第1章 平面直角坐标系中的直线（知识清单）高二数学沪教版选择性必修第一册

第1章 平面直角坐标系中的直线 知识点一 倾斜角与斜率 1. 直线与 轴相交时， 轴绕交点沿逆时针方向旋转到与直线重合所转过的最小正角是倾斜角。直线与 轴平行或重合时，倾斜角为 。倾斜角 的范围是 。 2. 时，斜率 。 时斜率不存在。过 、（）的斜率是 。 3. 在 和 上，斜率都随倾斜角的增大而增大。倾斜角为钝角时，斜率小于 。 知识点二 直线的方程 1. 过点 、斜率为 的直线是 。斜率为 、在 轴上的截距为 的直线是 。 2. 过 、（ 且 ）的直线是 。过点 、法向量为 的直线是 。 3. 一般式 （、 不同时为 ）的一个法向量是 。点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线。截距是交点的坐标，可以为负，也可以为 。 知识点三 两条直线的位置关系 1. 设 ：，：。相交的充要条件是 。 2. 的充要条件是存在实数 ，使 、，但 。重合则还要 。求出参数后要代回去检验是否重合。 3. 的充要条件是 。两条直线的斜率都存在时，也可以用 。 知识点四 两条直线的夹角 1. 两条相交直线的夹角 满足 。 2. 。分子取绝对值，是因为法向量的夹角可能是钝角。 知识点五 点到直线的距离 1. 点 到直线 的距离是 。用之前先把直线写成一般式。 2. 两条平行直线 与 的距离是 。用之前先把 、 的系数化成相同。 3. 点关于直线对称：两点的中点在直线上，两点的连线与直线垂直。 易错点1 钝角的斜率小于零 易错提醒 1. 倾斜角在 内时，，斜率是负数。 2. 倾斜角为 时斜率不存在，不能写成一个实数。 【对点训练】1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 易错点2 斜率范围跨过竖直方向 易错提醒 1. 动直线过定点并且与线段有公共点时，先看过定点的竖直线是否与线段相交。 2. 相交时，斜率不大于较小的端点斜率，或不小于较大的端点斜率。不相交时，斜率取两者之间。 【对点训练】2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是______ 易错点3 截距相等要考虑过原点 易错提醒 1. 两截距都是 时，直线过原点，截距也相等。 2. 截距互为相反数时，过原点的直线同样满足，要单独写出来。 【对点训练】3．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 易错点4 平行求参要排除重合 易错提醒 1. 只说明方向相同，还要把参数代回去看常数项是否也成比例。 2. 常数项也成比例就是重合。题目要求平行时，把重合的参数去掉。 【对点训练】4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 易错点5 两直线夹角用倾斜角之差 易错提醒 1. 一条直线竖直时，倾斜角是 。另一条直线先由斜率求出倾斜角。 2. 夹角是两个倾斜角的差。差大于 时，用 减去这个差。 【对点训练】5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段检测）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 易错点6 距离公式要先整理方程 易错提醒 1. 点到直线的距离，先把直线写成 。 2. 两条平行线的距离，先把 、 的系数化成相同，再用 。 【对点训练】6．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线与直线的距离为__________． 易错点7 点关于直线对称 易错提醒 1. 对称点的中点在直线上，两点的连线与直线垂直。 2. 光线反射时，入射光线上的点关于反射直线的对称点，落在反射光线上。 【对点训练】7．（26-27高二上·山东烟台·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，若直线：上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线 与 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法错误的是（     ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 8．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 二、填空题 9．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若直线过点，且与向量垂直，则直线的点法式方程为______ 三、解答题 10．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）已知三个顶点的坐标为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 11．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直角坐标平面内的两点. (1)直线经过两点，求直线的一般式方程以及在轴､轴上的截距； (2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程. 12．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于，两点，面积记为． (1)若，，求的最小值； (2)若时，求直线的斜截式方程． 13．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知，，. (1)写出边上的中线所在的直线的方程； (2)从点射出的光线经反射后过坐标原点，求反射光线所在直线的斜截式方程. 14．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）平面直角坐标系中，一直线过点 (1)，，若与直线垂直，求直线的方程（结果化为一般式） (2)若与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求的最大值及此时直线的方程（结果化为一般式） 15．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）给定实数，，设点，过点作与两坐标轴均不平行的直线． (1)若该直线的斜率为，求该直线在两坐标轴上的截距之和； (2)作两条这样的不同的直线，若其在两坐标轴上的截距之和相等，求这两条直线的斜率之积； (3)若对任意实数，在两坐标轴上的截距之和为的直线都恰有两条，且这两条直线不垂直，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 平面直角坐标系中的直线 知识点一 倾斜角与斜率 1. 直线与 轴相交时， 轴绕交点沿逆时针方向旋转到与直线重合所转过的最小正角是倾斜角。直线与 轴平行或重合时，倾斜角为 。倾斜角 的范围是 。 2. 时，斜率 。 时斜率不存在。过 、（）的斜率是 。 3. 在 和 上，斜率都随倾斜角的增大而增大。倾斜角为钝角时，斜率小于 。 知识点二 直线的方程 1. 过点 、斜率为 的直线是 。斜率为 、在 轴上的截距为 的直线是 。 2. 过 、（ 且 ）的直线是 。过点 、法向量为 的直线是 。 3. 一般式 （、 不同时为 ）的一个法向量是 。点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线。截距是交点的坐标，可以为负，也可以为 。 知识点三 两条直线的位置关系 1. 设 ：，：。相交的充要条件是 。 2. 的充要条件是存在实数 ，使 、，但 。重合则还要 。求出参数后要代回去检验是否重合。 3. 的充要条件是 。两条直线的斜率都存在时，也可以用 。 知识点四 两条直线的夹角 1. 两条相交直线的夹角 满足 。 2. 。分子取绝对值，是因为法向量的夹角可能是钝角。 知识点五 点到直线的距离 1. 点 到直线 的距离是 。用之前先把直线写成一般式。 2. 两条平行直线 与 的距离是 。用之前先把 、 的系数化成相同。 3. 点关于直线对称：两点的中点在直线上，两点的连线与直线垂直。 易错点1 钝角的斜率小于零 易错提醒 1. 倾斜角在 内时，，斜率是负数。 2. 倾斜角为 时斜率不存在，不能写成一个实数。 【对点训练】1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记直线的倾斜角为，由题意， ，得或， 故的取值范围是. 易错点2 斜率范围跨过竖直方向 易错提醒 1. 动直线过定点并且与线段有公共点时，先看过定点的竖直线是否与线段相交。 2. 相交时，斜率不大于较小的端点斜率，或不小于较大的端点斜率。不相交时，斜率取两者之间。 【对点训练】2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，排除倾斜角为的情形，再利用正切函数的单调性求解取值范围． 【详解】当时，正切函数在该区间上单调递增，故． 当时，正切函数在该区间上单调递增，故． 当时，直线的斜率不存在． 综上，的取值范围为． 易错点3 截距相等要考虑过原点 易错提醒 1. 两截距都是 时，直线过原点，截距也相等。 2. 截距互为相反数时，过原点的直线同样满足，要单独写出来。 【对点训练】3．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【答案】或 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，再建立方程并求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，所以或. 易错点4 平行求参要排除重合 易错提醒 1. 只说明方向相同，还要把参数代回去看常数项是否也成比例。 2. 常数项也成比例就是重合。题目要求平行时，把重合的参数去掉。 【对点训练】4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解，再检验排除两直线重合的情况即可得到结果 【详解】因为 直线：，：，与平行， 所以，即，解得或， 当时，，，满足平行要求； 当时，，，即，与重合，不符合要求. 综上所述，实数的取值集合为. 易错点5 两直线夹角用倾斜角之差 易错提醒 1. 一条直线竖直时，倾斜角是 。另一条直线先由斜率求出倾斜角。 2. 夹角是两个倾斜角的差。差大于 时，用 减去这个差。 【对点训练】5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段检测）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 易错点6 距离公式要先整理方程 易错提醒 1. 点到直线的距离，先把直线写成 。 2. 两条平行线的距离，先把 、 的系数化成相同，再用 。 【对点训练】6．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线与直线的距离为__________． 【答案】/ 【分析】利用平行线间的距离公式直接求解，要注意的系数要相同. 【详解】直线与直线平行， 先对直线方程进行变形，直线即， 故直线与直线的距离为. 易错点7 点关于直线对称 易错提醒 1. 对称点的中点在直线上，两点的连线与直线垂直。 2. 光线反射时，入射光线上的点关于反射直线的对称点，落在反射光线上。 【对点训练】7．（26-27高二上·山东烟台·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两点关于直线对称时，根据是线段的垂直平分线计算即可. 【详解】因为，， 所以由中点坐标公式得中点坐标为. 所以， 根据互相垂直的两条直线斜率乘积为，可得直线的斜率. 由点斜式得的方程：， 即. 一、单选题 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】法一：设点斜式方程，分别求出两坐标轴的交点坐标，表示出面积，分两种情况考虑，去掉绝对值，方程解的个数即对应直线的个数；法二：设截距式方程，由三角形面积为6，可得，即，分情况去掉绝对值，由判别式即可判断方程解的个数即直线的个数. 【详解】法一：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 设此直线与轴、轴的交点分别为，， 则点，的坐标分别为，， 因此面积为， 若，化简得，无解； 若，化简得，解得， 综上，直线的个数为2. 法二：过的直线与坐标轴围成三角形， 故的方程可设为，则，，即， 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又，无解； 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又， 则方程有两个不相等的实数根，即对应的直线个数为2条. 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点 之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得点的对称点，然后利用点斜式方程求解直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以直线，即， 即入射光线所在直线方程为. 4．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，若直线：上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及得到点在线段上，即直线与线段相交，整理直线的方程得到直线经过定点，算出临界值斜率，确定直线斜率的取值范围，进而求解. 【详解】由题可知， 因为，所以点在线段上， 直线的方程可化为，所以直线经过定点， ，， 又点在直线上，所以直线与线段相交， 所以直线的斜率或， 即或，解得或 所以的取值范围为. 5．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线 与 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用判断充分性，再根据两直线垂直的充要条件求出所有满足垂直的的取值，判断必要性即可确定条件类型. 【详解】充分性验证：当时，，， 可得，满足，充分性成立. 必要性验证：若，则， 整理得，解得或， 即时不一定等于，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 6．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法错误的是（     ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】先求出两条动直线的定点坐标，验证两直线垂直，结合直角三角形性质与基本不等式逐一判断各选项，选出错误选项. 【详解】 对于直线，整理为， 对任意恒成立，解得，即； 对于直线，整理为， 对任意恒成立，解得，即 . 选项A：由两点间距离公式得，A正确； 选项B：两直线系数满足，故，即，为直角三角形， 由勾股定理得，为定值，B正确； 选项C：，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，故，最大值为，C错误； 选项D：由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立，最大值为，D正确. 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 8．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】将转化成，由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等，则题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等，分类讨论即可得出答案. 【详解】将转化成， 由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等， 题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等， 设直线，，， 易得解析式为， 因为，所以直线不过原点， ， 若，则直线为线段的垂直平分线或者与平行， 若直线为线段的垂直平分线，设，中点为，则， 因为，，所以， ，即； 若直线与平行，则，令，， 则， 由点到直线距离公式可得， 解得或，代入得或， 恰有三个不同的实数对满足关系式； 若，如图所示，对于固定的，存在四条不同的直线使得条件成立， 要排除掉其中一种情况，则某一条直线过原点， 若直线过原点且过，则解析式为，则，符合题意； 若直线过原点且与平行，则解析式为，则，符合题意； 将，以及进行比较得. 二、填空题 9．