专题03 平面直角坐标系中的规律探究与新定义问题（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

专题03 平面直角坐标系中的规律探究与新定义问题 （题型突破·举一反三） 题型01 周期循环规律探究 题型02 平移 / 跳动规律探究 题型03 奇偶项分开规律探究 题型04 环绕 / 周长相遇规律探究 题型05 新定义坐标变换规律探究 题型06平面直角坐标系中的新定义问题 ▌题型01周期循环规律探究 1. 先写出前 5～8 个点的坐标，观察纵坐标或运动路线，找到重复出现的周期（常见：4 次、6 次一循环）； 2. 用序号 n÷ 周期，得到商和余数； 3. 余数 = 0 → 对应周期最后一个点；余数≠0 → 对应周期第几个点； 4. 根据余数位置直接写出第 n 个点坐标。 【典例1-1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2027秒时，点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（　　） A．（﹣1012，） B．（﹣1011，） C．（﹣1011，） D．（﹣1012，） 【变式1-1】如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，﹣3），第二次运动到点P2（2，﹣1），第三次运动到P3（3，﹣3）…，按这样的运动规律，第2024次运动后，动点P2024的坐标是 　 　． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． ▌题型02 平移 / 跳动规律探究 1. 牢记平移口诀：向右→横坐标 +；向左→横坐标−；向上→纵坐标 +；向下→纵坐标−； 2. 找出每次跳动的方向和单位长度； 3. 数清楚跳动总次数，按次数累加横、纵坐标； 4. 若有循环跳动，先算周期，再用余数定位最后位置。 【典例2-1】如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，一架微型机器人在平面直角坐标系的原点处，它第一次向右行驶一格到处；第二次在的基础上向上行驶两格到处；第三次在的基础上向左行驶三格到处；第四次在的基础上向下行驶四格到处；以此类推，这架机器人行驶2025次时到达处的坐标为_____． 【典例2-3】如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为 　 　． 【变式1-1】如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2026次，点依次落在点，，，，…，的位置上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点，点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点，，按这个规律平移得到点，则点的横坐标______． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． ▌题型03 奇偶项分开规律探究 1. 把点按序号分成两组：奇数项（A₁、A₃、A₅…）、偶数项（A₂、A₄、A₆…）； 2. 分别观察两组的横坐标变化（每次加几）、纵坐标变化（每次加几或固定）；3. 分别写出奇数项、偶数项的坐标公式（用 n 表示）； 4. 判断 n 是奇数还是偶数，代入对应公式计算。 【典例3-1】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，…，根据这个规律探索可得第2026个点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例3-3】如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，依次为：，根据这个规律，第2026个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ▌题型04 环绕 / 周长相遇规律探究 1. 先算图形周长（长方形：长宽）； 2. 两个点反向运动：路程和 = 周长 × 相遇次数； 3. 用总路程 ÷ 周长，看余数； 4. 余数对应从起点出发走多少单位，确定相遇点坐标。 【典例4-1】如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 【典例4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，﹣1） 【变式1-2】如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． ▌题型05 新定义坐标变换规律探究 1. 看清题目给的变换规则（如伴随点、友好点、派生点）； 2.按规则依次计算前 4 个点坐标（P₁→P₂→P₃→P₄→P₅）； 3.找到循环周期（几乎都是 4 次一循环）； 4. 用 n÷ 周期看余数，余数是几就对应第几个点坐标。 【典例5-1】平面直角坐标系中，经过某种变换后得到，我们把叫做的终结点，已知的终结点为，的终结点为，的终结点为，…这样依次得到．若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点 ．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【变式1-2】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点______． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是_______． ▌题型06 平面直角坐标系中的新定义问题 新定义问题分三步：①读懂定义，把文字表述转成确切的代数式或坐标关系；②代入给定点的坐标，按定义列出方程或不等式；③将其转化为已学的距离、对称、平移或方程求解问题，解出并检验。注意：新定义仅本题内有效，不得套用常规定义；遇绝对值、分类情形要分情况讨论，代点时空别把横纵坐标写反。 【典例6-1】在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【典例6-2】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”． (1)已知点的“级关联点”是点”，则点的坐标为______； (2)已知点的“级关联点”为点位于轴上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点，使轴，且，求点的坐标． 【典例6-3】在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． (1)若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点是点的“级关联点”，且点位于坐标轴上，求m的值． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）阅读与理解 在平面直角坐标系中，点经过τ变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）． 例如，当，且时，． (1)当，且时， ； (2)若，则 ， ； (3)设点是直线上的任意一点，点P经过变换得到点．若点P与点关于原点对称，求a和b的值． 【变式1-3】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点、， 若点满足：,  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”．例如：、，当点满足, 时，则点是点A、B的“伴A 伴随点”． (1)已知点、， 点是点M、N的“伴M伴随点”，求y与x 的关系式（用含x的式子表示y) (2)已知点、． ①点P是点A、B的“伴A伴随点”，则点P的坐标为 ； ②在①的条件下，平面直角坐标系内有一点，满足，求k的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系中的规律探究与新定义问题 （题型突破·举一反三） 题型01 周期循环规律探究 题型02 平移 / 跳动规律探究 题型03 奇偶项分开规律探究 题型04 环绕 / 周长相遇规律探究 题型05 新定义坐标变换规律探究 题型06平面直角坐标系中的新定义问题 ▌题型01周期循环规律探究 【典例1-1】【答案】C 【典例1-2】【答案】B 【典例1-3】【答案】B． 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】（2024，2）． 【变式1-3】【答案】 ▌题型02 平移 / 跳动规律探究 【典例2-1】【答案】D 【典例2-2】【答案】 【典例2-3】【答案】（3035，0）． 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】/ 【变式1-3】 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（）根据平移方式得出点的坐标，进而即可求解； （）根据平移方式得出点的坐标，即可求解； （）由即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，根据题意找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移规律可知，把向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． ▌题型03 奇偶项分开规律探究 【典例3-1】【答案】A 【典例3-2】【答案】D 【典例3-3】【答案】 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】D ▌题型04 环绕 / 周长相遇规律探究 【典例4-1】【答案】 【典例4-2】【答案】C 【变式1-1】【答案】A． 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】A ▌题型05 新定义坐标变换规律探究 【典例5-1】【答案】B 【典例5-2】【答案】B 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】 ▌题型06 平面直角坐标系中的新定义问题 【典例6-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的坐标为，点与点关于原点对称求出，，然后代入求解； （3）设，则点的“a级伴随点”，表示出，，则，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点的“3级伴随点”是点D， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）∵点是点的“级伴随点”， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设，则点的“a级伴随点”， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：． 【典例6-2】 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题的关键是正确理解“级关联点”的意义，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义和点的“级关联点”N位于y轴上，即可求出点N的坐标； （3）由（2）可求得，再轴，且，分点H在点M左侧和右侧两种情况计算即可 【详解】（1）解：∵点的“级关联点”是点， ∴点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：∵点的“级关联点”是点N， ∴点N坐标为，即， ∵点N位于y轴上， ∴， 解得：， ， ∴点的坐标为； （3）由（2）得：， ， 轴，且， ∴点的坐标为或． 【典例6-3】 【答案】(1) (2) (3)为或 【分析】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解； （2）点P的坐标为，根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x,y,即可求解； （3）先表示出点的“级关联点” ，再分在x轴、y轴两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为，即． 故答案为：． （2）解：点P的坐标为， 由题意可知解得： ∴点P的坐标为； （3）解：∵点的“级关联点”为，即 ①位于x轴上， ∴，解得： ； ②位于y轴上， ∴，解得：． 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“a级关联点”的定义是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于轴上这一条件进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ， ∴点的“美好点”坐标是； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在轴上， 解得：， 这个美好点的坐标为． 【变式1-2】 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查坐标系中点的变换与新定义，解二元一次方程组，理解题意并正确列出方程组是解题关键． （1）根据题干的变换规则进行计算即可； （2）根据新定义列出方程组，计算出a和b的值； （3）由点是直线上的任意一点可得，．由点P与点关于原点对称可得，，，代入方程组后，解出a和b的值． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）∵， ∴， 解得，， ∴，； （3）∵点是直线上的任意一点， ∴， ∵点P与点关于原点对称， ∴，， 由题意可知，，     ∵， ∴方程化简得，， 解得，， ∴，． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题中点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”类似的表示出点M、N的“伴M伴随点”即可解题； （2）①解题方法与（1）类似；②根据点的坐标在坐标系中画出草图，利用得到，利用割补法表示出面积，并建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：对于任意两点、， 若点满足：，  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”． 点M、N的“伴M伴随点” 满足：，   ． （2）解：①点、，点P是点A、B的“伴A伴随点”， 则点P的坐标为：，即； 故答案为：． ② ， ， 点、，P， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查新定义，代数式表示，平行线之间的距离处处相等，一元一次方程运用，割补法求面积，解题的关键在于理解题干“伴A 伴随点”的概念． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系中的规律探究与新定义问题 （题型突破·举一反三） 题型01 周期循环规律探究 题型02 平移 / 跳动规律探究 题型03 奇偶项分开规律探究 题型04 环绕 / 周长相遇规律探究 题型05 新定义坐标变换规律探究 题型06平面直角坐标系中的新定义问题 ▌题型01周期循环规律探究 1. 先写出前 5～8 个点的坐标，观察纵坐标或运动路线，找到重复出现的周期（常见：4 次、6 次一循环）； 2. 用序号 n÷ 周期，得到商和余数； 3. 余数 = 0 → 对应周期最后一个点；余数≠0 → 对应周期第几个点； 4. 根据余数位置直接写出第 n 个点坐标。 【典例1-1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 【典例1-2】如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2027秒时，点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为秒，点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环，根据规律即可求得第秒点位置． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； ∴点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环， ∴当时间为秒时，点的横坐标为，由，则点的纵坐标为， ∴第2027秒时，点P的坐标是． 【典例1-3】如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（　　） A．（﹣1012，） B．（﹣1011，） C．（﹣1011，） D．（﹣1012，） 【答案】B． 【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果． 【详解】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现， ∵2022÷4＝505……2， ∴点C2022在第二象限， ∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，）， 点C6的坐标为（﹣3，）， 点C10的坐标为（﹣5，）， …… ∴点∁n的坐标为（，）， ∴当n＝2022时，1011，， ∴点C2022的坐标为（﹣1011，）， 故选：B． 【点睛】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律． 【变式1-1】如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律的探索，解题的关键是找出点的移动的规律． 根据点的运动规律进行求解即可． 【详解】解：根据点运动规律可得，点每运动1次横坐标向右移动一个单位长度，纵坐标每移动5次为一个循环周期， ∴， ∴点的横坐标为， 纵坐标为2， ∴点的坐标是， 故选：D． 【变式1-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，﹣3），第二次运动到点P2（2，﹣1），第三次运动到P3（3，﹣3）…，按这样的运动规律，第2024次运动后，动点P2024的坐标是 　 　． 【答案】（2024，2）． 【分析】根据图象可知点P的横坐标每次加1，纵坐标在﹣3，﹣1，﹣3，2，0中依次循环出现据此解答即可． 【详解】解：由图形可知，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，﹣3），第二次运动到点P2（2，﹣1），第三次运动到P3（3，﹣3）…，结合运动后点P的坐标特征： 点P的横坐标每次加1，纵坐标在﹣3，﹣1，﹣3，2，0中依次循环出现． ∵2024÷5＝404余4， ∴P点纵坐标为2， ∴第2024次运动后，动点P2024的坐标是（2024，2）． 故答案为：（2024，2）． 【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是关键． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，根据旋转的性质分别求出第时，点A的对应点的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴点A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，…， ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴点与点重合， ∴． 故答案为：． ▌题型02 平移 / 跳动规律探究 1. 牢记平移口诀：向右→横坐标 +；向左→横坐标−；向上→纵坐标 +；向下→纵坐标−； 2. 找出每次跳动的方向和单位长度； 3. 数清楚跳动总次数，按次数累加横、纵坐标； 4. 若有循环跳动，先算周期，再用余数定位最后位置。 【典例2-1】如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，为． 【典例2-2】如图，一架微型机器人在平面直角坐标系的原点处，它第一次向右行驶一格到处；第二次在的基础上向上行驶两格到处；第三次在的基础上向左行驶三格到处；第四次在的基础上向下行驶四格到处；以此类推，这架机器人行驶2025次时到达处的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出，，处的坐标，归纳类推出处的坐标（其中为正整数），再根据解答即可得． 【详解】解：由题意得：处的坐标为，即， 处的坐标为，即， 处的坐标为，即， 归纳类推得：处的坐标为，即，其中为正整数， ∵， ∴处的坐标为，即， 故答案为：． 【典例2-3】如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为 　 　． 【答案】（3035，0）． 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），•••， 发现4次一个循环， ∵2022÷4＝505.....2， ∴A2022的纵坐标与A2相同， 横坐标＝505×6+5＝3035， ∴A2022（3035，0）， 故答案为：（3035，0）． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题． 【变式1-1】如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2026次，点依次落在点，，，，…，的位置上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探究规律，利用规律即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，，，，，，， 每4个一循环， ∴． 【变式1-2】如图，点，点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点，，按这个规律平移得到点，则点的横坐标______． 【答案】/ 【分析】本题考查了点坐标规律探索，点的平移，先求出点，，，的横坐标，得出规律即可，熟练掌握平移的性质得出坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（）根据平移方式得出点的坐标，进而即可求解； （）根据平移方式得出点的坐标，即可求解； （）由即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，根据题意找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移规律可知，把向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． ▌题型03 奇偶项分开规律探究 1. 把点按序号分成两组：奇数项（A₁、A₃、A₅…）、偶数项（A₂、A₄、A₆…）； 2. 分别观察两组的横坐标变化（每次加几）、纵坐标变化（每次加几或固定）；3. 分别写出奇数项、偶数项的坐标公式（用 n 表示）； 4. 判断 n 是奇数还是偶数，代入对应公式计算。 【典例3-1】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察，，，…，可得（为偶数），由此规律即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，，…， ∵，，，…， ∴观察可得，（为偶数）， ∴点的坐标为，即． 【典例3-2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，…，根据这个规律探索可得第2026个点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按点的纵坐标分类：纵坐标是的点有个，前行共有个点；考虑点排列方向：纵坐标是奇数时从右往左，纵坐标是偶数时从左往右；由可知第2025个点是第45行的最后一个点，从而确定第2026个点是第46行的第1个点，根据偶数行的排列规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知， 纵坐标是1的点有1个， 纵坐标是2的点有3个， 纵坐标是3的点有5个， ……， 一般地，纵坐标为的点有个， 前行点的总个数为． ， 第2025个点是第45行的最后一个点， 第2026个点是第46行的第1个点． 观察点的排列方向： 纵坐标是1、3、5、……（奇数）时，点是从右往左排列； 纵坐标是2、4、6、……（偶数）时，点是从左往右排列． 第46行是偶数行， 点是从左往右排列，且第46行的第1个点的横坐标为，纵坐标为46， 第2026个点的坐标为． 【典例3-3】如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标规律，分别从横坐标、纵坐标进行探究是解题的关键．从横坐标、纵坐标两方面探究即可求解． 【详解】解：从开始，坐标依次为： ， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 纵坐标为1， .纵坐标为2， 纵坐标为3， 纵坐标为， 的坐标： 横坐标：， 纵坐标：2026， 的坐标为． 故答案为：． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，依次为：，根据这个规律，第2026个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现每4个点为一个循环组，且每组的最后一个点都在轴上．通过计算确定第2026个点所在的组数及位置，结合偶数组结束点的纵坐标规律及奇数组的起始移动规律进行推导． 【详解】解：观察图形可知，点的运动每4个为一组，且每组的最后一个点（即第个点）都在轴上． 第4个点坐标为， 第8个点坐标为， 第12个点坐标为， 第16个点坐标为， 归纳可得第个点的坐标规律：当为奇数时，坐标为；当为偶数时，坐标为． ， 第2026个点位于第507组的第2个位置． 先求第506组结束时的点（即第2024个点），此时为偶数， 第2024个点的坐标为， 即． 观察图形可知，偶数编号组结束后，下一组（奇数编号组）的起始点（第个点）是向下平移1个单位， 第2025个点的坐标为． 又奇数编号组（第1，3，组）的第2个点是由起始点向右平移组号数个单位（第1组右移1，第3组右移3，）， 第507组的第2个点（即第2026个点）是由第2025个点向右平移507个单位， 第2026个点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 【变式1-2】光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的下标的情况判断偶数点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∵如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达， ∴下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 【变式1-3】规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出一定数量的坐标，可得出点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，， ，，，，，， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为， ∴点的坐标为． ▌题型04 环绕 / 周长相遇规律探究 1. 先算图形周长（长方形：长宽）； 2. 两个点反向运动：路程和 = 周长 × 相遇次数； 3. 用总路程 ÷ 周长，看余数； 4. 余数对应从起点出发走多少单位，确定相遇点坐标。 【典例4-1】如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究．根据题意可得蚂蚁从点出发沿所走路程是：，然后计算，可得第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处，进而可得答案． 【详解】解：由点，，，，可知是长方形， ∴，， ∴蚂蚁从点出发沿所走路程是：． ∵， ∴第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处， ∴蚂蚁所在点的坐标为． 故答案为：． 【典例4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键． 根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意得，经过1秒时，两点在边的点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边上的点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点， ……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点与第五次相遇点重合，即， 故选：C． 【变式1-1】如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，﹣1） 【答案】A． 【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律． 【详解】解：由已知，矩形周长为12， ∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒， 则两个物体每次相遇时间间隔为4秒， 则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0）， ∵2022＝3×673…3， ∴第2022次两个物体相遇位置为（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律． 【变式1-2】如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求出长方形的周长．设点，出发t秒第次相遇，即可列出关于t的等式，解出，从而可求出此时点的路程为．最后根据长方形的周长，即得出相遇点在点A，从而得出相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ，． 长方形的周长． 设点，出发t秒第次相遇，则， 解得：． ∴此时Q的路程为． ∵， ∴相遇点在A． 相遇点的坐标为． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． ▌题型05 新定义坐标变换规律探究 1. 看清题目给的变换规则（如伴随点、友好点、派生点）； 2.按规则依次计算前 4 个点坐标（P₁→P₂→P₃→P₄→P₅）； 3.找到循环周期（几乎都是 4 次一循环）； 4. 用 n÷ 周期看余数，余数是几就对应第几个点坐标。 【典例5-1】平面直角坐标系中，经过某种变换后得到，我们把叫做的终结点，已知的终结点为，的终结点为，的终结点为，…这样依次得到．若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终结点的变换规则求出前几个点的坐标，找出循环周期，再通过计算余数确定目标点的坐标即可． 【详解】解：根据题意，变换规则为：点的终结点为． ， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 由此可知坐标每次变换为一个循环， ， 的坐标与的坐标相同，为． 【典例5-2】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点 ．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题关键是先根据“伴随点”的定义计算前几个点的坐标，找到变换的周期性，再通过求余数确定所求点在周期中的位置，得到对应坐标。 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 【变式1-1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据新定义，求出前几个点的坐标，进而找到坐标规律，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知： ，即：， ，即：， ，即：， ，即：， ，即， ⋯， 即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环， ∵， ∴点的坐标为． 【变式1-2】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点每经过3次运算一循环， ∵， ∴点经过2026次运算后得到点， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值．通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2026次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次：横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点； 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点； 第3次：横坐标为偶数，；纵坐标为偶数，；得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第1次运算后的点相同，即． 故答案为：． ▌题型06 平面直角坐标系中的新定义问题 新定义问题分三步：①读懂定义，把文字表述转成确切的代数式或坐标关系；②代入给定点的坐标，按定义列出方程或不等式；③将其转化为已学的距离、对称、平移或方程求解问题，解出并检验。注意：新定义仅本题内有效，不得套用常规定义；遇绝对值、分类情形要分情况讨论，代点时空别把横纵坐标写反。 【典例6-1】在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的坐标为，点与点关于原点对称求出，，然后代入求解； （3）设，则点的“a级伴随点”，表示出，，则，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点的“3级伴随点”是点D， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）∵点是点的“级伴随点”， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设，则点的“a级伴随点”， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：． 【典例6-2】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”． (1)已知点的“级关联点”是点”，则点的坐标为______； (2)已知点的“级关联点”为点位于轴上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点，使轴，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题的关键是正确理解“级关联点”的意义，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义和点的“级关联点”N位于y轴上，即可求出点N的坐标； （3）由（2）可求得，再轴，且，分点H在点M左侧和右侧两种情况计算即可 【详解】（1）解：∵点的“级关联点”是点， ∴点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：∵点的“级关联点”是点N， ∴点N坐标为，即， ∵点N位于y轴上， ∴， 解得：， ， ∴点的坐标为； （3）由（2）得：， ， 轴，且， ∴点的坐标为或． 【典例6-3】在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． (1)若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点是点的“级关联点”，且点位于坐标轴上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)为或 【分析】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解； （2）点P的坐标为，根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x,y,即可求解； （3）先表示出点的“级关联点” ，再分在x轴、y轴两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为，即． 故答案为：． （2）解：点P的坐标为， 由题意可知解得： ∴点P的坐标为； （3）解：∵点的“级关联点”为，即 ①位于x轴上， ∴，解得： ； ②位于y轴上， ∴，解得：． 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“a级关联点”的定义是解题的关键． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于轴上这一条件进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ， ∴点的“美好点”坐标是； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在轴上， 解得：， 这个美好点的坐标为． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）阅读与理解 在平面直角坐标系中，点经过τ变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）． 例如，当，且时，． (1)当，且时， ； (2)若，则 ， ； (3)设点是直线上的任意一点，点P经过变换得到点．若点P与点关于原点对称，求a和b的值． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查坐标系中点的变换与新定义，解二元一次方程组，理解题意并正确列出方程组是解题关键． （1）根据题干的变换规则进行计算即可； （2）根据新定义列出方程组，计算出a和b的值； （3）由点是直线上的任意一点可得，．由点P与点关于原点对称可得，，，代入方程组后，解出a和b的值． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）∵， ∴， 解得，， ∴，； （3）∵点是直线上的任意一点， ∴， ∵点P与点关于原点对称， ∴，， 由题意可知，，     ∵， ∴方程化简得，， 解得，， ∴，． 【变式1-3】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点、， 若点满足：,  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”．例如：、，当点满足, 时，则点是点A、B的“伴A 伴随点”． (1)已知点、， 点是点M、N的“伴M伴随点”，求y与x 的关系式（用含x的式子表示y) (2)已知点、． ①点P是点A、B的“伴A伴随点”，则点P的坐标为 ； ②在①的条件下，平面直角坐标系内有一点，满足，求k的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题中点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”类似的表示出点M、N的“伴M伴随点”即可解题； （2）①解题方法与（1）类似；②根据点的坐标在坐标系中画出草图，利用得到，利用割补法表示出面积，并建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：对于任意两点、， 若点满足：，  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”． 点M、N的“伴M伴随点” 满足：，   ． （2）解：①点、，点P是点A、B的“伴A伴随点”， 则点P的坐标为：，即； 故答案为：． ② ， ， 点、，P， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查新定义，代数式表示，平行线之间的距离处处相等，一元一次方程运用，割补法求面积，解题的关键在于理解题干“伴A 伴随点”的概念． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $