专题4.3 数据的离散程度重难点题型专训（2个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题4.3 数据的离散程度重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求方差】 3 【基础题型二 利用方差求未知数据的值】 3 【基础题型三 根据方差判断稳定性】 6 【基础题型四 运用方差做决策】 6 【基础题型五 求极差】 8 【基础题型六 标准差】 10 【基础题型七 求离差平方和】 11 【基础题型八 离差平方和的应用】 12 第二部分·练提高题型 【提高题型一 用方差和标准差分析数据】 15 第三部分・自我检测 知识点01 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．学校随机抽取了九年级的10名男生，进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．则关于这组数据的下列结论中，错误的是（    ） A．众数是11 B．中位数是10 C．平均数是10 D．方差是 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为________． 知识点02 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）有一组数据1，2，3，6，这组数据的离差平方和是（   ） A．20 B．30 C．14 D．16 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是_______________． 【基础题型一 求方差】 【例1】（2026九年级上·江苏宿迁·阶段测试）某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（     ） A．不变，改变 B．增大两岁，不变 C．增大两岁，改变 D．不变，不变 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）有一组数据：（为常数），这组数据的方差为________． 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（2023九年级上·江苏盐城·阶段测试）如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是（     ） ①甲、乙的射击成绩的平均数都是8；②甲、乙的射击成绩的众数都是8；③甲成绩的方差比乙成绩的方差小；④甲、乙成绩的中位数都是8． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，一次函数中自变量的一组值的对应函数值分别为，若的方差为，则的方差为____． 4．（26-27九年级上·广西南宁·阶段测试）智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：60，70，75，85，90，90，90，95，95，100； 乙模型：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 85 60 75 90 95 100 乙模型 83.5 70 82.5 90 100 65.25 根据以上信息回答下列问题： (1)_______，_______； (2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【基础题型二 利用方差求未知数据的值】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是________． 1．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）为响应“健康中国2030”行动，某校开展了为期五周的“每日步数达标打卡”积分活动．已知甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，相关数据如下： 甲同学五次打卡积分统计表（单位：分） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 积分 33 35 34 36 乙同学五次打卡积分的方差计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是__________； (2)根据甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数和方差，判断谁的打卡表现更稳定，并说明理由； (3)如果甲同学再打卡一次，第六次积分为35分，与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将__________（填“变大、变小”或“不变”）． 【基础题型三 根据方差判断稳定性】 【例1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·期末）甲、乙、丙三组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组方差，最小的是______组数据． 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次必有次正面朝上 B．在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是 C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D．五个数据，，，，，都加后方差不变 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 3．（2026九年级上·江苏连云港·阶段测试）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 4．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 14 14 17 16 18 17 17 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析：绘制A队成绩的箱线图． (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【基础题型四 运用方差做决策】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）科学家同时培育了甲，乙，丙，丁四种花，从中选开花时间最长并且最稳定的是（     ） 种类 甲 乙 丙 丁 开花时长（单位：天）的平均数 6 8 10 10 开花时长（单位：天）的方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例2】（2026九年级上·江苏连云港·阶段测试）要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是，，，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）在一次男子10米气步枪团体资格赛中，某队甲、乙、丙三名运动员各轮次的成绩（单位：环）见下表： 轮次 运动员甲 运动员乙 运动员丙 轮次 运动员甲 运动员乙 运动员丙 1 48.1 47.3 46.4 8 49.5 49.1 47.9 2 48.5 47.9 45.1 9 48.6 48.6 47.7 3 48.3 48.8 47.4 10 48.9 48.5 47.3 4 48.6 48.7 47.9 11 48.7 49.1 48.2 5 49.1 50.1 48.4 12 48.2 49.3 46.8 6 49.2 48.1 47.5 合计 585.3 584.7 569.2 7 49.6 49.2 48.6 试评价该队这三名运动员在这次团体资格赛中的表现． 【基础题型五 求极差】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）扬州某日天气预报显示最低气温为，最高气温为，则该日气温的极差为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻的亩产量（单位：）并整理如下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） A．100块稻田中亩产量的中位数小于 B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田中亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田中亩产量的平均值介于至 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知、、、、是按从小到大顺序排列的5个连续整数，若将这组数据变为、、、、，则这组新数据与原来相比（    ） A．平均数变大 B．中位数变小 C．极差变大 D．方差变小 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如一组数据1，7，8，a，4的平均数是a，中位数是m，极差是n，则____． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87  93  88  93  89  90 乙：85  90  90  96  89   (1)甲同学成绩的极差是_____； (2)若甲、乙的平均成绩相同，求的值； (3)已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 【基础题型六 标准差】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【例2】（25-26九年级上·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）对5名女生“一分钟仰卧起坐”个数（每名女生的个数均不相同）进行登记时，误将最高成绩45个写成了48个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 3．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）某厂用罐头分装机分装某种鱼罐头（每只罐头的标准质量为207g）．为了监控分装质量，该厂决定定期对罐头的质量进行抽样检查，并规定当抽检产品的平均质量与标准质量相差大于5g或罐头质量的标准差大于8g时，该分装机运行不正常，将对它进行检修．现随机抽取了20只罐头，它们的质量（单位：g）如下： 200  205  208  212  223  199  193  208  204  200 208  201  215  190  198  206  215  198  206  216 该分装机运行是否正常？ 【基础题型七 求离差平方和】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）数据100，101，99，98，102的离差平方和是（     ） A．12 B．99 C．10 D．100 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 1．（26-27九年级上·广西南宁·阶段测试）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（25-26九年级上·江苏·期末）有10个数据，它们的方差是10；现将这十个数据分成两组，若两组数据的组内离差平方和是78，则它们的组间离差平方和是________． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）某班生物组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：76，78，86，89，89，现将这5名同学按照实验结果分成和两组，请你计算这样分组的组内离差平方和． 【基础题型八 离差平方和的应用】 【例1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 1．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）甲、乙两名同学进行次模拟测试，已知两人测试成绩的平均分完全相同，甲成绩的离差平方和为，乙成绩的离差平方和为．若甲的成绩波动比乙更小，则整数的最大值为______． 4．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 【提高题型一 用方差和标准差分析数据】 【例1】（25-26九年级上·全国·暑假作业）一组数据，0，，3，5的极差是7，那么可能的值的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校八年级甲、乙、丙三名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个²）如下表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______．（填写甲或乙或丙） 甲 乙 丙 平均数 方差 1．（2026九年级上·江苏南京·阶段测试）甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如表： 操作组 管理组 研发组 日工资（元/人） 260 280 300 人数（人） 4 4 4 现从管理组抽调2人，其中1人到研发组，另1人到操作组，调整后与调整前相比，下列说法不正确的是（　　） A．团队日工资的平均数不变 B．团队日工资的方差不变 C．团队日工资的中位数不变 D．团队日工资的极差不变 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段测试）已知一组数据：的极差是3，则整数可以是___________（只写一个）． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图是今年我市一周（5月11日至5月17日）中每天最高、最低气温的折线统计图（温度为整数）． (1)5月13日当天的气温的极差是 ，一周内最高气温的极差是 ； (2)每日平均气温近似按“（最高气温+最低气温）”计算，气象学规定：连续5日平均气温，即可判定入夏，请判断泰兴5月11日至5月15日是否达到入夏标准，并说明理由． 1．（2023九年级上·江苏苏州·阶段测试）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位℃)：，，，2，，1．若这组数据的中位数是，则下列结论正确的是（     ） A．方差是8 B．极差是9 C．众数是或 D．平均数是 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段测试）若，以下正确的是（） A．、、、的平均数小于、、、、、、、的平均数 B．、、、的极差小于、、、、、、、的极差 C．、、、的方差不大于、、、、、、、的方差 D．、的标准差小于、、、、、、、的标准差 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 5．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段测试）教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏常州·周测）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 7．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段测试）去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学参加市里举办的“华星杯”“爱我中华”主题演讲比赛，如表是四位同学几次演讲比赛成绩的平均分和方差的统计结果，如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均分 9.4 9.8 9.8 9.6 方差 1 1.2 1 1.8 A．甲 B．乙． C．丙 D．丁． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）校运动队统计男、女队员各5名的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，下面说法正确的是（     ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．女生达标情况更稳定 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，2，4，4，6的众数是4 B．有一组数据：a，b，c，d（）．将这组数据改变为：，b，c，．则改变前后的两组数据的平均数相等，中位数相等，方差相等； C．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为2．则； D．已知一组数据，，…，的平均数为1，方差为，若在这组数据中加入另一个数据，重新计算，平均数无变化，则这10个数据的方差为2． 11．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为_____． 13．（2024九年级上·江苏常州·阶段测试）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一组数据，其中最大值是，最小值是，对这组数据进行整理时，打算将组距定为，则组数是 __ ． 15．（26-27九年级上·江苏南通·阶段测试）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 16．（2026九年级上·江苏宿迁·阶段测试）某家电销售商店1～5周销售甲、乙两种品牌空调的数量如图所示（单位：台） (1)分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数和方差；（方差） (2)请根据计算结果及统计图，对该商店今后采购这两种品牌空调的意向提出建议，并说明理由． 17．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图统计图． 【数据分析】 (1)列表 选手 最小值、四分位数、最大值、平均数和方差 最小值 最大值 平均数 方差 A B 表中的________，__________，__________； 【作出决策】 (2)通过对上面数据进行分析，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？可以从平均数、方差的角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图的角度进行分析，请选择一个角度说明． 18．（24-25九年级上·江苏南京·阶段测试）周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 19．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）平均数和中位数都是一组数据的代表值，但其代表的意义又有所不同．设数据，，，，分别为2，3，5，8，12，其平均数为，中位数为，回答下面的问题． (1)平均数____________，中位数____________． (2)设， ， ， ． 计算，并比较它们的大小，计算，并比较它们的大小． (3)根据计算结果，猜想一组数据与哪个数的距离和最小，与哪个数的差的平方和最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 数据的离散程度重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求方差】 4 【基础题型二 利用方差求未知数据的值】 5 【基础题型三 根据方差判断稳定性】 12 【基础题型四 运用方差做决策】 13 【基础题型五 求极差】 18 【基础题型六 标准差】 21 【基础题型七 求离差平方和】 25 【基础题型八 离差平方和的应用】 28 第二部分·练提高题型 【提高题型一 用方差和标准差分析数据】 34 第三部分・自我检测 知识点01 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．学校随机抽取了九年级的10名男生，进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．则关于这组数据的下列结论中，错误的是（    ） A．众数是11 B．中位数是10 C．平均数是10 D．方差是 【答案】B 【分析】本题主要考查了求中位数，求平均数，求众数和求方差，根据平均数，中位数，众数和方差的定义求解判断即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，处在最中间的两个数分别为10，11，故中位数为，故B结论错误，符合题意； ∵成绩为11的人数最多， ∴众数为11，故A结论正确，不符合题意； 平均数为，故C正确，不符合题意； 方差为，故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为________． 【答案】 【分析】本题考查标准差的计算，熟练掌握计算标准差的步骤是解题的关键．先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据3，4，5，6，7的平均数为， 方差， 标准差． 故答案为：． 知识点02 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）有一组数据1，2，3，6，这组数据的离差平方和是（   ） A．20 B．30 C．14 D．16 【答案】C 【分析】计算数据的均值，然后求每个数据与均值之差的平方和． 本题考查了离差平方和的计算方法，理解离差平方和的计算方法是解答关键． 【详解】解：∵ 数据为1，2，3，6，共个数， ∴ 均值 ， ∴ 离差平方和 ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是_______________． 【答案】 【分析】根据方差定义，方差等于离差平方和除以数据个数，已知数据个数为，离差平方和为，代入公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，共有个数据， ∵方差公式为，， ∴这组数据的方差． 【基础题型一 求方差】 【例1】（2026九年级上·江苏宿迁·阶段测试）某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（     ） A．不变，改变 B．增大两岁，不变 C．增大两岁，改变 D．不变，不变 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的定义计算变化即可得出结论． 【详解】设该班有名学生，两年前学生年龄分别为，，，，两年前年龄平均数为，方差为， 则，， 现在每名学生年龄都增加岁，则学生年龄分别为，，，， ， ， 平均数增大两岁，方差不变． 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）有一组数据：（为常数），这组数据的方差为________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为， 这组数据的方差为 ． 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数，由此可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：因为去掉一个最高分和一个最低分不会影响一组数据位于中间位置或中间两数的平均数，所以对中位数没有影响，即中位数一定不发生变化． 2．（2023九年级上·江苏盐城·阶段测试）如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是（     ） ①甲、乙的射击成绩的平均数都是8；②甲、乙的射击成绩的众数都是8；③甲成绩的方差比乙成绩的方差小；④甲、乙成绩的中位数都是8． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案． 【详解】解：（环）， （环）， 故①正确； 根据众数的定义可知甲、乙的射击成绩的众数都是8，故②正确； 根据方差的定义可知甲成绩的方差为： ， 乙成绩的方差为： ， 故③错误； 把甲的射击成绩从小到大排列为， 则中位数是， 把乙的射击成绩从小到大排列为， 则中位数是， 故④正确. 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，一次函数中自变量的一组值的对应函数值分别为，若的方差为，则的方差为____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质、方差的计算方法，关键是找出两个数列之间方差的关系；先找出与的关系，再利用方差的计算方法求解的方差． 【详解】解：设的平均数为：， 则， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（26-27九年级上·广西南宁·阶段测试）智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：60，70，75，85，90，90，90，95，95，100； 乙模型：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 85 60 75 90 95 100 乙模型 83.5 70 82.5 90 100 65.25 根据以上信息回答下列问题： (1)_______，_______； (2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】(1)80，145 (2)解：补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： (3)解：选择乙模型，理由如下：两模型平均数相近，但乙模型的方差较小，由箱线图看箱体更小，所以波动更小，更稳定； 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数略高，上四分位数和中位数都较高，整体高分较多． 【分析】（1）利用方差公式和下四分位的求解方法即可解答； （2）由表格数据画箱线图即可解； （3）根据表格中的平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【详解】（1）解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100，共10个数， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有5个数据，最中间数据是第3个数据为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3个数据，则，即； （2）解：略； （3）解：略． 【基础题型二 利用方差求未知数据的值】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差，根据方差的计算公式及非负数的性质可得，进而即可求解，熟记方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是________． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一组数据的方差计算公式，如果一组数据的平均数为，表示这组数据，那么这组数据的方差为．