第四章数据的集中趋势和离散程度单元重难点检测卷 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年九年级上学期数学苏科版第四章数据的集中趋势和离散程度单元重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：数据的集中趋势和离散程度全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026九年级上 江苏南通·阶段测试）为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差与平均数的计算公式，熟记公式是解题关键． 先根据方差的计算公式可得这组数据的平均数，再利用平均数的计算公式即可得． 【详解】解：由题意得：这组数据的平均数为6， 则， 解得：， ∴ 故选：B． 3．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段测试）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 【答案】C 【分析】计算各组序的两组组内离差平方和之和，则和越小分组越合理，比较大小即可得解． 【详解】解：分别计算各组序的两组组内离差平方和之和： 组序1：， 组序2：， 组序3：， 组序4：， ∵， ∴组序3的分组最合理． 4．（25-26九年级上·江苏常州·期末）某单位食堂提供A、B、C三种品种午餐盒饭，其单价及销售有关数据如表所示，则这三种午餐盒饭的均价是（     ） 品种 A B C 单价/元 12 10 8 销售比例 A．10.2元 B．10元 C．9.8元 D．9.5元 【答案】C 【分析】利用加权平均数公式，将各单价乘以对应销售比例后求和即可得到结果． 【详解】解：三种午餐盒饭的均价为：（元）． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）10位同学参加了朗诵比赛初赛，按成绩取前5名进入决赛．如果小华知道自己的成绩后，能判断自己是否进入决赛，那么小华需要了解这10位同学成绩的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数的意义，针对不同要求要对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数的意义进行分析即可解答． 【详解】解：由于平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，既然是10位同学中前5名能进入决赛，故最值得关注的是中位数， 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法：①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高．其中错误的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：对于①：∵箱体越窄，数据越集中，方差越小， ∴三个班级中，甲班分数的方差最小，故①正确； 对于②：∵乙的须线最长， ∴乙班的分数分布最广，波动最大，故②正确； 对于③：由图可知，丙班分数的中位数高于分， ∴丙班得分有一半以上的学生高于分， ∴丙班得分低于的学生人数少于得分高于的学生人数，故③错误； 对于④：个学生中的第名对应上四分位数， 由图可知，丙班分数的上四分位数最大， ∴三个班级的第名中，丙班的分数最高，故④正确·． 7．（2023九年级上·江苏淮安·阶段测试）小明参加学校“我爱我校”演讲比赛，记录员将五位评委的给分记录如下（单位：分）：78，85，85，90，93．已知记录员将其中一个数据记少了5分，使得这组数据的中位数和众数都发生了改变，则记错的数据是（     ） A．78 B．85 C．90 D．93 【答案】B 【详解】解：由题意，这组数据的中位数和众数均为85， 当78少记了5分时，应是83分，这样中位数和众数都不发生改变， 当任意一个85少记了5分时，应是90分，这样中位数和众数都变成了90，发生了改变， 当90或93少了5分时，分别是95或98分，这样中位数和众数都不发生改变， 所以记错的数据是85分． 8．（2023九年级上·江苏泰州·阶段测试）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推，最后建立方程，解方程即可． 【详解】如图所示 设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推： 于是报1的人心里想的数是10-(6- x)=4 +x， 报3的人心里想的数是4-(4+x)=-x, 报5的人心里想的数是8-(-x)=8+x 报4的人心里想的数是2-(8+x)=-6- x， 于是得-6-x=x 解得：x=-3 所以D同学报4的人心里想的数应是: 6-x=6-(-3)= 9， 答:D同学心里想的数应是9． 故选：D 【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·课后作业）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（   ） A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的平均数等于4 【答案】A 【分析】本题考查了方差与平均数的性质，掌握通过确定不含某数字时统计量的最值，判断统计量超过该最值时必须包含该数字是解题的关键． 通过计算无数字时方差的最大值，可知方差为时必须含有；其他选项均存在反例，不能确定含有． 【详解】解：A、∵ 从中选四个数字，若无，则方差最大为（如数字2，3，5，6）． ∵ 方差为时，例如数字1，2，5，6，方差恰为，且若无则方差无法达到． ∴ 选项A能确定含有，符合题意． B、方差为时，可能含（如1，2，4，5）或不含（如2，3，5，6），故不能确定，不符合题意． C、平均数为时，可能含（如1，2，5，6）或不含（如2，3，4，5），故不能确定，不符合题意． D、平均数为时，可能含（如1，4，5，6）或不含（如2，3，5，6），故不能确定，不符合题意． 故选：A． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段测试）根据气象学上的标准，连续5天，每天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：（标准差是方差的算术平方根） ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】通过举反例排除①③，用反证法和直接推导证明②④符合，统计符合的组数即可解答． 【详解】解：①举反例：取数据0、0、0、4、11， ∵，但， ∴不符合入冬指标，故①不一定符合． ②假设存在数据， ∵极差， ∴最小值，此时5个数的平均数，与矛盾， ∴假设不成立，所有数据均，符合入冬指标，故②一定符合． ③举反例：取数据1、1、1、1、11， ∵，方差，标准差，但， ∴不符合入冬指标，故③不一定符合． ④∵众数为5，极差， ∴数据中的最小值， 又∵极差， ∴最大值，所有数据均，符合入冬指标，故④一定符合． 综上，一定符合的是②④，共2组，即选项B符合题意． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 【答案】甲 【分析】方差越小，数据波动越小，身高越整齐，本题各队人数和平均身高均相同，只需比较方差大小即可得到结论． 【详解】解：∵，且四个队人数、平均身高都相同， ∴甲队的方差最小，身高最整齐，选取甲队参加决赛更合适． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）某商店7款产品的月销售量分别为：8，10，14，36，40，42，46．为制定营销策略，该商店将产品分成2组（畅销组和滞销组），使同一类别产品的销售量波动最小． 分组方式 组1（滞销款） 组2（畅销款） 方式1 8，10 14，36，40，42，46 795.2 方式2 8，10，14 36，40，42，46 62.75 方式3 8，10，14，36，40 42，46 941.6 上述分组方式中，较为合理的是方式________________． 【答案】 【详解】解：离差平方和越小，同一组内销量波动越小，只需比较三种分组的离差平方和大小，即可得到合理分组． ∵方式2的离差平方和最小， ∴较为合理的是方式2． 13．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 14．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表： 候选人 心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力 甲 86 85 88 90 乙 90 82 81 90 选择1名学员，最后应选__________． 【答案】甲 【分析】根据加权平均数的计算公式先求出甲和乙的得分，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：甲的成绩是： （分）， 乙的成绩是：（分）， ∵86.5＞85.8， ∴最后应选甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算加权平均数的计算公式． 15．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示． 给出下面三个结论： ①这个月空气质量指数的最大值是110； ②这个月空气质量指数的第一四分位数是40； ③这个月空气质量指数在50至80之间较为集中，占总数据的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】 ①② 【分析】根据箱线图的统计意义，从图中读取最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数及最大值，据此对三个结论逐一进行判断即可． 【详解】解：由箱线图可知，该组数据的最小值为，第一四分位数为，中位数为，上四分位数为，最大值为， 对于①，观察图形最右端的数据，最大值为，故①正确； 对于②，观察图形箱体左侧边缘对应的数据，第一四分位数为，故②正确； 对于③，数据在至之间，即从中位数到第三四分位数，根据箱线图的性质，这部分数据占总数据的，而不是一半，故③错误． 综上所述，正确的结论是①② ． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某地4家企业去年的产值（单位：亿元）分别为7，8，10，11．请按照组内离差平方和最小的原则，把这4家企业去年的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值为__________． 【答案】 【分析】分组分为两类：1个数据一组、3个数据一组，2个数据一组、2个数据一组，组内离差平方和为两组各自计算每个数据与本组平均数的差的平方和，再相加得到总和，比较所有结果得到最小值． 【详解】解：①计算1个和3个分组的组内离差平方和： 分组，平均数为： ； 分组，平均数为： ； 分组：平均数为： ； 分组：平均数为： ； ②计算2个和2个分组的组内离差平方和： 分组：平均数分别为：， ； 分组：平均数分别为：， ； 分组：平均数分别为：， ； ∴组内离差平方和的最小值是1． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段测试）有一道题目要求计算15个自然数的平均数，结果保留两位小数．小高的计算结果是，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数字都对，正确的平均数应该是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了自然数的定义、平均数的计算等知识点，掌握有理数之和为整数是解题的关键． 既然只有百分位错，那就说明结果是和之间，就用和分别乘15，再用二者之间的整数除以15即可解答． 【详解】解：由题意可知：正确结果在和之间， 所以15个自然数的和在和，即和， 所以15个自然数的和是， 所以正确的平均数应该是． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段测试）设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为__________ ． 