专题4.5 函数的零点与方程的解重难点题型专训（1个知识点+11大基础题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高一上学期数学重难点专训（人教A版必修第一册）

专题4.5 函数的零点与方程的解重难点题型专训 （1个知识点+11大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求函数的零点 题型二、根据零点求函数解析式中的参数 题型三、零点存在性定理的应用 题型四、根据零点所在的区间求参数范围 题型五、根据函数零点的个数求参数范围 题型六、根据一次函数零点的分布求参数范围 题型七、根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型八、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型九、求函数零点或方程根的个数 题型十、比较零点的大小关系 题型十一、求零点的和 第二部分·练提高题型 题型一、函数零点相关求参范围 第三部分・自我检测 知识点01 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【即时训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为方程在上有实数根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由二次函数有零点，即方程在上有实数根， 则满足，解得， 即二次函数有零点的充要条件为. 故答案为：B. 2．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 【基础题型一 求函数的零点】 【例1】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【答案】D 【分析】由函数零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，即，解得，， 所以函数的零点是和. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）（多选）函数的零点有（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】根据函数零点定义，结合因式分解法进行求解即可. 【详解】，或， 故选：BC 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）函数所有零点的倒数和为________. 【答案】/0.5 【分析】求出函数的零点，进而求出它们的倒数和. 【详解】由，得，解得， 所以所有零点的倒数和为. 故答案为： 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)4， (3)，1 【分析】根据函数零点与相应方程的根之间的关系，结合因式分解求解即可． 【详解】（1）令，即， 也即或，所以， 故函数的零点为1. （2）. 令，即，解得或， 故函数的零点是4，. （3）. 令，则，解得或， 故函数的零点是，1. 【基础题型二 根据零点求函数解析式中的参数】 【例2】（2025·四川宜宾·三模）设函数，其中，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据确定中有一个为2，然后再根据不等式性成立确定另两个的和即可得. 【详解】由已知是的零点， 在中令得，即，所以中有一个为2，设另两个为，则， 所以， 由得恒成立， ，，所以且，所以， 所以， 故选：C. 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数和（其中且），若与的图象有一个交点的横坐标为2，则实数（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用交点横坐标为2，代入两个函数得到纵坐标相等即可得到. 【详解】因为与的图象有一个交点的横坐标为2，得到， 对于选项A：，选项A正确； 对于选项B：，选项B错误； 对于选项C： ，选项C错误； 对于选项D：，选项D错误； 故选：A 2．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）设函数，其中．现有甲、乙、丙、丁四个结论： 甲：4是函数的零点    乙：2是函数的零点 丙：函数的零点之积为0    丁：函数有两个零点 则下列说法中正确的有（    ） A．甲和乙同时成立 B．乙和丁不能同时成立 C．若丙和丁是正确的，则乙可能是正确的 D．若甲和丙是正确的，则丁是正确的 【答案】BD 【分析】假设甲、乙、丙、丁分别正确情况下求出对应参数a、b的值，结合各选项描述判断正误即可. 【详解】甲：4是零点；乙：2是零点；甲乙不能同时成立，A错； 若乙成立则，此时，当有，故无解，故 不可能有两个零点，即乙、丁不同时成立，B对，C错； 丙：的零点之积为是的零点， 若甲、丙正确则，，此时有两个根，，D对. 故选：BD． 3．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______. 【答案】2 【分析】由题意和是的零点，进而列方程组求得，即可得解. 【详解】因为多项式能被整除，而， 所以和是的零点， 所以即，解得，所以. 故答案为：2 4．（24-25高三上·河南·阶段检测）根据指数函数的相关性质解决下面两个问题： (1)已知，证明：； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明： 由，则， 由函数在上单调递减，则， 根据函数在上单调递减，故. (2) 【分析】（1）整理不等式，根据指数函数的单调性，可得答案； （2）整理方程，根据一元二次方程根的情况，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）略； （2）由方程，整理可得， 因为函数在上单调递增，且， 由题意可知，方程有两个不相等的正根， 则，解得. 【基础题型三 零点存在性定理的应用】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则有可能不存在实数使得 【答案】C 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若满足函数零点存在定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）若是函数的零点，是函数的零点，则（    ） A．4 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】通过零点存在性定理，分别确定和的取值范围，再推出的范围，即可得解. 【详解】易知函数都单调递增，所以两个函数都最多有一个零点， 又，所以， 又，所以， 因此. 故选：C. 2．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的图像在区间上连续，且，则函数在区间上至少有______个零点． 【答案】2 【分析】根据零点存在性定理即可得出判断． 【详解】因为， 所以， 所以函数在上至少存在1个零点，在上至少存在1个零点， 所以函数在区间上至少有2个零点． 