4.5.3函数模型的应用（思维导图+3大知识点+5大题型）（讲义）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4．5．3 函数模型的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、几种常见的函数模型 4 知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤 4 知识点三、解答函数应用题应注意的问题 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 6 题型二：指数函数模型的应用 7 题型三：对数函数模型的应用 8 题型四：利用给定函数模型解决实际问题 10 题型五：建立拟合函数模型解决实际问题 13 知识点一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 知识点三、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． 题型一：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 【例题1】已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【例题2】有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（    ） x 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式3】已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 【变式4】以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知，则对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 【变式5】下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 题型二：指数函数模型的应用 【例题3】（2025·高一·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高一·四川眉山·期末）为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（   ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式． 2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型． 【变式6】（2025·高一·浙江温州·期中）1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日，原有的锶90还剩（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【变式7】（2025·高一·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8】（2025·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9】（2025·高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式10】（2025·高一·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 题型三：对数函数模型的应用 【例题5】（2025·高一·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高二·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·高一·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【变式12】（2025·高三·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【变式13】（2025·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式14】（2025·高三·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 【变式15】（2025·高一·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 题型四：利用给定函数模型解决实际问题 【例题7】（2025·高一·湖北黄石·期中）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投入成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【例题8】（2025·高一·北京房山·期中）为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）． (1)求的解析式； (2)当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值． 【方法技巧与总结】 在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型． 【变式16】（2025·高一·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【变式17】（2025·高一·安徽宿州·期中）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： . (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【变式18】（2025·高一·福建宁德·期中）个人理财投资是增加收入的一个重要途径，某人根据市场调研发现：稳健型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）成正比，其关系如图1所示；风险型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示. (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式. (2)现有10万元资金全部用于这两种产品的个人理财投资，请问怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元？ 【变式19】（2025·高一·海南·期中）某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. (1)求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） (2)当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 【变式20】（2025·高一·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 题型五：建立拟合函数模型解决实际问题 【例题9】（2025·高一·河南郑州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为1700元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为104元；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为32元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. (1)求S关于的函数解析式，并写出定义域； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ 【例题10】某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 【变式21】某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． (1)当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ (2)写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． (3)每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 【变式22】港珠澳大桥总长约，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门．一辆货车以（不超过）的速度从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了，每小时的运输成本包括油费和人工费用．经过测算，货车每小时用油，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元一次． (1)当时，这次行车的总费用为多少元？ (2)当为何值时，这次行车的总费用（单位：元）最低，并求出最低费用（，精确到0.01元）． 【变式23】某手工特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x（单位：万件）与年促销投入费用m（单位：万元）满足．已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出． (1)将该产品的年利润y（单位：万元）表示为年促销投入费用m（单位：万元）的函数（年利润年销售总额年产品成本年促销投入费用）； (2)该店家的年促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 【变式24】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·月考）某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出.采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过25万件，只能从经销商处按每件成本60元购买，且另需投入400万元固定费用，此时销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过15万件，定价160元/件即可；若购进该产品数量多于15万件且不超过25万件，需降低定价销售，且销量每增加5000件，单价降低2元（例：若购进16万件，则定价为156元/件）；渠道二：若购进数量在25万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润（万元）与采购量x（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为12万件时，利润是多少?（利润=销售收入-成本） (2)写出利润（万元）关于采购（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大?此时利润是多少? 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．5．3 函数模型的应用 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一、几种常见的函数模型 5 知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤 5 知识点三、解答函数应用题应注意的问题 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 7 题型二：指数函数模型的应用 9 题型三：对数函数模型的应用 13 题型四：利用给定函数模型解决实际问题 15 题型五：建立拟合函数模型解决实际问题 21 知识点一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 知识点三、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． 题型一：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 【例题1】已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【解析】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 【例题2】有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C 【变式1】下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数， 根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快． 故选：A. 【变式2】若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（    ） x 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解析】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 故选：. 【变式3】已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 【答案】A 【解析】因为，所以函数、、均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以，，，有成立. 故选：A. 【变式4】以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知，则对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 【答案】D 【解析】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错； 对于选项B，取，此时，故B错误； 对于选项C，当时，结合图象易知知不恒成立，故C错； 对于选项D，当时，结合图象易知，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立，故D正确. 故选：D. 【变式5】下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快. 故选：D． 题型二：指数函数模型的应用 【例题3】（2025·高一·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【例题4】（2025·高一·四川眉山·期末）为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（   ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，天后，百菌清残留量为， ，所以，，， 令，即，则， 所以，，所以，，故， 所以，在该次喷洒农药的天后，百菌消残留量约为. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式． 2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型． 【变式6】（2025·高一·浙江温州·期中）1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日，原有的锶90还剩（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设年后的锶90的剩余含量为， 则， 从1986年4月26日到2025年4月26日，经过39年， 所以原有的锶90还剩. 故选：A 【变式7】（2025·高一·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 【变式8】（2025·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 【变式9】（2025·高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 【变式10】（2025·高一·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 题型三：对数函数模型的应用 【例题5】（2025·高一·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 【例题6】（2025·高二·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两颗星的星等与亮度满足， 令，，，， 因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为. 故选：B. 【变式11】（2025·高一·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 【变式12】（2025·高三·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 【变式13】（2025·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 【变式14】（2025·高三·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，估计以内的素数个数为. 故选：B. 【变式15】（2025·高一·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 【答案】A 【解析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则， 上述两个等式作差可得，则，故. 故选：A. 题型四：利用给定函数模型解决实际问题 【例题7】（2025·高一·湖北黄石·期中）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投入成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【解析】（1）当时，， 当时，. 所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为： . （2）当时，， 故（百台）时，取得最大值为284万元； 当时， ， 当且仅当时取等号，故当（百台）时，取最大值为350万元：由于， 故当年产量为50（百台）时，最大年利润为350万元． 【例题8】（2025·高一·北京房山·期中）为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）． (1)求的解析式； (2)当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值． 【解析】（1）由题意得，当时，，解得， 所以，故，； （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 故当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元. 【方法技巧与总结】 在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型． 【变式16】（2025·高一·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【解析】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 【变式17】（2025·高一·安徽宿州·期中）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： . (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【解析】（1）对于，都是递减函数， 这与矛盾，故选择. 根据提供的数据，有解得 所以当时，. （2）国道路段长为50km，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为100km，所用时间为， 所耗电量为 当且仅当，即时等号成立，所以. 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【变式18】（2025·高一·福建宁德·期中）个人理财投资是增加收入的一个重要途径，某人根据市场调研发现：稳健型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）成正比，其关系如图1所示；风险型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示. (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式. (2)现有10万元资金全部用于这两种产品的个人理财投资，请问怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元？ 【解析】（1）由题意可设，，     由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，，         所以，. （2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，             则，，         有， 则当，即时，取得最大值，     所以当投资稳健型产品的资金为万元，投资风险型产品的资金为万元时，年收益最大，最大值为万元. 【变式19】（2025·高一·海南·期中）某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. (1)求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） (2)当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 【解析】（1）由题意，铺设完工所需时间为天，                   当时，, 当时，， 所以 . （2）当时，是减函数， 所以当时，，                       当时，，                  当且仅当时等号成立，，                      因为，所以当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 【变式20】（2025·高一·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【解析】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； （2）当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理. 题型五：建立拟合函数模型解决实际问题 【例题9】（2025·高一·河南郑州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为1700元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为104元；再在四个角落（图中四个三角形）上铺草坪，造价为32元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. (1)求S关于的函数解析式，并写出定义域； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？ 【解析】（1）设，则，所以， 因为，即 ，解得， 所以， 所以关于的解析式为，. （2）因为，， 当时，可得， 所以长为时，该休闲场所的总造价元； （3）因为， 当且仅当 ，即时等号成立 ， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 即当时，该休闲场所的总造价最小，最小值是元. 【例题10】某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 【解析】（1）由题意知：，， ， ，，，， ，即，购买方案二花费更少. （2）由（1）得：； ，（当且仅当，即时取等号）； ，（当且仅当，即时取等号）； 差值的最小值为（当且仅当，，，时取最小值）. 【变式21】某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． (1)当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ (2)写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． (3)每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 【解析】（1）当每套纪念品的售价为60元时，年销售量为（万套）， 每套纪念品的成本为（元）， 所以年利润为（万元）． （2）由题可知年销售量大于0，每套纪念品的成本为元． 由，可得， 所以． （3）由（2）可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以每套纪念品的售价为70元时，单套的利润最大，最大为20元． 【变式22】港珠澳大桥总长约，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门．一辆货车以（不超过）的速度从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了，每小时的运输成本包括油费和人工费用．经过测算，货车每小时用油，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元一次． (1)当时，这次行车的总费用为多少元？ (2)当为何值时，这次行车的总费用（单位：元）最低，并求出最低费用（，精确到0.01元）． 【解析】（1）当时，行车费用为（元）， 故这次行车的总费用为288元； （2）所用时间为（h），全程所用油费为（元）， 全程所用人工费用为（元）， 故，， 化简得（元）， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，这次行车的总费用最低，最低为元. 【变式23】某手工特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x（单位：万件）与年促销投入费用m（单位：万元）满足．已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出． (1)将该产品的年利润y（单位：万元）表示为年促销投入费用m（单位：万元）的函数（年利润年销售总额年产品成本年促销投入费用）； (2)该店家的年促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意，每件产品的销售价格为， 故年利润， 又，故， 即． （2）因为当时，， 由（1）可得， 因为， 当且仅当时，即时取等号， 所以， 即年促销投入费用为2万元时，店家获得最大利润10万元． 【变式24】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·月考）某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出.采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过25万件，只能从经销商处按每件成本60元购买，且另需投入400万元固定费用，此时销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过15万件，定价160元/件即可；若购进该产品数量多于15万件且不超过25万件，需降低定价销售，且销量每增加5000件，单价降低2元（例：若购进16万件，则定价为156元/件）；渠道二：若购进数量在25万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润（万元）与采购量x（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为12万件时，利润是多少?（利润=销售收入-成本） (2)写出利润（万元）关于采购（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大?此时利润是多少? 【解析】（1）（万元）. 所以当购进产品数量为12万件时，利润是800万元. （2）当时，， 当时，单价为：， 所以， 当时，， 所以． （3）由（2）知，当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是1100（万元）， 当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是1200（万元）， 当时， ，， 当且仅当，即， 当（万件），利润最大，此时利润是1590（万元）， 因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是1590（万元）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $