第三章 空间向量及其应用 知识归纳与题型突破（九类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第三章 空间向量及其应用 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、空间向量及其线性运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y. (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底. 二、空间向量的数量积与坐标表示 1.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 2.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 共线 b＝λa(a≠0，λ∈R) x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量. (2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 温馨提示： 1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点. 2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点. 三、法向量的求解与空间向量的应用 （1）求平面的法向量： 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 空间位置关系的向量表示小结： 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 四、空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 五、空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ， 03 题型归纳 题型一　空间向量的运算 数量积 例题 1．若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是 ． ①；②； ③；④． 【答案】②④ 【分析】利用空间向量加法与减法法则化简①②③④中的向量，可得结果. 【解析】对于①，； 对于②， ； 对于③，； 对于④，. 故答案为：②④. 巩固训练 2．在平行六面体中，设，则 .（用表示） 【答案】 【分析】依据平行六面体结构特征和向量加减法几何意义去求. 【解析】. 故答案为：. 3．已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于 ． 【答案】 【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解. 【解析】三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点， 则， 所以等于． 故答案为：. 4．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【解析】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 5．平行六面体中，， ，，，则向量 的模长 . 【答案】 【解析】画出图形，根据条件得出，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【解析】如图所示，四棱柱中，，，， 且， 所以， 所以 . 故答案为：. 题型二共线、共面问题 例题 6．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线判断三点共线即可． 【解析】解： ， 又与过同一点B， ∴ A、B、D三点共线． 故选：C． 巩固训练 7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足条件，判断点P与A，B，C是否共面． 【答案】共面，理由见解析 【分析】由可得，从而可判断四点共面. 【解析】， 故，故点P与A，B，C共面. 8．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【解析】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 题型三　空间向量基本定理及推论 例题 9．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则 . 【答案】1 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【解析】若不能构成空间的一个基底， 则共面，存在，使得， 即，解得. 故答案为：1. 巩固训练 10．下列关于空间向量的命题中， ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； ②若非零向量，，满足，，则有； ③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； ④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底． 上述命题中，正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案. 【解析】对于①，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则向量，与空间任意向量都共面，则与必共线，即，故①正确； 对于②，若非零向量，，满足，，当非零向量，，不共面时，与可以不平行，故②不正确； 对于③，因为，所以， 所以，所以、、共面，所以，，，四点共面，故③正确； 对于④，若向量，，，是空间一组基底，则向量，，不共面，则对任意实数都有，即， 所以不共面，所以也是空间的一组基底．故④正确. 故答案为：①③④ 11．已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 【答案】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【解析】因为，即， 整理得， 由A、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得，解得. 故答案为：． 12．如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出． （2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出． 【解析】（1）解： ． ． （2）解：，． 又，． 从而有． ，． 题型四　空间向量基本定理的应用、数量积的应用 例题 13．已知都是空间向量，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量三角不等式可直接求得结果. 【解析】由向量三角不等式得：（当且仅当向量与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立），， 即的取值范围为. 故答案为：. 巩固训练 14．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为 ． 【答案】 【分析】利用垂直关系可得关于的方程，从而可得λ的值. 【解析】因为，故， 所以即， 故. 故答案为：. 15．设x、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【解析】向量，，，且，， 则，，解得，于是， 所以. 故选：B 16．已知向量，且，则 ． 【答案】3 【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【解析】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 17．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】根据向量数量积公式，计算出，进而求出模长. 【解析】 . 故答案为： 18．平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】由平方即可求解. 【解析】由题意可知：， 则， 所以. 故答案为： 19．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 ． 【答案】 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【解析】为中点，连接，， 有， 是的重心，则在上，且， 即，则有， 所以， 可得，则． 故答案为：. 20．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 【答案】 【分析】由条件，结合空间向量基本定理可求，由此可求结论. 【解析】因为，，，不共面， 所以，，， 所以. 故答案为：. 21．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题设知与，，共面，则的最小值为三棱锥的高，在正四面体中，利用几何法即可求得． 【解析】由，且， 可知与，，共面，则的最小值为三棱锥的高， 设为在平面上的射影，连接并延长交于点， 则，所以，所以， 所以三棱锥的高为． 故答案为： 题型五 空间向量的坐标表示 例题 22．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用关于平面对称的点的特征求出答案即可. 【解析】点关于平面对称的点的坐标满足坐标不变，坐标变成相反数， 即点关于平面对称点的坐标是. 故答案为：. 巩固训练 23．已知空间向量，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果. 【解析】因为，， 所以 故答案为： 24．