4．（2025高二·全国·专题练习）证明：时，有解． 注：无需说明有几个解与单调性，函数连续，找个点即可， 【答案】证明： ， 当，因为，所以， 当，， 因为，所以， 所以，， 令，得，解得， 因为，所以，所以 即存在，使得． 【分析】由，再通过放缩得到，由在有解，即可解题. 【详解】略. 【基础题型四 根据零点所在的区间求参数范围】 【例4】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）（多选）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BC 【分析】变换，计算二次函数值域得到答案. 【详解】，则， 函数在上单调递增， 当，，BC满足. 故选：BC. 3．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的函数，定义域为 (1)当时，求函数的零点； (2)若函数有零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求解出对应的值，则零点可知； （2）将问题转化为“在上有解”，根据对勾函数的单调性求解出的值域，则的取值范围可知. 【详解】（1）当时，，， 令，则，则， 所以或(舍)，解得， 所以的零点为； （2）由题意可知，在上有解， 令，则在上有解， 则在上有解，即在上有解， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，所以. 所以的取值范围是. 【基础题型五 根据函数零点的个数求参数范围】 【例5】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分与两种情况讨论方程根的情况可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解， 当时，方程为，即，即， 因为，所以，所以方程有两个根，又， 所以有一个正根与一个负根， 又，所以有一正的零点， 当时，方程为，即 因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根， 所以，解得， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知， 方程等价于． 所以或． 要使方程在内恰有两个不同实数根，需要，，且． 由，得．结合，得． 又两个根不同，所以．因此． 2．（25-26高一上·湖南张家界·期末）（多选）已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数零点的定义，结合数形结合思想逐一判断即可. 【详解】令，则， 分别作与的图象如图所示． 由图可得， 所以，故A正确； ，故C正确； 由于， 所以，故B正确，D错误， 故选：ABC 3．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是______ 【答案】 【详解】因为函数有两个零点， 即有两个不同的根， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 4．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，求出的值，代入解不等式即可； （2）令，把问题转化为与关于的函数交点问题，画出函数图象，数形结合可得答案. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，得，即, ，， 所以，经检验满足题意； 由，可得， 所以，即， 所以不等式的解集为； （2）令，由得， ， 等价于， 即，， 令， ，则，代入得， 函数在单调递减，在单调递增，最小值为， 当 时，， 要使方程有两个不同解，实数的取值范围为. 【基础题型六 根据一次函数零点的分布求参数范围】 【例6】（25-26高一·全国·课后作业）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 【答案】D 【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解. 【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0； 函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数， 所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0， 解得a＜－1或a＞. 故选：D. 1．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，根据函数的单调性，由求解. 【详解】因为函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点， 又因为f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）单调， 所以， 即， 解得或， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，属于基础题. 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D．. 【答案】BD 【分析】在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，观察函数图象即可得出答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图， 由图象可知，当时，函数f (x)有两个零点和，当时，函数f (x）有两个零点和. 故选：BD 3．（25-26高二·全国·单元测试）当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，根据可求出结果. 【详解】设， 依题意可得，所以， 所以，得. 故答案为： 4．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时,不成立;再考虑时有,从而解不等式即可. 【详解】时,不成立; 函数在内有零点, 当时有, 即，即 解得或， 故实数a的取值范围是. 【基础题型七 根据二次函数零点的分布求参数的范围】 【例7】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，或三种情况，列不等式求的取值范围. 【详解】当时，，其图象与x轴的交点为，满足题意． 当时，分，两种情形，考虑到, 由题意得， 或，解得或． 综上可知，或或，即． 1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 2．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】ABD 【分析】对于A，根据求解判断；对于B，根据且求解判断；对于C根据或求解判断；对于D，根据分为，，并结合二次函数性质求解判断. 【详解】注意到，， 对于A，若，，开口向下，故要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，故正确； 对于B，若，，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需开口向下且，即且，解得，故正确； 对于C，若，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或，故错误； 对于D，若，， 当时，函数开口向下，要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，即时满足题意； 当时，得，满足题意； 当时，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或， 综上，若时，要使函数在区间内恰有一个零点，则或，故正确. 故选：ABD 3．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】∵ 函数的二次项系数为， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线. ∵ 的两个零点分别位于区间与内， ∴ . 解得. 4．（2026高二上·云南·学业考试）已知为实数，函数，,是函数的零点. (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意可知为函数的一个零点，代入求值，即得答案； （2）假设存在满足题意的b，结合二次函数性质列出不等式组，即可得结论，求得答案. 【详解】（1）由题意知，即为函数的一个零点， 则； （2）假设存在实数，使，， 则，解得， 即存在实数，使，，此时. 【基础题型八 根据指对幂函数零点的分布求参数范围】 【例8】（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据是函数的零点，得到在上，有，则答案可得. 【详解】∵函数在上单调递减， 且是函数的零点， ， ∴在上，有， ，. 故选：A. 1．（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即，令，即， 令，即， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：. 故选：B 2．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数的两个零点分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】函数有两个零点，即的图象与直线有两个交点，画出图象数形结合即可求解. 【详解】函数有两个零点，即的图象与直线有两个交点， 交点的横坐标就是，在同一平面直角坐标系中画出与 的图象如图所示，可知，， 即，所以，所以． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：把函数零点转化为函数图象交点，利用数形结合思想求解． 3．（25-26高三上·江苏泰州·期末）设函数，若，则的取值集合为______． 【答案】/ 【分析】利用函数的单调性分析得出两函数的零点必须重合才能满足题意，于是即可求解. 【详解】由题可得函数定义域为 因为，所以需同号. 因为两个函数均单调增，且值域为， 所以的零点必须重合，设此时零点为， 所以，即，解得. 4．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. （2）当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 【基础题型九 求函数零点或方程根的个数】 【例9】（26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】C 【详解】函数的零点个数是方程的解的个数， 由，解得． 所以函数的零点有2个． 1．（2026高三·全国·专题练习）函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义计算得到结果； 【详解】由于，令得，1， 因此在上仅有一个零点． 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 【答案】ACD 【分析】由函数图象得到方程和的解，由函数的极大值和极小值得到方程及的解个数，从而判断各个选项. 【详解】由函数图象可知，∴方程有且仅有1个解，A选项正确； 由图象可知函数存在极大值和极小值，又∵，所以方程有且仅有3个解，B选项错误； ∵，∴，∴方程有且仅有3个解，C选项正确； 由图象可知存在三个解即或， ∴时，或， ∴方程有且仅有9个解，D选项正确. 故选：ACD. 3．（2025高二下·吉林·学业考试）函数的零点的个数为______． 【答案】1 【分析】先根据函数单调性性质可知函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理即可判断零点个数. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理可知，函数在上只有一个零点， 可知函数的零点的个数为1 故答案为：1 4．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数. (1)若为偶函数，求a的值； (2)若在R上存在零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于为偶函数，先利用，求得a的值，然后再用定义法证明为偶函数即可得解； （2）在R上存在零点，转化为两个函数图象有交点，分析交点即可得出结论. 【详解】（1）因为为偶函数，所以，即：， 解得，所以， 又，所以为偶函数， 综上， （2）在R上存在零点，等价于有解，即有解 等价于与的图象有交点， 令， ， 易知，为连续的单调递减函数， 当时，，， 时，，， 即的值域为， 要想与的图象有交点， 必须且只需， 所以的取值范围是. 【基础题型十 比较零点的大小关系】 【例10】（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断单调性，结合零点存在定理可得答案. 【详解】易知三个函数均为增函数，又，所以； ，所以，所以. 故选：B 1．（2025·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）（多选）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数的零点依次为，则从大到小的顺序为___________． 【答案】 【详解】试题分析：∵恒大于0，∴的零点a<0；由，得， ∴由的零点； 由，得，∴的零点，∴．故答案为． 考点：比较大小 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图像与解析式，得到，即可比较与1的大小. （2）对分类讨论，分别求出满足关于的方程有且只有一个实根时的取值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）    由题意得， 所以， 因为，所以， 所以. （2）若关于的方程有且只有一个实根， 即，且，有且只有一个实根， 若，则，符合； 若，则， 在时只有一个根， 对称轴为，而， 所以符合， 当时，若在时只有一个根， 令，其对称轴为， 时，， 若即，则在单调增， 而，所以不满足在时只有一个根， 若，即时， 在单调递减，在单调递增， 因为，，，且即， 所以在时不可能只有一个根， 综上：. 【基础题型十一 求零点的和】 【例11】（24-25高一上·全国·课后作业）已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用求得，再由求得所有零点，进而求得正确答案. 【详解】由，得，则， 由 . 解得或， 所以函数的所有零点之和为2． 故选：B 1．（2025·安徽·二模）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知可将方程转化为，结合的定义可得，即，解不等式，再分别判断个区间内解的情况. 【详解】，即， 因为，所以可得，解得， 当时，满足题意； 当时，即，解得，满足题意； 当时，即，解得，满足题意，所有实数根之和为， 故选：A. 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解. 【详解】作出函数在时的图象，如图所示， 设， 则关于的方程的方程等价于 解得：或， 如图， 当时，即对应一个交点为， 方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为8； （2），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为， 综上，4个实数根之和为或. 故选：BD. 3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若函数的零点为，函数的零点为，则__________． 【答案】3 【分析】，，根据单调性，得到，求出答案. 【详解】， 由题意得，， 因为在R上单调递增， 故， 因为，所以，. 故答案为：3 4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数与幂函数的性质作图即可； （2）直接解方程求和即可. 【详解】（1）略 （2）若，则或， 若，则， 即的实数根为或或 综上所有实数根之和为. 【提高题型一 函数零点相关求参范围】 【例1】（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】令，根据的单调性得到当时，有唯一解，从而得到当时，有唯一解. 【详解】令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，， 又， 所以当时，有唯一解，此时， 所以当时，有唯一解. 所以实数的值是. 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间恰有一个零点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数零点的存在定理解决本题，要对该函数的性质进行讨论，是否为二次函数，是否有等根等．注意分类讨论思想的运用． 【详解】解：若，则，它的零点为，故符合题意． 若，函数在区间恰有一个零点，则需满足： ①或②或③ 解①得，或；解②得，解集为；解③得； 综上，的取值范围是． 故选：D． 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（   ） A．在和上单调递减 B．的值域为 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】作出函数函数的图象，可得出，，的性质，的性质，判断各选项． 【详解】作出函数的图象，如图，设，则直线与的图象有三个交点， 对A，由图象知A正确， 对B，当时，，B错； 对C，或， 因为，所以，从而，又， 所以，C正确， 对D，由图可知 ，即，D正确， 故选：ACD． 【点睛】 3．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】把原方程的解转化为方程在上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围. 【详解】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有4个不同的实数根， 故方程在上有两个不同的正数解， 故，解得. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知关于的方程的两个根为，. (1)若，且，求，的值； (2)若，求的最小值； (3)若，证明：当时，. 【答案】(1)， (2) (3) 因为， 所以，，所以， 即， 因为， 因为，所以，，，所以， 所以，即证得， 所以，当时，. 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合条件确定，的值； （2）由，根据根与系数的关系将转化为关于的二次函数从而得最值；或者转化为关于的二次函数，从而求得最值； （3）根据根与系数的关系及不等式的性质求证即可. 【详解】（1）由题意，，，且， 时，，所以， ， 所以，所以，； （2）法一：因为， 所以， 所以时，的最小值等于，此时. 法二：因为，，， 所以，， 所以， 当时，的最小值等于， 此时，，方程为有两个根. （3）略 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 2．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数在内单调递增，值域为，分类讨论函数在内的零点个数，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】因为函数在内单调递增， 则函数在内的值域为. 若函数在内无零点，则或，可得或， 可知函数在内有2个零点， 则，解得，所以或； 若函数在内有且仅有1个零点，则，可得， 可知函数在内有且仅有1个零点， 则或，解得或，所以无解； 综上所述：的取值范围是. 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把方程仅有4个不相等的实数根，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 方程仅有4个不相等的实数根，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， ∴实数的取值范围是. 故选:A. 4．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，原方程变为，通过分类讨论方程根的个数即可. 【详解】原方程即为，令，， 当关于的方程没有根时，则原方程没有根，即原方程有零个根； 当关于的方程有一根时，，解得，，即，，则原方程有两个根； 当关于的方程有两个根时，若是方程的一个根，另一个根为，由可得，则原方程三个根， 若不是方程的根，设是方程的两根，由和可得和，则原方程有四个根， 综上所述，原方程的实根的个数可能为，故D正确． 5．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 6．（24-25高一上·河南南阳·期末）（多选）已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（   ） A． B．函数可能不存在零点 C．函数可能有一个零点 D．函数可能有两个零点 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的情况确定，，进而得到可判断A；讨论和两种情况可判断BCD. 【详解】因为和是的零点，所以，解得，， 所以， 因为为函数的零点，所以，故A正确； 当时，有一个零点，故C正确； 当时，对于，， 所以有两个零点，故D正确， 综上，可能有一个零点或两个零点，故B错误. 故选：ACD． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知是定义在上的函数，下列命题不正确的是（    ） A．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在内有零点，则有 B．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内没有零点 C．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点 D．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点 【答案】ABC 【分析】根据函数的零点的概念，以及函数零点存在定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A中，函数在内有零点，但是，故A不正确； 对于B中，函数，满足，在内有零点，故B不正确； 对于C中，若在区间上的图象是一条连续不断的曲线， ，，且在上恒成立，此时满足， 但是其在内没有零点，故C不正确； 对于D中，若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有， 根据零点的存在定理，可得在内有零点，故D是正确的. 8．（2025·四川达州·模拟预测）（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图. 根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误； 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故D正确； 当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确.    故选：ACD 9．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 【答案】AC 【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD. 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 10．（24-25高一上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】先作出函数和的图象，结合题设即可判断ABC，接着求出方程和的根即可计算判断D. 【详解】由题得，所以作出和的图象如下： 因为方程有4个不同的零点，，，，且， 所以，令，则由图可知， 故，，故C错误，AB正确， 令，则或； 令，则或，所以 所以，故D正确. 故选：ABD 11．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为______.（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 13．（2025·浙江·二模）函数至多有______个零点． 【答案】1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 14．（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）设是函数的零点，是函数的零点，则_____. 【答案】2 【分析】运用零点定义构建与两个函数相关的等式，结合对数函数性质，找到与之间的联系即可. 【详解】已知是的零点，则，即 . 因为是的零点，所以，移项可得. 令，则，那么，即. 对比与，发现，当和时函数值相等. 容易知道在单调递增，则也是单调递增函数，所以，即. 将移项可得. 故答案为：2. 15．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】作出函数草图如图， 当时，；当时，． 由有两个不相等的实数根得函数的图象与直线有两个交点， 所以． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的两个零点为2，3． (1)求b，c的值； (2)若函数的两个零点分别在区间内，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零点的概念可得2，3为方程的两根，然后根据韦达定理列式求解即可. （2）根据二次函数零点分布列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意2，3为方程的两根， ． （2）， 依题意即，解得， 故实数m的取值范围是． 17．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)证明：由题意得，， 因为的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在内至少有一个零点． (2)2 【分析】（1）根据零点存在性判断方法进行判断即可. （2）确定的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的零点个数问题，在数形结合，分类讨论函数零点的个数. 【详解】（1）略 （2）由题意得． 令，得． 令，函数， 则的零点个数等于的图象与直线的公共点个数． 的大致图象如图所示． 当时，的图象与直线的公共点个数为0，即函数的零点个数为0． 当或时，的图象与直线的公共点个数为1，即函数的零点个数为1． 当时，的图象与直线的公共点个数为2，即函数的零点个数为2． 18．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）有一道题：“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，某同学给出了如下解答：由，解得，所以实数的取值范围是. (1)上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. (2)若函数的值域是，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当零点不是“变号零点”时，无法用零点存在定理来确定，由此可知原解法有错误. 当时，，解得：， 当时，， ①若，即，是内的唯一零点， ②若，即， （i），解得：， （ii）当，即时，，解得：，， （iii）当时，即时，，解得：，， 综上可得，的取值范围是. (2) 【分析】（1）当零点不是“变号零点”时，无法用零点存在定理来确定，由此可知原解法有错误；当时，函数为一次函数，解得零点后可知满足题意；当时，函数为二次函数，分别在和两种情况下，求得恰有一个零点时的值，进而得到结果. （2）函数的值域是，则值域能取遍所有正实数，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）略 （2）时，，值域为. 时，  ， 综上. 19．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数. (1)请回答在 上的零点个数，并说明理由； (2)求证: 的所有零点之和大于. 【答案】(1)2个零点，理由如下： 要确定函数在上的零点个数，就是确定方程在上解的个数. 设，则在上单调递减，在上单调递增，且，. 设在上单调递增，且，，. 作函数草图如下：    可得方程在和上各有1个解. 所以函数在上有2个零点. (2)证明： 设，为函数在上的两个零点，且. 则，， 因为，，则. 因为在上单调递增， 所以， 又在上单调递增， 所以. 【分析】（1）转化为方程在上解的个数，分析函数单调性，数形结合，可确定函数零点个数. （2）利用函数的单调性，即可证明的所有零点之和大于. 【详解】（1）2个零点，理由略； （2）略. 20．（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，其中，且． (1)当时，求的零点个数； (2)若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由． 参考数据：…． 【答案】(1)函数恰有一个零点 (2)a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74，理由： 当时，由（1）可知，是增函数， 至多有一个零点，不符合题意； 当时，，， ，， 当时有，，符合题意； 此时，解得，， 因为，（或也可） 且， 所以a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74． 【分析】（1）根据函数的单调性和零点存在性定理判断； （2）由（1）可知，根据零点存在性定理得，从而求解a的值. 【详解】（1）时，， 因为，， 所以，由零点存在定理，在区间存在一个零点， 因为和均在单调递增， 所以在单调递增， 所以函数恰有一个零点． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 函数的零点与方程的解重难点题型专训 （1个知识点+11大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求函数的零点 题型二、根据零点求函数解析式中的参数 题型三、零点存在性定理的应用 题型四、根据零点所在的区间求参数范围 题型五、根据函数零点的个数求参数范围 题型六、根据一次函数零点的分布求参数范围 题型七、根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型八、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型九、求函数零点或方程根的个数 题型十、比较零点的大小关系 题型十一、求零点的和 第二部分·练提高题型 题型一、函数零点相关求参范围 第三部分・自我检测 知识点01 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【即时训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【基础题型一 求函数的零点】 【例1】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）（多选）函数的零点有（    ） A．0 B． C． D．3 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）函数所有零点的倒数和为________. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). 【基础题型二 根据零点求函数解析式中的参数】 【例2】（2025·四川宜宾·三模）设函数，其中，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数和（其中且），若与的图象有一个交点的横坐标为2，则实数（   ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）设函数，其中．现有甲、乙、丙、丁四个结论： 甲：4是函数的零点    乙：2是函数的零点 丙：函数的零点之积为0    丁：函数有两个零点 则下列说法中正确的有（    ） A．甲和乙同时成立 B．乙和丁不能同时成立 C．若丙和丁是正确的，则乙可能是正确的 D．若甲和丙是正确的，则丁是正确的 3．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______. 4．（24-25高三上·河南·阶段检测）根据指数函数的相关性质解决下面两个问题： (1)已知，证明：； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【基础题型三 零点存在性定理的应用】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则有可能不存在实数使得 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）若是函数的零点，是函数的零点，则（    ） A．4 B．8 C．9 D．18 2．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的图像在区间上连续，且，则函数在区间上至少有______个零点． 4．（2025高二·全国·专题练习）证明：时，有解． 注：无需说明有几个解与单调性，函数连续，找个点即可， 【基础题型四 根据零点所在的区间求参数范围】 【例4】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）（多选）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 3．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的函数，定义域为 (1)当时，求函数的零点； (2)若函数有零点，求的取值范围． 【基础题型五 根据函数零点的个数求参数范围】 【例5】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南张家界·期末）（多选）已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围是______ 4．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【基础题型六 根据一次函数零点的分布求参数范围】 【例6】（25-26高一·全国·课后作业）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 1．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（　　） A．或 B． C．或 D． 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D．. 3．（25-26高二·全国·单元测试）当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是______． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 【基础题型七 根据二次函数零点的分布求参数的范围】 【例7】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 3．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 4．（2026高二上·云南·学业考试）已知为实数，函数，,是函数的零点. (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【基础题型八 根据指对幂函数零点的分布求参数范围】 【例8】（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 1．（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数的两个零点分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏泰州·期末）设函数，若，则的取值集合为______． 4．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【基础题型九 求函数零点或方程根的个数】 【例9】（26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 1．（2026高三·全国·专题练习）函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 3．（2025高二下·吉林·学业考试）函数的零点的个数为______． 4．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数. (1)若为偶函数，求a的值； (2)若在R上存在零点，求a的取值范围. 【基础题型十 比较零点的大小关系】 【例10】（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）（多选）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数的零点依次为，则从大到小的顺序为___________． 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 【基础题型十一 求零点的和】 【例11】（24-25高一上·全国·课后作业）已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 1．（2025·安徽·二模）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A．4 B． C． D．8 3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若函数的零点为，函数的零点为，则__________． 4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 【提高题型一 函数零点相关求参范围】 【例1】（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间恰有一个零点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（   ） A．在和上单调递减 B．的值域为 C．的取值范围是 D． 3．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知关于的方程的两个根为，. (1)若，且，求，的值； (2)若，求的最小值； (3)若，证明：当时，. 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河南南阳·期末）（多选）已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（   ） A． B．函数可能不存在零点 C．函数可能有一个零点 D．函数可能有两个零点 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知是定义在上的函数，下列命题不正确的是（    ） A．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在内有零点，则有 B．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内没有零点 C．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点 D．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点 8．（2025·四川达州·模拟预测）（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 10．（24-25高一上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 11．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为______.（按由小到大排列） 12．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 13．（2025·浙江·二模）函数至多有______个零点． 14．（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）设是函数的零点，是函数的零点，则_____. 15．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的两个零点为2，3． (1)求b，c的值； (2)若函数的两个零点分别在区间内，求m的取值范围． 17．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 18．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）有一道题：“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，某同学给出了如下解答：由，解得，所以实数的取值范围是. (1)上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. (2)若函数的值域是，求实数的取值范围. 19．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数. (1)请回答在 上的零点个数，并说明理由； (2)求证: 的所有零点之和大于. 20．（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，其中，且． (1)当时，求的零点个数； (2)若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由． 参考数据：…． 学科网（北京）股份有限公司 $