【答案】253或254 【分析】本题主要考查方差的计算，设，根据数据的方差为可化简为，推出要取到最小值，需最小且最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时的值，求得答案． 【详解】解：设，则数据的方差为 ， 显然且， 故要取到最小值，需最小，最小值为， 设（t为正整数，且），则， 则， 当或时，取到最小值， 即，或时，取到最小值， 故当数据的方差最小时，即或，的值为253或254， 故答案为：253或254． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 (1)四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； (2)若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； (3)若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 【答案】(1)168 (2) (3)①164；②7 【分析】（1）用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解； （2）用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解； （3）①用第3次试捕的蟹的总质量减去其它蟹的质量，可得a的值；②根据方差公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：四次试捕中平均每只蟹的质量为 ； 故答案为：168 （2）解：； 故答案为： （3）解：①； 故答案为：164 ② 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，求方差，用样本估计总体，熟练掌握加权平均数，方差的求法是解题的关键． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）： 活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作 得分 85 80 81 (1)求八年级（1）班三项活动成绩的平均数． (2)若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）按照平均数的求法，将三项成绩相加，然后再除以3即可． （2）按照加权平均数的求法列出关于m的方程，然后解得m的值． 【详解】（1）三项成绩的平均数为， （2）根据题意，得， 解得 【点睛】本题考查了平均数、加权平均数等知识点，解题的关键是正确运用平均数、加权平均数的算法． 21．（23-24九年级上·江苏常州·期末）清溪中学八年级个班级开展了一次黑板报设计比赛，校学生会组织对这个班级的黑板报作品按分制进行评分，并绘制成如下统计表： 成绩（分） 班级数 已知八年级成绩的中位数为分， 请根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________． (2)八年级成绩的众数为________分； (3)计算八年级的平均成绩． 【答案】(1)，； (2)； (3)分． 【分析】（）根据中位数的定义求出，进而求出； （）根据众数的定义即可求解； （）利用加权平均数公式计算即可求解； 本题考查了统计表，中位数、众数和加权平均数，掌握中位数、众数和加权平均数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵八年级共有个班级， ∴八年级成绩按照由小到大的顺序排列，中位数为第和第个数的平均数， ∵八年级成绩的中位数为分， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由统计表可知，分出现的次数最多， ∴八年级成绩的众数为分， 故答案为：； （3）解：八年级的平均成绩分． 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产，两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，4，6，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 5 4 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)4；4 (2)B款情绪机器人的表现更优秀 (3) 【分析】本题考查了中位数，众数，方差等知识． （1）根据中位数、方差的定义求解即可； （2）分别从平均数和方差角度分析即可； （2）根据平均数的定义判断出，根据中位数的定义判断出比较即可． 【详解】（1）∵3，4，4，4，6，9， ∴； ． 故答案为：4；4； （2）∵平均数都是5， ∴从平均数角度两款机器人情绪价值一样． ∵， ∴从方差角度B款机器人的情绪价值比A款机器人的情绪价值更稳定， ∴B款情绪机器人的表现更优秀； （3）∵在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，分数不低于其平均分的次数共6，9两次， ∴， ∵B的中位数是5， ∴B的数据从小到大排列后至少从第4个数据大于或等于5， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（26-27九年级上·江苏苏州·课后作业）某篮球运动员在对阵A队和B队各四场比赛中技术统计如下： 场次 对阵A队 对阵B队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 22 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 29 15 0 第三场 24 14 2 17 12 4 第四场 26 10 5 22 7 2 (1)该运动员在对阵A队和B队各四场比赛中，平均每场得分是多少？ (2)请你从得分的角度分析，该运动员在与A，B两队的比赛中，对阵哪一个队的发挥比较稳定？ (3)如果规定“综合得分”为平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较该运动员在对阵哪一个队时表现更好． 【答案】(1) 对阵A队平均每场得分分，对阵B队平均每场得分分 (2) 解：计算两队得分的方差： 对阵A队得分的方差 ， 对阵B队得分的方差 ， ∵， ∴该运动员对阵A队时发挥更稳定； 综上所述，该运动员对阵A队时得分更高，且发挥更稳定； (3) 解：计算对阵A队的平均篮板与平均失误： 平均篮板：（个），平均失误：（次） ， 对阵A队综合得分：， 计算对阵B队的平均篮板与平均失误： 平均篮板：（个），平均失误：（次）， 对阵B队综合得分：， ∵ ， ∴该运动员在对阵B队时表现更好． 【分析】（1）利用算术平均数公式，分别计算两组得分的平均值； （2）通过计算两组得分的方差比较稳定性，方差越小数据波动越小，发挥越稳定； （3）先计算对阵两队的平均篮板、平均失误，再代入综合得分公式计算，比较得分高低判断表现． 【详解】（1） 解：对阵A队的平均每场得分为 （分）， 对阵B队的平均每场得分为 （分）； （2）略 （3）略 24．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据极差的定义求出a的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当数据7、9、6、a、8、5中为最大值时，则，即， 当时，原式； 当数据7、9、6、a、8、5中为最小值时，则，即， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，极差，正确计算是解题的关键． 25．（26-27九年级上·江苏苏州·课后作业）某市全民健身活动中心调查了10名超重或肥胖人员的身体质量指数（单位：），数据如下： 26    28    39    30    36    30    28    32    38    37 请按照组内离差平方和最小的原则，将上面的身体质量指数分成两组，以便制订两种不同的健身方案． 【答案】 第一组：26，28，28，30，30，32；第二组：36，37，38，39（单位：）． 【分析】先排序数据，结合相邻数据差确定候选分组，再通过计算组内离差平方和验证得到最优分组． 【详解】解： 将10个数据从小到大排序：26，28，28，30，30，32，36，37，38，39，要使两组组内离差平方和总和最小，需每组内部数据尽可能接近， 计算相邻数据的差： ，，，，，，，，， 其中32与36的差最大，初步确定在此处分组，即前6个为第一组，后4个为第二组， 计算该分组的组内离差平方和： 第一组平均数， 离差平方和为； 第二组平均数， 离差平方和为， 总离差平方和为， 验证相邻分组的总离差平方和： 前5个为一组、后5个为一组时，总离差平方和为40.4，大于27， 前7个为一组、后3个为一组时，总离差平方和为66，大于27， 因此该分组的总离差平方和最小，符合要求， 综上所述，分组结果为第一组26，28，28，30，30，32，第二组36，37，38，39． 26．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 【答案】(1)3，8，12；或4，8，11 (2)或 (3)乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 【分析】（1）先把甲公司 9 个销量数据从小到大排成 2，2，4，7，8，10，11，13，14，找到中位数 8，再分别用两种方法求出四分位数即可； （2）根据甲公司最小值 2、第一四分位数、中位数 8、第三四分位数、最大值 14 这五个关键数字，在坐标轴上画出对应的箱线图． （3）对比甲乙两个公司箱线图的四分位距、最值，得出乙公司销量更加稳定集中，甲公司销售人员销量差距更大． 【详解】（1）解：方法一： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； 第一四分位数​是前半部分的中位数：； 第三四分位数​是后半部分的中位数：． ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是3，中位数是8，第三四分位数是12． 方法二： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； ， ∵都不是整数， 第一四分位数​是排序后的第3个数据为：4； 第三四分位数是排序后的第7据为：11； ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是4，中位数是8，第三四分位数是11． （2）略． （3）解：∵ 由乙公司箱线图知：乙公司第一四分位数 6，中位数 8，第三四分位数 10． ∴对比箱线图可以看到：乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 27．（2026九年级上 江苏宿迁·阶段测试）为搭建爱心桥梁、助力山区教育，某中学面向全校发起捐书倡议，号召同学们将闲置书籍赠予山区学子，用书香传递关爱．现将捐书情况绘制成统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)这些学生捐书数量的极差为________，这些学生捐书数量的中位数为________； (3)若在统计时漏掉名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是多少本？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由捐本书的人数及其所占百分比相除即可求出参加捐书的学生总人数，用总人数减去其余捐书的人数即可求出捐本书的人数，从而补全图形； （2）最大值减去最小值即可得极差；将这人捐书的本数，按从小到大的顺序排序，求第和第个数据的平均数即可得中位数； （3）先求出平均数，漏掉的那个学生捐书数量比平均数大即可． 【详解】（1）解：参加捐书的学生总人数为：（人）， 捐本书的人数：（人）， 补全条形统计图略； （2）解：这些学生捐书数量的极差为（本）； 这人捐书的本数，按照从小到大的顺序排列，位于第和第个数据都是， 这些学生捐书数量的中位数为（本）； （3）解：这名学生捐书数量的平均数为：（本）， 平均数增大了， 漏掉的那个学生捐书数量最少是本． 28．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某公司为检验员工职业技能水平，对员工进行行业技能测试，测试满分为30分，成绩分为四个等级：A（优秀，分数范围），B（良好，分数范围），C（及格，分数范围），D（不及格，分数范围）．若该公司成绩平均分低于21分，则该公司的所有员工需进修学习，现根据公司员工成绩制作了统计图（如图）与统计表． 成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率 20 23 m (1)求m的值； (2)若该公司成绩排名（从高到低）第10名员工的成绩为24分，请计算排名为第11名员工的成绩； (3)若该公司部分员工有科研技术奖励分值，每项科研技术奖励分值为10分，将科研技术奖励分值加入员工成绩后重新计算，员工进修情况会发生变化，请求出员工至少有多少项科研技术． 【答案】(1) (2) (3)员工至少有2项科研技术奖励分值，员工进修情况才会发生变化． 【分析】（1）由图表1，可知优秀人数为4，从而计算优秀率即可得到答案； （2）由题意，结合中位数的求法列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，分析数据即可得到答案． 【详解】（1）解： 优秀的人数是4人， 总人数为：人， 优秀率； （2）解：由题意，优秀成绩的有4人，良好成绩的有7人，则成绩中位数23是第10名与第11名成绩的平均数， 该公司成绩排名（从高到低）第10名员工的成绩为24分， 设排名为第11名员工的成绩为， ，解得， 答：排名为第11名员工的成绩为； （3）解： ， 员工进修情况要发生变化，即成绩平均分要不低于分，则总分需要增加分， 该公司部分员工有科研技术奖励分值，分值为10分， 员工至少有2项科研技术奖励分值，员工进修情况才会发生变化． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学苏科版第四章数据的集中趋势和离散程度单元重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：数据的集中趋势和离散程度全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026九年级上 江苏南通·阶段测试）为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 3．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段测试）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 4．（25-26九年级上·江苏常州·期末）某单位食堂提供A、B、C三种品种午餐盒饭，其单价及销售有关数据如表所示，则这三种午餐盒饭的均价是（     ） 品种 A B C 单价/元 12 10 8 销售比例 A．10.2元 B．10元 C．9.8元 D．9.5元 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）10位同学参加了朗诵比赛初赛，按成绩取前5名进入决赛．如果小华知道自己的成绩后，能判断自己是否进入决赛，那么小华需要了解这10位同学成绩的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法：①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高．其中错误的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（2023九年级上·江苏淮安·阶段测试）小明参加学校“我爱我校”演讲比赛，记录员将五位评委的给分记录如下（单位：分）：78，85，85，90，93．已知记录员将其中一个数据记少了5分，使得这组数据的中位数和众数都发生了改变，则记错的数据是（     ） A．78 B．85 C．90 D．93 8．（2023九年级上·江苏泰州·阶段测试）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 9．（25-26九年级上·江苏苏州·课后作业）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（   ） A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的平均数等于4 10．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段测试）根据气象学上的标准，连续5天，每天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：（标准差是方差的算术平方根） ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）某商店7款产品的月销售量分别为：8，10，14，36，40，42，46．为制定营销策略，该商店将产品分成2组（畅销组和滞销组），使同一类别产品的销售量波动最小． 分组方式 组1（滞销款） 组2（畅销款） 方式1 8，10 14，36，40，42，46 795.2 方式2 8，10，14 36，40，42，46 62.75 方式3 8，10，14，36，40 42，46 941.6 上述分组方式中，较为合理的是方式________________． 13．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 14．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表： 候选人 心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力 甲 86 85 88 90 乙 90 82 81 90 选择1名学员，最后应选__________． 15．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示． 给出下面三个结论： ①这个月空气质量指数的最大值是110； ②这个月空气质量指数的第一四分位数是40； ③这个月空气质量指数在50至80之间较为集中，占总数据的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某地4家企业去年的产值（单位：亿元）分别为7，8，10，11．请按照组内离差平方和最小的原则，把这4家企业去年的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值为__________． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段测试）有一道题目要求计算15个自然数的平均数，结果保留两位小数．小高的计算结果是，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数字都对，正确的平均数应该是______． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段测试）设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为__________ ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 (1)四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； (2)若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； (3)若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）： 活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作 得分 85 80 81 (1)求八年级（1）班三项活动成绩的平均数． (2)若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值． 21．（23-24九年级上·江苏常州·期末）清溪中学八年级个班级开展了一次黑板报设计比赛，校学生会组织对这个班级的黑板报作品按分制进行评分，并绘制成如下统计表： 成绩（分） 班级数 已知八年级成绩的中位数为分， 请根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________． (2)八年级成绩的众数为________分； (3)计算八年级的平均成绩． 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产，两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，4，6，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 5 4 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则________．（填“”“”或“”） 23．（26-27九年级上·江苏苏州·课后作业）某篮球运动员在对阵A队和B队各四场比赛中技术统计如下： 场次 对阵A队 对阵B队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 22 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 29 15 0 第三场 24 14 2 17 12 4 第四场 26 10 5 22 7 2 (1)该运动员在对阵A队和B队各四场比赛中，平均每场得分是多少？ (2)请你从得分的角度分析，该运动员在与A，B两队的比赛中，对阵哪一个队的发挥比较稳定？ (3)如果规定“综合得分”为平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较该运动员在对阵哪一个队时表现更好． 24．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 25．（26-27九年级上·江苏苏州·课后作业）某市全民健身活动中心调查了10名超重或肥胖人员的身体质量指数（单位：），数据如下： 26    28    39    30    36    30    28    32    38    37 请按照组内离差平方和最小的原则，将上面的身体质量指数分成两组，以便制订两种不同的健身方案． 26．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 27．（2026九年级上 江苏宿迁·阶段测试）为搭建爱心桥梁、助力山区教育，某中学面向全校发起捐书倡议，号召同学们将闲置书籍赠予山区学子，用书香传递关爱．现将捐书情况绘制成统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)这些学生捐书数量的极差为________，这些学生捐书数量的中位数为________； (3)若在统计时漏掉名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是多少本？ 28．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某公司为检验员工职业技能水平，对员工进行行业技能测试，测试满分为30分，成绩分为四个等级：A（优秀，分数范围），B（良好，分数范围），C（及格，分数范围），D（不及格，分数范围）．若该公司成绩平均分低于21分，则该公司的所有员工需进修学习，现根据公司员工成绩制作了统计图（如图）与统计表． 成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率 20 23 m (1)求m的值； (2)若该公司成绩排名（从高到低）第10名员工的成绩为24分，请计算排名为第11名员工的成绩； (3)若该公司部分员工有科研技术奖励分值，每项科研技术奖励分值为10分，将科研技术奖励分值加入员工成绩后重新计算，员工进修情况会发生变化，请求出员工至少有多少项科研技术． 学科网（北京）股份有限公司 $