专题4.1 平均数（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题4.1 平均数 1.理解算术平均数的概念，记住公式，会求一组数据的算术平均数；会用基准数法（简化新数据法）简便计算平均数。 2.理解权的实际意义，掌握加权平均数公式，能识别权重的三种形式：次数、比值、百分比；知道算术平均数是加权平均数中权相等的特殊情况。 3.了解分布式计算（多组样本合并求总平均数）（新增内容），会利用各组平均数和各组数量，计算全部数据的总平均数。 4.知道平均数刻画数据的集中趋势、平均水平；了解平均数容易受极端值影响这个局限；理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想。 5.经历从实际情境中抽象平均水平的过程，感受 “同等重要→有不同权重” 的认知冲突；会对比算术平均数与加权平均数的适用场景；在分布式计算中体会分组数据汇总的思路，发展运算能力与数据观念。 6.能结合真实情境解释平均数、加权平均数的含义，会根据权重大小分析结果变化；能用平均数对数据做简单评价、决策；感受统计量服务于数据分析，发展推理意识、模型观念。 1.算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.叫作这n个数的算术平均数（arithmetic mean），简称平均数，通常用表示，“”读作“x拔”。 平均数反映这组数据的平均水平，表示这一组数据的集中趋势。当任一数据变化时，都会影响算术平均数。 2.结论：若=；=则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±； ②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）；③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. 3.加权平均数： 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作权（weighted ），也称为权重。 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则，叫做这n个数的加权平均数（weighted average）． 前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 4.分布式计算（教材新增）：分布式计算的思路是先把任务分配给各个市场，由各个市场分别抽样，算出各市场样本的平均数，然后整合各个市场的样本数据，得到一个大样本的平均数。 在大数据的情况下，分布式计算是数据分析的常用方法，可以大大提高工作效率。 题型01 求一组数据的平均数 【典例】（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【变式1】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 【变式2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）六年级一名男生进行跳绳锻炼，下面是他对自己四次跳绳个数的统计，他将150个记为标准个数，超出150个的部分用正数表示，不足150个的部分用负数表示，则该同学平均每次跳绳________个． 第一次 第二次 第三次 第四次 0 【变式3】（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 题型02 已知平均数求未知数据的值 【典例】（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）已知一组数据5，7，4，，6，8的平均数为6，则的值为________． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生____人． 【变式3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则______． 题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例】（25-26八年级下·四川广安·期末）已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 【变式1】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期末）一组数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为______． 【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 题型04 求加权平均数 【典例】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校学生期末操行评定奉行五育并举，德智体美劳五方面按确定最终成绩，王林同学本学期五方面得分如图所示，则王林期末操行最终得分为_______． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为90分、80分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算选手综合成绩，则该选手的综合成绩是________分． 【变式2】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为_________． 题型05 利用加权平均数求未知数据的值 【典例】（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【变式1】（22-23八年级下·北京密云·期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则_____． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【变式2】（25-26八年级下·湖南怀化·期末）一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【变式3】（2026·辽宁盘锦·一模）校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 题型06 利用平均数与加权平均数做决策 【典例】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【变式3】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 题型07 分布式计算 【典例】某省为了解某日黄瓜批发的平均价格，在全省范围内选择了九个典型农产品批发市场，调查各市场该日黄瓜批发的日均成交量及平均价格，数据汇总如下： 如何利用这些数据估计该省2023年7月27日黄瓜批发的平均价格？ （1）能否直接用九个市场平均价格的算术平均数来估计全省的平均价格？为什么？ （2）如何利用这些数据合理估计该省黄瓜批发的平均价格？(结果精确到0.01 元/kg) 【变式1】讨论：某调查机构称，在A，B两个网站的产品质量调查中，用户对某产品的满意度分别为98%与92%，所以有95%的用户对该产品表示满意.你认为调查机构的说法合理吗？ 【变式2】观众在A，B两个网站在线观看北京冬奥会花样滑冰比赛的平均时间分别为a h和b h，A 网站和 B 网站在线观看人数分别为m人和n人，求观众在两个网 站观看花样滑冰比赛的平均时间。 【变式3】甲、乙两个运动应用程序（App）的用户每日人均步数为11 000 步，已知甲App用户每日人均步数为 13 000 步，乙 App 用户每日人均步数为 10 000 步，甲App比乙 App 的用户人数少 30 万，请分别求出甲、乙两个 App 的用户数． 题型08 平均数的综合问题 【典例】（25-26七年级上·四川眉山·期中）某班一次考试平均分数是70分，其中的人及格，他们的平均分是80分，则该班不及格的人的平均分是___________分． 【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·培优）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【变式2】（2026·上海·中考真题）已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 【变式3】（25-26八年级下·广东·期末）某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 【巩固训练】 1．（26-27七年级上·湖北·开学考试）智能体育系统记录了四位同学连续三次跳远的情况（如图），跳远平均成绩最接近米的是（     ） A．王洁 B．李名 C．许多 D．丽丽 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁四位同学去超市购买糖果，他们各自购买糖果的种类、价格和数量如下表所示．若要比较他们购买糖果的平均价格，则平均价格最低的同学是（     ） 甲 乙 丙 丁 10元/包 1 1 2 3 8元/包 2 1 2 2 6元/包 3 4 2 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 4．（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）跳绳是一项极佳的健体运动，能有效地锻炼个人的反应能力，下表是扬帆小学(9)班第一小组5名同学一分钟跳绳的成绩． 姓名 程程 嫣嫣 萱萱 雅雅 霖霖 成绩/个 131 124 141 120 114 （1）这5名同学的平均成绩是( )个． （2）如果把高于平均成绩的部分记作正数，低于平均成绩的部分记作负数，那么萱萱的成绩记作( )个，程程的成绩记作( )个． 5．（2026·四川乐山·二模）有一组数分别为、、、、、、，它们的平均数是________． 6．（25-26八年级下·江西南昌·期末）一组数据4，6，3，x，2，8的平均数是5，则x的值为_______． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．则小王这一周的平均睡眠时间是__________小时． 8．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 9．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）汝城拥有国家级非遗汝城香火龙、传统木雕等民俗技艺．某校非遗社团考核由香火龙纹样手绘、课堂出勤、木雕实操三项组成，分别占比，，．某同学香火龙纹样手绘80分、课堂出勤90分、木雕实操90分，则该同学非遗社团考核综合成绩为__________． 10．（26-27七年级上·新疆喀什·开学考试）我是统计小专家． 某地区2020年降水量统计图 (1)这是 统计图．(2)11月份降水量比12月份多 ．12月份比11月份少 ． (3)第三季度的月平均降水量是多少毫米？ 11．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在400名参赛学生中随机抽取20名，他们的参赛成绩（单位：分）如下：67，83，66，85，79，81，86，86，90，91，72，98，85，79，91，73，90，74，88，76． (1)求这20名学生参赛成绩的平均数； (2)据此估计400名学生参赛成绩在分与分之间的人数． 【强化训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·竞赛）数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 3．（2026·江苏镇江·中考真题）将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是________． 5．（25-26八年级下·北京丰台·期末）某学校为了引入一款适合学生使用的智能学习助手，决定从五个维度对候选产品进行测试评分，相关信息如下： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重（比例） 候选产品实测打分 根据以上信息，候选产品的最终得分是_________分． 6．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 7．（25-26九年级上·广东·期中）在一次数学考试中，全班名同学，平均分为，其中女生有名，她们的平均分为，则这个班男同学的平均数为________． 8.（25-26八年级下·广东广州·期末）某商场招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 50 60 85 (1)商场对计算机、语言和商品知识分别赋权2、3、5，计算两名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ (2)该商场员工月收入如下表，试计算该商场员工月收入的平均数；若用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况是否合理？请说明理由． 月收入/元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 9．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x (1)计算九年级（1）班的最终成绩； (2)如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ 10．（2026·山东济南·二模）在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； (2)5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 平均数 1.理解算术平均数的概念，记住公式，会求一组数据的算术平均数；会用基准数法（简化新数据法）简便计算平均数。 2.理解权的实际意义，掌握加权平均数公式，能识别权重的三种形式：次数、比值、百分比；知道算术平均数是加权平均数中权相等的特殊情况。 3.了解分布式计算（多组样本合并求总平均数）（新增内容），会利用各组平均数和各组数量，计算全部数据的总平均数。 4.知道平均数刻画数据的集中趋势、平均水平；了解平均数容易受极端值影响这个局限；理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想。 5.经历从实际情境中抽象平均水平的过程，感受 “同等重要→有不同权重” 的认知冲突；会对比算术平均数与加权平均数的适用场景；在分布式计算中体会分组数据汇总的思路，发展运算能力与数据观念。 6.能结合真实情境解释平均数、加权平均数的含义，会根据权重大小分析结果变化；能用平均数对数据做简单评价、决策；感受统计量服务于数据分析，发展推理意识、模型观念。 1.算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.叫作这n个数的算术平均数（arithmetic mean），简称平均数，通常用表示，“”读作“x拔”。 平均数反映这组数据的平均水平，表示这一组数据的集中趋势。当任一数据变化时，都会影响算术平均数。 2.结论：若=；=则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±； ②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）；③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. 3.加权平均数： 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作权（weighted ），也称为权重。 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则，叫做这n个数的加权平均数（weighted average）． 前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 4.分布式计算（教材新增）：分布式计算的思路是先把任务分配给各个市场，由各个市场分别抽样，算出各市场样本的平均数，然后整合各个市场的样本数据，得到一个大样本的平均数。 在大数据的情况下，分布式计算是数据分析的常用方法，可以大大提高工作效率。 题型01 求一组数据的平均数 【典例】（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 【变式1】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 【答案】 【详解】解：先计算这组数据的总和：， 共有个数据，因此平均数为． 【变式2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）六年级一名男生进行跳绳锻炼，下面是他对自己四次跳绳个数的统计，他将150个记为标准个数，超出150个的部分用正数表示，不足150个的部分用负数表示，则该同学平均每次跳绳________个． 第一次 第二次 第三次 第四次 0 【答案】 【详解】解：第一次跳了（个），第二次跳了（个）， 第三次跳了（个），第四次跳了（个）， 则该同学平均每次跳绳：（个）． 【变式3】（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算四位同学的平均身高，再按照规则计算甲的身高记录值即可． 【详解】解：四人平均身高为 ，∴甲同学的身高记为． 题型02 已知平均数求未知数据的值 【典例】（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵这组数据的平均数是，∴．∴，∴． 【变式1】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）已知一组数据5，7，4，，6，8的平均数为6，则的值为________． 【答案】 【详解】解：这组数据共个，平均数为，这组数据的总和为， 已知数据的和为，可得 ，解得 ． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生_______人． 【答案】 【详解】解：(人)，故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则______． 【答案】 【详解】解：∵一组数据4，5，6，a，b的平均数为5， ∴，∴，∴． 题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例】（25-26八年级下·四川广安·期末）已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 【答案】 【详解】解：数据，，，，的平均数为，，即， ∴新数据的平均数为：． 【变式1】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 【答案】 【详解】解：数据，，的平均数是 由平均数的定义得 ，， 则新数据，，的平均数为． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期末）一组数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为______． 【答案】 【详解】解：数据，，，的平均数为，，∴， 则新数据，，，的平均数为：. 【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【答案】 【详解】解：数据，，的平均数是，，， 则数据，，的平均数为 ．故答案为：． 题型04 求加权平均数 【典例】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校学生期末操行评定奉行五育并举，德智体美劳五方面按确定最终成绩，王林同学本学期五方面得分如图所示，则王林期末操行最终得分为______________． 【答案】 【详解】解：由图可知，王林同学德、智、体、美、劳五方面的得分分别为，，，，， ∵德智体美劳五方面按确定最终成绩， ∴王林期末操行最终得分为： ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为90分、80分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算选手综合成绩，则该选手的综合成绩是________分． 【答案】87 【详解】解：根据题意，得该选手的综合成绩是（分）． 【变式2】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 【答案】92 【详解】解：根据权重计算总评成绩，列式得， 因此小丽本学期的总评成绩为92分． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为_________． 【答案】8 【详解】解：根据题意 分，∴他的综合得分为8分． 题型05 利用加权平均数求未知数据的值 【典例】（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得，即，解得． 【变式1】（22-23八年级下·北京密云·期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则_____． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【答案】 【详解】解：根据题意和图表可得，解得：故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·湖南怀化·期末）一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分故选：C． 【变式3】（2026·辽宁盘锦·一模）校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【答案】演唱技巧 【详解】解：设演唱技巧的权重为，则舞台表现的权重为， 根据题意得：；；；解得，则， ∵，演唱技巧的权重更大，∴评委更看重演唱技巧． 题型06 利用平均数与加权平均数做决策 【典例】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 【答案】(1)解：不能以此确定两人的名次，理由如下：甲选手的三项的平均成绩为（分）， 乙选手的三项的平均成绩为（分）， ∴两名选手的三项的平均成绩一样，∴不能以此确定两人的名次； （2）解：甲选手的加权平均成绩为（分）， 乙选手的加权平均成绩为（分）， ∵，∴甲选手会胜出． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【答案】(1)解：∵各项成绩同等重要， ∴甲班的平均成绩：；乙班的平均成绩：， ∵，∴从他们的平均成绩看，甲班的成绩更好． (2)解：甲班的最终成绩为：， 乙班的最终成绩为：， ∵，∴从他们的最终成绩看，乙班的成绩更好． 【变式3】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【答案】(1)两人平均分相同，均可被录用(2)乙将被录用 【详解】（1）解：∵笔试和面试同等重要， ∴甲平均分为：，乙平均分为：，∴两人平均分相同，均可被录用； （2）解：∵笔试和面试按的比例计算总成绩， ∴甲总成绩为：，乙总成绩为：， ∵；∴乙将被录用． 题型07 分布式计算 【典例】某省为了解某日黄瓜批发的平均价格，在全省范围内选择了九个典型农产品批发市场，调查各市场该日黄瓜批发的日均成交量及平均价格，数据汇总如下： 如何利用这些数据估计该省2023年7月27日黄瓜批发的平均价格？ （1）能否直接用九个市场平均价格的算术平均数来估计全省的平均价格？为什么？ （2）如何利用这些数据合理估计该省黄瓜批发的平均价格？(结果精确到0.01 元/kg) 【详解】（1）不能； 原因：由于各市场的日成交量不同，成交量大的市场对全省平均价格的影响更大，不能简单地将九个平均价格相加再除以9。 （2）任何一个市场的样本都不足以代表该省的情况，合理的做法是把九个市场的样本合并以后作为一个大样本，用这个大样本的平均价格x ̅来估计该省黄瓜批发平均价格，x ̅即这九个市场黄瓜平均价格的加权平均数。 首先计算每个市场日成交量在九个市场中的占比，例如，第一个市场日成交量的占比为： 225/（225＋207＋198＋205＋176＋210＋245＋232＋158）＝225/1 856. 类似地，可以计算其他市场日成交量的占比。然后，根据加权平均数的计算方法，得： ̅＝1.99×225/1 856＋2.40×207/1 856＋1.90×198/1 856＋2.50×205/1 856＋2.00×176/1 856＋2.20×210/1 856＋2.30×245/1 856＋3.25×232/1 856＋2.66×158/1 856≈2.36(元/kg). 由此可估计该省某日黄瓜批发的平均价格约为2.36 元/kg. 【变式1】讨论：某调查机构称，在A，B两个网站的产品质量调查中，用户对某产品的满意度分别为98%与92%，所以有95%的用户对该产品表示满意.你认为调查机构的说法合理吗？ 【详解】说法不合理——因为没有考虑两个网站的用户人数(样本量).如果A网站用户远多于B网站，则整体满意度应更接近98%；反之，则更接近92%.只有当两网站用户人数相等时，95%才成立. 注意：在整合多组数据时，必须考虑各组数据的“权重”，不能简单地进行算术平均。 【变式2】观众在A，B两个网站在线观看北京冬奥会花样滑冰比赛的平均时间分别为a h和b h，A 网站和 B 网站在线观看人数分别为m人和n人，求观众在两个网 站观看花样滑冰比赛的平均时间。 解：设观众在两个网站观看花样滑冰比赛的平均时间为x ̅，由加权平均数的计算方法，得： ̅＝ 答：观众在两个网站观看花样滑冰比赛的平均时间为 ． 【变式3】甲、乙两个运动应用程序（App）的用户每日人均步数为11 000 步，已知甲App用户每日人均步数为 13 000 步，乙 App 用户每日人均步数为 10 000 步，甲App比乙 App 的用户人数少 30 万，请分别求出甲、乙两个 App 的用户数． 解：设甲App的用户数为 x 万人，则乙 App 的用户数为 (x＋30) 万人， 由题意，得 ， 解得 x＝30， 则 x＋30＝60． 答：甲、乙两个 App 的用户数分别为30万和60万． 题型08 平均数的综合问题 【典例】（25-26七年级上·四川眉山·期中）某班一次考试平均分数是70分，其中的人及格，他们的平均分是80分，则该班不及格的人的平均分是___________分． 【答案】40 【详解】解：设某班有n人， 则：不及格人的平均分数为分，故答案为：40． 【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·培优）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：．故答案为： ． 【变式2】（2026·上海·中考真题）已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 【答案】C 【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟，∴7天总运动时间为分钟， ∵周一到周五的总运动时间为分钟， ∴周六和周日的总运动时间为分钟，对比各选项，只有C选项中，符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·广东·期末）某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 【答案】B 【详解】求15个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，即使总和增加了90；那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是90÷15=6．故选B． 【巩固训练】 1．（26-27七年级上·湖北·开学考试）智能体育系统记录了四位同学连续三次跳远的情况（如图），跳远平均成绩最接近米的是（     ） A．王洁 B．李名 C．许多 D．丽丽 【答案】C 【详解】解：由图可知，许多的三次跳远成绩在在米左右波动，平均成绩最接近米，其他三位同学的成绩受到最大值或最小值的影响，平均成绩都离米较远，故选项C符合题意． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁四位同学去超市购买糖果，他们各自购买糖果的种类、价格和数量如下表所示．若要比较他们购买糖果的平均价格，则平均价格最低的同学是（     ） 甲 乙 丙 丁 10元/包 1 1 2 3 8元/包 2 1 2 2 6元/包 3 4 2 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：甲的平均价格为：.（元）乙的平均价格为：（元） 丙的平均价格为：（元）丁的平均价格为：（元） 则平均价格最低的同学是：乙． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误；B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确；D：甲校男生多于女生，错误．故选：C． 4．（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）跳绳是一项极佳的健体运动，能有效地锻炼个人的反应能力，下表是扬帆小学(9)班第一小组5名同学一分钟跳绳的成绩． 姓名 程程 嫣嫣 萱萱 雅雅 霖霖 成绩/个 131 124 141 120 114 （1）这5名同学的平均成绩是( )个． （2）如果把高于平均成绩的部分记作正数，低于平均成绩的部分记作负数，那么萱萱的成绩记作( )个，程程的成绩记作( )个． 【答案】 【详解】（1）这5名同学的平均成绩是：， （2）萱萱的成绩是141，比126大15，记作个，程程的成绩是131，比126大5，记作个． 5．（2026·四川乐山·二模）有一组数分别为、、、、、、，它们的平均数是________． 【答案】1 【详解】解：这组数一共有个，先计算所有数的和：， 平均数等于总和除以数据个数，因此可得：平均数． 6．（25-26八年级下·江西南昌·期末）一组数据4，6，3，x，2，8的平均数是5，则x的值为_______． 【答案】7 【详解】由平均数的定义得，即，∴． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．则小王这一周的平均睡眠时间是__________小时． 【答案】 【详解】解：平均睡眠时间． 8．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 【答案】7 【详解】解：由题意，根据平均数的定义，原数据满足 新数据的总和为 新数据共有个，因此新数据的平均数为． 9．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）汝城拥有国家级非遗汝城香火龙、传统木雕等民俗技艺．某校非遗社团考核由香火龙纹样手绘、课堂出勤、木雕实操三项组成，分别占比，，．某同学香火龙纹样手绘80分、课堂出勤90分、木雕实操90分，则该同学非遗社团考核综合成绩为__________． 【答案】分 【详解】解：（分）． 因此该同学非遗社团考核综合成绩为分． 10．（26-27七年级上·新疆喀什·开学考试）我是统计小专家． 某地区2020年降水量统计图 (1)这是 统计图．(2)11月份降水量比12月份多 ．12月份比11月份少 ． (3)第三季度的月平均降水量是多少毫米？ 【答案】(1)折线(2)50，33.3(3)175毫米 【详解】（1）解：这是折线统计图； （2）解：由图可知，11月份降水量90毫米，12月份降水量60毫米， ， ， 答：11月份降水量比12月份多，12月份比11月份少； （3）解：(毫米) 答：第三季度的月平均降水量是175毫米． 11．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在400名参赛学生中随机抽取20名，他们的参赛成绩（单位：分）如下：67，83，66，85，79，81，86，86，90，91，72，98，85，79，91，73，90，74，88，76． (1)求这20名学生参赛成绩的平均数； (2)据此估计400名学生参赛成绩在分与分之间的人数． 【答案】(1)82分(2)320人 【详解】（1）解：这20名学生参赛成绩的平均数： 分； （2）解：参赛成绩在分与分之间，即参赛成绩在分与分之间， 20名参赛学生中一共有16名同学的参赛成绩在分与分之间， 估计400名参赛学生中成绩在分与分内的人数（人）， 答：估计400名参赛学生中成绩在区间内的人数为320人． 【强化训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·竞赛）数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【详解】解：∵，，的平均值是333，∴， ∴，∴，∴．故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得：，即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D．故选：C． 3．（2026·江苏镇江·中考真题）将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 【答案】 【详解】解：设这组数据从左到右依次为，由题意得，， ∵从第个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数， ∴对任意，有，整理得， 依次计算得：，，， ，，，，， 则前10个数的和：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是________． 【答案】5 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数是4， ∴，∴， ∴，故答案为：． 5．（25-26八年级下·北京丰台·期末）某学校为了引入一款适合学生使用的智能学习助手，决定从五个维度对候选产品进行测试评分，相关信息如下： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重（比例） 候选产品实测打分 根据以上信息，候选产品的最终得分是_________分． 【答案】 【详解】解：据图表可知， 最终得分， 故候选产品的最终得分为分． 6．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【答案】面试 【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为， 由题意得：，解得，， 则此次招聘中面试的权重较大，故答案为：面试． 7．（25-26九年级上·广东·期中）在一次数学考试中，全班名同学，平均分为，其中女生有名，她们的平均分为，则这个班男同学的平均数为________． 【答案】分 【详解】解：设男生的平均分为x分，则30x+80.5×20=50×78.7，解得x=77.5. 即男生的平均分为77.5分.故答案为77.5分. 8.（25-26八年级下·广东广州·期末）某商场招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 50 60 85 (1)商场对计算机、语言和商品知识分别赋权2、3、5，计算两名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ (2)该商场员工月收入如下表，试计算该商场员工月收入的平均数；若用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况是否合理？请说明理由． 月收入/元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 【详解】（1）解：∵计算机、语言、商品知识的权重分别为，，， ∴甲的加权平均成绩为（分）， 乙的加权平均成绩为（分）， ，乙的平均成绩最高，应该录取乙； (2)该商场员工月收入的平均数为8640元，用平均数代表这个商场员工月收入的大致情况不合理，理由如下： 由表格可得，该商场总员工数为（人）， 所有员工月总收入为（元）， ∴月收入平均数为（元）， 该商场只有少数员工的月收入达到或超过8640元，大多数员工的月收入都低于8640元，平均数受极端高收入的影响较大，不能反映大多数员工的月收入水平， ∴用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况不合理． 9．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x (1)计算九年级（1）班的最终成绩； (2)如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ 【答案】(1)分(2)分 【详解】（1）解：九年级（1）班的最终成绩为分； （2）解：根据题意得：，解得：， 即它们的情感感染力得分x应该超过90分． 10．（2026·山东济南·二模）在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； (2)5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 【答案】(1)90，85(2)86(3) 【详解】（1）解：∵5位选手“演讲效果”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“演讲效果”成绩的众数是90分， ∵5位选手“演讲技巧”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲技巧”成绩的中位数是85分； （2）解：5位选手“演讲技巧”成绩的平均分为（分） （3）解：设选手B“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”为， 根据题意得：， 解得， 答：选手B“演讲效果”所占比例为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $