17.2.3 综合运用各种方法分解因式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

17.2.3　综合运用 各种方法分解因式 学科：数学（人教版·八年级上册） 第十七章　因式分解（第 4 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 开场：我们已经分别学过了提公因式法、平方差公式、完全平方公式。但一个多项式往往不能‘一步到位’，需要把几种方法组合起来——这就是‘综合运用’。 学习目标 1. 巩固提公因式法、平方差公式、完全平方公式三种分解因式的方法。 2. 能根据多项式的结构特点，按“一提二套三检查”的顺序进行综合分解。 3. 会处理需要先变形的问题：先提负号、先展开整理、分组、把某部分看作整体。 4. 通过“解题大招”提升综合运用与运算能力，体会转化的数学思想。 重点：分解的顺序与彻底性。难点：先变形再分解（尤其首项为负、需要先整理或分组）。厦门学生整体基础较好，可让他们先尝试再归纳方法。 复习引入：我们学过哪几种分解方法？ ① 提公因式法： ② 平方差公式： ③ 完全平方公式： 想一想：一个多项式能不能同时用到几种方法？比如 ，能一步分解完吗？ 先回顾三种‘武器’，为后面‘组合使用’做铺垫。让学生口答 x⁴−y⁴ 的第一步，体会‘平方差可以连用’。 一 情境引入 一个不能‘一步到位’的例子 问题：分解因式 。 　　直接提公因式？——没有公因式。 　　看成平方差？，可以！ 　　得到 后，第二个括号还能再分吗？——能，再用一次平方差。 这就是“综合运用”：今天学如何判断该用哪种、什么顺序。 用 x⁴−y⁴ 这个‘连锁’例子自然引出‘综合运用几种方法’的必要性。引导学生发现：分解要‘进行到底’。 因式分解的一般步骤 一提：先看各项有没有公因式，有则先提公因式。 二套：再看剩下的多项式能否套用公式（平方差或完全平方）。 三检查：分解到每一个因式都不能再分解（最简），并把括号内整理好。 口诀：先看公因式，再套公式，最后检查是否彻底。 把步骤程序化，像一线教师板书总结。强调‘三检查’最关键——很多学生分解到一半就停，必须分解彻底。 二 例题示范 例1：平方差连用 / 先提后套 例1　分解因式： (1) = = 　　 = (2) = = 要领：第(1)题平方差连用两次；第(2)题先提公因式 ab，再用平方差。 第(1)题强调‘进行到底’：x²−y² 还能分解，不能到此为止。第(2)题强调‘先提公因式’让后续更简单。 例2：先提公因式，再用完全平方公式 例2　分解因式： (1) = = (2) = = 要领：第(2)题首项为负，先提 “−a”，提出负号后括号内才变成完全平方。 第(2)题是高频易错：不先提负号，首项带‘−’就套不上完全平方。点明‘首项为负先提负’是黄金法则。 三 探究新知 为什么“必须先提公因式”？ 以 为例： 若不先提 −a，原式三项为 、、， 　　首尾都是负号，根本看不出完全平方结构。 先提 −a 得 ，括号内恰是 。 提醒：有公因式→先提；首项为负→先提“−”。这样分解更彻底、更简洁。 通过反例让学生体会‘先提公因式’不是可选项而是必选项。厦门课堂可用‘如果不提会怎样’追问加深印象。 四 综合运用 例3：先变形，再分解（整理 / 分组） 例3　分解因式： (1) = 　　 = = (2) = 　　 = = 要领：第(1)题先展开整理成三项式；第(2)题先去括号、重新分组，凑出完全平方再用平方差。 第(2)题是‘分组分解’的雏形：把 −3(2a−3) 拆开得到 −6a+9，与 a² 凑成 (a−3)²，再与 −b² 用平方差。这是综合运用的精华。 方法总结：综合分解的“变形”思路 · 先展开再整理：遇到括号相乘或加减，先展开成多项式。 · 先提负号：首项为负时，先提“−”使括号内为正。 · 重新分组：把项重新组合，凑出公式结构（如完全平方±平方差）。 · 整体代换：把某一整块（如 ）看作一个字母。 把‘变形’归纳为四个动作，帮助学生建立解题策略库，而不是死记硬背。 五 巩固练习 巩固练习（一）：基础训练 1. = = 2. = = 3. = = 4. = = 当堂抢答并说依据。第4题注意常数项 3b 中的 1 不能丢：3b·1 = 3b。错的多就回到‘一提二套’再讲。 解题大招：综合运用 6 小题 (1) = (2) = (3) = = (4) = = (5) = = (6) = 注(6)：把 看作整体，得 = 。 第(6)题是‘整体代换’的经典：16A²+8A+1=(4A+1)²，其中 A=x²−x；再 4x²−4x+1=(2x−1)²。难度递进，适合培优。 六 能力提升 先化简，再求值 已知 ，，求 的值。 解：原式 = 　　 = 　　 = = 75。 思路：先提公因式 ，括号内配成 ，再整体代入求值。 求值题体现‘先因式分解再整体代入’的策略：提 ½ab 后括号内配成 (a+b)²，直接代入 a+b=5、ab=6，避免求 a、b 的具体值。 拓展：十字相乘法（先整理成二次三项式） 规律： 例：分解 。　因为 ， 　　所以 。 提醒：十字相乘是‘先整理成二次三项式，再分解’的常用手段，与公式法互补。 十字相乘法是教材拓展内容，厦门部分学校会补充。它本质是‘逆向’配系数，与前面方法形成体系。 易错辨析：这些写法错在哪？ 错1：　正：这是平方差，不是完全平方。 错2：　正：应为 。 错3： 未彻底　正： 错4： 漏负号　正： 口诀：结构不对别硬套；提负号不能忘；分解彻底才算完。 错3最典型——提了 a 就以为结束，忘记 b²−a² 还能用平方差。错4是‘提负号’漏写。让学生先找错再纠正印象更深。 课堂检测 1. 分解 。（答案：） 2. 分解 。（答案：） 3. 分解 。（答案：） 4. 判断：。（　）（答案：√） 第3题：(x+y)²−(2x)² = (x+y+2x)(x+y−2x) = (3x+y)(y−x)，注意第二个因式是 y−x 不是 x−y。当堂批改。 七 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个顺序：一提、二套、三检查。 两种变形：先提负号；先展开整理 / 重新分组。 三个关键：先看公因式、首项为负先提负、分解要彻底。 一种思想：转化——把复杂多项式转化为几个最简因式的积。 请一名学生用自己话复述步骤并举例。预告：下一章学‘分式’，那是另一种‘式’的运算，结构完全不同。 课后作业 1. 基础题：教材习题 17.2 第 1、2 题——综合运用三种方法分解因式； 2. 变式题：分解 ，说明把谁看作整体； 3. 拓展题：用十字相乘法分解 、； 4. 思考题：厦门某零件厂，已知 、，求 的值。 基础题面向全体；思考题仿照课堂求值题，把数据换成厦门工厂情境，增强代入感与实用性。 $