专题3.8 圆章末易错必刷题型专训（48题12个考点）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.8 圆章末易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 圆的基本概念辨析】 1．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 2．（2023九年级上·江苏常州·阶段测试）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”．下列图形中，是“平移重合图形”的是（     ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．圆 【答案】B 【分析】根据新定义“平移重合图形”，判断哪个图形可被一条线分割为两部分，且其中一部分平移后能与另一部分重合，即可得出结论． 【详解】解：对于平行四边形，过一组对边的中点的直线分割得到的两个四边形全等，将其中一个四边形沿对边方向平移后，即可与另一个四边形重合，平行四边形满足“平移重合图形”的定义， 等腰三角形、正六边形、圆均无法找到满足要求的分割线． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点C．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角，圆的半径相等，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由已知可得，设，，则由根据三角形外角性质列方程即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 则的度数为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当弦在靠近点C的一侧时；当弦在靠近点D的一侧时；连接、，由直径为10得出半径为5，根据线段比得出的长，由，由勾股定理得出长，再用勾股定理求长． 【详解】解：分以下两种情况： 当弦在靠近点C的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当弦在靠近点D的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，弦的长为或． 【易错必刷二 圆面积及周长的相关计算】 5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积公式，勾股定理逆定理．根据题意结合圆的面积公式求出三角形三边长，再结合勾股定理逆定理证明该三角形为直角三角形是解题关键．由题意可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为．再根据圆的面积公式可求出，，，根据勾股定理逆定理可判断这个三角形为直角三角形，再计算其面积即可． 【详解】解：∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 7．（25-26九年级上·江苏南京·单元练习）“大棚种植”能有效提高产量，如图所示，王大伯家用这样一个用塑料薄膜覆盖的草莓大棚，大棚长20米，横截面是一个半径2米的半圆． （1）这个大棚的种植面积是( )平方米． （2）要把这个大棚全部覆盖好（接缝忽略不计），王大伯至少需要购买( )平方米的塑料薄膜． （3）这个草莓大棚内的空间大约有( )立方米． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的体积公式和侧面积求解，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题干，这个大棚的种植面积就是这个长20米，宽米的长方形的面积，根据长方形的面积公式即可解答； （2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积，即它所在的圆柱的侧面积的一半，加上一个圆柱的底面积，由此利用圆柱的侧面积和底面积公式即可解答； （3）大棚所在的圆柱的体积的一半，就是这个大棚的空间，根据圆柱的体积公式解答即可． 【详解】解：（1）（平方米）， 故答案为：； （2） （平方米）， 故答案为：； （3）， ， （立方米）， 故答案为：． 8．（26-27九年级上·江苏无锡·期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆； ②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹） （2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ． 【答案】 （1）①如图 ②如图，以为半径作圆（或以为斜边作等腰直角三角形）． （2）， 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可． 【详解】解：（1）①作直径，过O作AB的垂线交圆与D，连接，以O为圆心，为半径画圆， ②略 （2）的半径为5， 原来圆的面积为， 倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为， ，得， 所作倍圆的圆周长为， 均分问题中，所作圆面积为原来圆的倍，设所作圆半径为， ，得， 所作均分圆的圆周长为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【易错必刷三 圆心角概念辨析】 9．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 10．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）下列结论正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆的有关性质：在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，相等的圆心角所对的弧相等；不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的内心到三角形三边的距离相等．根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本选项错误； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项正确； 故选：D． 11．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 12．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理得，，，则，然后根据圆周角定理求解即可； （2）设的半径长，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一条弦，，∴由垂径定理得，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数； （2）解：设的半径长，则， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径长为． 【易错必刷四 与圆相关的尺规作图】 13．（26-27九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 14．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 15．（2024九年级上·江苏无锡·阶段测试）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为_________． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【答案】(1)见解析 (2) (3)圆心，垂直平分线的交点，勾股 【分析】（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，以为半径画圆即可得到所求的圆； （2）连接，设半径为，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径； （3）根据（1）（2）的解题思路即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求的圆． （2）解：连接， 设半径为，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为． （3）解：思考1：求残片所在的圆，关键是找出圆心，即两条弦的垂直平分线的交点． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【易错必刷五 弧、弦、圆心角相关证明与求解】 17．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为，再求解即可． 【详解】解：如图，连接、．   是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， ． 故选：D． 18．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据菱形的性质得出，根据相同的圆周角所对的弦相等，得出，即可判断①正确； ②根据菱形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，，从而得出，，但不能确定，判断②错误； ③先证明，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据即可判断③正确． 【详解】解：①∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 不能确定，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，故③正确； 综上分析可知，①③正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和菱形的性质． 19．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 过A点作直径，连接，如图，互补推出，再根据同角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：过A点作直径，连接，如图，则：， 由题意：， ， ， ， ， 为直径， ， 在中，，， ， 故答案为： 20．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 【易错必刷六 垂径定理】 21．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，于， ， ， ． 22．（24-25九年级上·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 23．（2024九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ________． 【答案】/72度 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．根据垂径定理，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵过点O 作交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 24．（2024九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵平分， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． （1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【详解】（1）略 （2）解：连接与交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴的半径是． 【易错必刷七 圆周角定理】 25．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 26．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、平行线的性质，对性质的综合应用是解题的关键． 先根据圆周角定理推导出，根据等边对等角得到，，再根据平行线求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 27．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【答案】/95度 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，若，，则的半径为　　． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，以为圆心，为半径，作即可； （2）连接，根据圆周角定理，结合已知求证是等腰直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解三角形的外心是三角形的各边的垂直平分线的交点． 【易错必刷八 圆的切线定理及应用】 29．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点D是边上一个动点，以点D为圆心r为半径作，直线与切于点E，若点E关于的对称点F恰好落在边上，则r的值是(   ) A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接、、，由与相切于点，得，由点与点关于对称，得垂直平分，则，，所以，，即可证明，由，，得，，所以，由勾股定理得，则，而，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、，如图， 与相切于点， ， ， 点与点关于对称， 垂直平分， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆的切线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 30．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形ABCD是正方形，以B为圆心，作半径长为2的半圆，交AB于点E．将半圆B绕点E逆时针旋转，记旋转角为30°，半圆B正好与边CD相切，则正方形的边长为（    ） A．3 B．2 C．2+ D．4 【答案】A 【分析】根据30°直角三角形的性质求出B′G=B′E=1，由矩形的判定和性质，得出BC=FG=3． 【详解】解：如图，B′F为圆B′的切线，延长FB′交AB于点G， 则B′F=B′E=2，∠B′GE=∠B′FD=90°， ∵∠B′EB=30°， ∴B′G=B′E=1， ∴FG= B′G+B′F=1+2=3， 在正方形ABCD中∠ABC=90°， 又∠B′GE=∠B′FD =90°， ∴四边形BCFG为矩形， ∴BC= FG=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，30°直角三角形的性质求边长，切线的性质以及旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，利用30°直角三角形求解． 31．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，线段的中点P的坐标为，与x轴相切于点C，则的长度为_____．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，根据点P的坐标得出，进而得出，即可根据勾股定理得出，再证明四边形为矩形，得出，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作于点D， ∵点P的坐标为， ∴， ∵点P为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵与x轴相切于点C， ∴轴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 故答案为：．    32．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 如图直线即为所求直线； (2) 【分析】本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质： （1）以点B为圆心，适当长为半径，画弧分别交于点M、的延长线于点N，再分别以点M和点N为圆心，大于，的长为半径，画弧，分别相交于点G和点H，连接并延长交于一点，即为点F，此时是的垂直平分线，结合，即可作答； （2）由，，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【易错必刷九 切线长定理的求解与求证】 33．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 34．（26-27九年级上·江苏连云港·单元练习）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 35．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为24，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为24，可求的长． 【详解】解：与、、分别相切于点、、， ，，， ∵的周长为24， ， ， ． 故答案为：9 36．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 【易错必刷十 求扇形面积、弧长、圆心角】 37．（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 38．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式，掌握圆周角定理是解决本题的关键．先根据圆内接四边形对角互补求出，根据三角形内角和求出，再求所对的圆心角，最后根据弧长公式求得的长． 【详解】解：在中，， ， ， 连接，则， 的半径为3， 的长为． 故选：． 39．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据题意用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 40．（2026九年级上 江苏镇江·阶段测试）综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的． 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点是与标准路线的交点，．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． 【认识原理】 C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点． (1)M是上异于点T的一点．线段与的长度之和__________切线的长．（填“>”“<”或“=”） (2)从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？ (3)过起跑线上一点（点在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为．判断切线，的长度之差与的长是否相等？请说明理由． 【理解原理】 (4)是起跑线上的一点，经测量，点与圆心O的距离为10．设从点出发的选手沿切线方向跑到点后，再沿标准路线跑完全程，求的度数．（结果保留） 【设计方案】 (5)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点的步骤） 【答案】(1) (2)他们的发现正确．理由如下： 由题意可得， 从点出发的总路程 的长 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程 切线的长 点之后的标准路线长度． 不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等， 切线的长与的长相等， 他们的发现正确． (3)切线，的长度之差与的长相等．理由如下： 由（1）可得，从点出发的最短路程切线 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程切线 点之后的标准路线长度； 由（2）可得，切线的长与的长相等，同理可得，切线的长与的长相等， ， 即切线，的长度之差与的长相等． (4) (5)解：确定起跑点的步骤如下： ①设第5跑道外侧线对应的圆以 为圆心、半径为，先测量的长度； ②设切线切点为，根据（2）的结论，； ③设 ，由弧长公式得 ，由勾股定理得切线长 ； ④列方程求解 ，，，得到圆心角 的度数； ⑤以 为始边，作度数为的角，终边与标准路线的交点，即为点 ； ⑥过作的垂线，与第5跑道外侧线的交点即为起跑点． 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”，判断即可． （2）分别表示出从和出发的总路程，再根据比赛的公平性，即可得到切线长与弧长相等的结论． （3）利用（2）中得出的结论“切线长等于对应的弧长”，即可得出切线长之差等于两切点之间弧长的结论． （4）先利用勾股定理求出切线长；然后根据（2）的结论，建立弧长与圆心角的等量关系，最后代入弧长公式求出圆心角的度数． （5）利用“切线长等于对应弧长”这一几何原理，通过计算圆心角度数，反向作图确定起跑点的位置． 【详解】（1）解：根据“两点之间线段最短”，是点到点的线段，是最短路径； 而是折线加曲线路径， 线段与的长度之和切线的长． （2）略 （3）略 （4）解：如图，连接， 是标准半圆的切线，为切点， ，即为直角三角形． 由题意得：，， 由勾股定理： ， 由（2）的结论：． 设的度数为，根据弧长公式： ，令， 解得， 的度数为． （5）略 【易错必刷十一 求不规则图形的面积】 41．（23-24九年级上·四川达州·阶段检测）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求扇形面积公式，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置， ，， ， 故选：C． 42．（23-24九年级上·全国·单元复习）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质知，则，，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， 根据旋转的性质知，则，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积计算公式是解题的关键． 43．（2026九年级上 江苏镇江·阶段测试）如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接，由题意易得是的直径，，然后可得，进而根据割补法及扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴圆弧门的面积为． 44．（2026九年级上 江苏无锡·阶段测试）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 【易错必刷十二 解决与圆锥相关的问题】 45．（2023九年级上·江苏无锡·阶段测试）底面半径为，高为的圆锥的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：计算即可． 【详解】解：根据题意可知，圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的母线， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长l．掌握圆锥的侧面积公式：是解题的关键． 46．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 47．（26-27九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为___°． 【答案】120 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到=2π•1，然后解关于θ的方程即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为θ°， 根据题意得=2π•1， 解得θ=120． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 48．（26-27九年级上·河南开封·单元练习）工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【答案】 【分析】根据圆锥的体积为，求解即可； 【详解】解：根据题意，得圆锥底面圆的半径为：，高为， 根据题意，得； 答：这堆沙子的体积大约是； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.8 圆章末易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 圆的基本概念辨析】 1．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 2．（2023九年级上·江苏常州·阶段测试）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做“平移重合图形”．下列图形中，是“平移重合图形”的是（     ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．圆 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点C．若，则的度数为______． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【易错必刷二 圆面积及周长的相关计算】 5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏南京·单元练习）“大棚种植”能有效提高产量，如图所示，王大伯家用这样一个用塑料薄膜覆盖的草莓大棚，大棚长20米，横截面是一个半径2米的半圆． （1）这个大棚的种植面积是( )平方米． （2）要把这个大棚全部覆盖好（接缝忽略不计），王大伯至少需要购买( )平方米的塑料薄膜． （3）这个草莓大棚内的空间大约有( )立方米． 8．（26-27九年级上·江苏无锡·期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆； ②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹） （2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ． 【易错必刷三 圆心角概念辨析】 9．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）下列结论正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 11．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 12．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【易错必刷四 与圆相关的尺规作图】 13．（26-27九年级上·北京朝阳·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 14．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．（2024九年级上·江苏无锡·阶段测试）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为_________． 16．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【易错必刷五 弧、弦、圆心角相关证明与求解】 17．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（   ）    A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 19．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为______． 20．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【易错必刷六 垂径定理】 21．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 23．（2024九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ________． 24．（2024九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【易错必刷七 圆周角定理】 25．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 26．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 28．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，若，，则的半径为　　． 【易错必刷八 圆的切线定理及应用】 29．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点D是边上一个动点，以点D为圆心r为半径作，直线与切于点E，若点E关于的对称点F恰好落在边上，则r的值是(   ) A． B．1 C． D． 30．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形ABCD是正方形，以B为圆心，作半径长为2的半圆，交AB于点E．将半圆B绕点E逆时针旋转，记旋转角为30°，半圆B正好与边CD相切，则正方形的边长为（    ） A．3 B．2 C．2+ D．4 31．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，线段的中点P的坐标为，与x轴相切于点C，则的长度为_____．    32．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【易错必刷九 切线长定理的求解与求证】 33．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 34．（26-27九年级上·江苏连云港·单元练习）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为24，则的长为________． 36．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【易错必刷十 求扇形面积、弧长、圆心角】 37．（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 40．（2026九年级上 江苏镇江·阶段测试）综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的． 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点是与标准路线的交点，．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． 【认识原理】 C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点． (1)M是上异于点T的一点．线段与的长度之和__________切线的长．（填“>”“<”或“=”） (2)从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？ (3)过起跑线上一点（点在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为．判断切线，的长度之差与的长是否相等？请说明理由． 【理解原理】 (4)是起跑线上的一点，经测量，点与圆心O的距离为10．设从点出发的选手沿切线方向跑到点后，再沿标准路线跑完全程，求的度数．（结果保留） 【设计方案】 (5)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点的步骤） 【易错必刷十一 求不规则图形的面积】 41．（23-24九年级上·四川达州·阶段检测）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 42．（23-24九年级上·全国·单元复习）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（　　）    A． B． C． D． 43．（2026九年级上 江苏镇江·阶段测试）如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留） 44．（2026九年级上 江苏无锡·阶段测试）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【易错必刷十二 解决与圆锥相关的问题】 45．（2023九年级上·江苏无锡·阶段测试）底面半径为，高为的圆锥的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 47．（26-27九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为___°． 48．（26-27九年级上·河南开封·单元练习）工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $