第17章 阅读与思考——十字相乘法分解因式（二次项系数为1） 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次项系数为1的二次三项式十字相乘因式分解，通过课前复习提公因式法与公式法，结合整式乘法实例引出逆向分解依据，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究式学习引导逆向思维，融入“个位数字是5的平方规律”“因式分解生成密码”活动，培养抽象能力、推理意识和模型意识。例题分解过程详细，十字交叉图示直观，小结系统归纳方法，助力学生提升运算与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

阅读与思考——十字相乘因式分解 （二次项系数为1） 第十七章 因式分解 学习目标 1理解二次三项式的意义 2理解 的依据 3能对 理解二次三项式的意义； 理解 x²+(p+q)x+pq型进行因式分解的依据； 能对x2+(p+q)x+pq型进行因式分解. 课前复习： (1)2x2-x (2)2bm2＋ 4bmn ＋ 2bn2 ； (3)-x2-6xy-4y2 2、对下列多项式进行因式分解： 1、我们学习的因式分解的方法有几种？分别适合什么类型的多项式？ 提公因式法、公式法 (1)原式=x(2x-1) (2)原式=2b(m2＋ 2mn ＋n2) = 2b(m+n)2 (3)原式=-(x2+6xy+4y2) = -(x+2y)2 1.运用整式乘法解决下列问题 (1)(x+1)(x+ 2)= ; (2)(x-1)(x+2)= ; (3)(x-2)(x-6)= ; (4)(x-4)(x+5)= ; (x+a)(x+b)= ; 探究新知： 2.等式的两边形式有什么特点和联系？ x2+3x+ 2 x2+x- 2 x2-8x+12 x2+x-9 x2+(a+b)x+ ab (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ ab 两个常数的和 两个常数的积 二次项系数为1的二次三项式 探究新知： 整式乘法 它适用于分解二次项是1的二次三项式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ ab 因式分解 小试牛刀: - + x2+(a+b)x+ ab=(x+a)(x+b) 归纳： 用十字相乘法把形如 二次三项式分解因式使 （1）x2-10x+24 （2）x2+10x+24 （3）x2-10x-24 （4）x2+10x-24 学以致用： 例1、将下列各式分解因式： 学以致用： 例1、将下列各式分解因式： （1）x2-10x+24 （2）x2+10x+24 （3）x2-10x-24 （4）x2+10x-24 学以致用： 例1、将下列各式分解因式： （1）x2-25 (2)x2-10x+25 平方差公式分解因式 完全平方公式分解因式 十字相乘法分解因式 特殊 一般 归纳： 例2：因式分解： （1）x 2–7x+6 巩固训练： （3）x2-11x+24 (2)x2-2x-15 综合运用： 例3：因式分解： 综合运用： 例3：因式分解： 小结： 1、因式分解： 多项式 整式乘积 2、具体方法： （1）提公因式法； （2）逆用多项式乘多项式 平方差公式逆用 完全平方公式逆用 十字相乘 二次三项式 活动1 个位数字是5的两位数平方的规律 计算下面各式： 新知探究 15×15 = . 25×25 = . 35×35 = . 225 625 1225 试从完全平方公式的角度理解运算 15×15 = （10+5）（10+5） =102 +10×10+ 25 =225 25×25 = （20+5）（20+5） =202 +10×20+ 25 =625 35×35 = （30+5）（30+5） =302 +10×30+ 25 =1225 由以上过程，我们可以如何计算个位数字是5的两位数平方？ 新知探究 记这个两位数十位数是m,个位数是5，则这个两位数可以表示为：10m+5 (10m+5)×(10m+5) =(10m)2 +10×10m+ 25 =100m2 +100m+25 =100m(m+1)+25 1.利用规律计算并验证： （1）65²= （2）95²= 新知探究 （1）n=6，则6×7×100+25=4200+25=4225， 实际计算65×65=4225，规律成立. （2）n=5，则9×10×100+25=9000+25=9025， 实际计算95×95=9025，规律成立. 活动2 利用因式分解生成密码 新知探究 问题1 已知多项式16p4-q4，当取p=10，q=5时，用上述方法生成的密码是什么？ 步骤一：因式分解 16p⁴ - q⁴ = (4p² + q²)(2p + q)(2p - q). 步骤二：赋值计算 将p=10，q=5代入：(4p² + q²)(2p + q)(2p - q) 425； 25； 15. 从而得到因式码425，25，15. 步骤三：排序生成密码 将15，25，425排序为1525425，得出密码1525425. 问题2 已知多项式16p4-q4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ 新知探究 分析：5和15是三个因式码中较小的两个，第三个因式码应大于15. 由问题1的分解结果(4p² + q²)(2p + q)(2p - q)， 4p² + q²的值一定为正，且由于p、q为正整数， ∴ 4p² + q² > 2p + q， ∴ 4p² + q²是最大的因式码，5和15应为(2p + q)与(2p - q)的取值. 新知探究 问题2 已知多项式16p4-q4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ 由于2p-q<2p+4，可列方程组: 2p-q=5， 2p+g=15 解得p=5，q=5 将p=5，q=5代入4p² + q²，得4×25+25=125.从而得出第三个因式码为125，密码为515125。 $