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若直线过点，且与向量垂直，则直线的点法式方程为______ 【答案】 【详解】已知直线过点，且为直线的法向量， 根据直线点法式方程：若直线过点，法向量为， 则直线方程为， 将代入公式，得， 故直线的点法式方程为. 三、解答题 10．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）已知三个顶点的坐标为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点坐标求出中点，结合两点纵坐标相等写出中线所在直线的方程； （2）先求底边的斜率，利用垂直直线斜率关系得出的斜率，结合点斜式求高线所在直线的方程； （3）由平行关系得到直线的斜率，设直线的斜截式，利用截距之和建立方程求解参数，得到直线的方程． 【详解】（1） ，， 因为为的中点，所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为； （2） ，， 因为所在直线的斜率， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为，即； （3） ，， 因为所在直线的斜率， 所以可设直线的方程为， 此时在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即． 11．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直角坐标平面内的两点. (1)直线经过两点，求直线的一般式方程以及在轴､轴上的截距； (2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1)，直线在x轴､y轴上的截距分别为､. (2). 【详解】（1）直线过， 由两点式得. 整理得一般式方程为， 由截距式方程可知，直线在x轴､y轴上的截距分别为､. （2）关于轴的对称点为， 所以， 则直线：， 即反射光线所在的直线方程为. 12．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于，两点，面积记为． (1)若，，求的最小值； (2)若时，求直线的斜截式方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线过点得到、的约束关系，结合基本不等式求解面积最小值； （2）设直线斜截式方程，结合过点的条件和面积公式列方程求解. 【详解】（1）由题意可设直线，则有， 有，即， 当且仅当、时，等号成立， 故，即的最小值为； （2）由题意可设的斜截式方程为，则有，且有， ，故， 当时，有，解得或， 当时，有，无解； 故或，当时，，当时，， 故直线的斜截式方程为或. 13．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知，，. (1)写出边上的中线所在的直线的方程； (2)从点射出的光线经反射后过坐标原点，求反射光线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解； （2）由点关于直线对称求解． 【详解】（1）易知的中点的坐标为，     又，则，     故的方程为，即． （2）设点与点关于对称，则，且的中点在上，     直线的斜率为，， 故，解得，则．     所以反射光线所在直线的斜截式方程为． 14．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）平面直角坐标系中，一直线过点 (1)，，若与直线垂直，求直线的方程（结果化为一般式） (2)若与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求的最大值及此时直线的方程（结果化为一般式） 【答案】(1) (2)，此时的方程为： 【分析】（1）先算出直线的斜率，利用垂直直线斜率乘积为求出直线的斜率，再结合点M用点斜式写出方程并化为一般式； （2）设直线截距式，代入定点得到约束条件，把向量数量积转化为关于的表达式，用乘1法结合基本不等式求最值，再写出对应直线方程． 【详解】（1），设直线斜率为，由垂直关系得，解得， 直线过点，故直线的方程为：， 一般式方程为：． （2）设，则直线的方程为：（，）， 因为是直线上的点，， 则，， 由基本不等式可知 ，当且仅当，即等号成立， 故，此时的方程为：． 15．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）给定实数，，设点，过点作与两坐标轴均不平行的直线． (1)若该直线的斜率为，求该直线在两坐标轴上的截距之和； (2)作两条这样的不同的直线，若其在两坐标轴上的截距之和相等，求这两条直线的斜率之积； (3)若对任意实数，在两坐标轴上的截距之和为的直线都恰有两条，且这两条直线不垂直，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】设点斜式，分别令，求出横纵截距； 两条直线截距和相等，列出等式，因式分解分析求解； 令截距和等于，整理关于斜率的一元二次方程，根据题中条件进行分析求解. 【详解】（1）由直线过点且斜率为，， 得该直线方程为， 令，得；令，得， 故该直线在两坐标轴上的截距之和为． （2）设两条直线的斜率分别为，，， 则， 即， 因为，，，故． （3）当截距之和为时，， 即． 因为对任意实数，这样的直线恰有两条， 所以对任意实数，有． 取，得； 反之，若，则对任意实数，均有， 且因，两根均不为0，故恰有两条符合条件的直线． 由（2）知这两条直线的斜率之积为， 又两直线不垂直，所以， 由，得， 所以的取值范围为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $