专题3.1 圆的相关概念重难点题型专训（2个知识点+4大题型+1大提高题型+自我检测）讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.1 圆的相关概念重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 圆的基本概念】 4 【基础题型二 求过圆内一点的最长弦】 5 【基础题型三 圆的周长和面积问题】 11 【基础题型四 圆心角概念辨析及简单运算】 15 第二部分·练提高题型 【提高题型一 圆周长和面积实际应用】 24 第三部分・自我检测 知识点01 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义．利用圆的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， 所以该图形是圆． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 【答案】60 【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定是解决本题的关键． 根据题意可得，进而可证是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：∵的半径是1， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 知识点02 弦、弧、圆心角 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角，其度数等于所对弧的度数． 4. 等圆、同心圆与等弧 （1）能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆． （2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． （3） 能够互相重合的弧叫做等弧． （4） 同圆或等圆的半径相等. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【基础题型一 圆的基本概念】 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 【例2】（2026九年级上 江苏泰州·阶段测试）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆的有关性质，三角形中线的性质，连接，设与交于点，证明，所以，又为中点，则有，然后求得，所以，故，则要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，再由三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，如图， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数为______． 【答案】/27度 【分析】本题考查了圆与三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，连接，利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求出，进而可知，即可求出的度数． 【详解】连接， ，， ， ， 而 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)或 5 (2)当时，经过点 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解一元二次方程，圆的相关知识点，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）直接利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题； （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：在矩形中，， 由题意设运动时间为秒， ， ∵的面积等于， ， 整理得：， 解得：， 即或 5 时，的面积等于； （2）解：在运动过程中，存在值，使得经过点，理由如下： 如图②，连接， ∵经过点， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴当时，经过点． 【基础题型二 求过圆内一点的最长弦】 【例1】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 【例2】（25-26九年级上·全国·阶段测试）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·课后练习）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 2．（23-24九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，通过两点之间线段最短，和轴对称的知识，分析得到，根据矩形的性质和勾股定理得到的长度，根据中点和轴对称知识得到，然后即可求解； 【详解】解：设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，如图： ∴，， ，， ∴， ∵是矩形内部一动点，为边上的一个动点，两点之间线段最短， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴圆的半径， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∴， ∴， 故答案为：； 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1) 如图所示： (2) 底边的中线如图所示： (3) 如图所示： 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦， （2）略 （3）解：直线即为所求． 【基础题型三 圆的周长和面积问题】 【例1】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【例2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段测试）用代数式表示：用一根长为a的铁丝围成一个圆，这个圆的半径为 _____． 【答案】/ 【分析】根据圆的周长公式可求解这个圆的半径． 【详解】解：由题意得：a为圆的周长， 设半径为r， 根据题意得：， 解得， ∴这个圆的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确a为圆的周长是解题的关键． 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 2．（23-24九年级上·福建宁德·阶段测试）投掷飞镖是大众喜爱的一项游戏，如图所示的标靶由一个中心圆和九个等宽的圆环组成，中心圆的半径为1，每个圆环的宽度也为1（标靶的半径为10）．则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆环面积等于大圆面积减小圆面积即可求解． 【详解】解：S阴= = =． 故选C． 【点睛】本题考查了圆环的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 3．（2025九年级上 四川成都·课后练习）如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ________．（取3） 【答案】960 【分析】本题考查了圆的周长、等边三角形的性质，先根据圆和等边三角形的相关知识点求出烟花的截面周长，结合组合烟花的高为，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：等边三角形的边长， ∴等边的周长是， ∵圆的周长， ∴烟花的截面周长， ∴组合烟花侧面包装纸的面积． 故答案为：960． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 【基础题型四 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 【例2】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段测试）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）已知中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线，分别与直线交于点M，N． (1)当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：； （思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．） (2)当扇形绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵将沿直线对折，得，连， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴． ∴，． ∴． ∴在中，由勾股定理 ∴，即． (2) 关系式仍然成立． 证明：∵将沿直线对折，得，连， ∴． ∴，，，， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理， ∴，即． 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了； （2）还将沿直线对折，得，连，只需证，得出，再证明，然后由勾股定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【提高题型一 圆周长和面积实际应用】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】先算出图①和图②中水池边沿的周长，再分析两者周长的关系． 【详解】解：设图①中每个外圆的直径为， ∴图①中水池边沿的周长为． 设图②中三个内圆的直径分别为、、，外圆的直径为，且， ∴图②中水池边沿的周长为外圆周长加上三个内圆的周长，即： ． ∴图①和图②水池边沿的周长相等，即砌水池边沿需要的材料一样多． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，解题关键是根据圆的周长公式，分别计算出图①和图②中水池边沿的周长，再进行比较． 【例2】（2025九年级上·山东临沂·课后练习）如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. 1．（2025九年级上·浙江温州·中考模拟）用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的中心为点O，连接，过点O作于点M，由正方形的面积为，得，根据正方形的性质，得，设，则直角三角形的另一条直角边的长为，根据题意，得，求解即可； 【详解】解：设正方形的中心为点O，连接，过点O作于点M， 由正方形的面积为，得， 根据正方形的性质，得， 设， 根据题意，四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”， 故直角三角形的另一条直角边的长为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 根据长度不能为负数，故舍去， ∴， ， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为：． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段测试）已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长的计算，正确根据人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等列方程是解题的关键． 设每人向后挪动的距离是，则这个人在以为半径的圆周上，根据10人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等，即可列方程求解． 【详解】解：设每人向后挪动的距离为厘米． 根据题意得：， 故选：D． 3．（2023九年级上 浙江·课后练习）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 1．（2026九年级上·江苏·专题练习）下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 【答案】D 【分析】C、D选项表述矛盾，可优先结合圆的中心对称性质判断对称中心数量． 【详解】解：圆是中心对称图形，对称中心为圆心且仅有1个，故A、C正确，D错误， 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，故B正确． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 3．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】证明，得到，进而得到，进而画出的图象，分和两种情况，利用图象法，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 画出的图象如图， ∵当与点重合时，，当点与点重合时，， ∴是过和的曲线， 由图象可知，当时，，当时，， 即当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是或. 4．（23-24九年级上·江苏泰州·单元测试）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 5．（2026九年级上 辽宁·课后练习）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 6．（25-26九年级上·山西运城·阶段测试）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 8．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段测试）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2023九年级上·四川德阳·课后练习）如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质证明，得出，利用外角求出，构造圆确定点P的运动轨迹是，，连接，证明，求出，利用锐角三角函数求出，通过即可求出最小值． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的运动轨迹是，，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，圆的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上性质，并构造出圆． 11．（2026九年级上 山东东营·课后练习）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 13．（24-25九年级上·广西贵港·阶段测试）如图，在四边形中，，则的最大值为___________．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 14．（2026九年级上 安徽马鞍山·阶段测试）自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 15．（25-26九年级上·全国·阶段测试）把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质（同圆半径相等），等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线，利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合三角形外角性质，将已知角与所求角建立联系，通过方程求解是解题的关键． 连接，由，得到，则，得，由得，由得，由，代入即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为． 17．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1) 如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； (2) 如图所示，连接，线段即为所求； (3) 如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 18．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中取3.14） 【答案】正方形的面积比圆的面积多约27.4% 【分析】先求出圆的半径，再求圆的面积，再根据正方形的边长即为圆的直径，求出正方形的边长，最后用正方形的面积与圆的面积之差比上圆面积，即可得出答案． 【详解】解：设圆的周长为c，半径为r，正方形边长为a， ， ， 最大的圆，直径与正方形的边长相等， ， ， ． 答案：正方形的面积比圆的面积多约27.4%． 19．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段测试）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 20．（25-26九年级上·江苏泰州·课后作业）用图形（阴影）表示到定点A的距离小于或等于的点的集合． 【答案】 如图： 【分析】本题考查了圆的基本概念． 到定点A的距离等于的点的集合是以定点A为圆心，为半径的圆上．小于的点的集合是圆内所有的点，即以A为圆心，为半径画圆，将圆的内部用阴影表示即可． 【详解】略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 圆的相关概念重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 圆的基本概念】 4 【基础题型二 求过圆内一点的最长弦】 5 【基础题型三 圆的周长和面积问题】 11 【基础题型四 圆心角概念辨析及简单运算】 15 第二部分·练提高题型 【提高题型一 圆周长和面积实际应用】 24 第三部分・自我检测 知识点01 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 知识点02 弦、弧、圆心角 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角，其度数等于所对弧的度数． 4. 等圆、同心圆与等弧 （1）能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆． （2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． （3） 能够互相重合的弧叫做等弧． （4） 同圆或等圆的半径相等. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【基础题型一 圆的基本概念】 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【例2】（2026九年级上 江苏泰州·阶段测试）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数为______． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【基础题型二 求过圆内一点的最长弦】 【例1】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【例2】（25-26九年级上·全国·阶段测试）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·课后练习）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 2．（23-24九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【基础题型三 圆的周长和面积问题】 【例1】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【例2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段测试）用代数式表示：用一根长为a的铁丝围成一个圆，这个圆的半径为 _____． 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 2．（23-24九年级上·福建宁德·阶段测试）投掷飞镖是大众喜爱的一项游戏，如图所示的标靶由一个中心圆和九个等宽的圆环组成，中心圆的半径为1，每个圆环的宽度也为1（标靶的半径为10）．则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上 四川成都·课后练习）如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ________．（取3） 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【基础题型四 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 1．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段测试）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 4．（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）已知中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线，分别与直线交于点M，N． (1)当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：； （思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．） (2)当扇形绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【提高题型一 圆周长和面积实际应用】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【例2】（2025九年级上·山东临沂·课后练习）如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 1．（2025九年级上·浙江温州·中考模拟）用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段测试）已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023九年级上 浙江·课后练习）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为_____． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 1．（2026九年级上·江苏·专题练习）下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 2．（26-27九年级上·江苏泰州·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·单元测试）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 5．（2026九年级上 辽宁·课后练习）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山西运城·阶段测试）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段测试）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2023九年级上·四川德阳·课后练习）如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 11．（2026九年级上 山东东营·课后练习）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 13．（24-25九年级上·广西贵港·阶段测试）如图，在四边形中，，则的最大值为___________．    14．（2026九年级上 安徽马鞍山·阶段测试）自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 15．（25-26九年级上·全国·阶段测试）把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，求的度数． 17．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 18．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中取3.14） 19．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段测试）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 20．（25-26九年级上·江苏泰州·课后作业）用图形（阴影）表示到定点A的距离小于或等于的点的集合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $