第4章 数据的集中趋势和离散程度 单元复习（9大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第4章 数据的集中趋势和离散程度 知识点1：平均数 　　1.算术平均数：一般地，对于个数，把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，即。 　　2.平均数的特征：平均数唯一，与数据排列顺序无关；平均数与每一个数据都有关，任何数据的变动都会引起平均数的变动，且易受极端值的影响。 　　3.加权平均数：若个数中出现次、出现次、…、出现次（其中），则平均数叫做这组数据的加权平均数，称为相应数据的权。 知识点2：中位数 　　1.定义：将个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 　　2.求法：先把数据按从小到大（或从大到小）排序；数据个数为奇数时取最中间一个数，为偶数时取最中间两个数的平均数。 　　3.特征：中位数唯一，代表数据的"中等水平"；受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息。 知识点3：众数 　　1.定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 　　2.特征：众数一定是这组数据中的数据；一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数；当两个或两个以上数据出现次数并列最多时，它们都是众数。 知识点4：平均数、中位数、众数的比较与选用 统计量 平均数 中位数 众数 定义 各数据之和与数据个数之比 按大小排序后最中间位置的数据 出现次数最多的数据 个数 唯一 唯一 可能多个或无 优点 充分利用所有数据信息 不受极端值影响 反映最普遍出现的数据 局限 易受极端值影响 未充分利用所有数据 数据重复次数相近时意义不大 选用 需反映整体一般水平 数据含极端值，需稳定代表 需了解最普遍、最常见的量 知识点5：四分位数 1.四分位数：将一组数据按从小到大排序后，位于第25%位置的数称为下四分位数（第一四分位数），位于第50%位置的数称为中位数（第二四分位数），位于第75%位置的数称为上四分位数（第三四分位数）。 2.四分位距：称为四分位距，反映中间50%数据的波动范围，较方差、极差更稳健。 知识点6：箱线图 　　1.箱线图：用五个关键数字（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值）直观刻画一组数据的分布，箱体覆盖到，箱内的竖线表示中位数。 　　2.作用：箱线图能直观比较两组数据的整体水平与波动情况，识别离群值。 知识点7：方差与标准差 　　1.方差：各个数据与它们的平均数之差的平方的平均数，记为，即。 　　2.标准差：方差的算术平方根，记为，即。 　　3.意义：方差和标准差都用来描述一组数据的波动（离散）程度，方差、标准差越小，说明数据波动越小、越稳定。 　　4.计算方法：先求平均数，再求各数据与平均数之差的平方的平均数即得方差，其算术平方根即标准差。 知识点8：数据变化对平均数与方差的影响 数据变化 平均数 方差 每个数据都加（平移） 新平均数 新方差（不变） 每个数据都乘（缩放） 新平均数 新方差 　　说明：上述影响规律可快速求新数据的平均数与方差，无需逐项重新计算；若数据作型变换，则平均数为，方差为。 知识点9：从统计图分析数据的集中趋势与离散程度 　　1.从条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数分布直方图中读取数据，计算平均数、中位数、众数、方差。 　　2.结合统计图比较两组数据的集中趋势与波动情况，作出合理判断与决策。 【基础必考题型】 【题型1】算术平均数的计算 1.核心知识点 　算术平均数的定义；平均数的计算公式 2.解题方法技巧 　① 求一组数的算术平均数，将各数据求和后除以数据个数 　② 已知平均数反求某个未知数据，利用"总和=平均数×个数"建立方程 　③ 注意平均数受极端值影响，判断时应结合数据整体分布 【例题1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，先计算所有数据的总和，再除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：先计算这组数据的总和：， 共有个数据，因此平均数为． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算四位同学的平均身高，再按照规则计算甲的身高记录值即可． 【详解】解：四人平均身高为 ， ∴甲同学的身高记为． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）5名同学参加市级作文比赛，老师只公布了其中4人的成绩，分别为88分、80分、75分、82分，没有公布小红的成绩，但告诉大家5个人的平均成绩为84分．小红得了多少分？ 【答案】小红得了95分 【分析】设小红得了x分，根据平均成绩列出方程，求解即可． 【详解】解：设小红得了x分，根据题意，得 ， 解得， 答：小红得了95分． 【变式题1-3】.（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）某次考试，A，B，C，D，E五人的平均分是90分．若A，B，C的平均分是86分，B，D，E的平均分是95分，则B的得分是________分． 【答案】93 【分析】本题考查了平均数和数量、总量之间的关系．根据“平均数×数量=总数”分别计算出A、B、C三个数的和与B、D、E三个数的和与这五个数的和，进而用“A、B、C三个数的和+B、D、E三个数的和-五个数的和”进行解答即可． 【详解】解： （分） 答：B的得分是93分． 故答案为：93． 【题型2】中位数的确定 1.核心知识点 　中位数的定义与求法；排序后再取中间位置 2.解题方法技巧 　① 先按从小到大（或从大到小）顺序排列数据 　② 个数为奇数取最中间一个数，为偶数取最中间两个数的平均数 　③ 已知中位数反求未知数据时，先确定其在有序排列中的位置 【例题2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）一组数据12，9，7，3，15的中位数是________． 【答案】 【分析】将数据从小到大排序后，数据个数为奇数，中位数为排序后最中间的数． 【详解】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为，，，，， ∵这组数据的个数为，是奇数， ∴中位数为排序后位于最中间的第个数，即． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查中位数的定义，偶数个数据的中位数是按大小排序后中间两个数的平均数，据此列方程即可求解. 【详解】解：这组数据共有个数，个数为偶数， 中位数是从小到大排序后，第个与第个数的平均数， 即和的平均数. 中位数为， . 解得. 【变式题2-2】.（25-26八年级下·湖南郴州·期末）汝城深耕红色教育，某校举办红色经典诵读大赛，某组选手现场得分如下（单位：分）：8，8，7，9，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（     ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先将得分按从小到大排序，再根据数据个数确定中位数位置求解． 【详解】解：将得分从小到大排列为， ∴中位数为第4个数据，即． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是 __________________ 【答案】或或 【分析】根据中位数定义确定整数的所有可能取值，再分别计算平均数即可． 【详解】解:∵这组数据共个，是整数且为这组数据的中位数，将已知数据从小到大排列为，插入后，第个数为中位数， ∴可得，即或或； 当时，平均数为； 当时，平均数为； 当时，平均数为； 综上，这组数据的平均数为或或． 【题型3】众数的确定 1.核心知识点 　众数的定义；出现次数最多的数据 2.解题方法技巧 　① 找出数据中出现次数最多的数，即众数 　② 注意众数可能不止一个，也可能没有；众数一定是数据中的数 　③ 结合统计表、统计图统计各数据出现频数后再判断 【例题3】.（2026·全国·模拟预测）在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：）：47，49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（     ） A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，56 【答案】B 【分析】先找众数排除错误选项，再计算平均数确定答案． 【详解】解：∵ 数据47,49,56,52,56中，56出现的次数最多． ∴ 众数为56，可排除选项A、D． ∵ 平均数为． ∴排除C． ∴B符合． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）根据下列统计图，写出相应分数的平均数和众数． 【答案】某题得分的平均数为，众数为；学生给学校食堂的评分的平均数为，众数为． 【分析】加权平均数公式为；众数是一组数据中出现次数最多的数值． 【详解】解：某题得分的平均数，众数为； 学生给学校食堂的评分的平均数， 众数为． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵五个数据0，，5，2，m的唯一众数为， ∴出现的次数最多， ∵已知数据为0，，5，2，每个数据均出现次， ∴． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）有个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一的众数是，则这个数中最大的数的最大值为________． 【答案】 【分析】设个正整数为、、、、（且、、、、为整数），根据它们唯一的众数是可确定、，根据它们的中位数是可确定、，再根据它们的平均数是可确定，即可得出答案． 【详解】解：设个正整数为、、、、（且、、、、为整数）， ∵它们唯一的众数是， ∴， ∵它们的中位数是， ∴， ∵唯一的众数是，且已出现次， ∴不能等于（否则也出现了次，这样众数不唯一）， 要使取最大值，则应取最小值，即， 又∵它们的平均数是， ∴， 解得：， ∴这个正整数为、、、、， ∴这个数中最大的为． 【题型4】统计量的合理选用 1.核心知识点 　平均数、中位数、众数各自的特征与适用场景 2.解题方法技巧 　① 分析问题关注点，确定需要反映"一般水平""中等水平"还是"最常见数据" 　② 数据含极端值时优先考虑中位数，需反映整体水平用平均数，需了解最普遍量用众数 　③ 判断波动情况用方差或标准差 【例题4】.（26-27七年级上·海南海口·开学考试）某公司员工的平均工资是5800元，李叔叔是该公司的员工，他的月工资（） A．少于5800元 B．多于5800元 C．等于6000元 D．无法确定 【答案】D 【详解】解：该公司员工平均工资为元，反映员工工资的整体水平． 李叔叔的月工资可能高于元，可能低于元，也可能等于元，无法确定具体数额． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某单位10名员工向灾区捐款，捐款金额（单位：元）如下： 50，100，100，200，200，200，200，200，500，1000． (1)求捐款金额的平均数、中位数和众数． (2)哪个数能更好地反映捐款金额的“集中程度”？ 【答案】(1)平均数为元，中位数为元，众数为元 (2)众数（或中位数）（答案不唯一） 【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义，结合给定的捐款数据分别计算对应统计量； （2）分析极端值对各统计量的影响，结合集中程度的含义选择合适的统计量． 【详解】（1）解：捐款总金额为（元）， 平均数为（元）， 将10个捐款数据从小到大排列后，第5、6个数据均为200元， ∴中位数为（元）； 200元共出现5次，出现次数最多， ∴众数为200元； （2）解：众数（或中位数）能更好地反映捐款金额的集中程度，理由：捐款数据中存在500元、1000元的极端大额值，平均数受极端值影响较大，无法体现数据的集中情况；众数（或中位数）不受极端值影响，能直接反映捐款金额的集中水平． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某企业50名职工的月基本工资分为5个档次，分布情况如下表： 月基本工资额/元 人数 6 4 (1)求月基本工资的平均数、中位数和众数． (2)相对来说，企业经理更关心哪个数？普通职工更关心哪个数？ 【答案】(1)平均数为元，中位数为元，众数为元． (2)企业经理更关心平均数，普通职工更关心众数． 【分析】（1）根据平均数的计算公式，代入数据计算即可得月基本工资的平均数，把企业50名职工的月基本工资数据按从小到大顺序排序，排在中间位置的是，，即可得中位数，根据企业50名职工的月基本工资为元的人数最多，即可得众数． （2）根据平均数反映全体职工工资的平均水平，关系到企业工资总成本支出，所以企业经理关心平均数，而普通职工人数最多，所以更关心多数人的工资是多少，即可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得月基本工资的平均数为： （元）， 把企业50名职工的月基本工资数据按从小到大顺序排序，排在中间位置的是，， ∴企业50名职工的月基本工资的中位数为元， ∵企业50名职工的月基本工资为元的人数最多， ∴企业50名职工的月基本工资的众数为元． （2）答：企业经理更关心平均数，普通职工更关心众数，因为平均数反映全体职工工资的平均水平，关系到企业工资总成本支出，所以企业经理更关心平均数，而普通职工人数最多，所以更关心多数人的工资是多少，所以普通职工更关心众数． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）草莓的价格在早上、中午和晚上分别为30元/千克、15元/千克和12元/千克．张大妈早、中、晚每次买草莓，李大妈早、中、晚每次买30元钱的草莓．从平均价格看，谁更合算些？ 【答案】李大妈更合算．张大妈买草莓的平均价格为19元/千克，李大妈买草莓的平均价格为元/千克 【详解】解：张大妈买草莓的平均价格为元/千克， 李大妈早上购买质量：； 中午购买质量：； 晚上购买质量： 则李大妈买草莓的平均价格为元/千克， ， ∴李大妈更合算． 【培优高频题型】 【题型5】加权平均数的应用 1.核心知识点 　加权平均数的定义；权与权重； 2.解题方法技巧 　① 明确各项数据及对应的权（比重），按加权平均数公式计算 　② 结合扇形统计图、表格读取各项权重，注意权重之和为1或100% 　③ 权重越大对平均数影响越大，可用于判断侧重指标 【例题5】.（26-27八年级上·全国·课后作业）学校评选“校园之星”，学生选票每1票计1分，教师选票每1票计5分，所有选票相加后得分最高的3人当选．请你根据下表判断哪三名学生将当选为“校园之星”． 选票 候选人 候选人1 候选人2 候选人3 候选人4 候选人5 候选人6 学生选票 399 365 392 374 401 406 教师选票 15 16 19 20 15 15 【答案】候选人3、候选人6、候选人5将当选为“校园之星”． 【详解】解：总得分=学生选票教师选票 候选人1： 候选人2： 候选人3： 候选人4： 候选人5： 候选人6： 分数从高到低排序： 1.候选人3：487 2.候选人6：481 3.候选人5：476 4.候选人1：474 5.候选人4：474 6.候选人2：445 答：候选人3、候选人6、候选人5将当选为“校园之星”． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐．其中三个班的成绩见下表： 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 【答案】 一班成绩为分，二班成绩为分，三班成绩为分，三班的广播体操比赛成绩最高 【分析】根据四项评分的权重比例，分别计算三个班的加权平均成绩，比较大小后确定成绩最高的班级． 【详解】解： 一班比赛成绩：（分） ， 二班比赛成绩：（分） ， 三班比赛成绩：（分） ， ∵， ∴三班的广播体操比赛成绩最高． 答：三班的广播体操比赛成绩最高． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）某汽车杂志使用计分系统对新车进行评价，总分最高的汽车将被授予“年度风云汽车”称号．有五款新车参与评价，结果如下： 参评汽车 评分项 安全性能 省油 外观 内部配饰 A 非常好 一般 良好 一般 B 一般 非常好 非常好 非常好 C 良好 非常好 非常好 一般 D 非常好 良好 一般 一般 E 良好 非常好 非常好 良好 规定：非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分． (1)计分规则：总分安全性能省油+外观+内部配饰．请计算每款车的总分，按此规则，哪款车会获得“年度风云汽车”称号？ (2)B款车在4项评分中有3项被评为“非常好”，是最多的，但没获得“年度风云汽车”称号．试分析其中的原因． 【答案】(1) A车总分为17分，B车总分为16分，C车总分为18分，D车总分为18分，E车总分为19分，E款车会获得“年度风云汽车”称号 (2) 解：∵计分规则中，安全性能权重为4，省油权重为2，外观和内部配饰权重均为1， 安全性能权重最高，对总分的影响最大， B车安全性能为一般，仅得1分，加权后得分为（分），远低于安全性能为良好或非常好的车型， B车其余3项均为非常好，加权后得分为（分），总分为16分，低于其他四款车的总分， 故B车未获得称号的原因是权重最高的安全性能得分过低，拉低了总分． 【分析】（1）先将评价等级转换为对应分值，再根据给定的加权总分公式，分别计算五款车的总分，比较总分高低得出结果. （2）从各评分项的权重差异入手，结合B车安全性能的得分情况，分析其总分不高的原因． 【详解】（1）解： 由题意得，非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分， A车总分：（分）， B车总分：（分）， C车总分：（分）， D车总分：（分）， E车总分：（分）， ∵， ∴E车总分最高， ∴E款车会获得“年度风云汽车”称号； （2）略 【变式题5-3】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 【答案】(1)解：不能以此确定两人的名次，理由如下： 甲选手的三项的平均成绩为（分）， 乙选手的三项的平均成绩为（分）， ∴两名选手的三项的平均成绩一样， ∴不能以此确定两人的名次； (2)甲选手会胜出 【分析】（1）分别计算两名选手的三项的平均成绩，然后比较判断即可； （2）分别按计算两名选手的平均成绩，然后比较判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：甲选手的加权平均成绩为（分）， 乙选手的加权平均成绩为（分）， ∵， ∴甲选手会胜出． 【题型6】求四分位数 1.核心知识点 　四分位数的确定；四分位距的计算 2.解题方法技巧 　① 将数据从小到大排序，按位置确定下四分位数、中位数、上四分位数 　② 由求四分位距，比较中间50%数据的波动范围 　③ 四分位数与中位数、排序位置密切相关，注意数据个数奇偶的不同取法 【例题6】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排列，再分别用取中位数法和百分比法求第75百分位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为9，9，10，10，11，12，12，13，共个数据． 解法一：中位数， 上半部分数据为11，12，12，13， ． 解法二：，位置为整数， ． 两种方法结果一致，第75百分位数为12． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 【答案】B 【详解】解：将原数据从小到大排序得，33，34，40，44，44，46，48，53， 方法一：数据总个数为8， 第一四分位数为前半部分的数的中位数， 这组数据的第一四分位数是； 方法二：数据总个数为8， ∴， 这组数据的第一四分位数是． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（     ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 【答案】A 【分析】将年龄从小到大排列，确定各位置对应的年龄后，结合各统计量的定义计算判断． 【详解】解：将年龄从小到大排列如下： 年龄（岁） 25 28 30 32 43 50 62 人数（人） 1 4 2 5 3 3 2 A、解法一：下四分位数即分位数，， 为第5个和第6个数据的平均数， 即，故A正确； 解法二：共有20个数据，中位数为， 下四分位数为前半部分的中位数， 即，故A正确； B、解法一：上四分位数即分位数，， 为第15个和第16个数据的平均数， 即，故B错误； 解法二：共有20个数据，中位数为， 上四分位数为后半部分的中位数， 即，故B错误； C、， 中位数为第10个和第11个数据的平均数，， 即中位数为32，故C错误； D、众数是出现次数最多的年龄，为32岁，故D错误． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·天津东丽·期末）一家汽车零售店的10名销售人员9月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：2，3，6，8，9，10，10，12，12，14，则汽车销售数量的四分位数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先将销售数据从小到大排序，再分别计算三个四分位数的位置，结合位置确定对应数值． 【详解】解：将销售数量从小到大排序得：，，，，，，，，，． ∵数据共10个，为偶数个，为排序后的第5个数据和第6个数据的平均数， ∴； ∴为排序后的第3个数据，即 ∴为排序后的第8个数据，即 故答案为：A． 【题型7】箱线图 1.核心知识点 　箱线图的识别；五数概括；比较两组数据分布 2.解题方法技巧 　① 由箱线图读取五数（最小值、、、、最大值） 　② 箱体覆盖到，箱内竖线表示中位数，据此判断数据整体水平与波动 　③ 通过两幅箱线图比较两组数据的中位数、四分位距 【例题7】.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．这次考试A、B两个班都没有人考满分 B．A班的最低分比B班的最低分低 C．A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D．A班的成绩比B班的成绩更集中 【答案】D 【详解】解：满分分，班班最大值（最上端横线）均小于分，两个班没人考满分，选项不符合题意； 班最小值（最下端横线）对应的位置低于班的最小值对应位置，班的最低分比班低，选项不符合题意； 班成绩的第三分位数（箱体上端横线）是，班成绩的中位数（箱体中间横线）也是，班成绩的第三分位数与班成绩的中位数相同，选项不符合题意； 箱体越窄，数据越集中，班的箱体比班的宽，因此班的成绩比班的成绩更集中，选项符合题意． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）嘉嘉根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（     ） A．最小值为47 B．中位数为73 C．平均数无法确定 D．第一四分位数为83 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关知识点逐项分析即可得出结果，同时箱线图无法直接反映数据的平均数． 【详解】解：由箱线图可得，最小值为47，中位数为73，第三四分位数为83，故AB正确，D错误； 平均数是所有数据的总和除以数据的个数，箱线图仅能反映数据的位置特征和离散程度，无法提供所有数据的具体数值，因此无法计算出数据的总和，也就无法确定平均数，故C正确． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）遵义市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征，读取最大值、四分位数、中位数及数据分布范围进行判断． 【详解】解：∵两校箱线图的上须顶端均在分刻度线下方， ∴这次考试中两校均没有满分，选项A说法正确，不符合题意； ∵甲校成绩的上四分位数对应分，乙校成绩的下四分位数低于分， ∴甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数，选项B说法正确，不符合题意； ∵甲校成绩的极差和四分位距均大于乙校， ∴甲校的成绩比乙校的成绩波动更大，选项C说法正确，不符合题意； ∵甲校成绩的下四分位数对应分，乙校成绩的中位数对应分， ∴甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数不相同，选项D说法错误，符合题意． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）小申将某书店5月份每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图，下列说法中不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是150 B．该书店5月份销量最少的一天销售了50本书 C．这组数据的最大值是400 D．该书店有15天每天的销量在250本以上 【答案】D 【分析】根据每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图进行判断即可． 【详解】解：这组数据的第一四分位数是，选项A正确，不符合题意； 该书店5月份销量最少的一天销售了50本书，选项B正确，不符合题意； 这组数据的最大值是400，选项C正确，不符合题意； 该书店中位数为本，故该书店不可能有15天每天的销量在250本以上，故选项D错误，符合题意． 【题型8】方差与标准差的计算 1.核心知识点 　方差的定义；标准差；方差。 2.解题方法技巧 　① 先求平均数，再计算各数据与平均数之差的平方和取平均 　② 方差的算术平方根即标准差 　③ 比较两组数据稳定性，方差（标准差）越小越稳定 【例题8】.（2024·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【答案】A 【分析】根据平均数和方差公式求解即可． 【详解】解：平均数． 方差． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【答案】B 【分析】从方差算式中提取数据组与样本容量，结合相关定义计算后逐项判断选项正误即可． 【详解】解：由方差算式可知，这组数据为1，2，3，4，5，样本容量，故A正确；，故C正确；，故B错误； 添加数据3后，新数据的平均数为．新的离差平方和为，与原离差平方和相等，故D正确． 【题型9】数据变化对平均数与方差的影响 1.核心知识点 　线性变换下平均数、方差的变化规律；型数据处理 2.解题方法技巧 　① 数据整体乘以再加，新平均数，新方差 　② 平移（仅加）不改变方差；缩放（乘）方差变为原来的倍 　③ 注意标准差与方差变化不同：标准差变为原来的倍 【例题9】.（2023七年级下·广东深圳·竞赛）数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【分析】此题考查了平均数的定义，首先根据题意得到，求出，然后根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，的平均值是333， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式题9-1】.（2025·甘肃兰州·二模）已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．4，5.2 B．8，6.4 C．10，12.8 D．12，16 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差和平均数，理解方差和平均数的意义是解题的关键． 根据平均数的定义和方差的定义解答即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数为4， ∴， ∴ ； ∵一组数据的平均数为4，方差是3.2， ∴， ∴另一组数据的方差为 ． 故选C． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 【答案】或 【分析】一组数据，，，，的平均数是，方差是，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，列出关于，的方程，求解得到的结果． 【详解】解：原数据，，，，的平均数，方差， 对于新数据，，，，， 根据平均数的计算性质，可知新平均数为：，即①， 根据方差的计算性质，可知新方差为：， 所以， 解得或， 当时，代入①得，解得，此时， 当时，代入①得，解得，此时， 因此的值为或． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 【压轴素养题型】 【题型10】平均数、中位数、众数的逆向求值 1.核心知识点 　由统计量反求数据；众数唯一性、中位数位置的综合运用 2.解题方法技巧 　① 已知平均数用"总和=平均数×个数"列方程求未知数 　② 已知中位数先确定未知数据在有序排列中的位置，再建立等量关系 　③ 结合众数唯一性、多个众数等条件分类讨论，注意检验 【例题10】.（26-27九年级上·广东广州·开学考试）已知一组数据5，7，4，，6，8的平均数为6，则的值为________． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，所有数据的和等于平均数乘数据个数，列方程即可求出的值． 【详解】解：这组数据共个，平均数为， 这组数据的总和为， 已知数据的和为， 可得 ， 解得 ． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【答案】22 【分析】从小到大排列的5个数，中位数是第3个数；众数是5个数中出现次数最多的数． 【详解】解：由题可知，这五个数字为1，2，3，8，8， 则这5个数的和为． 【变式题10-2】.（21-22八年级下·安徽合肥·期末）学校组织若干名学生参加社会实践活动，把他们分成个组，人数分别为、、、，若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是______ ． 【答案】 【分析】本题先根据众数的定义分情况讨论众数的可能取值，再利用众数与平均数相等求出的值，最后根据中位数的定义计算得到结果． 【详解】解：已知这组数据为，，，． 分情况讨论： ①若众数为，由题意得平均数等于， 可得 解得， 将数据从小到大排序为，，，， 根据中位数的定义，中位数为中间两个数的平均数，即； ②若众数为，则， 此时这组数据为，，，，众数为和，平均数为， 不满足众数与平均数相等，故此情况不成立． ③若为其他值，则众数唯一为，但平均数不等于10，不满足题意，故此情况不成立． 综上，中位数为． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差，则这组数据平均数为______． 【答案】 【分析】根据方差的定义公式，对比题目给出的方差表达式，确定公式中平均数的对应值即可得到结果． 【详解】解：对于个数据，设其平均数为，方差的定义公式为． 将题目给出的方差表达式与方差公式对比，可得这组数据的平均数． 【题型11】平均数、中位数、众数综合应用 1.核心知识点 　平均数、中位数、众数的计算与相互比较；三者对同一组数据的刻画 2.解题方法技巧 　① 分别求出平均数、中位数、众数，分析它们之间的关系 　② 结合数据分布判断哪个统计量更能反映数据的集中趋势 　③ 注意中位数、众数可能相等，也可据此建立方程求未知数据 【例题11】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 【答案】(1) 八（1）班身高数据的离差平方和为，八（2）班身高数据的离差平方和为 (2) 八（2）班的身高数据离散程度更大 【分析】（1）先计算两组数据的平均数，再根据离差平方和的定义求和； （2）结合两组数据样本容量、平均数均相同的条件，通过比较离差平方和判断离散程度． 【详解】（1）解：设八（1）班身高的平均数为，八（2）班身高的平均数为， 则， ， ∴八（1）班离差平方和为 ； 八（2）班离差平方和为 ； （2）解：∵ 两个班身高数据的样本容量相同，平均数相同，且离差平方和， ∴ 八（2）班的身高数据离散程度更大． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为了解学生使用绘画工具进行创意作图的情况，从七年级、八年级各随机抽取名学生，记录每位学生完成一幅完整创意作品的实际操作用时（时长不足一分钟按一分钟计）．整理数据分为四组（A组：分钟，B组：分钟，C组：分钟，D组：分钟），并将数据进行分析，下面是部分信息： 抽取的七年级名学生用时数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的八年级名学生用时在B组的数据：，，，，，，． 七．八年级所抽取的学生用时统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取的学生用时扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)结合表格中的统计量，比较七年级、八年级学生使用绘画的效率哪个更高（用时越短代表操作效率越高），请写出一条理由； (3)七年级共有人，八年级共有人，请估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有多少人？ 【答案】(1)8，8，10 (2)八年级效率更高．理由：平均数相同（都是9.2），八年级中位数8，小于七年级中位数8.5，八年级的众数为7，小于七年级的8，说明八年级学生使用绘画的效率更高． (3)估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出a，b的结果；求出组的数据个数，即可求出的值； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用1200乘以七年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，用1100乘以八年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，再求和即可． 【详解】（1）解：七年级数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 众数是出现次数最多的数，8出现4次，次数最多，所以； 八年级A组数据的个数为：， B组7个数据为：，，，，，，， C组数据的个数为：， D组数据的个数为：， 中位数是第10、11个数的平均数，即； ∵， ∴； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． (1)条形统计图中错误的是________选项的人数，正确的应该是________人； (2)这名同学每天睡眠时间的众数是________小时； (3)请计算这名同学每天的平均睡眠时间． 【答案】(1)D，2 (2)8 (3)小时 【分析】（1）总人数人，结合扇形图百分比分别算出A、B、C、D选项的人数，对比条形图发现D的人数画错，正确的应该是2人； （2）众数是出现次数最多的数据，B选项8小时对应的人数最多，所以众数为8小时； （3）用每组睡眠时间乘对应人数，求和之后除以总人数，算出平均睡眠时间． 【详解】（1）解：由扇形统计图得A选项的人数为人， B选项的人数为人， C选项的人数为人， D选项的人数为人， 故条形统计图中错误的是D选项的人数，正确的应该是2人； （2）解：选项人数最多， 这名同学每天睡眠时间的众数是8小时； （3）解：（小时）， 答：这名同学每天的平均睡眠时间为小时． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；请求出B阅览室预约人数的四分位数． 【答案】(1) ，和， (2) B阅览室预约人数的四分位数为，， 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合已知数据分别计算对应值． （2）参照A阅览室四分位数的计算规则，对排序后的B阅览室数据计算三个四分位数． 【详解】（1）解： 计算A阅览室预约人数的平均数： ， B阅览室的10个数据中，25和40均出现2次，出现次数最多， ∴ 众数和， 将B阅览室数据从小到大排列为：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80， 共10个数据， 中位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴ ． （2）解：由A阅览室的四分位数结果可得，10个从小到大排列的数据的四分位数计算规则为： 计算， 若结果为非整数，向上取整后对应位置的数为该分位数； 若结果为整数，对应位置与下一位置数的平均数为该分位数， B阅览室数据已从小到大排序，共10个，计算如下： ∵ ，向上取整为3，对应第3个数据为35， ∴ ， ∵ ，为整数， 对应第5个和第6个数据的平均数， ∴ ， ∵ ， 向上取整为8，对应第8个数据为65， ∴ ， 综上所述，B阅览室预约人数的四分位数为，，． 【题型12】数据分析与决策（跨学科情境） 1.核心知识点 　平均数、中位数、众数、方差的综合应用；基于数据分析作决策 2.解题方法技巧 　① 从真实情境（环保、比赛、快递、评测等）中提取数据，计算所需统计量 　② 结合平均数与方差比较整体水平与稳定性，给出合理决策并说明理由 　③ 注意决策依据要充分，既看集中趋势又看波动程度 【例题12】.（26-27八年级上·全国·课后作业）某篮球运动员在对阵A队和B队各四场比赛中技术统计如下： 场次 对阵A队 对阵B队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 22 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 29 15 0 第三场 24 14 2 17 12 4 第四场 26 10 5 22 7 2 (1)该运动员在对阵A队和B队各四场比赛中，平均每场得分是多少？ (2)请你从得分的角度分析，该运动员在与A，B两队的比赛中，对阵哪一个队的发挥比较稳定？ (3)如果规定“综合得分”为平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较该运动员在对阵哪一个队时表现更好． 【答案】(1) 对阵A队平均每场得分分，对阵B队平均每场得分分 (2) 解：计算两队得分的方差： 对阵A队得分的方差 ， 对阵B队得分的方差 ， ∵， ∴该运动员对阵A队时发挥更稳定； 综上所述，该运动员对阵A队时得分更高，且发挥更稳定； (3) 解：计算对阵A队的平均篮板与平均失误： 平均篮板：（个），平均失误：（次） ， 对阵A队综合得分：， 计算对阵B队的平均篮板与平均失误： 平均篮板：（个），平均失误：（次）， 对阵B队综合得分：， ∵ ， ∴该运动员在对阵B队时表现更好． 【分析】（1）利用算术平均数公式，分别计算两组得分的平均值； （2）通过计算两组得分的方差比较稳定性，方差越小数据波动越小，发挥越稳定； （3）先计算对阵两队的平均篮板、平均失误，再代入综合得分公式计算，比较得分高低判断表现． 【详解】（1） 解：对阵A队的平均每场得分为 （分）， 对阵B队的平均每场得分为 （分）； （2）略 （3）略 【变式题12-1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某团队研发了三款机器人，分别命名为，，．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，，，三款机器人的得分分别为87分，85分，90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 ，，三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 测试员打分的方差 9和10 85 8 87 8 83 (1)________，________； 【数据分析与运用】 (2)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断，，三款机器人中综合成绩最高的是哪一款； (3)如果要选择，，三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】(1)， (2)款综合成绩最高 (3)选择 款机器人，理由如下： 由折线图可知，款机器人的得分波动比款机器人的得分波动小，， ∴， ∵， ∴， ∴款机器人运动能力测试得分更稳定． ∴选择款机器人上台表演，理由是它综合成绩最高，运动发挥稳定． 【分析】（1）把机器人个打分排序，取第、第个数的平均数算出中位数；由机器人得分扇形统计图看出分占比最高，得到众数； （2）根据综合成绩图像识别成绩运动能力成绩，分别算出、、三款机器人的综合成绩，比较大小即可得解． （3）结合综合成绩和方差稳定性，选择机器人上台表演，理由是它综合成绩最高，运动发挥稳定． 【详解】（1）解：从折线图得到机器人个打分并按照从小到大排列：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，一共 10 个数据，中位数是第 5、第 6 个数的平均数． ∴ ； ∵机器人得分扇形统计图中，分占比，占比最高，即出现次数最多， ∴众数； （2）解：综合成绩：（分）， 综合成绩：（分）， 综合成绩：（分）， ∵， ∴款机器人综合成绩最高． （3）略 【变式题12-2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图统计图． 【数据分析】 (1)列表 选手 最小值、四分位数、最大值、平均数和方差 最小值 最大值 平均数 方差 A B 表中的________，__________，__________； 【作出决策】 (2)通过对上面数据进行分析，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？可以从平均数、方差的角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图的角度进行分析，请选择一个角度说明． 【答案】(1)，，． (2)选 参加青少年射击比赛． 【分析】（1）先从折线图中读出 ， 各自八轮的成绩并按从小到大排序，数据个数为偶数时，四分位数取中间两个数的平均数，由此求出 ；再用平均数、方差公式求出 ，； （2）比较两人的平均数和方差：平均数越大成绩越好，方差越小成绩越稳定，综合两者作出选择． 【详解】（1）解：由折线图可知， 的八轮成绩为 ，，，，，，，， 从小到大排列为 ，，，，，，，， 方法一： ． 方法二：∵，第一四分位数是第个数的平均数， 即 由折线图可知， 的八轮成绩为 ，，，，，，，， ∴ ． ∵ 的八轮成绩中， 环、 环各出现 次， 环出现 次， ∴ ． （2）解：选 参加青少年射击比赛． 由表中数据可知，，，，， ∴ ，且 ， ∴ 的平均成绩高于 ，且成绩比 稳定， ∴ 选 参加青少年射击比赛． 【变式题12-3】.（2026九年级·广东·专题练习）深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50人，各场馆参与人数如下的条形统计图所示（图1）． (1)请根据图中信息，补全条形统计图； (2)现从参与人数最多的两个场馆（博物馆和科技馆）的学生中，开展满意度打分调查，满分为10分．打分数据如下列折线图所示（图2），图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分． 对以上打分数据进行整理，得到如下统计表： 场馆 平均数 众数 中位数 频率（满意度分） 方差 博物馆 科技馆 求表中的数据________，________； (3)结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好？并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)博物馆的体验更好，理由： 博物馆和科技馆打分的平均数相同，但博物馆打分的众数大于科技馆打分的众数， 所以博物馆的体验感会更好（答案不唯一）． 【分析】（1）根据总人数减去其他场馆的人数求得植物园的人数，进而补全统计图，即可； （2）根据频率以及中位数的定义，结合折线统计图，即可求得的值； （3）根据平均数、众数、中位数、方差等角度分析即可． 【详解】（1）解：植物园的人数为：； 图略； （2）解：博物馆的满意度分的频率， 科技馆的打分为：，，，，，，，，， 从小到大排列为：，，，，，，，，， 中位数； （3）略 易错点 1.　求中位数时忘记先将数据按大小顺序排列，直接取中间项导致错误。 2.　数据个数为偶数时，中位数误取中间两个数之一，而不是这两个数的平均数。 3.　众数可能是多个，也可能是数据中不存在的数，误认为众数唯一或必须是平均数附近的数。 4.　方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，误用"差的绝对值的平均"或遗漏平方。 5.　数据线性变换时混淆平均数与方差的变化：平移不改变方差，缩放方差变为倍而非倍。 重点 1.　算术平均数与加权平均数的计算及应用。 2.　中位数、众数的确定，以及三者特征的辨析。 3.　极差、方差、标准差的计算与意义，判断数据稳定性。 4.　统计量的合理选用与数据分析决策。 5.　数据线性变化下平均数与方差的变化规律。 难点 1.　由平均数、中位数、众数逆向求未知数据并进行分类讨论。 2.　从统计图综合分析数据的集中趋势与离散程度。 3.　方差性质的深入运用与跨学科数据分析决策。 4.　新定义统计量与探究型问题的建模求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．欢欢的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为．关于这组数据，欢欢得出如下结果，其中错误的是（     ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．方差是 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排序，再分别计算各统计量判断正误即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为， 、出现次数最多，众数是，该选项结果正确，不符合题意； 、平均数为，该选项结果正确，不符合题意； 、共个数据，中位数为第个数据，即，该选项结果正确，不符合题意； 、方差为，该选项结果错误，符合题意． 2．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（     ） A．0.3，0.3 B．0.4，0.3 C．0.3，0.6 D．0.35，0.3 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：∵节水量为的家庭有4户，出现次数最多， ∴众数为， ∵共有10户，将节水量从小到大排列后，中位数为第5、6个数据的平均数，节水量为的有2户，节水量为的有4户， ∴第5、6个数据均为， ∴中位数为． 3．某地区2026年1月和2月的空气质量指数（）箱线图如下，值越小，空气质量越好，值超过200，说明达到重度污染．以下是几位同学根据箱线图得到的结论： 嘉琪：该地区2026年2月值的最小值比1月小； 嘉嘉：该地区2026年1月值比2月AQI值集中； 琪琪：该地区2026年1月和2月值的中位数相同． 则下列说法正确的是（     ） A．只有嘉琪的错误 B．只有嘉嘉的正确 C．只有琪琪的错误 D．只有嘉琪的正确 【答案】C 【详解】解：根据箱线图得：该地区2026年2月值的最小值比1月小；故嘉琪正确； 该地区2026年1月值比2月值集中；故嘉嘉正确； 该地区2026年1月和2月值的中位数不相同，故琪琪错误． 综上可知，只有琪琪的错误． 二、填空题 4．小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 【答案】92 【详解】解：根据权重计算总评成绩，列式得 ， 因此小丽本学期的总评成绩为92分． 5．甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如表： 学生 平均数 方差 甲 9.5 0.02 乙 9.5 0.05 则测试成绩更稳定的学生是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【详解】解：∵ ，即甲的方差小于乙的方差， ∴ 甲的成绩波动更小，测试成绩更稳定，因此测试成绩更稳定的学生是甲． 6．将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 【答案】 方差 【分析】设原数据各统计量，每个数据加后，根据各统计量的定义和方差公式，计算新数据的对应统计量，比较后即可得到结果. 【详解】解：设原数据的众数为，中位数为，平均数为，方差为，第三四分位数为，数据个数为， ∵将一组数据中的每一个数都加上， ∴新数据的众数为，发生改变； 新数据的中位数为，发生改变； 新数据的平均数为，发生改变； 新数据的第三四分位数为，发生改变； 新数据的方差为， ∴值保持不变的统计量是方差. 三、解答题 7．为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在400名参赛学生中随机抽取20名，他们的参赛成绩（单位：分）如下：67，83，66，85，79，81，86，86，90，91，72，98，85，79，91，73，90，74，88，76． (1)求这20名学生参赛成绩的平均数； (2)据此估计400名学生参赛成绩在分与分之间的人数． 【答案】(1)82分 (2)320人 【分析】（1）利用平均数的计算公式即可得到答案； （2）先计算出20名参赛同学中参赛成绩在分与分之间的比例，再进行估算即可得到答案． 【详解】（1）解：这20名学生参赛成绩的平均数： 分； （2）解：参赛成绩在分与分之间， 即参赛成绩在分与分之间， 20名参赛学生中一共有16名同学的参赛成绩在分与分之间， 估计400名参赛学生中成绩在分与分内的人数（人）， 答：估计400名参赛学生中成绩在区间内的人数为320人． 8．月日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩进行统计分析（分及分以上为合格；分及分以上为优秀），绘制了如下统计图表．    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据上述信息，解答下列问题： (1)学生成绩统计表中________，__________，__________； (2)若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 【答案】(1)，， (2)人 【分析】（1）代表样本中七年级学生成绩的平均数，可由扇形统计图中各部分占比乘以相应分数后相加得到，代表样本中七年级学生成绩的众数，是一组数据中出现次数最多的那个数据，代表八年级学生成绩的中位数，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，找到名学生中排在中间的两个数的平均值即可． （2）样本中八年级学生成绩合格的人数占总样本数的比值乘以总人数即可． 【详解】（1）解：七年级学生成绩的平均数为； 由扇形统计图可知，七年级中分出现的次数最多，占样本总数的，故众数； 将八年级名学生的成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是、， 故中位数． （2）解：（人）， 答：估计该校八年级学生成绩合格的人数为人． 9．甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 【答案】(1)3，8，12；或4，8，11 (2)或 (3)乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 【分析】（1）先把甲公司 9 个销量数据从小到大排成 2，2，4，7，8，10，11，13，14，找到中位数 8，再分别用两种方法求出四分位数即可； （2）根据甲公司最小值 2、第一四分位数、中位数 8、第三四分位数、最大值 14 这五个关键数字，在坐标轴上画出对应的箱线图． （3）对比甲乙两个公司箱线图的四分位距、最值，得出乙公司销量更加稳定集中，甲公司销售人员销量差距更大． 【详解】（1）解：方法一： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； 第一四分位数​是前半部分的中位数：； 第三四分位数​是后半部分的中位数：． ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是3，中位数是8，第三四分位数是12． 方法二： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； ， ∵都不是整数， 第一四分位数​是排序后的第3个数据为：4； 第三四分位数是排序后的第7据为：11； ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是4，中位数是8，第三四分位数是11． （2）略． （3）解：∵ 由乙公司箱线图知：乙公司第一四分位数 6，中位数 8，第三四分位数 10． ∴对比箱线图可以看到：乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 10．为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中组和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中组和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中组和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8．15 a 10 高中组 8．4 9 b 信息二： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”），并直接将条形统计图补充完整； (2)比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； (3)本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 【答案】(1)8； 10；初中组 补全条形统计图如答图． (2)7分 (3)33支 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解，再求解初中组得分的人数，进一步补图即可； （2）根据加权平均数的运算法则计算解答即可； （3）先从扇形统计图获取高中组样本中搭建项目成绩9分和10分的占比，相加得到不低于9分的占比；再用此占比乘以高中组参赛队伍总数，从而估计出搭建项目中获优秀的队伍数量． 【详解】（1）解：初中组共20个数据，将初中组搭建项目成绩从小到大排列，第10、11个数据都在成绩为分的组中， ∴中位数， 由高中组搭建项目成绩扇形统计图可知，10分所占比例为，是占比最高的， ∴众数， ∵初中组方差小于高中组方差， ∴搭建项目成绩更稳定的是初中组， ∵初中组得分的人数为：， 补全图形略． （2）解：． 答：A队的平均成绩为7分． （3）解：（支）． 答：估计本次比赛高中组有33支队伍在搭建项目中获得优秀． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数据的集中趋势和离散程度 知识点1：平均数 　　1.算术平均数：一般地，对于个数，把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，即。 　　2.平均数的特征：平均数唯一，与数据排列顺序无关；平均数与每一个数据都有关，任何数据的变动都会引起平均数的变动，且易受极端值的影响。 　　3.加权平均数：若个数中出现次、出现次、…、出现次（其中），则平均数叫做这组数据的加权平均数，称为相应数据的权。 知识点2：中位数 　　1.定义：将个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 　　2.求法：先把数据按从小到大（或从大到小）排序；数据个数为奇数时取最中间一个数，为偶数时取最中间两个数的平均数。 　　3.特征：中位数唯一，代表数据的"中等水平"；受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息。 知识点3：众数 　　1.定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 　　2.特征：众数一定是这组数据中的数据；一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数；当两个或两个以上数据出现次数并列最多时，它们都是众数。 知识点4：平均数、中位数、众数的比较与选用 统计量 平均数 中位数 众数 定义 各数据之和与数据个数之比 按大小排序后最中间位置的数据 出现次数最多的数据 个数 唯一 唯一 可能多个或无 优点 充分利用所有数据信息 不受极端值影响 反映最普遍出现的数据 局限 易受极端值影响 未充分利用所有数据 数据重复次数相近时意义不大 选用 需反映整体一般水平 数据含极端值，需稳定代表 需了解最普遍、最常见的量 知识点5：四分位数 1.四分位数：将一组数据按从小到大排序后，位于第25%位置的数称为下四分位数（第一四分位数），位于第50%位置的数称为中位数（第二四分位数），位于第75%位置的数称为上四分位数（第三四分位数）。 2.四分位距：称为四分位距，反映中间50%数据的波动范围，较方差、极差更稳健。 知识点6：箱线图 　　1.箱线图：用五个关键数字（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值）直观刻画一组数据的分布，箱体覆盖到，箱内的竖线表示中位数。 　　2.作用：箱线图能直观比较两组数据的整体水平与波动情况，识别离群值。 知识点7：方差与标准差 　　1.方差：各个数据与它们的平均数之差的平方的平均数，记为，即。 　　2.标准差：方差的算术平方根，记为，即。 　　3.意义：方差和标准差都用来描述一组数据的波动（离散）程度，方差、标准差越小，说明数据波动越小、越稳定。 　　4.计算方法：先求平均数，再求各数据与平均数之差的平方的平均数即得方差，其算术平方根即标准差。 知识点8：数据变化对平均数与方差的影响 数据变化 平均数 方差 每个数据都加（平移） 新平均数 新方差（不变） 每个数据都乘（缩放） 新平均数 新方差 　　说明：上述影响规律可快速求新数据的平均数与方差，无需逐项重新计算；若数据作型变换，则平均数为，方差为。 知识点9：从统计图分析数据的集中趋势与离散程度 　　1.从条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数分布直方图中读取数据，计算平均数、中位数、众数、方差。 　　2.结合统计图比较两组数据的集中趋势与波动情况，作出合理判断与决策。 【基础必考题型】 【题型1】算术平均数的计算 1.核心知识点 　算术平均数的定义；平均数的计算公式 2.解题方法技巧 　① 求一组数的算术平均数，将各数据求和后除以数据个数 　② 已知平均数反求某个未知数据，利用"总和=平均数×个数"建立方程 　③ 注意平均数受极端值影响，判断时应结合数据整体分布 【例题1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）5名同学参加市级作文比赛，老师只公布了其中4人的成绩，分别为88分、80分、75分、82分，没有公布小红的成绩，但告诉大家5个人的平均成绩为84分．小红得了多少分？ 【变式题1-3】.（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）某次考试，A，B，C，D，E五人的平均分是90分．若A，B，C的平均分是86分，B，D，E的平均分是95分，则B的得分是________分． 【题型2】中位数的确定 1.核心知识点 　中位数的定义与求法；排序后再取中间位置 2.解题方法技巧 　① 先按从小到大（或从大到小）顺序排列数据 　② 个数为奇数取最中间一个数，为偶数取最中间两个数的平均数 　③ 已知中位数反求未知数据时，先确定其在有序排列中的位置 【例题2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）一组数据12，9，7，3，15的中位数是________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式题2-2】.（25-26八年级下·湖南郴州·期末）汝城深耕红色教育，某校举办红色经典诵读大赛，某组选手现场得分如下（单位：分）：8，8，7，9，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（     ） A．6 B．8 C．7 D．9 【变式题2-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是 __________________ 【题型3】众数的确定 1.核心知识点 　众数的定义；出现次数最多的数据 2.解题方法技巧 　① 找出数据中出现次数最多的数，即众数 　② 注意众数可能不止一个，也可能没有；众数一定是数据中的数 　③ 结合统计表、统计图统计各数据出现频数后再判断 【例题3】.（2026·全国·模拟预测）在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：）：47，49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（     ） A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，56 【变式题3-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）根据下列统计图，写出相应分数的平均数和众数． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 【变式题3-3】.（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）有个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一的众数是，则这个数中最大的数的最大值为________． 【题型4】统计量的合理选用 1.核心知识点 　平均数、中位数、众数各自的特征与适用场景 2.解题方法技巧 　① 分析问题关注点，确定需要反映"一般水平""中等水平"还是"最常见数据" 　② 数据含极端值时优先考虑中位数，需反映整体水平用平均数，需了解最普遍量用众数 　③ 判断波动情况用方差或标准差 【例题4】.（26-27七年级上·海南海口·开学考试）某公司员工的平均工资是5800元，李叔叔是该公司的员工，他的月工资（） A．少于5800元 B．多于5800元 C．等于6000元 D．无法确定 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某单位10名员工向灾区捐款，捐款金额（单位：元）如下： 50，100，100，200，200，200，200，200，500，1000． (1)求捐款金额的平均数、中位数和众数． (2)哪个数能更好地反映捐款金额的“集中程度”？ 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某企业50名职工的月基本工资分为5个档次，分布情况如下表： 月基本工资额/元 人数 6 4 (1)求月基本工资的平均数、中位数和众数． (2)相对来说，企业经理更关心哪个数？普通职工更关心哪个数？ 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）草莓的价格在早上、中午和晚上分别为30元/千克、15元/千克和12元/千克．张大妈早、中、晚每次买草莓，李大妈早、中、晚每次买30元钱的草莓．从平均价格看，谁更合算些？ 【培优高频题型】 【题型5】加权平均数的应用 1.核心知识点 　加权平均数的定义；权与权重； 2.解题方法技巧 　① 明确各项数据及对应的权（比重），按加权平均数公式计算 　② 结合扇形统计图、表格读取各项权重，注意权重之和为1或100% 　③ 权重越大对平均数影响越大，可用于判断侧重指标 【例题5】.（26-27八年级上·全国·课后作业）学校评选“校园之星”，学生选票每1票计1分，教师选票每1票计5分，所有选票相加后得分最高的3人当选．请你根据下表判断哪三名学生将当选为“校园之星”． 选票 候选人 候选人1 候选人2 候选人3 候选人4 候选人5 候选人6 学生选票 399 365 392 374 401 406 教师选票 15 16 19 20 15 15 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐．其中三个班的成绩见下表： 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 【变式题5-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）某汽车杂志使用计分系统对新车进行评价，总分最高的汽车将被授予“年度风云汽车”称号．有五款新车参与评价，结果如下： 参评汽车 评分项 安全性能 省油 外观 内部配饰 A 非常好 一般 良好 一般 B 一般 非常好 非常好 非常好 C 良好 非常好 非常好 一般 D 非常好 良好 一般 一般 E 良好 非常好 非常好 良好 规定：非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分． (1)计分规则：总分安全性能省油+外观+内部配饰．请计算每款车的总分，按此规则，哪款车会获得“年度风云汽车”称号？ (2)B款车在4项评分中有3项被评为“非常好”，是最多的，但没获得“年度风云汽车”称号．试分析其中的原因． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 【题型6】求四分位数 1.核心知识点 　四分位数的确定；四分位距的计算 2.解题方法技巧 　① 将数据从小到大排序，按位置确定下四分位数、中位数、上四分位数 　② 由求四分位距，比较中间50%数据的波动范围 　③ 四分位数与中位数、排序位置密切相关，注意数据个数奇偶的不同取法 【例题6】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式题6-1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 【变式题6-2】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（     ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 【变式题6-3】.（25-26八年级下·天津东丽·期末）一家汽车零售店的10名销售人员9月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：2，3，6，8，9，10，10，12，12，14，则汽车销售数量的四分位数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型7】箱线图 1.核心知识点 　箱线图的识别；五数概括；比较两组数据分布 2.解题方法技巧 　① 由箱线图读取五数（最小值、、、、最大值） 　② 箱体覆盖到，箱内竖线表示中位数，据此判断数据整体水平与波动 　③ 通过两幅箱线图比较两组数据的中位数、四分位距 【例题7】.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．这次考试A、B两个班都没有人考满分 B．A班的最低分比B班的最低分低 C．A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D．A班的成绩比B班的成绩更集中 【变式题7-1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）嘉嘉根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（     ） A．最小值为47 B．中位数为73 C．平均数无法确定 D．第一四分位数为83 【变式题7-2】.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）遵义市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【变式题7-3】.（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）小申将某书店5月份每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图，下列说法中不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是150 B．该书店5月份销量最少的一天销售了50本书 C．这组数据的最大值是400 D．该书店有15天每天的销量在250本以上 【题型8】方差与标准差的计算 1.核心知识点 　方差的定义；标准差；方差。 2.解题方法技巧 　① 先求平均数，再计算各数据与平均数之差的平方和取平均 　② 方差的算术平方根即标准差 　③ 比较两组数据稳定性，方差（标准差）越小越稳定 【例题8】.（2024·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【变式题8-1】.（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【题型9】数据变化对平均数与方差的影响 1.核心知识点 　线性变换下平均数、方差的变化规律；型数据处理 2.解题方法技巧 　① 数据整体乘以再加，新平均数，新方差 　② 平移（仅加）不改变方差；缩放（乘）方差变为原来的倍 　③ 注意标准差与方差变化不同：标准差变为原来的倍 【例题9】.（2023七年级下·广东深圳·竞赛）数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【变式题9-1】.（2025·甘肃兰州·二模）已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．4，5.2 B．8，6.4 C．10，12.8 D．12，16 【变式题9-2】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【压轴素养题型】 【题型10】平均数、中位数、众数的逆向求值 1.核心知识点 　由统计量反求数据；众数唯一性、中位数位置的综合运用 2.解题方法技巧 　① 已知平均数用"总和=平均数×个数"列方程求未知数 　② 已知中位数先确定未知数据在有序排列中的位置，再建立等量关系 　③ 结合众数唯一性、多个众数等条件分类讨论，注意检验 【例题10】.（26-27九年级上·广东广州·开学考试）已知一组数据5，7，4，，6，8的平均数为6，则的值为________． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【变式题10-2】.（21-22八年级下·安徽合肥·期末）学校组织若干名学生参加社会实践活动，把他们分成个组，人数分别为、、、，若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是______ ． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差，则这组数据平均数为______． 【题型11】平均数、中位数、众数综合应用 1.核心知识点 　平均数、中位数、众数的计算与相互比较；三者对同一组数据的刻画 2.解题方法技巧 　① 分别求出平均数、中位数、众数，分析它们之间的关系 　② 结合数据分布判断哪个统计量更能反映数据的集中趋势 　③ 注意中位数、众数可能相等，也可据此建立方程求未知数据 【例题11】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为了解学生使用绘画工具进行创意作图的情况，从七年级、八年级各随机抽取名学生，记录每位学生完成一幅完整创意作品的实际操作用时（时长不足一分钟按一分钟计）．整理数据分为四组（A组：分钟，B组：分钟，C组：分钟，D组：分钟），并将数据进行分析，下面是部分信息： 抽取的七年级名学生用时数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的八年级名学生用时在B组的数据：，，，，，，． 七．八年级所抽取的学生用时统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取的学生用时扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)结合表格中的统计量，比较七年级、八年级学生使用绘画的效率哪个更高（用时越短代表操作效率越高），请写出一条理由； (3)七年级共有人，八年级共有人，请估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有多少人？ 【变式题11-2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． (1)条形统计图中错误的是________选项的人数，正确的应该是________人； (2)这名同学每天睡眠时间的众数是________小时； (3)请计算这名同学每天的平均睡眠时间． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；请求出B阅览室预约人数的四分位数． 【题型12】数据分析与决策（跨学科情境） 1.核心知识点 　平均数、中位数、众数、方差的综合应用；基于数据分析作决策 2.解题方法技巧 　① 从真实情境（环保、比赛、快递、评测等）中提取数据，计算所需统计量 　② 结合平均数与方差比较整体水平与稳定性，给出合理决策并说明理由 　③ 注意决策依据要充分，既看集中趋势又看波动程度 【例题12】.（26-27八年级上·全国·课后作业）某篮球运动员在对阵A队和B队各四场比赛中技术统计如下： 场次 对阵A队 对阵B队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 22 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 29 15 0 第三场 24 14 2 17 12 4 第四场 26 10 5 22 7 2 (1)该运动员在对阵A队和B队各四场比赛中，平均每场得分是多少？ (2)请你从得分的角度分析，该运动员在与A，B两队的比赛中，对阵哪一个队的发挥比较稳定？ (3)如果规定“综合得分”为平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较该运动员在对阵哪一个队时表现更好． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某团队研发了三款机器人，分别命名为，，．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，，，三款机器人的得分分别为87分，85分，90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 ，，三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 测试员打分的方差 9和10 85 8 87 8 83 (1)________，________； 【数据分析与运用】 (2)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断，，三款机器人中综合成绩最高的是哪一款； (3)如果要选择，，三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图统计图． 【数据分析】 (1)列表 选手 最小值、四分位数、最大值、平均数和方差 最小值 最大值 平均数 方差 A B 表中的________，__________，__________； 【作出决策】 (2)通过对上面数据进行分析，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？可以从平均数、方差的角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图的角度进行分析，请选择一个角度说明． 【变式题12-3】.（2026九年级·广东·专题练习）深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50人，各场馆参与人数如下的条形统计图所示（图1）． (1)请根据图中信息，补全条形统计图； (2)现从参与人数最多的两个场馆（博物馆和科技馆）的学生中，开展满意度打分调查，满分为10分．打分数据如下列折线图所示（图2），图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分． 对以上打分数据进行整理，得到如下统计表： 场馆 平均数 众数 中位数 频率（满意度分） 方差 博物馆 科技馆 求表中的数据________，________； (3)结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好？并说明理由． 易错点 1.　求中位数时忘记先将数据按大小顺序排列，直接取中间项导致错误。 2.　数据个数为偶数时，中位数误取中间两个数之一，而不是这两个数的平均数。 3.　众数可能是多个，也可能是数据中不存在的数，误认为众数唯一或必须是平均数附近的数。 4.　方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，误用"差的绝对值的平均"或遗漏平方。 5.　数据线性变换时混淆平均数与方差的变化：平移不改变方差，缩放方差变为倍而非倍。 重点 1.　算术平均数与加权平均数的计算及应用。 2.　中位数、众数的确定，以及三者特征的辨析。 3.　极差、方差、标准差的计算与意义，判断数据稳定性。 4.　统计量的合理选用与数据分析决策。 5.　数据线性变化下平均数与方差的变化规律。 难点 1.　由平均数、中位数、众数逆向求未知数据并进行分类讨论。 2.　从统计图综合分析数据的集中趋势与离散程度。 3.　方差性质的深入运用与跨学科数据分析决策。 4.　新定义统计量与探究型问题的建模求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．欢欢的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为．关于这组数据，欢欢得出如下结果，其中错误的是（     ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．方差是 2．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（     ） A．0.3，0.3 B．0.4，0.3 C．0.3，0.6 D．0.35，0.3 3．某地区2026年1月和2月的空气质量指数（）箱线图如下，值越小，空气质量越好，值超过200，说明达到重度污染．以下是几位同学根据箱线图得到的结论： 嘉琪：该地区2026年2月值的最小值比1月小； 嘉嘉：该地区2026年1月值比2月AQI值集中； 琪琪：该地区2026年1月和2月值的中位数相同． 则下列说法正确的是（     ） A．只有嘉琪的错误 B．只有嘉嘉的正确 C．只有琪琪的错误 D．只有嘉琪的正确 二、填空题 4．小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 5．甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如表： 学生 平均数 方差 甲 9.5 0.02 乙 9.5 0.05 则测试成绩更稳定的学生是________．（填“甲”或“乙”） 6．将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 三、解答题 7．为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在400名参赛学生中随机抽取20名，他们的参赛成绩（单位：分）如下：67，83，66，85，79，81，86，86，90，91，72，98，85，79，91，73，90，74，88，76． (1)求这20名学生参赛成绩的平均数； (2)据此估计400名学生参赛成绩在分与分之间的人数． 8．月日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩进行统计分析（分及分以上为合格；分及分以上为优秀），绘制了如下统计图表．    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据上述信息，解答下列问题： (1)学生成绩统计表中________，__________，__________； (2)若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 9．甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 10．为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中组和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中组和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中组和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8．15 a 10 高中组 8．4 9 b 信息二： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”），并直接将条形统计图补充完整； (2)比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； (3)本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $