专题3.4勾股定理章末易错必刷题型专训（42题7个考点）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 聚焦勾股定理7大核心考点，以易错题型为载体，构建“应用-证明-概念-逆用-直观-实践”的知识逻辑链，覆盖选择、填空、解答等多元题型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理解三角形|6题（含四边形综合）|计算与推理结合|定理直接应用，连接三角形与四边形| |勾股定理的证明|6题（赵爽弦图等）|证明与探究|从面积法理解定理本质| |勾股数|6题（规律探究）|概念辨析与规律|勾股数生成与性质拓展| |判断三边构成直角三角形|6题（含代数条件）|判断与计算|逆定理基础应用| |逆定理求解|6题（四边形面积等）|综合应用|逆定理解决复杂图形问题| |网格中的运用|6题（作图与计算）|几何直观与计算|数形结合，培养空间观念| |实际应用|6题（梯子、无人机等）|模型构建|联系生活，发展应用意识|

专题3.4勾股定理章末易错必刷题型专训（42题7个考点） 【易错必刷一 勾股定理解三角形】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两条直角边，根据勾股定理算出斜边长度；再根据直角三角形斜边中线性质，得到中线长等于斜边的一半． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和． 由勾股定理得斜边：， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上中线长． 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·课后练习）如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：点是的中点，， 垂直平分， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 3．（2023八年级上江苏无锡）如图在中，，于D，若，，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 4．（2026八年级上·江苏苏州·课后练习）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 【答案】 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点F是的中点，．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由勾股定理求出，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点F是的中点，， ∵，， ∴， ∴在中，． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得 ∴． 5．（2026八年级上·江苏徐州·课后练习）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再由即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 【易错必刷二 勾股定理的证明方法】 7．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的图形验证，利用正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式用两种不同方式表示图形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：第一幅图中大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为， 中间小正方形边长为，中间小正方形则的面积为， 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积与中间小正方形则的面积之和， 即：， ∴第一幅图能利用面积验证勾股定理； 第二幅图中四边形的面积为：直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积， 即：， 四边形的面积还可以表为：等腰直角三角形的面积加上一个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第二幅图能利用面积验证勾股定理； 第三幅图中大正方形的面积为： 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， 即：， ∴， ∴第三幅图能利用面积验证勾股定理； 第四幅图中五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， 五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第四幅图能利用面积验证勾股定理； 综上，四幅图均可以利用面积验证勾股定理． 故选：D． 8．（23-24八年级上·北京海淀·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 10．（23-24八年级上·吉林长春·单元测试）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【答案】 证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 【详解】略 【易错必刷三 勾股数】 13．（25-26八年级上·四川绵阳·单元测试）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 14．（24-25八年级上·江苏南通·单元测试）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是______． 【答案】37 【分析】此题主要考查了勾股数以及数字变化规律，正确得出的值是解题关键．直接根据题意分别得出由12生成的勾股数的“弦数”，进而得出答案． 【详解】解：把由12生成的勾股数的“弦数”记为， ，，， 故． 故答案为：37． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：________． 【答案】11，60，61 【分析】先找出每组勾股数与其数组的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 【详解】 解：∵①3＝2×1+1，，； ②5＝2×2+1，，； ③7＝2×3+1，，； ④9＝2×4+1，，； ⑤11＝2×5+1，，， 故答案为：11，60，61． 【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键． 17．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】(1)①6；②12；③17 (2) 证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）略 18．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： 2 3 3 4 … 1 1 2 3 … … 4 6 12 24 … … 其中为正整数，且． （1）观察表格，当时，此时对应的的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由． （2）探究与之间的关系并用含的代数式表示：_____，_____，_____． （3）以为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【答案】 （1）能为直角三角形三边的长，理由如下： 当m=2，n=1时，，，， ∵， ∴ ∴能为直角三角形三边的长； （2），，； （3）以a，b，c为边长的三角形一定是直角三角形，理由： ∵ = = =， ， ∴， ∴以a，b，c为边长的三角形一定是直角三角形． 【分析】（1）当m=2，n=1时，算出a，b，c的值，因为，所以，即可得； （2）观察图表即可知； （3）因为，，所以，即可得． 【详解】解：（1）略 （2）观察图表可知，，，， 故答案为：，，； （3）略 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 【易错必刷四 判断三边能否构成直角三角形】 19．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理解题，先确定每个选项中最大的边长，再验证两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方，相等即可构成直角三角形． 【详解】解：A选项，最大边为， ，，， 不能构成直角三角形； B选项，最大边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； C选项，最大边为， ，，， 不能构成直角三角形； D选项，最大边为， ，，， 不能构成直角三角形． 20．（25-26八年级上·甘肃·单元测试）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 21．（2026八年级上·江苏扬州·课后练习）如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， ． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的三边a，b，c满足，则的面积为________． 【答案】54 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 的面积为． 故答案为：54． 23．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1)证明：是上的高， ． 在中，， 在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及角平分线的性质． （1）根据勾股定理可知，即可求出的值，当时，根据勾股定理逆定理即可求证是直角三角形； （2）利用角平分线的性质可知，根据三角形面积得出，即可求出的值． 【详解】（1）略； （2）如图，过点作于点． 平分，由（1）得， ， ， ， ， ． 24．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是___________． 【答案】(1) 证明：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，． (2) 【分析】（1）由勾股定理求出，，得，，； （2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，证明，得，得，设，则，由勾股定理得，解得． 【详解】（1）略 （2）解：过点E作于点F， 则， ∵， ∴， ∵的平分线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 【易错必刷五 用勾股定理逆定理求解】 25．（23-24八年级上·河南许昌·期中）在中，，，的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．是锐角 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ， ， 是直角三角形， 为直角， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 27．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题关键．根据勾股定理，先计算的长，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形， 最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：观察图形可知，，，， ， ，， ， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 28．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为________． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解； 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为： 29．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）略 30．（23-24八年级上·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 【易错必刷六 勾股定理在网格中的运用】 31．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故选 C． 32．（24-25八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 33．（25-26八年级上·江苏泰州·单元测试）如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接，构造等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得，，由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 34．（24-25八年级上·山东滨州·课后练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）的长等于_____； （2）只用无刻度的直尺作出的边上的高．（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）如图，即为所求； 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，无刻度尺网格作图： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）延长至点，取格点，连接，与的交点即为点． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）由图可得：， ∴， ∴，即：， ∴． 35．（25-26八年级上·江苏连云港·单元测试）如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，点、均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，使点在格点上． (2)在图2中作出等腰直角三角形，使点在格点上． (3)在图3中作出一个面积为5的正方形，使点、在格点上． 【答案】(1) 如图1，即为所求（答案不唯一） (2) 如图2，即为所求； (3) 如图3，正方形即为所求； 【分析】本题考查了使用无刻度的直尺作图，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）由可得，故，故即为所求； （2）根据勾股定理可得，，则，，故为等腰直角三角形； （3）由勾股定理可得，若连接，则，那么，则，此时正方形的面积等于． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 36．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，依次连接点A，B，C，得到．用两种不同的方法证明． 【答案】 证明：方法一：如图，取格点、， 由网格特点可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 方法二：由勾股定理可得：，，, ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定与性质，方法一：取格点、，由网格特点可得，，，再证明，得出，求出，即可得证；方法二：由勾股定理逆定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 【易错必刷七 勾股定理的实际应用】 37．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理分别求出梯子的长度和梯子底端到右墙角的距离，进而得出结果； 【详解】解：根据勾股定理： 梯子的长度为： 梯子底端到右墙角的距离为： ∴小巷的宽度为： 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是解题的关键． 38．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 设水深为x尺，则芦苇长为尺，将芦苇顶端拉向岸边时，形成直角三角形，其中直角边为水深x尺和池中心到岸边的距离5尺（边长一丈尺，半边长5尺），斜边为芦苇长尺，根据勾股定理列方程． 【详解】解：∵水深为x尺，则芦苇长为尺， ∵池塘边长为10尺，中心到岸边的距离为5尺， ∴由勾股定理，得：， 故所列方程为． 故选：B． 39．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长_____m（结果精确到）．    【答案】24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 40．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 41．（26-27八年级上·全国·课后作业）刘伟先向东走了，然后换了一个方向走了，再换第三个方向走了，此时恰好回到原地．刘伟向哪个方向走了？请说明理由． 【答案】解：刘伟向南或向北走了，理由如下， 如图所示，根据题意可知，，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵刘伟先向东走了， ∴刘伟向南或向北走了． 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据先向东走了即可得出答案． 【详解】略 42．（25-26八年级上·江西南昌·单元测试）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4勾股定理章末易错必刷题型专训（42题7个考点） 【易错必刷一 勾股定理解三角形】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·课后练习）如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2023八年级上江苏无锡）如图在中，，于D，若，，则______． 4．（2026八年级上·江苏苏州·课后练习）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 5．（2026八年级上·江苏徐州·课后练习）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【易错必刷二 勾股定理的证明方法】 7．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级上·北京海淀·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 10．（23-24八年级上·吉林长春·单元测试）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【易错必刷三 勾股数】 13．（25-26八年级上·四川绵阳·单元测试）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 14．（24-25八年级上·江苏南通·单元测试）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是______． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：________． 17．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 18．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： 2 3 3 4 … 1 1 2 3 … … 4 6 12 24 … … 其中为正整数，且． （1）观察表格，当时，此时对应的的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由． （2）探究与之间的关系并用含的代数式表示：_____，_____，_____． （3）以为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【易错必刷四 判断三边能否构成直角三角形】 19．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 20．（25-26八年级上·甘肃·单元测试）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 21．（2026八年级上·江苏扬州·课后练习）如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的三边a，b，c满足，则的面积为________． 23．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的长． 24．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是___________． 【易错必刷五 用勾股定理逆定理求解】 25．（23-24八年级上·河南许昌·期中）在中，，，的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．是锐角 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 27．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是________． 28．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为________． 29．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 30．（23-24八年级上·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【易错必刷六 勾股定理在网格中的运用】 31．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·江苏南通·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·江苏泰州·单元测试）如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 34．（24-25八年级上·山东滨州·课后练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）的长等于_____； （2）只用无刻度的直尺作出的边上的高．（保留作图痕迹） 35．（25-26八年级上·江苏连云港·单元测试）如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，点、均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，使点在格点上． (2)在图2中作出等腰直角三角形，使点在格点上． (3)在图3中作出一个面积为5的正方形，使点、在格点上． 36．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，依次连接点A，B，C，得到．用两种不同的方法证明． 【易错必刷七 勾股定理的实际应用】 37．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长_____m（结果精确到）．    40．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    41．（26-27八年级上·全国·课后作业）刘伟先向东走了，然后换了一个方向走了，再换第三个方向走了，此时恰好回到原地．刘伟向哪个方向走了？请说明理由． 42．（25-26八年级上·江西南昌·单元测试）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 学科网（北京）股份有限公司 $