专题01 坐标平面上的直线（期中复习知识清单，6常考题型2易错2技巧）高二数学下学期沪教版

专题01 坐标平面上的直线 直线的倾斜角与斜率 1. 倾斜角定义：直线与x轴相交时，x轴______与直线向上方向的最小正角；范围：。 2. 斜率公式：过、（），；时，斜率______。 3. 方向向量：斜率为的直线，方向向量为；直线的法向量为。 直线的方程 1. 点斜式：（过，斜率）；垂直x轴直线：。 2. 斜截式：（为斜率，为______）。 3. 一般式：（不同时为______）；时，可转化为斜截式。 两条直线的位置关系 设，，斜率分别为（存在时）。 1. 平行：一般式条件；斜率条件。 2. 垂直：一般式条件；斜率条件。 3. 交点：联立直线方程，无解______，无穷多解______。 距离公式 1. 点到距离：。 2. 两平行直线与距离：。 对称问题 1. 点关于对称点：。 2. 点关于直线对称：满足______与______两个条件（用文字描述） 斜率与倾斜角的变化关系 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是_____. 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期中）直线的倾斜角的大小为_____ 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 已知两点求斜率 【例2】（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为__． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为________． 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）过，的直线的斜率为______． 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线经过点、，则直线的斜率为______． 直线的一般式方程及辨析 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线的倾斜角是____________． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 已知直线平行求参数 【例4】（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为______. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）若直线与平行，则________. 【变式3】（25-26高二下·上海松江·期中）直线与直线平行，则实数_________ ． 已知直线垂直求参数 【例5】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则________． 【变式1】（22-23高二下·上海黄浦·期中）若直线和直线垂直，则实数的值为______. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为_____. 求平行线间的距离 【例6】（24-25高二下·上海宝山·期中）直线 和直线间的距离是_____. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为_____. 【变式2】（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______． 直线方程形式选择不当，忽略适用条件 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为____________ 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 _____ 【变式2】（24-25高一下·上海青浦·期末）直线的倾斜角为________ 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 截距式方程忽略“截距不为0”的限制 【例2】（24-25高二上·上海·期中）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________ 【变式1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是________． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 点到直线距离的快速计算 【例1】（24-25高二下·上海·期中）点到直线的距离是________. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）点P在直线上，O为原点，则|的最小值是___________ 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线和， (1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹； (2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程． 直线方程与位置关系、距离的综合应用 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______. 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期中）求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 【变式3】（24-25高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 坐标平面上的直线 直线的倾斜角与斜率 1倾斜角 定义：在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交时，以x轴正方向为基准，逆时针旋转到与直线l重合所成的最小正角，称为直线l的倾斜角。 范围：（或）；与x轴平行/重合的直线，倾斜角为。 意义：唯一刻画直线的倾斜方向，平面内任意直线有且仅有一个倾斜角。 2斜率 定义：倾斜角时，斜率；时，斜率不存在。 两点式公式：过两点、（），斜率。 斜率与倾斜角关系： ； ，增大，增大； 不存在； ，增大，增大（趋近于0）。 3方向向量与法向量 方向向量：与直线平行的非零向量，如（为斜率）、（两点式）。 法向量：与直线垂直的非零向量，直线的法向量为。 直线的方程 1点斜式 形式：（过点，斜率为）。 适用：斜率存在（）；垂直x轴直线：。 2斜截式 形式：（为斜率，为y轴截距）。 适用：斜率存在；截距可正、可负、可为0。 3两点式 形式：（且）。 适用：不垂直于坐标轴的直线。 4截距式 形式：（为x轴截距，为y轴截距，）。 适用：不过原点、不垂直于坐标轴的直线。 5一般式 形式：（不同时为0）。 转化：斜截式；平行x轴直线；垂直x轴直线。 两条直线的位置关系 设，；斜率分别为（存在时）。 1平行 充要条件：且（或）。 斜率条件：且（斜截式）；斜率均不存在时，两直线垂直x轴且不重合。 2重合 充要条件：（），或。 3相交 充要条件：。 垂直：充要条件（一般式）；斜率条件（斜率均存在）；一条斜率为0、一条不存在时也垂直。 交点：联立方程组，无解平行，无穷多解重合。 距离公式 1两点间距离：、，则。 2点到直线距离：点到直线的距离。 3两平行直线距离：，，则。 对称问题 1点关于点对称：点关于点对称点。 2点关于直线对称：设关于对称点，满足： ①（）；②中点在上（），联立求解。 3直线关于直线对称：转化为点对称，取直线上两点，求其对称点，再求过对称点的直线。 斜率与倾斜角的变化关系 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是_____. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的倾斜角 【分析】根据斜率公式，即可求解. 【详解】，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期中）直线的倾斜角的大小为_____ 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线倾斜角和斜率关系即可得到答案. 【详解】根据其斜率为，设其倾斜角大小为，则， 因为，则. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 已知两点求斜率 【例2】（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为__． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为________． 【答案】/ 【知识点】已知两点求斜率 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）过，的直线的斜率为______． 【答案】1 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：1. 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线经过点、，则直线的斜率为______． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为直线经过点、， 所以. 故答案为： 直线的一般式方程及辨析 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】先求直线l的一般方程，逐项分析判断. 【详解】直线l的方程为，整理得，故C正确； 对于A：由整理得，故A正确； 对于B：由整理得，故B正确； 对于D：由整理得，故D错误； 故选：D. 【变式1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线的倾斜角是____________． 【答案】/0 【知识点】直线的一般式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系即可得结果. 【详解】易知直线的斜率为0， 设倾斜角为，其中， 由，可得. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 【答案】或 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、反三角函数、直线的一般式方程及辨析、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 则，解得， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. 设直线的倾斜角为，则，， ①当时，， 此时，则轴，直线的方程为； ②当时，显然直线的斜率存在， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 已知直线平行求参数 【例4】（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为______. 【答案】或 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的性质直接得解. 【详解】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）若直线与平行，则________. 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行得到，解得即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 【变式3】（25-26高二下·上海松江·期中）直线与直线平行，则实数_________ ． 【答案】或3 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的系数关系可得答案. 【详解】由直线与直线平行， 可得且，解得或． 故答案为：或3． 已知直线垂直求参数 【例5】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则________． 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 【变式1】（22-23高二下·上海黄浦·期中）若直线和直线垂直，则实数的值为______. 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线和直线垂直，则，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、直线两点式方程及辨析、直线综合、已知直线垂直求参数 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为_____. 【答案】/ 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法，分析可得，解可得的值； 【详解】根据题意，直线． 若与垂直，必有，解得. 故答案为： 求平行线间的距离 【例6】（24-25高二下·上海宝山·期中）直线 和直线间的距离是_____. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案. 【详解】易知直线 和直线平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为_____. 【答案】/ 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线间的距离公式可求出这两条平行直线间的距离. 【详解】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以，直线与直线的距离为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【答案】或 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 直线方程形式选择不当，忽略适用条件 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为____________ 【答案】 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据斜截式求解方程. 【详解】由于倾斜角为，故斜率为， 故直线方程为， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 _____ 【答案】 【分析】根据一般式直线方程的形式，根据平行关系，列式求解. 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海青浦·期末）直线的倾斜角为________ 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，即可求倾斜角. 【详解】由题可得，直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率为，则倾斜角为， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 【答案】或， 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 截距式方程忽略“截距不为0”的限制 【例2】（24-25高二上·上海·期中）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________ 【答案】或 【解析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值得解，.当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求得直线的方程. 【详解】当轴上的截距时，设直线方程为，点代入方程，得，即.当时，设直线的方程为，点代入方程，解得，即直线方程为，即. 故答案为：或 【点睛】讨论截距为或截距不为是解题关键，否则会漏解，属于基础题. 【变式1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是________． 【答案】或. 【分析】分类讨论当直线过原点和不过原点两种情况求解. 【详解】由题：直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足在两坐标轴截距相等，其斜率， 所以直线方程为：； 当直线不经过原点时，设其方程为：过点， 所以，解得，所以直线方程为， 综上所述：直线方程为：或. 故答案为：或. 【点睛】此题考查根据直线在坐标轴的截距关系和直线经过的点求直线方程，常用截距式解题，但需要注意容易漏掉直线过原点的情况. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点即可求出直线方程； （2）分类讨论直线截距是否为，即可得出直线方程. 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程. （2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 点到直线距离的快速计算 【例1】（24-25高二下·上海·期中）点到直线的距离是________. 【答案】2 【分析】利用点到直线的距离公式可求答案. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：2. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）点P在直线上，O为原点，则|的最小值是___________ 【答案】 【详解】解：因为点P在直线上，则点P到原点距离的最小值即为原点到直线的距离公式可知为 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴定点， 则点到直线的距离为： ， 故到直线的距离为. 【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线和， (1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹； (2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设点满足到两直线的距离相等，则，化简得到答案. （2）计算直线交点为，排除直线斜率不存在的情况，设直线方程为，计算交点坐标，根据两点间距离公式计算得到答案. 【详解】（1）设点满足到两直线的距离相等，则， 即， 即，， 或，， （2），解得，故直线交点为， 当直线的斜率不存在时，线段长度为，不满足； 故设直线方程为， ，解得，即交点， ，解得，即交点， ，整理得到， 解得或， 故直线方程为： ，即，或，即. 直线方程与位置关系、距离的综合应用 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____. 【答案】 【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积. 【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______. 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求解. 【详解】表示直线上的点构成的集合， 故原点到直线的距离为，其中为锐角且， 故的最小值为，故集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为， 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期中）求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率求得线段的中垂线所在直线方程. （2）设，根据直线与两坐标轴所构成的三角形的面积求得，从而求得直线的方程. 【详解】（1）线段中点的坐标为， 线段所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线方程为， 即. （2）设，则直线过点， 所以， 所以直线的方程为：. 【变式3】（24-25高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $