专题4.4 对数函数重难点题型专训（2个知识点+17大基础题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高一上学期数学重难点专训（人教A版必修第一册）

专题4.4 对数函数重难点题型专训 （2个知识点+17大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、对数函数的概念判断与求值 题型二、求对数函数的解析式 题型三、求对数函数的定义域 题型四、求对数型复合函数的定义域 题型五、求对数函数在区间上的值域 题型六、求对数型复合函数的值域 题型七、根据对数函数的值域求参数值或范围 题型八、根据对数型函数图象判断参数的范围 题型九、对数型函数图象过定点问题 题型十、对数型复合函数的单调性 题型十一、求对数函数的最值 题型十二、根据对数函数的最值求参数或范围 题型十三、求反函数 题型十四、反函数的性质应用 题型十五、比较对数式的大小 题型十六、由对数函数的单调性解不等式 题型十七、指数、对数、幂函数模型的增长差异 第二部分·练提高题型 题型一、求相关对数函数的定义域与值域 题型二、反函数有关求解 第三部分・自我检测 知识点01 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0，+∞). 例如：是对数函数，而，都不是对数函数. 【即时训练】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 【答案】 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 知识点02 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数 (a>0，且a≠1，x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1，0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时，对数函数的图象“下降”. (2)函数与 (a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴;0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数(a>0且a≠1)与对数函数(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【即时训练】 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 2．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）函数的反函数为，则___________. 【答案】12 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， ， 故答案为：12 【基础题型一 对数函数的概念判断与求值】 【例1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 1．（2025高二下·福建·学业考试）对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，令，则， 即函数经过点. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 3．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则________． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求函数值. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或或 【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于的不等式组，即可求解； （2）根据对数函数的定义及定义域列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为是对数函数，所以，解得且， 即实数的取值范围是且. （2）要使对数式有意义，则，解得或或， 故实数的取值范围是或或. 【基础题型二 求对数函数的解析式】 【例2】（25-26高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解. 【详解】解：由已知得，所以，解得：， 故选：A． 1．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 2．（24-25高一上·河北保定·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的判定方法一一分析即可. 【详解】对于选项A，，，，所以函数不是奇函数； 对于选项B，，所以，且函数定义域为，所以函数为偶函数； 对于选项C，，，解得，则其定义域为，关于原点对称， 而，，所以函数是奇函数； 对于选项D，， 所以，且定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数； 故选：C 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数（，且），且，求. 【答案】 【详解】已知 （，且），则， 所以， 因为 ，即， 由对数的定义可得，即， 将 代入 ， 可得. 【基础题型三 求对数函数的定义域】 【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数真数恒大于0的性质，列不等式求解即可得到函数定义域. 【详解】对于对数函数（且），其真数必须满足, 因此要使有意义，需满足真数大于0，即 ，解得， 故函数的定义域为 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的真数大于0，即可得到正确答案. 【详解】根据对数的真数大于0，可知定义域为， 故选：A 2．（25-26高一上·湖北咸宁·期末）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（     ） A．，（且） B． C．， D．， 【答案】AB 【分析】对选项中两函数的定义域，值域，对应关系逐一进行判断，即可得出结论. 【详解】选项A，两函数定义域为，值域为，对应关系完全相同，是同一个函数； 选项B，两函数定义域为，值域为，对应关系完全相同，是同一个函数； 选项C，易知的定义域为，定义域为，所以两函数不同； 选项D，易知，与值域不一样，两函数不同； 故选：AB 3．（25-26高一上·上海·期中）要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 【答案】且 【分析】根据对数的性质即可列不等式求解. 【详解】由题意可得或，解得：且， 故答案为：且 4．（25-26高一上·新疆·期末）已知（且）的图象过点. （1）求的值； （2）若，求的解析式及定义域. 【答案】（1）；（2），定义域为. 【分析】（1）把点代入求得即可， （2）根据对数函数的性质和运算法则，求得的解析式及定义域， 【详解】解：（1）∵（且）的图象过点 ∴ ∴ 又且 解得 （2） 其中且 所以的定义域为. 【基础题型四 求对数型复合函数的定义域】 【例4】（25-26高二下·山东青岛·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需满足真数大于0，即，解得， 因此函数定义域为. 1．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数（且），则该函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的定义，真数，解得. 所以函数的定义域为. 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）设函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 D．对于任意的，都有 【答案】ABD 【分析】根据真数大于0求得定义域，可判断A；利用奇偶性定义判断奇偶性，可判断B；取特殊值计算可判断C；根据对数运算化简即可判断D. 【详解】对于A，由，解得，故函数的定义域为，故A正确； 对于B，由A可知定义域关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B正确； 对于C；当时，，故C错误； 对于D，对于，，故D正确. 故选：ABD. 3．（2026·江苏淮安·一模）函数的定义域为___________. 【答案】 【详解】由，解得，所以的定义域为. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）求下列函数定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数型函数定义域求解； （2）利用对数型函数及根式型函数定义域求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得， 故函数定义域为； （2）要使函数有意义，需满足， 即，解得， 故函数定义域为. 【基础题型五 求对数函数在区间上的值域】 【例5】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）已知函数的定义域是，则下列函数中与值域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求出函数在上的值域，再逐一求四个选项中函数的值域即可得正确选项. 【详解】函数在单调递增， ，，所以值域为， 对于选项A：值域为，故选项A不正确； 对于选项B：因为的定义域是，所以，可得， ，所以值域为，故选项B正确， 对于选项C：值域为，故选项C不正确； 对于选项D：的值域为，故选项D正确； 故选：BD. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的值域是____________． 【答案】 【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域. 【详解】∵，∴，即， 即，则函数的值域为. 故答案为： 4．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)当时，求该函数的取值范围； (2)若，则方程有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，利用换元的思想转化为求二次函数的值域问题即可； （2）将问题转化为在上有解，进行参变分离，利用对勾函数的单调性进行求解． 【详解】（1）， 令， 所以， 因为，所以 所以该函数的取值范围为 （2）由（1）知在上有解， 即在上有解， 所以． 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， 的值域是 所以的取值范围为． 【基础题型六 求对数型复合函数的值域】 【例6】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可知函数定义域为， 所以函数， 即的值域为. 1．（26-27高一上·山东德州·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，根据二次函数的性质求出的值域，再根据对数函数的性质计算可得. 【详解】解：令，，则在上单调递增， 又，，所以， 又在上单调递增， 所以，即. 故选：A 2．（26-27高一上·安徽淮北·阶段检测）（多选）已知函数，，若存在，使得，则的取值可以是（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可. 【详解】当时，，即， 则的值域为， 当时，， 则的值域为， 若存在，使得， 则， 若， 则或， 解得或. 所以当时， 的取值范围为. 故选：AB 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】先分析真数的取值范围，再确定对数函数的值域即可； 【详解】因为函数，则， 所以， 即函数的值域是. 故答案为：. 4．（25-26高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域. 【答案】定义域为R，. 【分析】利用对数的真数大于0，可求函数的定义域；利用函数的单调性，可求函数的值域. 【详解】设，则. 因为恒成立，所以函数的定义域为R. 因为对数的底数，所以是[3，+∞）上的增函数 所以函数的值域为. 【基础题型七 根据对数函数的值域求参数值或范围】 【例7】（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 1．（25-26高一上·内蒙古·阶段检测）已知，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质可得的范围，根据范围计算各个选项，可得结果. 【详解】， 当时，，， 当时，， 观察各选项可知D选项满足条件. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）（多选）已知函数，若对任意的，均存在使得，则的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】ABD 【解析】由函数值域为求得的范围，然后进行判断． 【详解】依题意知：函数的值域为， 则或，解得：或， 故选：ABD． 3．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数过定点求出的值，再求其定义域即得； （2）将题意转化成函数的值域为，就参数进行分类讨论，结合二次函数的图象分析即得. 【详解】（1）因为函数过定点，则当时，，则，即，则， 由，得， 故函数的定义域为． （2）若函数的值域为，则可取到的所有值， 当时，，显然可以取到，故符合题意； 当时，只需，解得，则； 当时，不能取到的所有值，不合题意. 综上，的取值范围为． 【基础题型八 根据对数型函数图象判断参数的范围】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）（多选）已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的图象判断． 【详解】由图象知，可以看作是向左移动个单位得到的，因此， 故选：BD． 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据底数大于1的对数函数的性质，得出满足条件的图象只需满足即可得解. 【详解】根据对数函数的性质可知，函数在定义域上单调递增， 要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图所示的四条曲线分别是对数函数，，，的图象，求a，b，c，d与1的大小关系. 【答案】 【详解】由题图知： ，，，. 作平行于x轴的直线l：，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，由图可知. 【基础题型九 对数型函数图象过定点问题】 【例9】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 1．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数型函数过定点，只要令真数部分值为1，解出的值，再将的值代入解析式求得的值. 【详解】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 2．（24-25高一上·新疆巴州·期末）（多选）已知且，则下列函数的图象过定点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用和可以得到结论. 【详解】由，所以过顶点 ，故A正确； 同理：过定点，故B错误； 因为，所以过定点，故C错误； 由，所以过定点，故D正确. 故选：AD 3．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 4．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，求的值. 【答案】 【分析】令可求得函数的图象所经过的定点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式，可求得实数的值. 【详解】函数的图象恒过定点， 令，可得，则，， 点也在函数的图象上，则，可得：. 【基础题型十 对数型复合函数的单调性】 【例10】（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数型复合函数单调性直接求解即可. 【详解】由题意得,即或, 则对于函数，其对称轴为, 当时，函数单调递减， 当时,函数单调递增； 又函数在时单调递增， 所以当时，函数单调递减，当时,函数单调递增. 可得函数的单调递减区间为. 故选：C 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【分析】令，结合对数函数、二次函数和复合函数的性质即可得结果. 【详解】令，所以 . 由于在 上单调递减，在上单调递增，且是增函数， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又关于对称，所以的图象关于直线对称 故选：CD. 3．（25-26高一上·广东惠州·期中）函数的单调减区间为______. 【答案】 【分析】先求出的定义域，然后结合二次函数的单调性，利用复合函数的同增异减法则求解单调区间即可. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，或，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）对于求的解析式，我们可以通过换元法，将换为来求解.（2）对于求函数单调性，当时，先求出的表达式，再根据对数函数的性质以及复合函数单调性的判断方法（同增异减）来求解. 【详解】（1）设，则. 已知，将代入可得： 所以. （2）当时，. 先求函数的定义域，令，即，解得或. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递增. 当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递减. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 【基础题型十一 求对数函数的最值】 【例11】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D．e 【答案】A 【分析】先分析函数的单调性，结合单调性求最值即可. 【详解】因为均在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以函数在上的最小值为. 故选：A. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 2．（24-25高一上·新疆·期末）（多选）设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用二次函数、对数函数的单调性求出单调区间及最值. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，A错误，B正确； 当时，取得最大值9，所以有最小值，C错误，D正确. 故选：BD 3．（24-25高三·全国·一轮复习）函数在上的值域为______. 【答案】 【分析】分和两种情况，结合对数函数值域分析求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增. 当时，，可得； 当时，，可得； 综上所述：所以的值域为. 故答案为：. 4．（26-27高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)，定义域为 (2)0 【分析】（1）根据题中条件，即可对数运算，得到的值；再根据真数大于零，列出不等式组求解，即可求出定义域； （2）由（1）将函数解析式整理得到，判断其在给定区间的单调性，即可得出最小值. 【详解】（1）因为， 由，得，则，解得； 又，解得， 所以的定义域为； （2）由（1）得， 因为，令， 令，则函数单调递增， 故，即时，取最小值， 故的最小值为0． 【基础题型十二 根据对数函数的最值求参数或范围】 【例12】（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 1．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，且)在区间上的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分类讨论得最大值，从而求得参数值． 【详解】当时，在上单调递增，， 即，解得； 当时，在上里调递减，即 解得；综上：或， 故选：D． 2．（25-26高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，， 因为函数在的值域为，则，即， 由，得，则有或， 当时，，有， 当时，，有， 令方程的两个根为，如图， 因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，， 于是，解得或，而的最小值为， 则有或，解得或， 所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足. 故选：BC 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 【答案】或 【分析】分类讨论和时的对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，当时，对数函数在区间上单调递增. 又因为对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，解得. 当时，函数在区间上为减函数， 所以，，所以，， 故答案为：或. 4．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a. 【答案】(1)4 (2)或. 【分析】（1）代入解析式，由对数的运算解得的值； （2）对数函数单调，由题意建立方程，解得的值； 【详解】（1）， ∵， ∴， 即，∴，∴，∴. （2）∵函数在区间上单调， ∴，即， ∴或， ∴或. 【基础题型十三 求反函数】 【例13】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令，解得. 故选：C. 1．（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 2．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，可得函数与的图象关于直线对称，然后根据对数的运算逐个选项判断即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 故只需判断哪个函数与表示同一个函数， 因为函数的定义域为， 选项A的定义域为，故排除A； 选项BCD的定义域均为， 根据对数的运算法则，， 且. 故选：BCD 3．（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是_______. 【答案】 【分析】用x表示y，再把互换即得反函数. 【详解】由得， 故的反函数为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列指数函数的反函数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据反函数的概念运算求解； 【详解】（1）因为指数函数的底数是4，所以它的反函数是对数函数； （2）因为指数函数的底数是1.4，所以它的反函数是对数函数； （3）因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数． 【基础题型十四 反函数的性质应用】 【例14】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抓住关于直线对称的点为即可求解. 【详解】因为关于直线对称的点为，则的对称点为， 又在函数的图象上，故，解得， 故选：. 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【分析】证得与互为反函数，由反函数的图象关于直线对称可直接得答案. 【详解】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称， 故选：A. 2．（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）已知函数和，以下结论正确的有（    ） A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称 【答案】ABD 【分析】利用相同底数的指数函数和对数函数互为反函数，及互为反函数的两函数的性质分析选项即可. 【详解】A选项，注意到，则其与函数互为反函数，故A正确； B选项，函数定义域为，值域为R.函数定义域为R，值域为.故B正确； C选项，当时，两函数均在定义域内单调递减.当时，两函数均在定义域内单调递增.故C错误； D选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（且）的反函数图像经过点，则________． 【答案】1 【分析】由反函数的定义可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由函数（且）的反函数图像经过点， 可得原函数的图像经过点， 代入可得，且，即， 则. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象关于对称，求的值． 【答案】1 【分析】求出原函数的反函数，根据函数图象本身关于直线对称知，原函数与它的反函数相同，从而比较系数求得值． 【详解】由得， ∴， 由函数的图象关于对称知， 即， ∴． 【基础题型十五 比较对数式的大小】 【例15】（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知 ，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以. 1．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数运算性质结合对数函数单调性可判断大小关系. 【详解】注意到，从而， ，又在上单调递增， ，则. 2．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用对数的运算法则计算可判断各选项的正误. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以，所以选项B、D错误，A、C正确. 故选：AC. 3．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知，则的大小关系是_______. 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性使其与比较. 【详解】，， ，即， 故. 故答案为： 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵函数在上是增函数，， ∴. （2）∵函数在上是增函数，， 所以， 又∵函数在上是减函数，， ， ∴. （3）函数和的图象如图所示. 当时，的图象在图象上方. 由可得. 【基础题型十六 由对数函数的单调性解不等式】 【例16】（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 1．（25-26高一上·湖北·期末）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论和两种情况，利用对数函数单调性解不等式得到答案. 【详解】由， 当时，函数在定义域内为减函数， 则，即； 当时，函数在定义域内为增函数， 则，与矛盾. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）（多选）已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分和两种情况，分别判断出与的大小关系，对四个选项一一验证即可得到答案. 【详解】∵且， ∴当，即时，不等式可化为，即， ∴，，. ∴当，即时，不等式可化为，即， ∴，，. 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】由. 所以不等式的解集是. 4．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数、的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值； （2）所求不等式等价于，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）函数的图象过原点，①， 又②，联立①②解得. （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， ，解得，故原不等式的解集为. 【基础题型十七 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【例17】（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析题意可知，指数函数模型增长速度最快． 【详解】当充分大时，指数函数增长最快． 一次函数是线性增长，增长率为固定常数，增长速度稳定； 对数函数是对数增长，增长速度越来越慢，当x足够大时增长率趋近于0； 幂函数是多项式增长，增长速度快于线性增长、对数增长，但远慢于指数增长； 指数函数是指数增长，当x足够大时，增长速度会远超幂函数、一次函数、对数函数，因此本题增长率最大的是指数函数. 故选：D 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）（多选）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 【答案】 【分析】由指数函数的性质即可得出答案. 【详解】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出，四个变量均是从2开始变化，且都是越来越大， 但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快， 可知变量关于呈指数型函数变化. 故答案为：. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该校的要求？ 【答案】模型 【详解】借助工具作出函数的图象. 观察图象可知，在区间上，的图象都有一部分在直线的上方， 只有的图象始终在和的下方， 这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求. 【提高题型一 求相关对数函数的定义域与值域】 【例1】（25-26高一上·湖北荆门·期末）已知函数，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式，得，再由，解出的取值范围，即得函数的定义域. 【详解】对于函数，，即，解得. 对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 1．（2025·广西·模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解. 【详解】若，则， 因为， 所以， 因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）（多选）设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意可得函数的值域需满足关于原点对称，再利用函数单调性求得其值域，对选项逐一判断可得结论. 【详解】因为函数的定义域为，，，使得成立， 所以函数的值域关于原点对称； 对于A，函数的值域为，不关于原点对称，不合题意； 对于B，函数的值域为，关于原点对称，符合题意； 对于C，函数的值域为，不关于原点对称，不合题意； 对于D，当时，由二次函数性质可得当时，取得最小值1，即值域为； 当时，函数，此时其值域为； 则可得的值域关于原点对称，符合题意. 故选：BD 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】法一：将问题转化为与的值域有交集，并考虑其反面即可得解. 法二：利用的单调性得到，从而得解. 【详解】法一： 因为存在，使得成立， 所以与的值域有交集， 因为， 当时，，则，即的值域为， 当时，为使有意义， 则能成立，即能成立，即， 因为，所以， 此时，故的值域为， 当与的值域没有交集时，有或， 则或，即或. 所以当与的值域有交集时，. 法二： 因为在上是单调递增函数， 所以若存在，使得成立，则有，故， 因为，则，所以，故， 同时，在上能成立，即能成立，即， 因为，所以， 综上：. 故答案为：. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数 . (1)求函数的定义域； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得成立， 求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数型函数定义域的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算，结合对数的最值性质进行求解即可； （3）根据函数的最值，结合任意性和存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）根据函数的解析式可知：， 所以该函数的定义域为； （2）， 因为函数在上单调递增， 所以有， 所以， 所以关于的方程在区间上有解，只需， 因此实数的取值范围为； （3）对任意的，总存在，使得成立， 即函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 由在上单调递增，则， 由在上单调递减， 则， 要想，只需，即，解得， 故实数的取值为. 【提高题型二 反函数有关求解】 【例2】（2025·大纲版·高考真题）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为的反函数图象上的任意一点，则在的图象上，通过题意可得到在图象上，从而得解. 【详解】设为的反函数图象上的任意一点， 则关于的对称点一定在的图象上， 又因为的图象与函数的图象关于直线对称， 所以关于直线的对称点在图象上， 所以必有，即， 所以的反函数为. 故选：D 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】∵函数与的图象关于直线对称， 而函数与的图象分别为函数与的图象向左平移1个单位可得， ∴函数的图象与函数的图象关于直线对称． 2．（26-27高一·全国·课后作业）（多选）函数是（，且）的反函数，则对于任意正数x，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，得到解析式，再根据对数运算法则，对选项逐一判断即可. 【详解】由题意，. 选项A，故A正确. 选项B，故B正确. 选项C，.故C正确 选项D，由B选项知，，所以当时，.故D错误. 故选: ABC. 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）若满足满足则等于________． 【答案】 【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可 【详解】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点和点构成的线段的中点在直线上， 即，解得， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是严格增函数，其反函数是． (1)若，求，并写出定义域； (2)对于（1）的和，设任意，，，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：由（1）可知，， 要证， 即证， 也就是证 ， 因为， 所以， 则， 同理可得， 故成立， 则原不等式成立，即证． 【分析】（1）求出原函数值域，即为反函数的定义域，再根据反函数的求解过程，即可求得； （2）根据（1）中所求，用分析法将不等式进行不断转换，即可证明. 【详解】（1）因为在单调递增， 所以， 即的值域为， 由，可得， 又因为， 所以， 即，其定义域为， 故，定义域； （2）略. 1．（2025高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列与函数定义域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数定义域满足的条件，结合对数运算规则逐个计算判断即可 【详解】函数的定义域为的定义域为，A错误； 的定义域为，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，D错误． 故选：B. 3．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对数函数的图象及函数图象的变换检验各选项即可求解． 【详解】由图可得，，， 则，故A正确； 则，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 当时，，满足，故D可能成立； 故选：C． 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数、的解析式，数形结合可得出、的大小关系. 【详解】在上任意取点，点关于直线的对称点为， 因为点在上，故，得， 即，同理得， 在同一坐标系内画出与的图象如下： 得或或成立， 而不成立. 6．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）（多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】ABC 【详解】首先对数真数需满足，解得定义域为. 令真数，对称轴为，代入得最大值，因此真数范围为. 函数的底数，在上单调递减：当时，取最小值； 当时，，故函数值域为. 选项A：，符合要求； 选项B：，符合要求； 选项C：，符合要求； 选项D：，不符合要求. 7．（24-25高一上·山西·阶段检测）（多选）若，函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为0 D．若，则 【答案】ACD 【分析】计算对数式判断A;根据已知范围化简函数再结合函数的单调性判断B,根据函数的单调性得出函数的最小值判断C;应用对数函数的正负去绝对值得出对数式运算即可得出选项D. 【详解】因为，又，所以，故A正确； 当时，，又，所以，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 当时，，所以，故C正确； 当时，，又，所以， 所以函数在区间上单调递减，又函数在区间上单调递增，若，则， 所以，即，所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 8．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用特殊值法、指数函数和对数函数的性质逐个判断即可． 【详解】对于A，令，，，得，即，故A错误； 对于B，令，是减函数，又，所以，故B正确； 对于C，令，是减函数，又，所以，故C正确； 对于D，由C可知，则，即，故D正确． 故选：BCD． 9．（25-26高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据指数、对数运算、对数函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，，A正确. 当时，，B错误. 当时，，C正确. 设，易知该函数在上单调递增，且， 所以由，得，所以，D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一上·江西·阶段检测）（多选）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【答案】ABC 【分析】作出函数 的图象，数形结合，结合函数的增长趋势，一一判断各选项，即得答案. 【详解】作出函数 的图象，如图所示： 由图象知，对任意的 ，，A，B选项正确， 由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后的函数值将会超过的函数值，并一直持续， 即一定存在 ，当时，总有 ，C正确； 对于选项，当时， 与 的图象有一个交点， 当时 与 的图象有2个交点，一共有3个交点，D错误， 故选：ABC 11．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则______，＝______． 【答案】 / 【详解】； . 12．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解. 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 15．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 【答案】和 【分析】使用对数型复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得， 函数的定义域为， 令，当和时，是减函数， 当和时，是增函数， 因为是减函数， 所以的递增区间为和. 16．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过原点，求在的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的解析式，再解对数不等式即可； （2）根据图象经过原点可求得的值，结合单调性即可求值域. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 由，得， 即， 因为在上是增函数， 所以，即在上的值域为. 17．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数且． (1)求函数的定义域及其函数图象过的定点； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)定义域为，定点坐标为 (2)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，化简函数解析式为，令真数为，可得出的值，即可得出该函数图象所过定点的坐标； （2）对实数的取值范围进行分类讨论，可得出关于的不等式组，由此可解得所求不等式的解集. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 故函数的定义域为， 因为， 由，得，即，所以的图象过的定点是 （2）由题意可得， 当时，函数在定义域上单调递减， 则有，解得； 同理，当时，函数在定义域上单调递增， 则有，解得或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数，. (1)求使的成立的的取值范围； (2)若时，求函数的值域； (3)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用对数函数单调性解对数不等式即可； （2）应用换元结合对数函数值域，结合二次函数单调性得出值域； （3）先换元，再把恒成立问题转化为最值计算求解. 【详解】（1）因为，由，可得，解得， 即不等式的解集为； （2）时，， 设，，可得， 设，开口向上，对称轴， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以，， 所以函数的值域为； （3）因为对恒成立，因为， 可得恒成立， 设，，可得， 设，则在上单调递增， 且，， 可得，所以. 即的范围为. 19．（25-26高一上·宁夏银川·期末）我们知道，指数函数且与对数函数且互为反函数，已知函数，其反函数为. (1)求反函数的解析式； (2)已知函数，求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，即可得到函数的反函数为； （2）由，求得其定义域为，令，利用二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：由指数函数与对数函数且互为反函数， 所以函数的反函数为. （2）解：由函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为， 设，此时； 又在上为增函数，且在上为增函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上为增函数， 所以函数的增区间为. 20．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域； (2)设集合，证明：. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2) ，， ， 又因为，所以可得， 要证明：，即证明在上有解， 即证明存在，使得成立， 即证明在上有解， 设， 又，对称轴，开口向上， 在上有解. . 【分析】（1）由可得函数的定义域，根据对数运算性质得，结合函数的定义域可得函数的值域. （2）利用对数函数的单调性转化集合中的不等式，进而证明. 【详解】（1）由题意可得，，得， ∴定义域为．                                        当时，， 由，，∴ ∴， ∴值域为． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 对数函数重难点题型专训 （2个知识点+17大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、对数函数的概念判断与求值 题型二、求对数函数的解析式 题型三、求对数函数的定义域 题型四、求对数型复合函数的定义域 题型五、求对数函数在区间上的值域 题型六、求对数型复合函数的值域 题型七、根据对数函数的值域求参数值或范围 题型八、根据对数型函数图象判断参数的范围 题型九、对数型函数图象过定点问题 题型十、对数型复合函数的单调性 题型十一、求对数函数的最值 题型十二、根据对数函数的最值求参数或范围 题型十三、求反函数 题型十四、反函数的性质应用 题型十五、比较对数式的大小 题型十六、由对数函数的单调性解不等式 题型十七、指数、对数、幂函数模型的增长差异 第二部分·练提高题型 题型一、求相关对数函数的定义域与值域 题型二、反函数有关求解 第三部分・自我检测 知识点01 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0，+∞). 例如：是对数函数，而，都不是对数函数. 【即时训练】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 知识点02 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数 (a>0，且a≠1，x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1，0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时，对数函数的图象“下降”. (2)函数与 (a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴;0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数(a>0且a≠1)与对数函数(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【即时训练】 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）函数的反函数为，则___________. 【基础题型一 对数函数的概念判断与求值】 【例1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 1．（2025高二下·福建·学业考试）对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则________． 4．（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【基础题型二 求对数函数的解析式】 【例2】（25-26高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 1．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 2．（24-25高一上·河北保定·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数（，且），且，求. 【基础题型三 求对数函数的定义域】 【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北咸宁·期末）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（     ） A．，（且） B． C．， D．， 3．（25-26高一上·上海·期中）要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 4．（25-26高一上·新疆·期末）已知（且）的图象过点. （1）求的值； （2）若，求的解析式及定义域. 【基础题型四 求对数型复合函数的定义域】 【例4】（25-26高二下·山东青岛·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 1．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数（且），则该函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）设函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 D．对于任意的，都有 3．（2026·江苏淮安·一模）函数的定义域为___________. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）求下列函数定义域： (1)； (2). 【基础题型五 求对数函数在区间上的值域】 【例5】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）已知函数的定义域是，则下列函数中与值域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的值域是____________． 4．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)当时，求该函数的取值范围； (2)若，则方程有解，求实数的取值范围． 【基础题型六 求对数型复合函数的值域】 【例6】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（26-27高一上·山东德州·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·安徽淮北·阶段检测）（多选）已知函数，，若存在，使得，则的取值可以是（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．3 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 4．（25-26高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域. 【基础题型七 根据对数函数的值域求参数值或范围】 【例7】（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 1．（25-26高一上·内蒙古·阶段检测）已知，且.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）（多选）已知函数，若对任意的，均存在使得，则的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 【基础题型八 根据对数型函数图象判断参数的范围】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）（多选）已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为___________. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图所示的四条曲线分别是对数函数，，，的图象，求a，b，c，d与1的大小关系. 【基础题型九 对数型函数图象过定点问题】 【例9】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·新疆巴州·期末）（多选）已知且，则下列函数的图象过定点的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 4．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，求的值. 【基础题型十 对数型复合函数的单调性】 【例10】（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 3．（25-26高一上·广东惠州·期中）函数的单调减区间为______. 4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 【基础题型十一 求对数函数的最值】 【例11】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D．e 1．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·新疆·期末）（多选）设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有最大值 D．有最小值 3．（24-25高三·全国·一轮复习）函数在上的值域为______. 4．（26-27高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 【基础题型十二 根据对数函数的最值求参数或范围】 【例12】（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 1．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，且)在区间上的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 4．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a. 【基础题型十三 求反函数】 【例13】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是_______. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列指数函数的反函数： (1)； (2)； (3)． 【基础题型十四 反函数的性质应用】 【例14】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 2．（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）已知函数和，以下结论正确的有（    ） A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线对称 3．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（且）的反函数图像经过点，则________． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象关于对称，求的值． 【基础题型十五 比较对数式的大小】 【例15】（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知 ，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）设，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知，则的大小关系是_______. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 【基础题型十六 由对数函数的单调性解不等式】 【例16】（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·湖北·期末）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）（多选）已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）不等式的解集是______． 4．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数、的值； (2)求不等式的解集； 【基础题型十七 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【例17】（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）（多选）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 3．（24-25高一上·全国·课后作业）四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该校的要求？ 【提高题型一 求相关对数函数的定义域与值域】 【例1】（25-26高一上·湖北荆门·期末）已知函数，则函数的定义域为 A． B． C． D． 1．（2025·广西·模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）（多选）设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为________. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数 . (1)求函数的定义域； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得成立， 求实数的取值范围. 【提高题型二 反函数有关求解】 【例2】（2025·大纲版·高考真题）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（    ） A． B． C． D． 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 2．（26-27高一·全国·课后作业）（多选）函数是（，且）的反函数，则对于任意正数x，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）若满足满足则等于________． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是严格增函数，其反函数是． (1)若，求，并写出定义域； (2)对于（1）的和，设任意，，，求证：． 1．（2025高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列与函数定义域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）（多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 7．（24-25高一上·山西·阶段检测）（多选）若，函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为0 D．若，则 8．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 10．（25-26高一上·江西·阶段检测）（多选）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 11．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则______，＝______． 12．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________. 13．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 14．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 15．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 16．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过原点，求在的值域. 17．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数且． (1)求函数的定义域及其函数图象过的定点； (2)解关于的不等式. 18．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数，. (1)求使的成立的的取值范围； (2)若时，求函数的值域； (3)若对恒成立，求的取值范围. 19．（25-26高一上·宁夏银川·期末）我们知道，指数函数且与对数函数且互为反函数，已知函数，其反函数为. (1)求反函数的解析式； (2)已知函数，求函数的单调递增区间. 20．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域； (2)设集合，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $