB,ADC平面ABCD.AP AB,.M1AD 因为底面AB⊥BC,则AB,AD,AP两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 各点标下：40a0.c0.P0a.Q0号号 第18页/供27页 6学科网命组卷网 12 设平面AC的法向量为m=(x,少，2) AC.m=x+y=0 白=00-(0》0m-子+号=0◆ ,可得 3 x=1y=-1z=1 m=(1,-1,1) 由CP=(山，-1，)，有Cpm=1,C=m=5 则coCP,m= 11 V3x√33. 故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为3. :(2m+1)x-(3+m)y+m-7=0 17.已知直线 (1)m为何值时，点 3,4) 到直线的距离最大？并求出最大值； (2)若直线I分别与x轴，y轴的负半轴交于A,B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值及此 时直线的方程. 22 【答案】(1) m=- 19,距离最大值V74； (2)面积的最小值为12，直线1的方程为3x+2y+12=0 第19页/共27页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】()由题设求得直线'过定点P-2,-3》,则P与定点P的选线的距商就是所求最大值，根据垂 、7 直关系及 阳=5求参数m: 1.y+3=k(x+2)k<0 (2)设直线为 并求出A,B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值， 并写出直线方程 【小问1详解】 :(2m+1)x-(3+m)y+m-7=0 (2x-y+1)m+x-3y-7=0 己知直线 整理得 2x-y+1=0.x=-2 由1x-3y-7=0y=-3,故直线，过定点P(-2,-3): 点Q3,9到直线'的距离最大，即P与定点'的连线的距离就是所求最大值， 所以V3+2+(4+3)=V74为最大值. 4+37 kn03+25, 5 52m+1 22 m=- .(2m+)x-(3+m)y+m-7=0的斜率为7，得7m+3,解得 19: 【小问2详解】 若直线1分别与x轴，y轴的负半轴交于A,B两点， 则收线为7+3=+，<0，则4层-20 B0,2k-3). sm2pk-业-别3-2-=2++2 第20页/共27页 学科网丽组卷网 3 k=- (当且仅当 2时，取=”)， 故△AOB面积的最小值为12，此时直线1的方程为3x+2y+120. 18.如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均为正三角形，二面角B-AC-D的大小为120°， 4C=2点P西=0i.其中e[0 1 = (1)若3，证明：平面PAC⊥平面ACD: (2)求P1-PC的最小值： ,√37 (3)若二面角A-PC-D的正弦值为7，求· 【答案】(1)取AC的中点O,连接BO,DO,PO D 因为△ABC和△ACD均为正三角形，所以DO⊥AC,BO⊥AC, 又D0,B0c平面BOD,且D0nB0=0.所1CL平百BOD, 第21页/供27页 命学科网组卷网 又OPC平面BOD,所以AC⊥PO, 因此∠BOD为二面角B-AC-D的平面角，即∠BOD=120°，∠POD是二面角P-AC-D的平面角， 又AD=CD=AB=BC=AC=2,则BO=D0=V22-P=V3, 则∠OBD=∠ODB=30°，BD=3, 又=写.P历-D9m-2D-2 3,即 3 ,得 31 在APOD 中，由余弦定理得P0=D0+DP-2D0.DPeos∠0DP=3+4-6=L,得P0=1, 所以PD=P0+D0.所以∠POD=90°， 即二面角P-AC-D的平面角为90°，故平面PAC⊥平面ACD. 1 (2)4 1 (3)4 【解析】 【分析】(I)取AC的中点O,连接BO,DO,PO,先根据线面垂直的判定及性质证明∠BOD为二 面角B-AC-D的平面角，∠POD是二面角P-AC-D的平面角，再根据余弦定理及勾股定理得到 ∠P0D=90° ,进而即可证明； (2)结合(1)建立相应的空间直角坐标系，再得到对应点的坐标，从而得到对应向量的坐标，再根据向 量的线性运算得到PA,PC,进而根据二次西数的性质即可求出PA-PC的最小值。 第22页/供27页 6学科网 命组卷网 (3)结合(2)的空间直角坐标系，先分别求出平面APC和平面DPC的一个法向量，进而根据面面角的 向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合(1)可得B01AC,AC=2,B0=D0=V5,∠BOD=120 则以0为坐标原点， O1的方向为轴的正方向，OB的方向为'轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系， D 则Aa0 (o.5.)-c-000Q-5 -0引历=s-32i-叫厦-u5小 所-丽+厨-2i-π-m+剂 sm元-1-j2--a+2-a-j时 故当2时，PAPC取得最小值，且最小值为4. 【小问3详解】 结合(2)的空间直角坐标系， 第23页/供27页 命学科网命组卷网 设平面4PC的法向量为m=(x少，2)， 由(2)知， 则 m,AC=-2x=0 令y=V51,得x=0,z=31-2,即m=(0,V3,32-2 设平面DPC的法向量为i=(卫，9，r）. 0心c9引-9引 iDC-p+5,3 9-2 =0 则 n.DB=33.3 ，令，得 ,即 29 =0 2 9=1p=-5r=5i=(-5l,n3） 43-25 则osm,- m 37 m网V1222-12元+4×√7 = 整理得162-161+3=(4-41-3)=0，解得=4，或2=4（舍去）. 19若椭圆E:+反=Q>6>0的长轴长为4，短轴长为23，F为椭圆E的左焦点 (1)求椭圆B的方程； (2)若，凸为过点F的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆E交于A,C两点，直线与圆 (x-+y=16交于B,D两点，求四边形ABCD面积的取值范围， 第24页/共27页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)43 2)[12,8w3] 【解析】 【分析】1)由己知可符2a=4,2h=25即可求椭圆方程： (2)设出的方程为y=k(x+1(k≠0），利用直线与椭圆求出4C由的方程得到人的方程 的变化即可求的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得2a=4,2b=2N5,则a=2,b=V5 x2.y2 所以椭圆E的方程为43 =1 【小问2详解】 由椭圆E的方程得(l,0) 设的方程为y=k(x+k≠0），A(G,y).C(:,2)】 y=k(x+1) 联立 后号-1世+3r+4-1g-0故+gg-背 4k2-12 02 4C=V1+Px-x=1+Vx+x)2-4x=V1+2 -8k2 -4.42-1212(k2+1) 4k2+3 4k2+34k2+3 第25页/供27页 6学科网列组卷网 2 过5且与1章后的百我4：y=+),则题心到的压高为十。 d= 4k2+3 ®5A0,S=方h6-24-1y4 ,1 0< 1 因为4k2+3>3,所以4k2+33 1<25 则<1+3a秋平2 <85 所以12<12√1+42+3 当4的斜率为0时，A(2,0),C(-2,0),B(-1-25),D(-1,23) 则AC=4,BD=45,S=2ACBD=x4×45=85 当的斜率不存在时， 4-12}c(-山》a60.D-30 则4C=3,BD=8,S=24CBD=2x3×8=12 故四边形ABCD面积的取值范围为[12,8V3]. 第26页/共27页 6学科网组卷网 。 D 第27页/共27页 2026--2027学年高二年级10月能力提升练 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 2. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若，则与的距离为 C. 若在两坐标轴上的截距相等，则 D. 原点到的距离的最大值为 10. 如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，记下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与所成角的余弦值为 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（     ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 当取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：和圆：有条公切线，则______. 13. 在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 14. 在四棱台中，平面，四边形为正方形，，为棱的中点，点在侧面内．若，则面积的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）点为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，． （1）证明：平面ACQ； （2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值． 17. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 18. 如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． （1）若，证明：平面平面； （2）求的最小值； （3）若二面角的正弦值为，求． 19. 若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. （1）求椭圆的方程； （2）若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $