第1章 三角形 期中复习单元专题卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册
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内容正文：
苏科版 八年级数学 第1章 三角形 期中复习单元卷
时间：120分钟 满分：130分
班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，下列条件中不能使△ABC≌△DEF成立的条件有（ ）
A．BC＝EF B．AC＝DF C．∠C＝∠F D．∠ABC＝∠E
第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，已知BC＝6，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，线段AB的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
5．如图，AB＝CD，AD＝BC，AC，BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
第5题 第6题 第7题 第8题
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则CF的长为（ ）
A．4 B．3.5 C．2 D．1
7．如图，E是线段AB上一动点，△ACE和△BDE是位于直线AB同侧的顶角相等的两个等腰三角形，△ACE的底AE与它自己的高相等，△BDE 的底BE与它自己的高相等，若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．若E是AB的中点，则 B．若AE＝1，则
C．若，则△CDE是直角三角形 D．若△CDE的面积是，则BE＝3
8．如图，∠COD＝30°，点A1，A2，A3…均在射线OC上，点B1，B2，B3…均在射线OD上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若△OA1B1的面积为1，则△A5B5A6的面积为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．如图，C是AE的中点，∠A＝∠DCE，要使△ABC≌△CDE，则需要添加的条件可以是_________________ ．（写一个即可）
第9题 第10题 第11题 第12题
10．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABD＝35°，则∠BDC＝_______ °．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝6，点P为BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，则PE+PF＝_____ ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，QP＝AB．当AP＝_________ 时，才能使△ABC与△PQA全等．
13．点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝60°，则∠BOC＝________ °．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE，则CE＝____________________ ．
第14题 第15题 第16题
15．如图，在△ABC中，AB、AC边上的垂直平分线DE、FG交于点O，连接AO，点M为BC的中点，连接OM．若△AEG的周长为30，EG＝10，OM＝8，则四边形AEOG的面积为_______ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是BC的中点，E在边AB上，AE＝2BE．若F在边AC上，满足DF＝DE，则四边形AEDF的面积是 _________ ．
三．解答题（共11小题，共82分）
17．（本题6分）如图，△ABC≌△DEF，且点B，E，C，F在同一直线上，点A，C，D在同一直线上．若BE＝CE，求证：CE＝CF．
18．（本题6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，．求证：DF＝EF．
19．（本题6分）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PD∥OB交OA于点D，
（1）求证：△ODP是等腰三角形．
（2）若∠AOB＝60°，OD＝6，求DP的长和∠ODP的度数．
20．（本题6分）已知△ABC的三边AB＝c，AC＝b，BC＝a．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）如图，∠CAB＝90°，AD，AE分别是△ABC的高，中线，若a＝10，b＝8，c＝6，
①求△ABE的面积；
②若EF⊥AC于点F，则EF的长是_____ ．
21．（本题7分）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，且CE＝CD．求证：BD＝DE．
22．（本题7分）如图，已知在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，M是BC的中点，N为EF的中点，求证：MN⊥EF．
23．（本题7分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，连DE，DB＝DE．
（1）求证：CE＝CD；
（2）过点D作DF⊥BE，垂足为F．若CF＝2，求△ABC的周长．
24．（本题7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，连接AD，以AD为边作△ADE，AE交BC的延长线于点H，过点E作EM⊥BC，且AC＝EM．
（1）若BD＝CM，求证：∠B＝∠EDM．
（2）若S△ADE＝8，求△ADH的面积．
25．（本题10分）如图，△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且满足AE＝AF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，ED＝3，求△ABC的面积．
26．（本题10分）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，则PE、PF、PM和BG之间的关系是________________ ．
27．（本题10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，点H为BC上一点，将△ABC沿DH折叠使点B落在点C处，如果△ADC是等边三角形，那么∠B＝_______ °；
（2）在（1）的条件下，点E为射线BC上一动点，以线段AE为边，在其左侧作等边△AEF．
①如图2，点F在射线BC的下方，若∠AEC＝50°，请求出∠FAC的值；
②如图3，记射线DC与线段AF的交点为G，连接DF，在点E的运动过程中，当△DGF为等腰三角形时，请求出∠DGF的度数．
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苏科版 八年级数学 第1章 三角形 期中复习单元卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，下列条件中不能使△ABC≌△DEF成立的条件有（ ）
A．BC＝EF B．AC＝DF C．∠C＝∠F D．∠ABC＝∠E
【分析】由AD＝BE先推出AB＝DE，再结合已知∠A＝∠EDF，逐一判断各选项添加的条件能否构成SAS/ASA/AAS/SSS全等。
【解答】解：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，
由题干可知：∠A＝∠EDF，
A：添加BC＝EF，SSA不能判定△ABC≌△DEF，符合题意；
B：添加AC＝DF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，不合题意；
C：添加∠C＝∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，不合题意；
D：添加∠ABC＝∠E，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，不合题意．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，已知BC＝6，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【分析】先用勾股定理求斜边AB，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求CD。
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB10，
∵D为斜边AB的中点，
∴CDAB10＝5．
故选：A．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，结合∠A＝50°求∠ACB；再由作图知BD＝BC、BF平分∠DBC，逐步推导∠EBC。
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝50°，
∴50°+2∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝65°，
由作图可知，BD＝BC，BF平分∠DBC交AC于点E，
∴∠BDC＝∠ACB＝65°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝50°，
∴∠EBC∠DBC＝25°，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，线段AB的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】先由等腰三角形性质和内角和求∠ABC、∠A；再由垂直平分线得DA＝DB，从而∠ABD＝∠A，最后∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD。
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
由线段垂直平分线可知，DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
故选：B．
5．如图，AB＝CD，AD＝BC，AC，BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】由AB＝CD、AD＝BC先证两对SSS全等（△ABD≌△CDB、△ABC≌△CDA），再由对应角相等证两对AAS全等（△AOB≌△COD、△BOC≌△DOA）。
【解答】解：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∵△ABC≌△CDA，
∴∠BCO＝∠DAO，
在△BOC和△DOA中，
，
∴△BOC≌△DOA（AAS），
所以图中的全等三角形共有4对，
故选：C．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则CF的长为（ ）
A．4 B．3.5 C．2 D．1
【分析】连接AC，证AC垂直平分BD；由∠BAD＝60°、AB＝AD得△ABD为等边三角形；结合CE∥AB推出△DEF等边、△AEC等腰，从而求CF。
【解答】解：如图：连接AC交BD于点O，
∵∠BAD＝60°，AB＝AD＝12，BC＝DC，
∴，AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠DEF＝60°，∠CAB＝∠CAE＝∠CAD＝30°，
∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形，
∴AE＝CE＝7，
∴EF＝DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5，
∴CF＝CE﹣EF＝7﹣5＝2．
故选：C．
7．如图，E是线段AB上一动点，△ACE和△BDE是位于直线AB同侧的顶角相等的两个等腰三角形，△ACE的底AE与它自己的高相等，△BDE 的底BE与它自己的高相等，若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．若E是AB的中点，则
B．若AE＝1，则
C．若，则△CDE是直角三角形
D．若△CDE的面积是，则BE＝3
【分析】作高CH⊥AE、DG⊥BE，利用等腰三角形三线合一得EH＝AE/2、EG＝BE/2；再构造矩形CHGD，用勾股定理和面积公式逐一验证各选项。
【解答】解：由题意，过C作CH⊥AE于H，过D作DG⊥BE于点G，
对于A，∵E是AB的中点，AB＝4，
∴AEAB＝2，
∵△ACE是等腰三角形，CH⊥AE，CH＝AE＝2，
∴EHCE＝1．
∴CE，故A正确，不合题意；
对于B，过C作CM⊥DG于M，
∵AE＝1，
∴CH＝1，EHAE，则DG＝BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3．
同理可得，EG，
∴CM＝EH+EG2．
又∵DM＝DG﹣CH＝3﹣1＝2，
∴CD2，故B正确，不合题意；
对于C，∵AE，
∴CH＝AE，DG＝BE．
∴EH，EG，则CM＝EH+GE＝2，DM＝DG﹣CH＝1，
∴CE，DE，
∴CD．
∴CE2+CD2＝DE2．
∴△CDE是直角三角形，故C正确，不合题意；
对于D，设BE＝a，则AE＝4﹣a，
∴CH＝4﹣a，DG＝a，GH＝2，EH（4﹣a），EGa．
∵S梯形CHGD（CH+DG）•GH＝S△EHC+S△DEG+S△DEC，且S△DEC，
∴（4﹣a+a）×2（4﹣a）•（4﹣a）a•a．
∴a＝1或3，即BE＝1或3，故D错误，符合题意．
故选：D．
8．如图，∠COD＝30°，点A1，A2，A3…均在射线OC上，点B1，B2，B3…均在射线OD上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若△OA1B1的面积为1，则△A5B5A6的面积为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【分析】由∠COD＝30°和等边三角形60°角推出含30°的直角三角形，得到后一个等边三角形边长是前一个的2倍，归纳出第n个边长为2^(n-1)倍，面积比为边长比的平方。
【解答】解：∠COD＝30°，点A1，A2，A3…均在射线OC上，点B1，B2，B3…均在射线OD上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝∠A1B1A2＝∠A1A2B1＝60°，A1B1＝A1A2＝A2B1，
∵∠COD＝30°，
∴∠OB1A2＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠A2B1B2＝180°﹣90°＝90°，OA2＝2A2B1＝2A1A2，
∴OA1＝OA2﹣A1A2＝2A1A2﹣A1A2＝A1A2，
∴，
∵在等边△A2B2A3中∠B2A2A3＝60°，
∴∠OB2A2＝∠B2A2A3﹣∠COD＝30°，
∴A2B2＝2A2B1，即A2B2＝2A1B1
同理：，
，
…
，
∴，
∵等边△A1B1A2∽等边△A5B5A6，
∴，
∴．
故选：C．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．如图，C是AE的中点，∠A＝∠DCE，要使△ABC≌△CDE，则需要添加的条件可以是 ．（写一个即可）
【分析】已知C是AE中点得AC＝CE，又∠A＝∠DCE，再添加一组角或边即可用AAS/ASA/SAS证全等。
【解答】解：添加：∠B＝∠D，
∵C是AE的中点，
∴AC＝CE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
故答案为：∠B＝∠D（答案不唯一）．
10．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABD＝35°，则∠BDC＝ °．
【分析】先在△ABD中由内角和求∠ADB，再由全等三角形对应角相等得∠BDC＝∠ADB。
【解答】解：在△ABD中，∠A＝80°，∠ABD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣80°﹣35°＝65°，
∵△ABD≌△CBD，
∴∠BDC＝∠BDA＝65°，
故答案为：65．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝6，点P为BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，则PE+PF＝ ．
【分析】连接AP，将△ABC拆分为△ABP和△ACP，用面积法：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，因AB＝AC，两腰上的高PE、PF之和等于AC边上的高BD。
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝6，如图：连接AP，
则，
∵AB＝AC，BD为边AC上的高，
∴，
即BD＝PF+PE＝6．
故答案为：6．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，QP＝AB．当AP＝ 时，才能使△ABC与△PQA全等．
【分析】∠PAQ＝∠C＝90°，且斜边QP＝AB，分两种对应方式讨论：△ABC≌△QPA时AP＝BC；△ABC≌△PQA时AP＝AC。
【解答】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
在Rt△ABC和Rt△PQA中，QP＝AB，
分两种情况：
当Rt△ABC≌Rt△QPA时，PA＝BC＝5．
当Rt△QAP≌Rt△BCA时，AP＝AC＝10．
综上所述，当AP＝5或AP＝10时，才能使△ABC与△PQA全等，
故答案为：5或10．
13．点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝60°，则∠BOC＝ °．
【分析】到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，由角平分线定义得∠OBC+∠OCB＝(∠ABC+∠ACB)/2，再用内角和求∠BOC。
【解答】解：如图：
∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°．
故答案为：120．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE，则CE＝ ．
【分析】先由HL证△ACD≌△AED得AC＝AE，△ACE等腰；再由角平分线性质AD垂直平分CE；最后用面积法求CE长。
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴．
∵AD平分∠CAB，
DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∠CAD＝∠EAD．
∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC＝AE＝8．
∴△ACE为等腰三角形．
∵AD平分∠CAE，
∴AD⊥CE，
CF＝FE，
CE＝2CF．
∵由角平分线定理，，
CD+DB＝6，
∴．
∵∠ACD＝90°，
．
∴•AD．CF，
CF，
，
．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，AB、AC边上的垂直平分线DE、FG交于点O，连接AO，点M为BC的中点，连接OM．若△AEG的周长为30，EG＝10，OM＝8，则四边形AEOG的面积为 ．
【分析】由垂直平分线性质得OA＝OB＝OC、AE＝BE、AG＝CG，推出BC＝△AEG周长；再由M是BC中点得OM⊥BC，用面积割补法求四边形AEOG面积。
【解答】解：连接OB，OC，
∵AB、AC边上的垂直平分线DE、FG交于点O，
∴OA＝OB，OA＝OC，AE＝BE，AG＝CG，
∴OB＝OC，AE+AG+EG＝BE+CG+EG＝BC，
∵△AEG的周长为30，
∴BC＝30，
∵OE＝OE，OG＝OG，
∴△AEO≌△BEO（SSS），△AGO≌△CGO（SSS），
∵点M为BC的中点，
∴OM⊥BC，
∴四边形AEOG的面积＝S△AOE+S△AOG＝S△BEO+S△COG＝S△BOC﹣S△EOGBC•OMGE•OM30×810×8＝80，
故答案为：80．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是BC的中点，E在边AB上，AE＝2BE．若F在边AC上，满足DF＝DE，则四边形AEDF的面积是 ．
【分析】作DH⊥AB、DP⊥AC，证四边形DHAP为正方形（边长3）；由AE＝2BE求AE、EH；再分F在AP上和CP上两种情况，用HL证△DPF≌△DHE，求两种面积。
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，DP⊥AC于点P，连接AD，如图1所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，AD＝BD＝CDBC，AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD都是等腰直角三角形，
∴DH＝AH＝BHAB＝3，DP＝AP＝CPAC＝3，
∴DH＝DP＝AH＝AP＝3，
∴四边形DHAP是菱形，
又∵∠BAC＝90°，
∴菱形DHAP是正方形，
∵E在边AB上，AE＝2BE，
∴AB＝AE+BE＝3BE＝6，
∴BE＝2，
∴AE＝2BE＝4，
∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1，S△ADEAE•DH6，
∵点E，H都在边AB上，
∴DE＞DH，
∴当若F在边AC上，满足DF＝DB时，有以下两种情况：
①当点G在线段AP上时，如图2所示：
∵DH⊥AB，DP⊥AC，
∴△DPF和△DHE都是直角三角形，
在Rt△DPF和Rt△DHE中，
，
∴Rt△DPF≌Rt△DHE（HL），
∴FP＝EH＝1，
∴AF＝AP﹣FP＝3﹣1＝2，
∴S△ADFAF•DP3，
∴四边形AEDF的面积为：S△ADE+S△ADE＝6+3＝9；
②当点F在线段CP上时，如图3所示：
同①证明：Rt△DPF≌Rt△DHE（HL），
∴FP＝EH＝1，
∴AF＝AP+FP＝3+1＝4，
∴S△ADFAF•DP6，
∴四边形AEDF的面积为：S△ADE+S△ADE＝6+6＝12，
综上所述：则四边形AEDF的面积是9或12．
三．解答题（共11小题，共82分）
17．（本题6分）如图，△ABC≌△DEF，且点B，E，C，F在同一直线上，点A，C，D在同一直线上．若BE＝CE，求证：CE＝CF．
【分析】由全等得BC＝EF，两边同时减去BE和CE（已知BE＝CE），即得CE＝CF。
【解答】解：证明：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∵BE＝CE，
∴BC﹣BE＝EF﹣CE，
∴CE＝CF．
18．（本题6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，．求证：DF＝EF．
【分析】先由SAS证△ACD≌△ABE得∠ACD＝∠ABE；再由AB﹣AD＝AC﹣AE得BD＝CE；最后用AAS证△BDF≌△CEF。
【解答】解：证明：∵AB＝AC，，，
∴AD＝AE，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF．
19．（本题6分）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PD∥OB交OA于点D，
（1）求证：△ODP是等腰三角形．
（2）若∠AOB＝60°，OD＝6，求DP的长和∠ODP的度数．
【分析】（1）由平行线得∠DPO＝∠POB，再由角平分线得∠DOP＝∠POB，从而∠DPO＝∠DOP，等角对等边；（2）由∠AOB＝60°求各角，再求DP长。
（2）根据OC 平分∠AOB，结合条件∠AOB＝60°，即可求出∠DOP＝∠POB＝30°，再根据平行线性质得∠DPO＝∠POB＝30°，进而求出∠ODP＝120°，再根据等腰三角形性质即可得DP＝OD＝6．
【解答】解：（1）证明：如图，
∵PD∥OB，
∴∠DPO＝∠POB，
∵OC 平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠POB，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴OD＝DP，
∴△ODP是等腰三角形；
（2）解：如图，
∵∠AOB＝60°，OC 平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠POB＝30°，
∵PD∥OB，
∴∠DPO＝∠POB＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣∠DOP﹣∠DPO＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵△ODP是等腰三角形，且OD＝DP，
∴DP＝OD＝6．
20．（本题6分）已知△ABC的三边AB＝c，AC＝b，BC＝a．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）如图，∠CAB＝90°，AD，AE分别是△ABC的高，中线，若a＝10，b＝8，c＝6，
①求△ABE的面积；
②若EF⊥AC于点F，则EF的长是 ．
【分析】（1）由三角形三边关系判断各绝对值内式子的正负，再去绝对值化简；（2）①用面积法求高AD，中线平分面积求△ABE面积；②由中线性质求EF。
（2）①利用面积关系求出AD的长，即可求解；
②利用中线平分三角形的面积即可求解．
【解答】解：（1）∵b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c﹣a）﹣（c﹣a﹣b）
＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b
＝a+b+c；
（2）①，
∴，
∵AE是△ABC的中线，
∴，
②∵，
∴．
故答案为：3
21．（本题7分）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，且CE＝CD．求证：BD＝DE．
【分析】由等边三角形和D是AC中点，BD平分∠ABC且BD⊥AC；再由CE＝CD得∠E＝∠CDE，利用外角性质证∠DBC＝∠E。
【解答】解：证明：∵△ABC 是等边三角形，D是AC的中点，
∴，∠ACB＝60°．
∵点E在BC 的延长线上，
∴∠DCE＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵CE＝CD，
∴．
∴∠DBE＝∠E，
∴BD＝DE．
22．（本题7分）如图，已知在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，M是BC的中点，N为EF的中点，求证：MN⊥EF．
【分析】连接EM、FM，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得EM＝FM＝BC/2，△EMF为等腰三角形；N是EF中点，由三线合一得MN⊥EF。
【解答】解：证明：连接EM、FM，
∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠BEC＝∠CFB＝90°，
∵M是BC的中点，
∴EMBC，FMBC，
∴EM＝FM，
∵N为EF的中点，
∴MN⊥EF．
23．（本题7分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，连DE，DB＝DE．
（1）求证：CE＝CD；
（2）过点D作DF⊥BE，垂足为F．若CF＝2，求△ABC的周长．
【分析】（1）由等边三角形和BD是中线得∠DBC＝30°，再由DB＝DE和外角性质证∠CDE＝∠CED；（2）由30°直角三角形性质求CD，再求周长。
（2）由CF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是中线，
∴∠DBC＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠CED＝30°，
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CE＝CD；
（2）解：∵DF⊥BE，∠BCD＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝2，
∴DC＝2CF＝4，
∵BD是中线，
∴AD＝CD，
∴AC＝8，
∴△ABC的周长＝3AC＝24．
24．（本题7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，连接AD，以AD为边作△ADE，AE交BC的延长线于点H，过点E作EM⊥BC，且AC＝EM．
（1）若BD＝CM，求证：∠B＝∠EDM．
（2）若S△ADE＝8，求△ADH的面积．
【分析】（1）由BD＝CM推BC＝DM，结合AC＝EM、∠C＝∠M＝90°用SAS证△ACB≌△EMD；（2）由AAS证△ACH≌△EMH得AH＝HE，即DH为△ADE中线，面积为一半。
【解答】解：（1）证明：∵BD＝CM，∴BD+CD＝CM+CD，∴BC＝DM，∵EM⊥BC，∴∠M＝∠ACB＝90°，
在△ACB和△EMD中，
，
∴△ACB≌△EMD（SAS），∴∠B＝∠EDM．
（2）解：∵∠ACB＝90°，EM⊥BC，∴∠ACH＝∠EMH＝90°，在△ACH和△EMH中，
，
∴△ACH≌△EMH（AAS），∴AH＝HE．
又∵S△ADE＝8，∴S△ADHS△ADE＝4．
25．（本题10分）如图，△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且满足AE＝AF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，ED＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）由HL证Rt△ADE≌Rt△ADF得∠DAE＝∠DAF；（2）由全等得DF＝DE＝3，用面积法S△ABC＝S△ABD+S△ACD求面积。
（2）先根据Rt△ADE≌Rt△ADF得出DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ADC进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AE＝AF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵Rt△ADE≌Rt△ADF，ED＝3，
∴DF＝DE＝3，
∵AB+AC＝10，
∴．
26．（本题10分）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，则PE、PF、PM和BG之间的关系是PE+PF﹣PM＝BG ．
【分析】（1）用面积割补法：S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，因等边三角形三边相等，推出PE+PF+PM＝BG；（2）P在三角形外时，用面积差S△ABC＝S△ABP+S△ACP﹣S△BCP。
（2）根据等边三角形的性质，三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：证明：（1）PE+PF+PM＝BG，理由：
如图2，连接AP、BP、CP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，而S△ABCAC•BG，S△ABPAB•PE，S△BCPBC•PM，S△ACPAC•PF，
∴AC•BGAB•PEBC•PMAC•PF，
∴BG＝PE+PF+PM，
即PE+PF+PM＝BG；
（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由：
如图3，连接AP、BP、CP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP﹣S△BCP，而S△ABCAC•BG，S△ABPAB•PE，S△BCPBC•PM，S△ACPAC•PF，
∴AC•BGAB•PEAC•PFBC•PM，
∴BG＝PE+PF﹣PM，
即PE+PF﹣PM＝BG，
故答案为：PE+PF﹣PM＝BG．
27．（本题10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，点H为BC上一点，将△ABC沿DH折叠使点B落在点C处，如果△ADC是等边三角形，那么∠B＝ 30 °；
（2）在（1）的条件下，点E为射线BC上一动点，以线段AE为边，在其左侧作等边△AEF．
①如图2，点F在射线BC的下方，若∠AEC＝50°，请求出∠FAC的值；
②如图3，记射线DC与线段AF的交点为G，连接DF，在点E的运动过程中，当△DGF为等腰三角形时，请求出∠DGF的度数．
【分析】（1）由等边三角形∠A＝60°和直角三角形两锐角互余求∠B；（2）①用等边三角形60°角和直角三角形求∠EAC，再求∠FAC；②先证△DAF≌△CAE得∠ADF＝90°，再分DF＝DG和GD＝GF两种等腰情况讨论。
（2）①利用等边三角形每个角都是60°，与直角三角形两锐角互余进行求解；②结合两个等边三角形能够得出全等的三角形，在分类讨论求解．
【解答】解：（1）∵△ADC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
（2）①在等边AEF中，∠FAE＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝90，
∵∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠FAC＝60°﹣40°＝20°；
②由（1）可知△ADC和△AFE均为等边三角形，
∴AD＝AC，AF＝AE，∠ADC＝∠DAC＝∠FAE＝60°，
∴∠DAF＝∠CAE，
∴△DAF≌△CAE（SAS），
∴∠ADF＝∠ACE，
∵∠ACE＝90，
∴∠ADF＝90°，
∴∠GDF＝90°﹣60°＝30°，
当DF＝DG时，∠DGF＝∠DFG75°，
当GD＝GF时，∠GDF＝∠GFD＝30°，∴∠GDF＝180°﹣2×30°＝120°，
综上，当△DGF为等腰三角形时，∠DGF＝75°或120°．
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