根据方差的计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据的方差计算公式为， ∴这组数据的个数为10，平均数是3， ∴这组数据的总和是． 故答案为：30． 1．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【答案】或4 【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定的可能值． 【详解】解：第二组数据，，，，是个连续整数，方差为固定值， 又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变， 第一组数据，，，，应为个连续整数， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 的值为或． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）为响应“健康中国2030”行动，某校开展了为期五周的“每日步数达标打卡”积分活动．已知甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，相关数据如下： 甲同学五次打卡积分统计表（单位：分） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 积分 33 35 34 36 乙同学五次打卡积分的方差计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是__________； (2)根据甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数和方差，判断谁的打卡表现更稳定，并说明理由； (3)如果甲同学再打卡一次，第六次积分为35分，与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将__________（填“变大、变小”或“不变”）． 【答案】(1)37 (2)  ，         因为，， 所以， 因为甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同， 所以乙的打卡表现更稳定； (3)变小 【分析】（1）根据乙同学五次打卡积分的方差公式，可以得出乙同学五次打卡积分的平均数，再由甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同，可得甲同学五次打卡积分的平均数，求出a的值； （2）由于甲乙两人平均成绩相同，所以成绩的方差越小的成绩越稳定，算出甲成绩的方差与乙比较即可； （3）求出甲同学六次打卡积分的方差，即可． 【详解】（1）解：∵乙同学五次打卡积分的平均数为35，甲、乙两位同学五次打卡积分的平均数相同， ∴甲同学五次打卡积分的平均数为35， ∴； （2）略 （3）解：甲同学六次打卡积分的平均数为， 所以甲同学六次打卡积分的方差为 ， 因为， 所以与前五次相比，甲同学六次打卡积分的方差将变小． 【基础题型三 根据方差判断稳定性】 【例1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 【答案】C 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，说明数据越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ∵方差越小，数据的波动越小，身高越整齐 ∴参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·期末）甲、乙、丙三组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组方差，最小的是______组数据． 【答案】乙 【详解】解：由折线图得，乙组数据的波动最小，更稳定， ∴方差最小的是乙． 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次必有次正面朝上 B．在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是 C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D．五个数据，，，，，都加后方差不变 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、中位数与众数的定义、方差的性质，需逐个分析选项判断正误． 【详解】解：∵抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上概率为，但连续抛次是随机事件，不是必有次正面朝上，∴A错误． ∵将数据，，，，，排序为，，，，，，中位数为，众数为，∴B错误． ∵方差越小，数据越稳定，，∴乙组成绩更稳定，C错误． ∵一组数据中每个数据都加上相同的数，数据的波动程度不变，方差不变，∴D正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 【答案】D 【分析】本题考查折线图，求平均数，中位数，方差和众数，从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，再进行判断即可． 【详解】解：甲班的数据为：， ∴平均数为：； 中位数为：； 方差为： 乙班的数据为：， ∴众数为， 平均数为：； 中位数为：； 方差为：； 故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班； ∴D选项描述错误； 故选：D． 3．（2026九年级上·江苏连云港·阶段测试）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 【答案】＞ 【分析】根据方差的意义，方差表示数据波动的大小，原有鸡蛋大小不一，波动更大，选购的鸡蛋大小均匀，波动更小，即可比较两者方差的大小． 【详解】解：由题意可知，货架上原有鸡蛋大小不一，数据波动程度更大，顾客选购的鸡蛋大小均匀，数据波动程度更小，根据方差的意义，波动越大方差越大，波动越小方差越小，因此． 4．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 14 14 17 16 18 17 17 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析：绘制A队成绩的箱线图． (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【答案】(1)16，B，2，B (2)如图， (3)选B队， 理由：从平均成绩看，可以看出B队的平均成绩更好； 从方差看可以看出B队队员之间的水平更加均衡； 从成绩的四分位数和箱线图看，可以看出B队选手间成绩差异没有A队的大， ∴总体情况B队更好， ∴选B队． 【分析】（1）根据平均数和方差的定义分别求出，，并分别与，比较大小，即可得出结论； （2）根据四分位数的概念求解，然后画出箱线图即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒）， ∵秒，， ∴可以看出B队的平均成绩更好； ， ∵，， 可以看出B队队员之间的水平更加均衡； （2）解：A队队员成绩排序为14，14，15，16，17，17，17，18， ∴中位数为， 解法一：下四分位数为前半部分的中位数：， 上四分位数为后半部分的中位数：； 解法二：由，可知下四分位数为第2个数据和第3个数据的平均数， ∴下四分位数为， 由，可知上四分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴上四分位数为． 绘制A队成绩的箱线图略； （3）略 【基础题型四 运用方差做决策】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）科学家同时培育了甲，乙，丙，丁四种花，从中选开花时间最长并且最稳定的是（     ） 种类 甲 乙 丙 丁 开花时长（单位：天）的平均数 6 8 10 10 开花时长（单位：天）的方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均数越大，平均开花时间越长，方差越小，开花时长越稳定，据此筛选即可得到结果． 【详解】解：平均数越大，开花时间越长，观察表格可知，丙和丁的平均数最大，均为， 丙和丁的开花时间最长， 又方差越小，开花时长越稳定，丙的方差为，丁的方差为，， 丁的开花时长更稳定， 因此开花时间最长并且最稳定的是丁． 【例2】（2026九年级上·江苏连云港·阶段测试）要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是，，，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 【答案】甲 【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，比较三人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵三人的平均成绩都是分，方差分别是 ， ， ， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定， 故派甲去参赛更合适． 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【答案】D 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 【答案】丙 【分析】需要选出同时满足命中数高和发挥稳定的队员，先筛选平均命中数较高的队员，再比较对应队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 【详解】解：从表格可知，四名队员的平均命中数分别为，，，，可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁，满足命中数高的要求， 比较乙和丙的方差，乙的方差为，丙的方差为，可得，根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 丙满足发挥稳定的要求， 综上，“命中数高且发挥稳定”的队员应选择丙． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）在一次男子10米气步枪团体资格赛中，某队甲、乙、丙三名运动员各轮次的成绩（单位：环）见下表： 轮次 运动员甲 运动员乙 运动员丙 轮次 运动员甲 运动员乙 运动员丙 1 48.1 47.3 46.4 8 49.5 49.1 47.9 2 48.5 47.9 45.1 9 48.6 48.6 47.7 3 48.3 48.8 47.4 10 48.9 48.5 47.3 4 48.6 48.7 47.9 11 48.7 49.1 48.2 5 49.1 50.1 48.4 12 48.2 49.3 46.8 6 49.2 48.1 47.5 合计 585.3 584.7 569.2 7 49.6 49.2 48.6 试评价该队这三名运动员在这次团体资格赛中的表现． 【答案】甲运动员的平均成绩为环，方差约为，整体水平最高且发挥最稳定，表现最好. 乙运动员的平均成绩为环，方差约为，整体水平接近甲，发挥稳定性弱于甲. 丙运动员的平均成绩约为环，方差约为，整体水平偏低，成绩波动最大. 【分析】分别求出三名运动员的平均成绩和方差，结合方差越小，成绩越稳定可得结论． 【详解】解：甲运动员的平均成绩：（环）， 方差：， 乙运动员的平均成绩：（环）， 方差：， 丙运动员的平均成绩：（环）， 方差：， ∵，， ∴甲运动员的整体水平最高且发挥最稳定，表现最好；乙运动员整体水平接近甲，发挥稳定性弱于甲；丙运动员的整体水平偏低，成绩波动最大． 【基础题型五 求极差】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）扬州某日天气预报显示最低气温为，最高气温为，则该日气温的极差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了极差的定义、有理数的减法运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：由题意知，该日气温的极差为． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【答案】 【分析】先找出这组数据的最大值与最小值，再计算两者的差即可. 【详解】解：这组数据的最大值为，最小值为，因此极差为. 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻的亩产量（单位：）并整理如下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） A．100块稻田中亩产量的中位数小于 B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田中亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田中亩产量的平均值介于至 【答案】C 【分析】本题考查求中位数，极差和平均数，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键，求出中位数，极差和平均值，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，中位数为第50块和第51块的亩产量的平均值，由图可知，第50块和第51块的亩产量的范围均在上，故中位数大于或等于，原结论错误，不符合题意； B、100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例为；原结论错误，不符合题意； C、最小亩产量在至950之间，最大亩产量在至1200之间，，极差最小为，最大为，原结论正确，符合题意； D、，原结论错误，不符合题意； 故选C 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知、、、、是按从小到大顺序排列的5个连续整数，若将这组数据变为、、、、，则这组新数据与原来相比（    ） A．平均数变大 B．中位数变小 C．极差变大 D．方差变小 【答案】D 【分析】根据平均数，中位数，极差、方差的意义分别对每项进行计算，即可得出答案． 【详解】∵、、、、是按从小到大顺序排列的5个连续整数， ∴、、、 ∴新数据为：、、、、 原数据的平均数为：， 中位数为， 极差为， 方差为； 新数据的平均数为：，与原来相比平均数一样， 中位数为，与原来相比中位数不变， 极差为，与原来相比极差减小， 方差为 ，与原来相比方差变小； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，极差、方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是一组数据中最大值减去最小值；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如一组数据1，7，8，a，4的平均数是a，中位数是m，极差是n，则____． 【答案】12 【分析】根据平均数的定义求出的值，再将数据排序得到中位数，根据极差的定义求出，最后计算即可． 【详解】解：∵数据1，7，8，，4的平均数是， ∴， ， 将这组数据从小到大排列为：，，，，， 根据中位数的定义，得中位数， 根据极差的定义，得极差， ∴． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87  93  88  93  89  90 乙：85  90  90  96  89   (1)甲同学成绩的极差是_____； (2)若甲、乙的平均成绩相同，求的值； (3)已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) 选甲，理由如下： 甲的平均数， 甲的方差， ∵， ∴甲发挥稳定，应该选甲． 【分析】此题考查及极差的定义，根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键． （1）将甲的成绩的最大减最小即可得解； （2）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a； （3）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择． 【详解】（1）解：∵甲：87  93  88  93  89  90，最大数为，最小数为， ∴甲同学成绩的极差是， 故答案为：； （2）解：∵甲、乙的平均成绩相同， ∴甲、乙的总成绩相同， ∴； （3）略 【基础题型六 标准差】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键． 成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可． 【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7， 因此小明成绩的标准差为， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算方差，最后求出方差的算术平方根即为标准差． 【详解】解：首先计算这组数据的平均数，得， 再根据方差的计算公式计算方差，得 ， 标准差是方差的算术平方根，因此该组数据的标准差为． 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）对5名女生“一分钟仰卧起坐”个数（每名女生的个数均不相同）进行登记时，误将最高成绩45个写成了48个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】根据平均数，中位数，方差，标准差的概念，逐一判断即可解答． 【详解】解：将个不同成绩按从小到大排列，中位数为第个数据， ∵最高成绩为最大数据，将其从改为后仍为最大数据，排序后第个数据不变， ∴中位数不受影响． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【答案】D 【分析】观察折线统计图，比较两组数据的波动程度．波动越大，方差和标准差越大，稳定性越差；波动越小，方差和标准差越小，稳定性越好． 【详解】解：由图象可知，组数据的波动幅度明显大于组数据的波动幅度， 方差和标准差是衡量数据波动大小的量，波动越大，方差和标准差越大， 组数据的方差和标准差较大，组数据的方差和标准差较小， 数据波动越小越稳定， 组数据比较稳定， 结论A、B、C正确，D错误． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）某厂用罐头分装机分装某种鱼罐头（每只罐头的标准质量为207g）．为了监控分装质量，该厂决定定期对罐头的质量进行抽样检查，并规定当抽检产品的平均质量与标准质量相差大于5g或罐头质量的标准差大于8g时，该分装机运行不正常，将对它进行检修．现随机抽取了20只罐头，它们的质量（单位：g）如下： 200  205  208  212  223  199  193  208  204  200 208  201  215  190  198  206  215  198  206  216 该分装机运行是否正常？ 【答案】 该分装机运行不正常 【分析】先计算抽检罐头的平均质量，判断与标准质量的差值是否大于；再计算质量的标准差，判断是否大于，满足任一条件则运行不正常． 【详解】解：抽取的20只罐头质量的平均数 ， ， ， 平均质量符合运行要求， 抽取的20只罐头质量的方差 ， 抽取的20只罐头质量的标准差， ， 标准差不符合运行要求， 综上所述，该分装机运行不正常． 【基础题型七 求离差平方和】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）数据100，101，99，98，102的离差平方和是（     ） A．12 B．99 C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查离差平方和的计算，解题思路为先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算所有数据与平均数差的平方和，即可得到结果． 【详解】解： ∴ 离差平方和是． 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【答案】 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的和，分别计算每个差的平方再求和即可． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，平均数为7， ∴离差平方和为． 1．（26-27九年级上·广西南宁·阶段测试）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 【答案】B 【分析】组内离差平方和为每组数据中各数据与本组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】总组内离差平方和为各组的离差平方和之和，因此首先需要分别计算两个分组各自的离差平方和．将两个组的离差平方和相加，即可得到总的组内离差平方和． 【详解】解：第一组数据84，86，87，87的平均数为， 其组内离差平方和为． 第二组数据88，90的平均数为， 其组内离差平方和为． ∴组内离差平方和为． 3．（25-26九年级上·江苏·期末）有10个数据，它们的方差是10；现将这十个数据分成两组，若两组数据的组内离差平方和是78，则它们的组间离差平方和是________． 【答案】22 【分析】根据方差的定义求出10个数据的总离差平方和，再利用总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和，计算得到组间离差平方和即可． 【详解】解：根据方差的定义可得 ∴总离差平方和为 ∵由总离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和，组内离差平方和为， ∴组间离差平方和 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）某班生物组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：76，78，86，89，89，现将这5名同学按照实验结果分成和两组，请你计算这样分组的组内离差平方和． 【答案】这样分组的组内离差平方和是 【详解】解：组的平均数为，     该组的离差平方和为．     组的平均数为，     该组的离差平方和为，     ， 这样分组的组内离差平方和是． 【基础题型八 离差平方和的应用】 【例1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 【答案】B 【分析】组内离差平方和反映组内数据的离散程度，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，同组数据越接近，只需比较四种分组的组内离差平方和大小，找出最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵， ∴方式2的组内离差平方和最小，同组数据最接近． 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【答案】③ 【分析】按成绩高低分组时，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，分组越合理，对比各组给出的离差平方和即可得到结果． 【详解】解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 1．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【答案】B 【分析】从方差算式中提取数据组与样本容量，结合相关定义计算后逐项判断选项正误即可． 【详解】解：由方差算式可知，这组数据为1，2，3，4，5，样本容量，故A正确；，故C正确；，故B错误； 添加数据3后，新数据的平均数为．新的离差平方和为，与原离差平方和相等，故D正确． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】根据题意，最优分组要求同组内株高尽量接近，对应组内离差平方和最小，只需比较三组组内离差平方和的大小即可求解． 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组，， 序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）甲、乙两名同学进行次模拟测试，已知两人测试成绩的平均分完全相同，甲成绩的离差平方和为，乙成绩的离差平方和为．若甲的成绩波动比乙更小，则整数的最大值为______． 【答案】 【分析】甲成绩波动更小说明甲的方差更小，两人测试次数相同，平均分相同，因此甲的离差平方和小于乙的离差平方和，结合离差平方和非负，求出整数的取值范围即可求解． 【详解】解：∵两人都进行次测试，平均分相同，甲的成绩波动比乙更小，且方差越小数据波动越小，方差等于离差平方和除以测试次数， ∴甲的离差平方和小于乙的离差平方和， ∴， 解得， ∵离差平方和为非负数， ∴， 解得， ∴的取值范围是 ， ∴整数的最大值为． 4．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 【答案】(1) 八（1）班身高数据的离差平方和为，八（2）班身高数据的离差平方和为 (2) 八（2）班的身高数据离散程度更大 【分析】（1）先计算两组数据的平均数，再根据离差平方和的定义求和； （2）结合两组数据样本容量、平均数均相同的条件，通过比较离差平方和判断离散程度． 【详解】（1）解：设八（1）班身高的平均数为，八（2）班身高的平均数为， 则， ， ∴八（1）班离差平方和为 ； 八（2）班离差平方和为 ； （2）解：∵ 两个班身高数据的样本容量相同，平均数相同，且离差平方和， ∴ 八（2）班的身高数据离散程度更大． 【提高题型一 用方差和标准差分析数据】 【例1】（25-26九年级上·全国·暑假作业）一组数据，0，，3，5的极差是7，那么可能的值的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据极差的定义，即一组数据中最大值减最小值，分两种情况讨论x是最大值或x是最小值，计算得到x的可能值即可得出结果 【详解】解：∵极差的定义为一组数据中最大值与最小值的差，已知该组数据极差为， 分情况讨论： 若为这组数据的最大值，则最小值为， 可得：， 解得； 若为这组数据的最小值，则最大值为， 可得：， 解得； 若， 则该组数据极差为，不符合题意，舍去； 因此的可能值共有个 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校八年级甲、乙、丙三名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个²）如下表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______．（填写甲或乙或丙） 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【分析】平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定． 【详解】解：从平均数的角度分析，，因此乙和丙的平均成绩最高， 从方差的角度分析，，因此乙的方差更小，发挥更稳定， 因此选择乙参加比赛，故答案为乙 1．（2026九年级上·江苏南京·阶段测试）甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】首先比较平均数，再比较方差即可得出结论． 【详解】解：从平均分数看：， 从方差看：， 所以丙的平均分数最大（成绩最好），且方差最小（发挥最稳定），因此最合适的学生是丙． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如表： 操作组 管理组 研发组 日工资（元/人） 260 280 300 人数（人） 4 4 4 现从管理组抽调2人，其中1人到研发组，另1人到操作组，调整后与调整前相比，下列说法不正确的是（　　） A．团队日工资的平均数不变 B．团队日工资的方差不变 C．团队日工资的中位数不变 D．团队日工资的极差不变 【答案】B 【分析】根据题意分别计算调整前后的平均数，方差，中位数，极差进而进行判断即可． 【详解】解：调整前：平均数为 方差为 中位数为第六个和第七个的平均数： 极差为 调整后：平均数为 方差为 中位数为第六个和第七个的平均数： 极差为 调整前后的平均数，方差，中位数，极差，只有方差发生变化， 故选B 【点睛】本题考查了求平均数，方差，中位数，极差，掌握求平均数，方差，中位数，极差是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段测试）已知一组数据：的极差是3，则整数可以是___________（只写一个）． 【答案】（答案不唯一，其中一个） 【分析】此题考查了极差，分情况讨论，当��是数据中最小的数时，当x是数据中最大的数时，当��是数据中既非最大也非最小的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：①当��是数据中最小的数时，，解得； ②当��是数据中最大的数时，解得； ③当��是数据中既非最大也非最小的数时，此时这组数据的极差为也符合题意， ∴此时整数可以是0或1． 故答案为：（其中一个）． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图是今年我市一周（5月11日至5月17日）中每天最高、最低气温的折线统计图（温度为整数）． (1)5月13日当天的气温的极差是 ，一周内最高气温的极差是 ； (2)每日平均气温近似按“（最高气温+最低气温）”计算，气象学规定：连续5日平均气温，即可判定入夏，请判断泰兴5月11日至5月15日是否达到入夏标准，并说明理由． 【答案】(1)16，4 (2)达到入夏标准，理由如下： 11日平均气温， ∵12日、13日、14日的最高温，最低温均高于11日， ∴这三天的平均气温均高于， 15日平均气温， 综上，泰兴5月11日至5月15日这五天的平均气温，达到入夏标准． 【分析】（1）直接根据折线图获取相关数据列式计算即可． （2）根据平均气温的公式计算这五天的平均气温，即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，5月13日当天的最高气温是，最低气温是，一周内最高的最高气温是，最低的最高气温是， 则5月13日当天的气温的极差是，一周内最高气温的极差是； （2）略 1．（2023九年级上·江苏苏州·阶段测试）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位℃)：，，，2，，1．若这组数据的中位数是，则下列结论正确的是（     ） A．方差是8 B．极差是9 C．众数是或 D．平均数是 【答案】C 【分析】先依据6个数据的中位数计算公式推导出x的取值区间，再分别分析众数.极差、平均数、方差因x可取多个数值无法得到固定常数，以此区分各选项的对错属性． 【详解】解：原始数据：，共6个数据，中位数为排序后第3项、第4项数值的平均值． 将不含的数据从小到大排列：． 由中位数是，可得： 第3项与第4项之和． 若，则x排在第3项之后，，则， 即中位数大于，与题设中位数等于矛盾； 若，中位数，符合题意； 若，则x排在第3项之前，中位数仍然是，符合题意． ∴． 选项C：当时，出现次数是三次，其它数据出现的次数都是1次，出现的次数最多；且时，出现次数是二次，也是最多；且时，出现次数是二次，出现的次数也是二次，所以众数为或，此选项正确； 选项B：∵． ∴x可取小于等于的任意数， ∵极差最大值最小值， ∴极差并不确定，此选项错误； 选项A与选项D：与判断选项B一样，由于x可取小于等于的任意数，因此平均数与方差并不是固定值，故此两选项错误． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段测试）若，以下正确的是（） A．、、、的平均数小于、、、、、、、的平均数 B．、、、的极差小于、、、、、、、的极差 C．、、、的方差不大于、、、、、、、的方差 D．、的标准差小于、、、、、、、的标准差 【答案】C 【分析】本题考查统计中平均数极差方差标准差的概念与性质，根据数据的排序关系，结合各统计量的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：已知，逐一分析选项： 选项A．设，总平均数， 当时，，故A错误 选项B．的极差，8个数的极差 ，即，极差小于等于8个数的极差，因此B不正确． 选项C．方差反映数据的离散程度，8个数包含了更小的和更大的， 数据的离散程度一定不小于中间4个数的离散程度， 因此8个数的方差不小于的方差， 即的方差不大于等于8个数的方差，因此C正确． 选项D．给所有数据同时加上同一个常数，数据的波动程度不变，方差不变，标准差也不变，因此新数据的标准差等于原数据的标准差，D错误． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 5．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段测试）教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前组数据为、后组数据为， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和． 6．（25-26九年级上·江苏常州·周测）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】利用平均数，中位数，方差，标准差的定义判断各统计量是否与被涂污数字有关，核心是确定中位数的取值是否受未知数字影响． 【详解】解：∵这组数据共5个，从小到大排列时，被涂污的数是之间的数，均大于已知的26，36，46，因此无论被涂污数字是多少，排序后排在第三位的数始终是46， ∴中位数为固定值46，与被涂污数字无关；而平均数，方差，标准差的计算都依赖被涂污数字的大小，结果随该数字改变，因此只有中位数的结果与被涂污数字无关． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段测试）去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据众数为一组数据中出现次数最多的数据，得到，再根据极差为最大数与最小数的差值，进行求解即可. 【详解】解：∵这组数据的众数是5， ∴， ∴极差为：． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学参加市里举办的“华星杯”“爱我中华”主题演讲比赛，如表是四位同学几次演讲比赛成绩的平均分和方差的统计结果，如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均分 9.4 9.8 9.8 9.6 方差 1 1.2 1 1.8 A．甲 B．乙． C．丙 D．丁． 【答案】C 【分析】先比较平均数，然后比较方差，于是可决定选择的同学． 【详解】解：∵乙、丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大， ∴应从乙和丙同学中选， ∵丙同学的方差比乙同学的小， ∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）校运动队统计男、女队员各5名的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，下面说法正确的是（     ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、离差平方和、中位数和方差，逐一判断选项即可． 【详解】解：由图可知， 男生数据为：， 女生数据为：， A、男生训练达标次数的平均数为， 女生训练达标次数的平均数为， ∴男、女生训练达标次数的平均数相等，故选项说法错误，不符合题意； B、男生离差平方和为， 女生离差平方和为， ∴男、女生训练达标次数的离差平方和不相等，故选项说法错误，不符合题意； C、将男生数据从小到大排列为：，中位数为5； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为5， ∴男、女生训练达标次数的中位数均为5，故选项说法错误，不符合题意； D、男生数据的方差为， 女生数据的方差为， ∵， ∴女生达标情况更稳定，故选项说法正确，符合题意． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，2，4，4，6的众数是4 B．有一组数据：a，b，c，d（）．将这组数据改变为：，b，c，．则改变前后的两组数据的平均数相等，中位数相等，方差相等； C．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为2．则； D．已知一组数据，，…，的平均数为1，方差为，若在这组数据中加入另一个数据，重新计算，平均数无变化，则这10个数据的方差为2． 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数与方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．逐一分析各选项的正确性，结合统计量的定义和公式进行判断． 【详解】解：A、数据1，2，2，4，4，6中，2和4均出现2次，其余数出现1次，故众数为2和4（双众数），选项A仅提到4，选项A错误； B、原数据平均数为，改变后总和为，平均数不变，中位数原为，改变后数据排序为，中位数仍为，方差方面，原方差为（为平均数），改变后为，展开后新增项导致方差变化，故方差不等，选项B错误； C、由平均数的定义得，由方差公式，整理后得，选项C正确； D、原数据总和为9，加入后总和为10，平均数仍为1，原方差，即，新方差为，不等于2，选项D错误． 故选：C． 11．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 【答案】 【详解】解：平均数， 各数与平均数的差的平方和为， 方差． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为_____． 【答案】1或4/4或1 【分析】根据方差的性质，当一组数据同时加减一个数时方差不变，进而得出答案． 【详解】解：∵一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4或1，2，3， ∴或4， 故答案为1或4． 【点睛】本题考查的是方差，正确记忆方差的有关性质是解题关键． 13．（2024九年级上·江苏常州·阶段测试）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一组数据，其中最大值是，最小值是，对这组数据进行整理时，打算将组距定为，则组数是 __ ． 【答案】8 【分析】本题考查了频数分布直方图，掌握极差、组距与组数之间的关系是解题的关键．根据频数分布直方图的组数的确定方法，用极差除以组距，然后根据组数比商的整数部分大1确定组数，据此即可求解． 【详解】解：极差为，组距为， ， 则组数是8， 故答案为：8． 15．（26-27九年级上·江苏南通·阶段测试）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到结果． 【详解】解：第一组数据为，，，， 计算第一组平均值：， 第一组离差平方和：； 第二组数据为，，，，， 计算第二组平均值：， 第二组离差平方和：； 总组内离差平方和为：． 16．（2026九年级上·江苏宿迁·阶段测试）某家电销售商店1～5周销售甲、乙两种品牌空调的数量如图所示（单位：台） (1)分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数和方差；（方差） (2)请根据计算结果及统计图，对该商店今后采购这两种品牌空调的意向提出建议，并说明理由． 【答案】(1)，；， (2)建议如下：甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数相同，乙品牌空调周销售量的方差较小，说明乙品牌空调周销售量比较稳定，可选择采购乙品牌的空调；从折线图来看，甲品牌空调的周销售量呈上升趋势，进货时也可多进甲品牌空调（只要叙述有道理就给分） 【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可． （2）可以根据方差回答，也可以根据销售趋势回答． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）略； 17．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图统计图． 【数据分析】 (1)列表 选手 最小值、四分位数、最大值、平均数和方差 最小值 最大值 平均数 方差 A B 表中的________，__________，__________； 【作出决策】 (2)通过对上面数据进行分析，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？可以从平均数、方差的角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图的角度进行分析，请选择一个角度说明． 【答案】(1)，，． (2)选 参加青少年射击比赛． 【分析】（1）先从折线图中读出 ， 各自八轮的成绩并按从小到大排序，数据个数为偶数时，四分位数取中间两个数的平均数，由此求出 ；再用平均数、方差公式求出 ，； （2）比较两人的平均数和方差：平均数越大成绩越好，方差越小成绩越稳定，综合两者作出选择． 【详解】（1）解：由折线图可知， 的八轮成绩为 ，，，，，，，， 从小到大排列为 ，，，，，，，， 方法一： ． 方法二：∵，第一四分位数是第个数的平均数， 即 由折线图可知， 的八轮成绩为 ，，，，，，，， ∴ ． ∵ 的八轮成绩中， 环、 环各出现 次， 环出现 次， ∴ ． （2）解：选 参加青少年射击比赛． 由表中数据可知，，，，， ∴ ，且 ， ∴ 的平均成绩高于 ，且成绩比 稳定， ∴ 选 参加青少年射击比赛． 18．（24-25九年级上·江苏南京·阶段测试）周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 【答案】(1)22 (2) 解：路线所用的时间更稳定，理由如下： 记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，，第二周上班选择路线用时的平均数，方差分别为，． ，． ， ． 因为，即， 所以路线所用的时间更稳定． (3)周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线 【分析】本题主要考查了极差、方差的意义、折线统计图等知识点，掌握方差和折线统计图的意义成为解题的关键． （1）先确定这两周用时最多和最少时间，然后作差即可解答； （2）先根据方差公式求出方差，再根据方差的意义分析即可解答； （3）直接分析折线统计图即可解答． 【详解】（1）解：这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40分钟，最少为18分钟，则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差分钟． 故答案为：22． （2）略 （3）解：对比这两周的折线统计图：可建议周老师周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线A． 19．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 【答案】（1） （2）①A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台；②A品牌方差为2，B品牌方差为，A品牌的销售量更稳定 【分析】此题考查了平均数、方差、标准差的计算，以及方差的意义，熟练掌握相关计算方法是关键． （1）根据先计算平均数，再计算方差，最后将方差开方得到标准差即可； （2）①根据平均数的定义进行解答即可；②分别计算平均数和方差，再比较方差大小即可． 【详解】解：（1）， ∴ 即这组数据的标准差为． （2）①（台），（台）， 答：A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台； ② ∵， ∴A品牌的销售量更稳定 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）平均数和中位数都是一组数据的代表值，但其代表的意义又有所不同．设数据，，，，分别为2，3，5，8，12，其平均数为，中位数为，回答下面的问题． (1)平均数____________，中位数____________． (2)设， ， ， ． 计算，并比较它们的大小，计算，并比较它们的大小． (3)根据计算结果，猜想一组数据与哪个数的距离和最小，与哪个数的差的平方和最小． 【答案】(1)6；5 (2)，，，，， (3)一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小 【分析】（1）根据平均数公式即可计算，再把数据按从小到大排序为：2，3，5，8，12，找到中间位置即可得中位数； （2）将数据2，3，5，8，12分别代入计算即可得的值，再比较大小即可； （3）根据（2）的计算结果可得：，，即可猜想一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小． 【详解】（1）解：根据平均数定义得： ， ∴平均数为6． 把数据按从小到大排序为：2，3，5，8，12， 观察发现中间位置的数为：5， ∴的值为5． ∴数据2，3，5，8，12的平均数为6，中位数为5； （2）解：根据（1）得，根据题意得、、、、分别为2、3、5、8、12， ∴ ， ， ∴． ， ， ． ， ∴． （3）解：根据（2）的计算结果可得：，， ∴一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $