第4章 数据的集中趋势和离散程度章节重难点题型汇总（12大题型） 数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 初中数学数据的集中趋势和离散程度专项训练，以“概念-公式-典例-变式”构建系统方法体系，覆盖从基础统计量到综合应用的完整逻辑链，培养数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础统计量|4重难点（含12变式）|定义公式法、方程思想|从算术平均数到加权平均数，体现“权”的本质| |进阶统计量|3重难点（含9变式）|排序定位法、分类讨论|四分位数与箱线图形成“计算-绘图-解读”闭环| |数据离散程度|3重难点（含9变式）|方差公式法、稳定性比较|方差与平均数结合，实现数据特征全面分析| |综合应用|2重难点（含6变式）|图表分析法、决策模型|统计量综合运用，培养用数学语言表达现实问题的能力|

重难点专题4 数据的集中趋势和离散程度章节重难点复习 直击考点 重难点一 已知平均数求未知数据的值 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数. 例1.如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是________． 【答案】7 【详解】解：由题意知, 解得 故答案为：7． 【变式1-1】如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x为（　　） A．22 B．11 C．8 D．5 【分析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可． 【答案】解：由平均数的计算公式得：（﹣3+x+0+1+x+6+9+5）＝5 解得：x＝11， 故选：B． 【点睛】考查算术平均数的计算方法，利用方程求解，熟记计算公式是解决问题的前提，是比较基础的题目． 【变式1-2】小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分．这一次是第（ ）次考试． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：设这一次是第次考试， ∵小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分． ∴ 解得， ∴这一次是第8次考试， 故选：B． 【变式1-3】有六个自然数排成一列，它们的平均数是4.5，前4个数的平均数是4，后三个数的平均数是，这六个数的连乘积最小是_______． 【答案】 【分析】 【详解】这六个自然数的平均数是， 这六个数的和为， 前4个数的平均数是4， 前个数的和为， 后两个数字的和为， ∵和为定值的几个自然数，要使乘积最小，各数之间的差应尽可能大， 最后两个数数字应该为和， 后三个数的平均数是， 后个数的和为， 第个数为， 前个数的和为， 前个数分别为，，， 这六个数的连乘积最小是：； 故答案为． 重难点二 利用已知平均数求相关数据的平均数 例2.若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【答案】C 【详解】解：由平均数的定义可得： ， ， 则，，，，的平均数为： ， 故选：C． 【变式2-1】已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为5，则另一组数据a1+5，a2﹣5，a3+5，a4﹣5，a5+5的平均数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数． 【答案】解：依题意得：a1+5+a2﹣5+a3+5+a4﹣5+a5+5 ＝a1+a2+a3+a4+a5+5 ＝30， 所以平均数为6． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平均数的定义，本题利用了整体代入的思想，解题的关键是了解算术平均数的定义，难度不大． 【变式2-2】x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数． 【答案】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为． 故选：D． 【点睛】正确理解算术平均数的概念是解题的关键． 【变式2-3】如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（　　） A．2 B．2 C．2+ D． 【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数． 【答案】解：由已知，（x1+x2+…+xn）＝n， （y1+y2+…+yn）＝n， 新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数为 （2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn）÷n ＝[2（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn）]÷n ＝（）÷n ＝2+ 故选：C． 【点睛】本题考查平均数的计算，可以先把它们都加起来，再除以数据的个数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． 重难点三 加权平均数的计算 定义：当个数的权分别为时，加权平均数。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 例3.某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩为_____分． 【答案】88 【分析】 【详解】解：根据题意得： （分）． 即小明这学期的英语成绩是88分． 故答案为：88． 【变式3-1】某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（　　） A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5 【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案． 【答案】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是： 95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解各部分所占百分比是解题关键． 【变式3-2】两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是（　　） 应聘者 面试 笔试 平均 成绩 听 说 译 写 甲 97 90 94 87 92 乙 85 94 97 92 92 A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25 C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0 【分析】因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重． 【答案】解：因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重， 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式是解题的关键． 【变式3-3】某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按、的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是_______分． 【答案】96 【详解】解：设思想素质测试的成绩为x分． 由题意得， 解得， ∴思想素质测试的成绩至少为96． 故答案为：96． 重难点四 一组数据的四分位数的计算 1. 定义：将一组数据从小到大有序排列，借助中位数将整组数据平均分成四等份，得到三个分界数值，这三个数值统称为四分位数，记为 2.三个四分位数： /（第一四分位数/第25百分位）：排序后，下半部分数据的中位数； /（第二四分位数/第50百分位））：整组数据的中位数； /（第三四分位数/第75百分位））：排序后，上半部分数据的中位数。 3.一组容量为n的数据的四分位数的计算步骤： ①先将一组数据从小到大排序； ②计算，将结果记为； ③如果是整数，那么第个和第个数据的平均数就是；如果不是整数，设为的整数部分+1，那么第个数据就是； ④用类似的办法，依次求得其他四分位数。 例4.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 【变式4-1】“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 【变式4-2】第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查第三四分位数的计算方法，先根据数据总数计算第三四分位数的位置，再通过累计人数确定对应位置的数值，即可求解． 【详解】解：∵共有个数据，第三四分位数对应的位置为，为整数， 第三四分位数为从小到大排列后，第个和第个数据的平均数。 按从小到大累计人数：视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人； 可知第个到第个数据均为， 即第、个数据都是， 第三四分位数为． 【变式4-3】如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【分析】从折线统计图中提取1号到6号每天的体育锻炼时间，得到6个原始数据，将提取到的6个数据按照从小到大的顺序排列，根据下四分位数的计算方法，计算，其中，，根据是否为整数，选择对应方法确定下四分位数． 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 重难点五 绘制箱线图 1.定义：利用一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这五个关键数值绘制的统计图，叫作箱线图（也叫盒形图）。 2.箱线图五大构成（从左至右） ①最小值：图形最下侧线段； ②第一四分位数：矩形箱体下侧边界； ③中位数：箱体内部中间竖线； ④第三四分位数：矩形箱体上侧边界； ⑤最大值：图形最上侧线段。 例5.某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） (1)本次测试抽取的总人数为______人；______； (2)本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； (3)已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)约人 【分析】本题考查了频数与频率、中位数以及用样本估计总体的统计知识，熟练掌握相关概念和计算方法是解答本题的关键． （1）利用已知频数和对应百分比，通过除法求出抽取的总人数，再根据总人数和指定百分比计算对应频数； （2）将所有成绩按顺序排列后，根据数据个数确定中位数的位置，进而求出中位数； （3）先计算样本中体育成绩达分以上（含分）的人数所占比例，再用该比例乘以八年级总人数，估计身体健康的总人数． 【详解】（1）解：本次测试抽取的总人数为：（人）， ； （2）解：把人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数为分和分，故本次测试成绩的中位数为：（分）， 如图所示： （3）解：（人）， 答：估计该校八年级学生身体健康的总人数约人． 【变式5-1】某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法. 【答案】(1)，， (2)； 或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 【变式5-2】社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，40和25，； (2)； 绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 【变式5-3】2025年11月14日，因神舟二十号返回舱遭太空碎片撞击，原乘组转移至神舟二十一号返回，神舟二十二号调整为无人状态择机发射，承担应急救援备份及满载货物上行任务，展现了我国航天事业的伟大成就．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取两组参赛作品，两组成绩（百分制）如下： 甲组：60，70，70，80，89，91，92，96，100，98． 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 某同学想要利用四分位数分析两组成绩情况，下表是他制作的两组成绩的四分位数值表． 组别 甲组 a 90 b 乙组 80 90 93 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中_____________，_____________； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）． 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据“四分位数”的定义解答即可； （2）结合（1）的结论解答即可； （3）根据箱线图和对四分位数解答即可． 【详解】（1）解：把甲组成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100． 故； 故答案为：，； （2）解：如图所示为所求： （3）解：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）． 重难点六 解读箱线图中的基础数据信息 观察箱线图，提取最大值、中位数及数据离散程度信息，箱体越窄：中间数据越集中；箱体越宽：中间数据越分散，再结合统计量的意义进行判断即可. 例6.学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（    ） A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 【答案】D 【分析】观察箱线图，提取最大值、中位数及数据离散程度信息，结合统计量的意义进行判断即可. 【详解】解：A、左侧箱线图最大值为，故男生跳绳个数最多为208个，原说法正确； B、右侧箱线图（女生）的极差和四分位距均小于左侧（男生），女生成绩波动小，更稳定，故女生跳绳成绩更稳定，原说法正确； C、左侧箱线图中位数线低于右侧，故男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，原说法正确； D、通过箱线图无法确定平均数，故不能得到男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数，原说法错误. 【变式6-1】小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ） A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 【答案】D 【分析】本题考查箱线图和中位数的定义，根据箱线图逐项分析即可． 【详解】解：对于A：由图可知，这组数据的最小值为47，故A正确； 对于B：由图可知，这组数据的中位数为73，故B正确； 对于C：由图可知，这组数据的上四分位数为83，故C正确； 对于D：根据箱线图不能直接得到平均数，故D不正确． 故选：D． 【变式6-2】如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了箱线图，根据甲、乙组的箱线图，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①甲组的中位数比乙组的大，故①正确； ②甲组最小数据和乙组相差不多，故②正确； ③乙组最大数据比甲组的明显大，故③正确； ④乙组数据的波动范围比甲组大，故④正确． 故答案为：①②③④． 【变式6-3】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 重难点七 根据四分位数与箱线图做决策 根据数据的四分位数，结合箱线图的意义解答即可. 例7.为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【答案】(1)82；87 (2)统计表中c的值为86.45分 (3)见解析 【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序， 通过中间两个数的平均数求出中位数b； （2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c； （3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议． 【详解】（1）解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是， ， （2）解：（分） 答：统计表中c的值为86.45分． （3）解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B； 从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B； 从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B； 从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大． 【变式7-1】郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，乙，乙；（2），9，10，相等．（3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、方差等知识点，正确理解相关定义是解题的关键． （1）先根据平均数的公式即可求得，即可确定谁的平均成绩略高；再根据方差的意义，即可确定谁的投篮水平发挥更稳定； （2）先把选手甲、乙的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义即可解答； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ， ∴乙的成绩略高， ∵， ∴乙的投篮水平发挥更稳定， 故答案为：9，乙，乙． （2）选手甲的数据从小到大排列为， ∴下四分位数为，即，中位数为，即， 选手乙的数据从小到大排列为， ∴上四分位数为， 基于四分位数或箱线图，可以发现学生甲的投篮成绩比学生乙的投篮成绩波动大， 故答案为：，9，10，相等． （3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由如下： ∵甲、乙两名选手的中位数相等，但乙选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． ∴选择乙选手参加市级校园投篮比赛． 【变式7-2】某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 【答案】(1)，，， (2)①见解析；②见解析；③见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平均数、方差，四分位数，箱线图，掌握定义及其计算公式是解题的关键． （1）根据四分位数和平均数的定义解答即可； （2）分别根据平均数、方差和箱线图的意义解答即可； （3）根据统计表数据解答即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：由题意可知，零食A类直播间近10天的商品上架平均审核耗时从小到大排列为6，6，7，8，9，9，10，11，12，13， 故， ． 故答案为：，，，； （2）解：①零食B类直播间审核平均耗时小于零食A类直播间，说明零食B类直播间整体审核效率较高；②零食B类直播间审核耗时的方差小于零食A类直播间，说明零食B类直播间每天审核耗时的波动范围较小，工作效率更稳定；③零食B类直播间审核平均耗时的最大值与最小值差小、箱子短，中位数明显低于零食A类直播间，说明零食B类直播间工作效率更高且每天审核耗时差异不大； （3）解：建议零食A类直播间精简审核环节、明确各项目的审核时限等（答案不唯一，合理即可）． 重难点八 利用中位数求未知数据的值 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于中间位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。 例8.若一组数据a，3，4，5，6，7，8的中位数为5，则整数的最大值是_______． 【答案】5 【详解】解：∵一组数据a，3，4，5，6，7，8的中位数为5，且整数的值最大， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式8-1】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个．若要使选定的7个盲盒质量的中位数仍为，则6号盲盒和7号盲盒可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、戊 D．丙、戊 【答案】B 【详解】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品， ∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒， ∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， ∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100， 结合题图可得，6号盲盒和7号盲盒分别可以选择甲、戊或丙、丁或乙、丁，选项B符合题意 故选：B． 【变式8-2】若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案． 【答案】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3， 解得x＝2（舍去）； 当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3， 解得x＝2； 当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3， 解得x＝2（舍去）； 当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3， 解得x＝2（舍去）． 所以x的值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题． 【变式8-3】某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（　　） A．4.8 B．4.8或5 C．4.6或4.8 D．4.6或4.8或5 【分析】根据1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数知x＝4或x＝5或x＝6，在根据平均数的定义分别计算可得． 【答案】解：∵在1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数， ∴x＝4或x＝5或x＝6， 当x＝4时，平均数为＝4.6； 当x＝5时，平均数为＝4.8； 当x＝6时，平均数为＝5； 故选：D． 【点睛】本题主要考查中位数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x的值． 重难点九 利用众数求未知数据的值 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。 例9.为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数． 【答案】46件 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数是50件， ∴， 将这组数据从小到大排列为42，45，46，50，50， 所以这组数据的中位数为46件． 【变式9-1】在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为（　　） A．30元，30元 B．30元，50元 C．50元，50元 D．50元，80元 【分析】众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断． 【答案】解：∵购买课外书花费30元的有12人，人数最多， ∴众数是30元； 把这些数从小到大排列，最中间的数是20和21个数的平均数， 则中位数是＝50元； 故选：B． 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 【变式9-2】在我市的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是______米（精确到0.01米）． 成绩（单位：米） 1.50 1.60 1.65 1.70 人数 2 3 2 3 成绩（单位：米） 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 1 1 【答案】 【详解】解：根据分析可知，成绩为1.75的有4人，成绩为1.80的有1人， 所以这17名运动员的平均跳高成绩是米． 故答案为：． 【变式9-3】有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______． 【答案】35 【详解】解：个正整数，平均数是10， 和为110， 中位数是9，众数只有一个8， 当11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35时，最大的正整数最大为35， 故答案为：35． 重难点十 利用方差求未知数据的值 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 例10.为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 【答案】A 【分析】根据折线统计图读出这10台机器人的分拣数量，分别计算出众数、中位数、平均数和方差，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：由折线统计图可知，这10台机器人每周分拣快递数量（单位：万件）分别为： ， 数据共有10个，排序后第5个和第6个数据均为15 中位数为，故选项A正确； 14和16均出现了3次，出现次数最多 众数是14和16，故选项B错误； 平均数 平均数是15万件，故选项C错误； 方差，故选项D错误． 【变式10-1】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_______. 【答案】8 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据的方差是． 故答案为：8． 【变式10-2】已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为_______． 【答案】5 【分析】 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 解得：， 则的平均数为：5， 故答案为：5． 【变式10-3】若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　　） A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3 【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案． 【答案】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17， ∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18， ∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2， ∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2； 故选：B． 【点睛】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2． 重难点十一 根据方差判断稳定性 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 例11.某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】百米成绩中平均用时越短说明成绩越优秀，方差越小说明成绩越稳定，根据两个统计量的意义筛选即可． 【详解】解：∵百米测试中，平均用时越短，成绩越优秀，观察表格可得，甲、乙的平均数为，小于丙、丁的平均数， ∴先排除丙、丁，在甲、乙中选择． ∵方差越小，成绩越稳定， 甲的方差为，乙的方差为，且， ∴在甲、乙两人成绩同样优秀的情况下，乙的成绩更稳定，故乙的成绩优秀且稳定． ∴选择乙选手代表学校参赛． 【变式11-1】甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表： 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.0 9.0 9.0 9.0 方差 0.25 1.00 2.50 3.00 则成绩发挥最不稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁[来源:Zxxk.Com] 【分析】根据方差的定义，方差越大数据越不稳定，从而得出答案． 【答案】解：由于S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，则成绩发挥最不稳定的是丁； 故选：D． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【变式11-2】甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶次，每次射靶的成绩如下： 甲：，，，，，，，，，； 乙：，，，，，，，，，； 丙：，，，，，，，，，． (1)根据以上数据完成下表： 运动员 平均数 中位数 方差 甲 8 8 乙 8 8 2.2 丙 6 3 (2)依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由． 【答案】(1)2，6 (2)甲的成绩最稳定，见解析 【分析】 【详解】（1）解：甲的平均数是8， 甲的方差为：； 把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数是； 故答案为：2，6； （2）甲的方差乙的方差丙的方差，而方差越小，数据波动越小， 甲的成绩最稳定． 【变式11-3】如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 【答案】丙 【分析】根据平均数越高的成绩越好，方差越小发挥越稳定，故选择平均数高的且方差小的同学去参加比赛即可． 【详解】解：∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的平均数高， ∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的方差相比，丙同学的方差较小，发挥稳定， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，应该选择丙． 重难点十二 平均数、中位数、众数与方差的综合应用 例12.甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)， 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． (2) 甲， 由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． (3)选甲更合适． 理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【详解】（1）， 即． （2）略 （3）略 【变式12-1】炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 男生15名学生测试成绩统计如下： 68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80 女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分） 82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 组别 频数 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5 男生 2 2 4 5 1 1 女生 1 1 5 6 2 0 【分析数据】 （1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 男生 80 x 80 47.6 女生 80 80 y 26.2 在表中：x＝　 　．y＝　 　； （2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有　 　人； （3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得； （2）用总人数乘以样本中合格人数所占比例可得； （3）根据平均数与方差的意义说明即可． 【答案】解：（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80， 众数是x＝85， 67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89， 中位数是y＝80； （2）2400×＝1200（人）， 即估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人； （3）女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好， ∵平均数相等，男生的方差＞女生的方差， ∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好． 故答案为：85，80；1200． 【点睛】本题考查了频数分布直方表，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键． 【变式12-2】在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：______，______； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)甲基地水体的值更稳定，理由见详解； (4)甲符合要求，乙不符合要求． 【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点． （1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数及众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义求解即可； （4）计算值最大值与最小值的差即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 补全频数分布直方图如图； ； （2）解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多， 则； 乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81： 则； 故答案为：；； （3）解：∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， ∴甲基地水体的值更稳定； （4）解：甲基地对水体值的日变化量：， 乙基地对水体值的日变化量：， ∴该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求． 【变式12-3】为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0；  男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： (1)求这20名学生干预前的平均体重； (2)根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ (3)从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 【答案】(1) (2)甲、乙两位男生均达到健康体重标准 (3)推荐男生甲；理由：甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）分别计算两位同学干预后的体重，再与比较； （3）根据计算甲乙的方差，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这20名学生干预前的平均体重是 （2）解：甲干预后的体重为： 乙干预后的体重为： 答：甲、乙两位男生均达到健康体重标准； （3）解：推荐甲，理由如下： ， ， ， ∵ 说明甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小，更适合作为标杆，故推荐甲． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题4 数据的集中趋势和离散程度章节重难点复习 直击考点 重难点一 已知平均数求未知数据的值 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数. 例1.如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是________． 【变式1-1】如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x为（　　） A．22 B．11 C．8 D．5 【变式1-2】小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分．这一次是第（ ）次考试． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-3】有六个自然数排成一列，它们的平均数是4.5，前4个数的平均数是4，后三个数的平均数是，这六个数的连乘积最小是_______． 重难点二 利用已知平均数求相关数据的平均数 例2.若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【变式2-1】已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为5，则另一组数据a1+5，a2﹣5，a3+5，a4﹣5，a5+5的平均数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【变式2-2】x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 【变式2-3】如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（　　） A．2 B．2 C．2+ D． 重难点三 加权平均数的计算 定义：当个数的权分别为时，加权平均数。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 例3.某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩为_____分． 【变式3-1】某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（　　） A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5 【变式3-2】两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是（　　） 应聘者 面试 笔试 平均 成绩 听 说 译 写 甲 97 90 94 87 92 乙 85 94 97 92 92 A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25 C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0 【变式3-3】某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按、的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是_______分． 重难点四 一组数据的四分位数的计算 1. 定义：将一组数据从小到大有序排列，借助中位数将整组数据平均分成四等份，得到三个分界数值，这三个数值统称为四分位数，记为 2.三个四分位数： /（第一四分位数/第25百分位）：排序后，下半部分数据的中位数； /（第二四分位数/第50百分位））：整组数据的中位数； /（第三四分位数/第75百分位））：排序后，上半部分数据的中位数。 3.一组容量为n的数据的四分位数的计算步骤： ①先将一组数据从小到大排序； ②计算，将结果记为； ③如果是整数，那么第个和第个数据的平均数就是；如果不是整数，设为的整数部分+1，那么第个数据就是； ④用类似的办法，依次求得其他四分位数。 例4.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【变式4-1】“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【变式4-2】第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 重难点五 绘制箱线图 1.定义：利用一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这五个关键数值绘制的统计图，叫作箱线图（也叫盒形图）。 2.箱线图五大构成（从左至右） ①最小值：图形最下侧线段； ②第一四分位数：矩形箱体下侧边界； ③中位数：箱体内部中间竖线； ④第三四分位数：矩形箱体上侧边界； ⑤最大值：图形最上侧线段。 例5.某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） (1)本次测试抽取的总人数为______人；______； (2)本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； (3)已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 【变式5-1】某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法. 【变式5-2】社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【变式5-3】2025年11月14日，因神舟二十号返回舱遭太空碎片撞击，原乘组转移至神舟二十一号返回，神舟二十二号调整为无人状态择机发射，承担应急救援备份及满载货物上行任务，展现了我国航天事业的伟大成就．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取两组参赛作品，两组成绩（百分制）如下： 甲组：60，70，70，80，89，91，92，96，100，98． 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 某同学想要利用四分位数分析两组成绩情况，下表是他制作的两组成绩的四分位数值表． 组别 甲组 a 90 b 乙组 80 90 93 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中_____________，_____________； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 重难点六 解读箱线图中的基础数据信息 观察箱线图，提取最大值、中位数及数据离散程度信息，箱体越窄：中间数据越集中；箱体越宽：中间数据越分散，再结合统计量的意义进行判断即可. 例6.学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（    ） A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 【变式6-1】小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ） A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 【变式6-2】如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【变式6-3】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 重难点七 根据四分位数与箱线图做决策 根据数据的四分位数，结合箱线图的意义解答即可. 例7.为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【变式7-1】郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【变式7-2】某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 重难点八 利用中位数求未知数据的值 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于中间位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。 例8.若一组数据a，3，4，5，6，7，8的中位数为5，则整数的最大值是_______． 【变式8-1】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个．若要使选定的7个盲盒质量的中位数仍为，则6号盲盒和7号盲盒可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、戊 D．丙、戊 【变式8-2】若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-3】某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（　　） A．4.8 B．4.8或5 C．4.6或4.8 D．4.6或4.8或5 重难点九 利用众数求未知数据的值 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。 例9.为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数． 【变式9-1】在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为（　　） A．30元，30元 B．30元，50元 C．50元，50元 D．50元，80元 【变式9-2】在我市的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是______米（精确到0.01米）． 成绩（单位：米） 1.50 1.60 1.65 1.70 人数 2 3 2 3 成绩（单位：米） 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 1 1 【变式9-3】有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______． 重难点十 利用方差求未知数据的值 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 例10.为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 【变式10-1】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_______. 【变式10-2】已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为_______． 【变式10-3】若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　　） A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3 重难点十一 根据方差判断稳定性 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 例11.某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式11-1】甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表： 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.0 9.0 9.0 9.0 方差 0.25 1.00 2.50 3.00 则成绩发挥最不稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁[来源:Zxxk.Com] 【变式11-2】甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶次，每次射靶的成绩如下： 甲：，，，，，，，，，； 乙：，，，，，，，，，； 丙：，，，，，，，，，． (1)根据以上数据完成下表： 运动员 平均数 中位数 方差 甲 8 8 乙 8 8 2.2 丙 6 3 (2)依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由． 【变式11-3】如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 重难点十二 平均数、中位数、众数与方差的综合应用 例12.甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【变式12-1】炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 男生15名学生测试成绩统计如下： 68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80 女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分） 82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 组别 频数 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5 男生 2 2 4 5 1 1 女生 1 1 5 6 2 0 【分析数据】 （1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 男生 80 x 80 47.6 女生 80 80 y 26.2 在表中：x＝　 　．y＝　 　； （2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有　 　人； （3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由． 【变式12-2】在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：______，______； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【变式12-3】为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0；  男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： (1)求这20名学生干预前的平均体重； (2)根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ (3)从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $