专题4.4 平面直角坐标系章末42道压轴题型专训（7大题型）2026-2027学年苏科版八年级数学上册
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内容正文：
专题4.4 平面直角坐标系章末42道压轴题型专训（7大题型）
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【经典例题一 已知点所在象限求参数】 1
【经典例题二 已知平移前后坐标，判断平移方式】 1
【经典例题三 图形平移求原坐标】 9
【经典例题四 坐标系中的对称问题】 18
【经典例题五 坐标系中的旋转问题】 27
【经典例题六 两点关于原点对称求参数】 38
【经典例题七 探究坐标系中的规律问题】 44
【经典例题一 已知点所在象限求参数】
1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可．
【详解】解：当，在第一象限时，且，解得；故A不符合题意；
当，在第二象限时，且，解得；故B不符合题意；
当，在第三象限时，且，无解；故C符合题意；
当，在第四象限时，且，解得；故D不符合题意；
故选C．
2．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）若点在轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点的坐标，判断其所在象限
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点在第一象限．
3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，，分别为轴，轴上的点，为等边三角形，点在第一象限内，且满足，则的值为______
【答案】或
【分析】根据点坐标可求出的长，根据为等边三角形，如图所示，过点作于点，可求出的面积，由此可求出的面积，过点作于点，可求出，用含的式子分别表示出梯形，的面积，分两种情况讨论，即可求解的值．
【详解】解：∵，，
∴，，且，
在中，，
∵为等边三角形，
∴，
①与轴的交点在点下方时，
如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，解得，；
②与轴的交点在点B上方时，
∴，
∴，
解得，
综上，的值为或．
4．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）点在平面直角坐标系的轴上，PQ//x轴，且，点坐标为_______．
【答案】或
【分析】轴上点横坐标为0，先求出，得到点坐标；平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此与纵坐标相同；即两点横坐标差值的绝对值为5，分左右两种情况求出Q的横坐标．
【详解】解：点在轴上，轴上点横坐标为0，
，
解得，
把代入纵坐标：，
，
轴，平行于轴的点纵坐标相等，
设，，
∴，
即，
解得或
点坐标为或．
5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点的“绝对距离”为，记为．
(1)已知点，点为轴上的一个动点．
①若，求点的坐标；
②的最小值为______；
③动点满足，所有动点组成的图形面积为36，请直接写出的值．
(2)对于点，点，若有动点使得，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)①或；②1；③3
(2)
【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标；
②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是1可得的最小值为1；
③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为36计算即可；
（2）根据题意可求出在满足的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，在的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，则同时满足的点组成的图形为长方形，其中，进一步可推出只需要满足即可，据此列不等式求解即可．
【详解】（1）解：①设，
∵，，且，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
②∵点为轴上的一个动点，，
∴，
∴，
∴的最小值为1；
③∵，点，且，
∴，
∴
∴点C在以为中心，以为边长的正方形上，如图所示，
∵所有动点组成的图形面积为36，
∴，
∴或（舍去）；
（2）解：∵点，点，有动点，使得，
∴，
∴且，
∴且，
∴在满足的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，
同理可得在的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，
∴同时满足的点组成的图形为长方形，其中，
当点M在长方形内部或其边上时，此时满足，
∴只需要满足即可，
①当时，由题意得：，
解得，
∴
②当时，，符合题意；
③当时，由题意得：，
解得，
∴
综上，若有动点，使得，的取值范围为．
6．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，定义：对于点，若点的坐标为，为常数，则把点叫作点的“阶对应点”．例如，点的“3阶对应点”为．
(1)点的坐标为，
①点的“阶对应点”的坐标为________；
②若点的阶对应点恰好落在轴上，求点的坐标；
(2)已知点，，若对于线段上的任意点，都存在，使点的“阶对应点”恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为，求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据“阶对应点”的定义求解即可；②根据题意可得点的坐标为，在x轴上的点的纵坐标为0，则，解方程即可得到答案；
（2）设点Q的坐标为，则点的坐标为，根据点A和点B的坐标可得点的横坐标为，据此可求出k的值，而的纵坐标要满足，据此求出t的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：①，
∴点的“阶对应点”的坐标为；
②由题意得，点的阶对应点的坐标为，
∵点恰好落在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：设点Q的坐标为，则点的坐标为，
∵点恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标满足不小于，且不大于4，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【经典例题二 已知平移前后坐标，判断平移方式】
7．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标．
【详解】解：线段平移得到线段，且点的对应点是，
由坐标可知，线段向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到线段，
点的对应点D的坐标是．
8．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点B的对应点D的坐标确定平移规律，再利用平移规律即可确定点C的坐标．
【详解】解：∵将线段平移后得到了线段，点，
∴线段向右平移7个单位，再向下平移2个单位得到线段，点A的对应点为点C，
∵，
∴点C的横坐标为，纵坐标为，
∴点C的坐标为．
9．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形有边与x轴垂直，有一个顶点坐标为，将此正方形记为图形M．将图形M上任意一点变成，得到图形，其中，．
（1）图形的面积是_______；
（2）已知图形的边上恰有两个点的坐标满足，a的取值范围是_______．
【答案】
或
【分析】（1）根据平移前后图形的形状，大小都不变，得到图形的面积即为图形M的面积，即可得出结果；
（2）根据，得到，进而得到在第一象限角平分线或者第二象限的角平分线上，进而得到平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有2个交点，求出临界情况，即可得出结果.
【详解】解：（1）∵将图形M上任意一点变成，得到图形，
∴图形是由图形平移得到的，
∴图形是边长为4的正方形，
∴图形的面积是；
（2）∵，
∴，
∴当时，，此时在第一象限角平分线上，
当时，，此时在第二象限角平分线上，
∵图形的边上恰有两个点的坐标满足，
∴平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有2个交点，
如图，
当时，图形斜向上平移，当平移到点时，此时，平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有3个交点，
∴当时，满足题意；
当时，图形斜向下平移，当点平移到时，此时，平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有1个交点，
故当时，满足题意；
综上：a的取值范围是：或.
10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【分析】根据点A和点C的坐标可判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标．
【详解】解：∵将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点，，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴点的坐标为，即．
11．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，连接，．
(1)点的坐标为________；
(2)如图2，若点从点出发沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，点同时从点出发沿射线运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒．
①当轴时，求的值；
②连接，，，若的面积等于的面积的一半，求点的坐标；
③连接，，用等式表示，与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①；②；
③解：或，证明如下：
∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，，
∴点A向下平移个单位长度得到点D，点B向下平移个单位长度得到点C，
∴线段向下平移4个单位长度得到，
∴；
如图所示，当点F在上时，过点F作，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点F在的延长线上时，过点F作，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【分析】（1）根据点A和点B的坐标判断出平移方式，根据平移方式即可得到点C的坐标；
（2）①根据题意用含t的式子表示出点E和点F的坐标，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同建立方程求解即可；②由平移的性质可得，则点E到的距离，等于点C到的距离；设点E到的距离为h；根据题意可得，可推出，据此建立方程求解即可；③分两种情况：点F在上和点F在的延长线上，分别画出示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∵，
∴点C的坐标为，即；
（2）①解：∵点从点出发沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，点同时从点出发沿射线运动，速度为每秒个单位长度，
∴，
∴，，
∵轴，
∴点E和点F的纵坐标相同，
∴，
解得；
②解：如图所示，
由平移的性质可得，
∴点E到的距离，等于点C到的距离；
∵点，的坐标分别为，，
∴，
设点E到的距离为h，
∴，
∵的面积等于的面积的一半，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
由（2）①得，
∴
③略
12．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，其中，将三角形平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，其中点D的坐标为．
(1)当，，时，判断三角形如何平移得到三角形，并在图中画出三角形；
(2)若点E的坐标为，
①求m，a的数量关系；
②记三角形的面积为，三角形的面积为，探究和的关系．
【答案】(1)三角形先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形，所作图形如图所示：
(2)①；②
【分析】（1）由题意易得，，，，然后可得平移方式，进而作图即可；
（2）①由题意易得平移方式为先向右平移a个单位长度，再向上平移3个单位长度，则有，然后问题可求解；
②由①可知，，，，，，如图，与的交点，然后可得轴，轴，轴，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）解：当，，时，则有，，，，
因为平移过程中，三角形上所有的点都做相同的平移，
所以对应点的坐标变化规律与图形的平移规律相同，
因为点的对应点为点，
所以三角形先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形，
又因为，，
所以，
如图所示略，三角形即为所求．
（2）解：①因为平移过程中，三角形上所有的点都做相同的平移，
所以对应点的坐标变化规律相同，
所以点平移得到点，
所以先向右平移a个单位长度，再向上平移3个单位长度，
又因为的对应点，
因为点E的坐标为，
所以，
解得，
②由①可知：
因为，，，，，，
如图，与的交点，
因为D，F纵坐标相同，C，G纵坐标相同，E，D横坐标相同，
所以轴，轴，轴，
所以，
所以，
又因为，，，，
所以，
所以，
所以．
【经典例题三 图形平移求原坐标】
13．（25-26八年级上·广西防城港·期末）随着打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图是利用打印技术打印好的字样的艺术字，点的坐标为，点的坐标为，若将5G艺术字模型沿着方向平移，使点落到点处，则平移后点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】平移后点落到点处，可以确定平移路径，向下平移个单位长度，向右平移个单位长度，再根据平移路径确定的坐标．
【详解】解：点的坐标为，平移到点处，点的坐标为，向下平移个单位长度，向右平移个单位长度，
点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度，点的对应点为，的横坐标为，纵坐标为，∴的坐标为．
14．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知三角形顶点坐标分别是，，，将三角形平移后顶点A的对应点的坐标是，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点A和平移后对应点的坐标找出三角形的平移规律，再据此计算点B的对应点的坐标即可.
【详解】解：∵点平移后的对应点为，
计算得横坐标平移量：，纵坐标平移量：，
∴向右平移了个单位长度，向上平移了个单位长度，
∵点B的坐标为，
∴点B的对应点的坐标为，即.
15．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，点，点，若将线段平移至，使点，同时落在坐标轴上，则点的坐标为__________．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论：①若点落在轴上，点落在轴上；②若点落在轴上，点落在轴上，根据平移的性质列出方程，即可求解．
【详解】解：①若点落在轴上，点落在轴上，
设，，
根据平移的性质得，
解得，
∴点的坐标为；
②若点落在轴上，点落在轴上，
设，，
根据平移的性质得，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段，，平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点平移后的对应点均为点，则线段平移后，点的坐标变为__________．
【答案】
【分析】先根据点B与点C平移后的对应点均为点O，得到线段，的平移规律，得出点A、D平移后的坐标，即为点F、E平移后坐标．
【详解】解：设平移后的线段为，如图所示：
∵点B与点C平移后的对应点均为点O，
∴线段沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为，
线段沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为，
∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，且，，
∴点E需平移到，点F需平移到．
17．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，是轴上一动点．
(1)点的坐标是_______，点的坐标是_______；与的位置关系是_______．
(2)当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
(3)若，，，判断，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)；；平行
(2)P点坐标为或
(3)当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段反向延长线上时，；
证明：当点在线段上时，；
如图，过点作，
则；
，，
，
；
，
；
当点在线段延长线上时，；
如图，过点作，
则；
，，
，
；
，
；
当点在线段反向延长线上时，；
如图，过点作，
则；
，，
，
；
，
．
【分析】（1）由点，可得，，，即可得出点的坐标，由平移的性质可以得出点的坐标和与的位置关系；
（2）由可得，是等高三角形，由的面积是的面积的3倍，得到，设，列方程求解即可；
（3）分三种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时；当点在的延长线上时，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由平移的性质可得：，，
∴，
∵点可以看成点向右平移4个单位长度得到的，点可以看成点向右平移4个单位长度得到的，
∴可以看成向右平移4个单位长度，
∴．
（2）解：设，
若与以轴上的边为底，则这两个三角形等高，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，
，即或，
解得或，
∴点坐标为或．
（3）略
18．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知：，，将线段向左平移个单位长度至对应线段，其中点的对应点是点．
(1)如图1，当时，线段与轴交于点，连接，．
①直接写出点，的坐标；
②求三角形的面积．
(2)如图2，当直线经过点时，求的值；
(3)如图3，当时，连接，，动点在四边形内，连接，，，，记三角形的面积为，三角形的面积为．是否存在的值，使，且常数的值与无关，若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①，；②；
(2)
(3)存在；，
【分析】（1）①根据平移写出点C、D的坐标即可；
②连接，，过作于点，求出，根据，得出；
（2）连接交轴于点，连接交轴于点，作于点T，根据题意得：，，，，根据，列出关于m的方程，解方程即可；
（3）过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．求出，，根据，得出，根据的值与无关，求出，即可．
【详解】（1）解：①∵，，将线段向左平移个单位长度至对应线段，且，点的对应点是点，
∴点C的坐标为，点D的坐标为；
②连接，，过作于点，
依题意得：，，
，
∵线段平移得线段，
，
；
（2）解：连接交轴于点，连接交轴于点，作于点T，如图所示：
∵线段沿轴负半轴方向平移个单位长度至线段，，，
，，
依题意得：，，，，
，
，
解得：．
（3）解：过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．
∵线段沿轴负半轴方向平移个单位长度至线段，，，且，
∴此时，，
∵，
，
即，
，
即，
，
∴，
整理得：，
的值与无关，
∴，
解得：，
∴当时，，
解得：，
综上，，．
【经典例题四 坐标系中的对称问题】
19．（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称．根据平面镜成像原理，点S与其像关于y轴对称，根据对称的性质可列方程求出x，y的数值，代入计算即可求解．
【详解】
解：∵点S与关于y轴对称，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、坐标与图形等知识点，正确作图是解题的关键．
由点，的坐标可得直线为，再根据题意画出图形，设，然后根据轴对称的性质解答即可．
【详解】解：∵点，的坐标分别为，，
∴直线为
如图：与关于所在直线对称，
设
∴点O和点C关于直线对称，
∴，解得：，
即．
故选C．
21．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，，，将四边形沿直线翻折后得到四边形，接着将四边形沿直线翻折后得到四边形，第三次将四边形沿直线翻折后得到四边形，第四次将四边形沿直线翻折后得到四边形
依此方式
（1）点的坐标是___________，
（2）翻折2026次得到四边形，则点的坐标是___________
【答案】 /
【分析】（1）根据轴对称的性质求出点和点的坐标，利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标；
（2）通过计算前几次变换后点的坐标，发现坐标变化的循环规律，根据规律求出的坐标；
【详解】（1）四边形关于轴对称，，
，，
过点作轴，
在中，，，
，
，
点的坐标为，
在中，，，
，
，
点的坐标为；
点与点关于直线对称，
点的坐标为；
（2）由题意可知： 第一次翻折，点关于直线对称得到，
第二次翻折，点关于直线对称得到，
第三次翻折，点关于直线对称得到，
第四次翻折，点关于直线对称得到，
点的坐标每4次翻折为一个循环周期，
，
点的坐标与点的坐标相同，
点的坐标为．
22．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴，y轴上．点A的坐标为，点C的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】或
【分析】根据轴对称性质可得：，由为直角三角形，可分类讨论：或或，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得答案．
【详解】解：设，
∵点O关于直线的对称点为B，
∴，
∴，，，，
∴，
当为直角三角形时，或或．
①若，如图1，
∵，
∴A、B、C三点共线，
∵，
∴，
∵，即，
解得：，
∴；
②若，如图2，
∵，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∴；
③若，则，与矛盾，故不存在．
综上所述：点P的坐标为或．
23．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于x轴．给出如下定义：点先关于x轴对称得点，再将关于直线l对称得到点，则称点是P关于x轴和直线l的双反射点．
(1)已知点，
①若点，则P关于x轴和直线l的双反射点的坐标是________；
②若点，其中，点Q关于x轴和直线l的双反射点，求线段的长度．
(2)若点，，是否存在点，使得点A关于x轴和直线l的双反射点，满足，．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)，
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案；
（3）先根据新定义确定在轴上，结合等腰直角三角形，构造“一线三垂直”模型，证明两个直角三角形全等，把相等线段转化为含，的等式，利用绝对值进行分类讨论求解，最后结合图形取舍符号，得到点坐标．
【详解】（1）解：①∵，
∴点关于x轴对称点的坐标为，
∵关于直线对称的点，
∴关于轴和直线的二次反射点的坐标；
②∵点的坐标是，其中，
∴点关于x轴对称点的坐标为，
∴关于直线对称的点，
∴；
（2）由题意，与关于轴对称，
∴，
直线，设点关于直线的对称点为，
∵对称轴平行于轴，
∴对称点横坐标不变，即，且，
解得 ，因此可得的坐标为
，，
是等腰直角三角形，，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
在和中：
，，
由得：，，
∵，，，
，，，
，
；
① 当时，解得，
此时，即，
由，得，
；
② 当时，解得，
此时，即，
由，结合图形位置，
，得，
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、新定义 “双反射点”、等腰直角三角形以及一线三垂直全等模型，解题关键是准确理解双反射点的变换规则，依托等腰直角三角形构造全等，将几何条件转化为线段等量关系进行求解．
24．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）平面直角坐标系，A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形．
(1)求 B 纵坐标；
(2)如图2，于C，C关于x轴的对称点为D，交于 E，求的长；
(3)若点P为x轴上的一个动点，连接，以为边做等边，当最短时，求Q纵坐标
【答案】(1)4
(2)2
(3)
【分析】（1）过点B作于点H，根据等边三角形的性质，可得 ，即可求解；
（2）过点C作轴于点N，连接，交于点M，根据等边三角形和直角三角形的性质，可得，，即可求解；
（3）连接，过点Q作轴于点K，根据，为等边三角形，可得到，从而得到，当轴时，最短，此时最短，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点H，
∵点A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形．
∴， ，
∴点B的纵坐标为4；
（2）解：如图，过点C作轴于点N，连接，交于点M，
∵为等边三角形，于C，
∴ ，，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴点C的纵坐标为6，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴点D的纵坐标为；
∴轴，，
∴轴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点Q作轴于点K，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴当最短时，最短，
当轴时，最短，此时最短，
∵点B的纵坐标为4，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴，
∴ ，
即当最短时， Q点的纵坐标为．
【经典例题五 坐标系中的旋转问题】
25．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键．
连接，分别作的垂直平分线，交点即为点，由对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心即可求解．
【详解】解：如图，连接，分别作的垂直平分线，交点即为点，
由图象可知，点的坐标为．
故选：B．
26．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用旋转的性质，先证为等边三角形，再用含角的直角三角形性质求的长度，最后通过作辅助线构造含角的直角三角形，直接用边长关系求点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，．
∴是等边三角形，
∴．
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
∵，，
∴．
∴，
由勾股定理得：．
∴点的坐标为．
27．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，点A的坐标为，点B的坐标为______．
【答案】
【分析】过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等及点的坐标求出点到坐标轴的距离，结合象限确定坐标符号．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
点的坐标为，
，，
，
，
轴，轴，
，
，
，
在和中，
，
，，
点在第二象限，
点的坐标为．
28．（2026八年级上 江苏南通·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，已知绕一点旋转得到（点A落在点D处，点B落在点E处，点C落在点F处），则这个旋转中心的坐标为________．
【答案】
【分析】连接对应点，，，则它们的交点即为旋转中心，根据图形得出点M的坐标即可．
【详解】解：将旋转前后的对应点进行连线，如图所示：
交点即为旋转中心．
29．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点．
(1)请画出绕点O旋转得到的；
(2)请画出关于点对称的图形．
【答案】(1)如答图①，即为所求．
(2)如答图②，即为所求．
【分析】（1）根据旋转的性质，分别作出，，的对应点，，，再顺次连接、、即可．
（2）根据旋转的性质，分别作出，，的对应点，，，再顺次连接、、即可．
【详解】（1）略
（2）略
30．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于轴对称的；
(2)点坐标为____________；
(3)计算的面积；
(4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标．
【答案】(1)
解：如图所示．
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】本题考查了轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，旋转变换，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，做出点，再连线，即可求解；
（2）根据图形，即可求解；
（3）利用割补法求三角形的面积即可；
（4）分别将线段绕点A顺时针旋转、逆时针旋转，将线段绕点B顺时针旋转、逆时针旋转，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，点坐标为．
（3）解：由图可知，．
（4）解：如图，将线段绕点A逆时针旋转，得到，
根据旋转可知，此时是以为直角边的等腰直角三角形，
由图可知点坐标为；
同理，将线段绕点A顺时针旋转，得到，点坐标为；
将线段绕点B顺时针旋转，得到，点坐标为；
将线段绕点B逆时针旋转，得到，点坐标为；
综上可知，点P坐标为或或或．
【经典例题六 两点关于原点对称求参数】
31．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）已知点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．7 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标特点、代数式求值等知识点，掌握关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题的关键．
先根据关于原点对称的点坐标的特点确定a、b的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵点关于原点对称，
∴，
∴．
故选：A．
32．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于，
∵点的纵坐标为，已经满足要求，
∴只需满足横坐标小于，即 ，
解得．
33．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，根据点在第三象限，结合原点对称的坐标特征确定点所在象限，进而列出不等式组求解的取值范围．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限，
∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限，
∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组：
，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴的取值范围是．
34．（25-26八年级上·云南文山·期末）若点与点关于原点对称，则的值是________．
【答案】1
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关键是熟练应用规律解决问题；
根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数．据此列出方程求解和的值，再计算它们的和．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴点的横坐标是点横坐标的相反数，即，
点的纵坐标是点纵坐标的相反数，即．
由，得；
由，得，
∴．
故答案为：1．
35．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）平面直角坐标系内的一点与另一点关于原点对称，试求的值．
【答案】的值为12或0
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律，根据条件可得，，求出的值，代入后可得．
【详解】解：点与点关于原点对称，
解得
当时，；
当时，．
综上所述，的值为12或0．
36．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点．
(1)若点A和点B关于x轴对称，求的值；
(2)若点A和点B关于原点对称，求的值．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【详解】（1）解：∵点A和点B关于x轴对称，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵点A和点B关于原点对称，
∴，
解得，
∴．
【经典例题七 探究坐标系中的规律问题】
37．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正的顶点的坐标分别为，，点在第一象限．规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正的顶点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出点的初始坐标，根据变换规则写出前几次变换后的坐标，归纳出横、纵坐标的变化规律，代入 求解即可．
【详解】解：，，
，中点横坐标为，
为正三角形，点在第一象限，
∴点横坐标为，纵坐标为，
即，
∴再向右平移个单位长度，
∴第次变换后，点坐标为，即，
同理，第次变换后，点坐标为，即，
第次变换后，点坐标为，即，
，
∴第次变换后，点的横坐标为 ；当为偶数时，纵坐标为，当为奇数时，纵坐标为，
为偶数，
∴横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为．
38．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察点的坐标变化，发现纵坐标每5次循环一次，横坐标每5次增加3，根据是的倍数确定点的纵坐标，结合选项即可求解．
【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3，
∵，
与的纵坐标相同，即为，横坐标为，
∴点的坐标是．
39．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到，…，每次得到的该点回到第一象限后，总会往右平移一个单位长度得到新点，然后再进行重复运动．已知，则点的坐标是________．
【答案】
【分析】先计算前几个点的坐标，总结操作的周期规律，再通过计算余数确定在周期中的位置，进而得到坐标．
【详解】解：初始点，根据轴对称和平移的坐标变化规则，依次计算得：
，，，，，...
∴可得规律：每次操作构成一个循环，每个循环结束后横坐标增加，对 ．（）：
当时，坐标为，
当时，坐标为，
当时，坐标为，
当时，坐标为，
∵，即，，
∴横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为．
40．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________．
【答案】
【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其横坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；纵坐标在和之间循环，由的奇偶性决定，确定对应的值即可求解．
【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点，
第个等腰直角三角形的斜边长为，
该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为；
观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正，
，
点是第个等腰直角三角形的直角顶点；
是奇数，
点的横坐标为；
点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为；
第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为；
第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为；
第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为；
……
由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为；
是奇数，
点的纵坐标为；
综上所述，点的坐标为．
41．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段测试）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定义和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以．
(1)点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标；
(2)若点满足以下条件：
a）点M在第一象限；
b）点M与点的直角距离小分量；
c），O为坐标原点．
请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．
【答案】(1)或
(2)，
【分析】（1）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；
（2）根据题意得出，解出的取值范围，再由可推导出，解出的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取的值即可．
【详解】（1）解：已知，点D在坐标轴上，分两种情况讨论：
情况1：若D在x轴上，设，
则，，
∵，
∴，不符合的要求，故D不在x轴上；
情况2：若D在y轴上，设，
则，，
∵，，
∴较小值为，
，
解得：或，
∴或；
（2）解：∵点在第一象限，
∴，
解得：，
∵点，
∴，
当时，，与矛盾；
当时，，即，解得：，
∴；
当时，，即，
解得：，
∴m的取值范围是：或；
∵，O为坐标原点，点M在第一象限，点在x轴正半轴上，
点M的纵坐标大于横坐标，即，解得，
∴综上，的取值范围是：，
∵横纵坐标都为整数，
和5，
或．
42．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动．
第一次：原点；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：；
归纳上述规律，完成下列问题．
(1)写出点的坐标为_________；
(2)第2024次运动后，点的坐标为_________；
(3)若点的横坐标为，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键．
（1）根据动点的运动方式，即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据题意求出n的值，求出点的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：由题知，
因为，，，，，
所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(n为正整数）．
令，
解得，
所以．
即点的坐标为．
（2）根据（1）的发现可知，每4次一循环，
，
所以点的坐标为．
（3）解：观察图象，由动点的运动规律可知，的横坐标为的相反数，纵坐标每4次运动组成一个循环：．
根据题意，得，解得．
点的坐标为．
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专题4.4 平面直角坐标系章末42道压轴题型专训（7大题型）
目录
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【经典例题一 已知点所在象限求参数】 1
【经典例题二 已知平移前后坐标，判断平移方式】 1
【经典例题三 图形平移求原坐标】 3
【经典例题四 坐标系中的对称问题】 6
【经典例题五 坐标系中的旋转问题】 9
【经典例题六 两点关于原点对称求参数】 12
【经典例题七 探究坐标系中的规律问题】 14
【经典例题一 已知点所在象限求参数】
1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）若点在轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，，分别为轴，轴上的点，为等边三角形，点在第一象限内，且满足，则的值为______
4．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）点在平面直角坐标系的轴上，PQ//x轴，且，点坐标为_______．
5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点的“绝对距离”为，记为．
(1)已知点，点为轴上的一个动点．
①若，求点的坐标；
②的最小值为______；
③动点满足，所有动点组成的图形面积为36，请直接写出的值．
(2)对于点，点，若有动点使得，请直接写出的取值范围．
6．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，定义：对于点，若点的坐标为，为常数，则把点叫作点的“阶对应点”．例如，点的“3阶对应点”为．
(1)点的坐标为，
①点的“阶对应点”的坐标为________；
②若点的阶对应点恰好落在轴上，求点的坐标；
(2)已知点，，若对于线段上的任意点，都存在，使点的“阶对应点”恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为，求的取值范围．
【经典例题二 已知平移前后坐标，判断平移方式】
7．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形有边与x轴垂直，有一个顶点坐标为，将此正方形记为图形M．将图形M上任意一点变成，得到图形，其中，．
（1）图形的面积是_______；
（2）已知图形的边上恰有两个点的坐标满足，a的取值范围是_______．
10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________．
11．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，连接，．
(1)点的坐标为________；
(2)如图2，若点从点出发沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，点同时从点出发沿射线运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒．
①当轴时，求的值；
②连接，，，若的面积等于的面积的一半，求点的坐标；
③连接，，用等式表示，与的数量关系，并证明．
12．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，其中，将三角形平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，其中点D的坐标为．
(1)当，，时，判断三角形如何平移得到三角形，并在图中画出三角形；
(2)若点E的坐标为，
①求m，a的数量关系；
②记三角形的面积为，三角形的面积为，探究和的关系．
【经典例题三 图形平移求原坐标】
13．（25-26八年级上·广西防城港·期末）随着打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图是利用打印技术打印好的字样的艺术字，点的坐标为，点的坐标为，若将5G艺术字模型沿着方向平移，使点落到点处，则平移后点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知三角形顶点坐标分别是，，，将三角形平移后顶点A的对应点的坐标是，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，点，点，若将线段平移至，使点，同时落在坐标轴上，则点的坐标为__________．
16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段，，平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点平移后的对应点均为点，则线段平移后，点的坐标变为__________．
17．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，是轴上一动点．
(1)点的坐标是_______，点的坐标是_______；与的位置关系是_______．
(2)当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
(3)若，，，判断，，之间的数量关系，并证明．
18．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知：，，将线段向左平移个单位长度至对应线段，其中点的对应点是点．
(1)如图1，当时，线段与轴交于点，连接，．
①直接写出点，的坐标；
②求三角形的面积．
(2)如图2，当直线经过点时，求的值；
(3)如图3，当时，连接，，动点在四边形内，连接，，，，记三角形的面积为，三角形的面积为．是否存在的值，使，且常数的值与无关，若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．
【经典例题四 坐标系中的对称问题】
19．（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（ ）
A． B． C．0 D．1
20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，，，将四边形沿直线翻折后得到四边形，接着将四边形沿直线翻折后得到四边形，第三次将四边形沿直线翻折后得到四边形，第四次将四边形沿直线翻折后得到四边形
依此方式
（1）点的坐标是___________，
（2）翻折2026次得到四边形，则点的坐标是___________
22．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴，y轴上．点A的坐标为，点C的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，点P的坐标为________．
23．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于x轴．给出如下定义：点先关于x轴对称得点，再将关于直线l对称得到点，则称点是P关于x轴和直线l的双反射点．
(1)已知点，
①若点，则P关于x轴和直线l的双反射点的坐标是________；
②若点，其中，点Q关于x轴和直线l的双反射点，求线段的长度．
(2)若点，，是否存在点，使得点A关于x轴和直线l的双反射点，满足，．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）平面直角坐标系，A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形．
(1)求 B 纵坐标；
(2)如图2，于C，C关于x轴的对称点为D，交于 E，求的长；
(3)若点P为x轴上的一个动点，连接，以为边做等边，当最短时，求Q纵坐标
【经典例题五 坐标系中的旋转问题】
25．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
27．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，点A的坐标为，点B的坐标为______．
28．（2026八年级上 江苏南通·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，已知绕一点旋转得到（点A落在点D处，点B落在点E处，点C落在点F处），则这个旋转中心的坐标为________．
29．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点．
(1)请画出绕点O旋转得到的；
(2)请画出关于点对称的图形．
30．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于轴对称的；
(2)点坐标为____________；
(3)计算的面积；
(4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标．
【经典例题六 两点关于原点对称求参数】
31．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）已知点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．7 C． D．1
32．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________．
34．（25-26八年级上·云南文山·期末）若点与点关于原点对称，则的值是________．
35．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）平面直角坐标系内的一点与另一点关于原点对称，试求的值．
36．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点．
(1)若点A和点B关于x轴对称，求的值；
(2)若点A和点B关于原点对称，求的值．
【经典例题七 探究坐标系中的规律问题】
37．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正的顶点的坐标分别为，，点在第一象限．规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正的顶点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
38．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
39．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到，…，每次得到的该点回到第一象限后，总会往右平移一个单位长度得到新点，然后再进行重复运动．已知，则点的坐标是________．
40．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________．
41．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段测试）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定义和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以．
(1)点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标；
(2)若点满足以下条件：
a）点M在第一象限；
b）点M与点的直角距离小分量；
c），O为坐标原点．
请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．
42．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动．
第一次：原点；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：；
归纳上述规律，完成下列问题．
(1)写出点的坐标为_________；
(2)第2024次运动后，点的坐标为_________；
(3)若点的横坐标为，求点的坐标．
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