18.1.1 从分数到分式 课件 2026—2027学年人教版数学八年级上册

18.1.1　从分数到分式 学科：数学（人教版·八年级上册） 第十八章　分式（第 1 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 开场：我们已经会用字母表示数、会进行整式的运算。但现实生活中，像‘平均速度’‘单价’这样的问题，得到的式子分母里往往含有字母——这就是本章的主角：分式。 学习目标 1. 理解分式的概念：能说出 “ 中 B 含有字母” 这一本质特征。 2. 能区分整式与分式，知道整式和分式统称有理式。 3. 掌握分式有意义的条件：分母 ≠0。 4. 掌握分式值为 0的条件：分子 =0 且分母 ≠0。 重点：分式概念与有意义/值为0的条件。难点：‘值为0’必须同时满足‘分子为0、分母不为0’两个要求，学生极易漏掉分母≠0。 复习引入：我们熟悉的“分数” 分数的形式：分子/分母（如 、）。 分数有意义的前提：分母 ≠0。 用字母表示数后：整数和分数统称为有理数；整式是 ‘不含除法运算（或除式不含字母）’ 的式子。 思考：如果除式里含有字母，会得到一类怎样的式子？ 从‘分数’过渡最自然——学生已经懂分数分母不能为0，只需把‘数字分母’换成‘含字母的分母’，就引出了分式。 一 情境引入 生活中，分母含字母的式子 ① 长方形面积为 S，长为 a，则宽为 。 ② 船在静水中速度为 v，水流速度 3，则顺水速度 ，逆水速度 。 ③ 甲到乙路程为 s，顺水航行时间为 。 这些式子的共同特点：形如 ，且分母中含有字母。 它们就是——分式。 厦门靠海，用‘船速/水流’情境学生很有代入感。把 S/a、s/(v+3) 展示出来，让学生自己归纳‘分母含字母’这一特征。 分式 定义：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式。 其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 整式和分式统称为有理式。 注意：“B 中含有字母”是分式与整式（如 、）的根本区别。 板书把定义框出来，强调两个条件：① 是 A÷B 的形式；② 分母 B 含字母。π 这类常数不算字母，x/π 仍是整式。 二 探究新知 整式还是分式？——看分母 下列各式中，分式是（填序号）： ① 　② 　③ 　④ ⑤ 　⑥ 0　⑦ x　⑧ 答案：①④⑤。 理由：分母含有字母。②⑥⑦ 是整式；⑧ 中 π 是常数， 仍是整式。 第⑧题是经典陷阱：学生易把 x/π 当分式。强调‘字母’指未知数，π 是已知常数，所以 x/π 是系数为 1/π 的整式。 三 分式有意义 什么时候分式“有意义”？ 分式 有意义的条件：分母 B ≠ 0。 例1　当 x（或 b）取何值时，下列分式有意义？ (1) → 3x≠0 → x≠0 (2) → → x≠1 (3) → → (4) → → x≠y 解‘有意义’题就是解‘分母≠0’这个不等式。第(4)题分母是 x−y，所以 x≠y，不是分别限制 x、y。 四 分式的值为零 分式何时“等于 0”？ 分式 值为 0 的条件：分子 且 分母 B ≠ 0。 例2　当 x 为何值时，分式 的值为 0？ 解：由 得 ； 　　当 时，分母 。 　　所以 。 提醒：必须是“两步”——先让分子为 0，再检验分母不为 0。 ‘值为0’最容易漏掉第二步检验分母。可类比：分数等于0只要分子为0，但分式还要保证此时分母不为0，否则无意义。 五 巩固练习 巩固练习（一）：辨别整式 / 分式 判断（是分式的打 √）： 1. （　√　）　　2. （　　）　—— 4 是数字 3. （　√　）　　4. （　√　）　—— 分母含字母 结论：看分母是否含有字母，与分子无关。 第2题 (a+b)/4 分母是数字4，是整式。强调‘只看分母’。当堂判断并说理由。 巩固练习（二）：分式有意义 求使下列分式有意义的 x 的取值范围： 1. → x≠3（答案） 2. → （答案） 3. → x为任意实数（答案，因 ） 4. → x≠±2（答案） 第3题 x²+1 恒大于0，所以 x 取任意实数都有意义——学生容易漏掉这种‘恒成立’情形。第4题 x²−4≠0 → x≠2 且 x≠−2。 巩固练习（三）：分式的值为 0 求使下列分式的值为 0 的 x： 1. → （且 ）（答案） 2. → （ 但 x≠2）（答案） 3. → （ 但 ）（答案） 要点：分子为 0 的候选值，必须逐个代回检验分母。 第2、3题是‘约分陷阱’：分子因式分解后有 x−2 或 x+1，使分子为0的候选包含使分母为0的值，必须舍去。这是高频易错点。 易错辨析 误区1：认为“分母为 0 时分式的值为 0”。　正：分母为 0 时分式无意义，不是 0。 误区2：求“值为 0”只令分子为 0，忘检验分母。　正：必须两步。 误区3：把 、 误判为分式。　正：分母含字母才是。 三个误区对应三个核心考点。让学生先说‘错在哪’，比直接讲更深刻。 课堂检测 1. 下列是分式的是（　）。（答案：） 2. 使 有意义，x 的取值范围是？（答案：x≠5） 3. 使 的值为 0， ？（答案：4） 4. 判断： 在 时值为 0。（　）（答案：×，此时分母为 0，无意义） 第4题呼应误区2：x=3 使分子为0，但同时也使分母为0，故无意义，不能等于0。当堂批改。 方法归纳：分式“三看” 一看形式：是不是 的除法形式； 二看分母：分母是否含有字母（区分整式与分式）； 三看取值：分母 ≠0 才有意义；分子 =0 且分母≠0 才值为 0。 把判断逻辑程序化为‘三看’，像一线教师总结的口诀，便于记忆与运用。 六 学以致用 厦门生活情境中的分式 厦门到福州动车二等座票价 p 元，小明用 m 元买了 n 张，则单价可表示为 元/张。 鼓浪屿某日游客 N 人，其中乘船登岛 k 人，则乘船比例可表示为 。 问：当 时， 有意义吗？（无意义——总人数不能为 0） 用厦门本地（动车、鼓浪屿）情境，让学生体会分式就在身边，同时巩固‘分母有意义’的判断。 七 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个概念：分式 ，且分母 B 含有字母。 一类判断：整式与分式的分水岭 = 分母是否含字母。 两个条件：有意义 → 分母 ≠0；值为 0 → 分子=0 且分母≠0。 一种思想：类比——由分数推广到分式，由具体到抽象。 请学生复述‘值为0的两个条件’。预告：下节课学‘分式的基本性质’，类比分数的基本性质。 课后作业 1. 基础题：教材习题 18.1 第 1、2 题——辨别整式/分式、求有意义范围； 2. 变式题：求 的值为 0 时的 x，并说明为什么 x≠1； 3. 应用题：厦门地铁 1 号线全长约 30 km，若运行 t 小时，则平均速度表示为 ；t 能取 0 吗？ 4. 思考题：若 有意义，x 的取值范围是？ 基础题面向全体；应用题结合厦门地铁1号线；思考题 x²−4≠0 → x≠±2，为下节课‘约分’埋下伏笔。 $