已知点，，，若直线，则 ． 【答案】2 【分析】先求向量的坐标，然后根据向量共线定理即可求解； 【解析】因为，， 所以，又，所以， 又， 所以，解得，故． 故答案为：2 25．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【解析】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 26．在空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则 . 【答案】 【分析】先由点关于x轴对称求得C的坐标，再由空间两点间距离公式计算即可得解. 【解析】因为的坐标为，则关于轴的对称点， 又B的坐标为， 所以. 故答案为：. 27．下列说法错误的是（    ） A．若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B．对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：根据四点共面的结论分析判断； 对于C：根据共面向量的定义分析判断；对于D：举反例说明即可. 【解析】对于选项A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于选项B：因为， 可得，且， 所以，，，共面，故B正确； 对于选项C：若共线，则对任意，均有共面，故C正确； 对于选项D：例如，则，， 可知，即同向，所以与的夹角为，故D错误； 故选：D. 28．已知向量=(1，1，0)，=. (1)若()∥()，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的范围. 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）先由向量的坐标运算求出和，再利用两向量共线进行求解； （2）利用数量积为正求出的范围，再去掉两向量共线的情形. 【解析】（1）解：由题意知，=（，1，2k），=（1，2，2）， 那么当（）∥（）时， ， 可得. （2）解：由（1）知，=（，1，2k），=（1，2，2）， 若向量与所成角为锐角时， 则（）·（）， 即， 即得，又当k=时，（）∥（）， 可得实数k的范围为，且. 29．已知． (1)求； (2)已知点在直线上，求的值； (3)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【解析】（1）， ， ． （2）因为点在直线上，与共线， 则存在使得，即， ，解得； （3）， 与垂直, ， ， 时，与垂直． 30．如图，在棱长为3的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，若直线与平面AEF交于点M，则线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】连接，得到与平面的交点，结合，可得，以为原点，建立空间直角坐标系，求得，即可求解. 【解析】如图所示，连接， 直线与都在平面内，所以直线与的交点， 即与平面的交点， 由为的中点，因为，可得，则， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，可得， 设点，可得，解得， 即点，所以. 故选：C. 题型六 利用空间向量研究空间位置关系 例题 31．下列命题正确的是（    ） A．一条直线的方向向量是唯一的 B．若直线的方向向量与平面的法向量平行，则 C．若平面的法向量与平面的法向量平行，则 D．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 【答案】B 【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判断线面、面面位置关系即可. 【解析】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误； 对于B:若直线的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确. 对于C:若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误. 对于D:若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误. 故选：B. 巩固训练 32．直线a的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】由线面平行判定定理及向量垂直关系，结合充分条件必要条件的定义即得. 【解析】因为直线a的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 由可推出； 由，可得或. ∴“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 33．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 【答案】10 【分析】根据，由求解. 【解析】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，则，解得， 所以， 故答案为：10 34．正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、 、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，，且平面，则平面，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，，D错. 故选：B. 35．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．    （1）求证：BM∥平面ADEF； （2）求证：BC⊥平面BDE； （3）证明：平面BCE⊥平面BDE. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得，继而证明； （2）通过和可证明； （3）由BC⊥平面BDE可证. 【解析】证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD.    以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)． （1）∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)， 则，，， ，故共面． 又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF. （2），，， ，∴BC⊥DB. 又，∴BC⊥DE. 又DE∩DB＝D，DB，DE⊂平面BDE，∴BC⊥平面BDE. （3）证明　由（2）知BC⊥平面BDE，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE. 36．已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面的法向量，由向量与平面的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值． 【解析】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 设，， 则， 因为直线平面，则， 可得，解得， 则， 可得 当且仅当，时，取得最小值，即的长度的最小值为． 故答案为：． 题型七 利用空间向量研究空间角度问题 例题 37．空间四边形中，，，，则与所成角的余弦值等于 . 【答案】 【分析】由空间向量夹角公式求异面直线所成的角． 【解析】， ， 所以，， 所以，. 所以，与所成角的余弦值为. 故答案为：. 巩固训练 38．已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得平面、平面及平面的一个法向量，则可得直线的一个方向向量，结合空间向量夹角公式计算即可得解. 【解析】由题可得平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 又平面的法向量， 设直线的一个方向向量，则， 即，取，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 39．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，，则二面角的余弦值为 【答案】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角即可求解. 【解析】由于平面平面，且交线为,,平面, 故平面， 平面，故, 又，平面,故平面， 又平面，平面， 所以，，过引，则有，， 又因为，即， 以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系 设，则，，，，， 所以，，， 由于，所以，所以，即， 从而，则，，， 设平面PDC的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即， 设平面的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即，所以 设二面角的平面角为，为钝角， 所以二面角的平面角余弦值为. 故答案为： 40．已知，，为三个不同的平面，为直线，，，与夹角的余弦值为，与所成角的正弦值为，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【解析】如图：    根据题意，平面对应平面，平面对应平面，平面对应平面，直线对应直线. 可设，，. 则，，. 设平面的法向量为 则，取，则. 取平面即平面的法向量：；平面即平面的法向量：. 由与夹角的余弦值为得：， 得： 由与所成角的正弦值为得：， 得：. 由. 所以与夹角的余弦值为. 故答案为： 题型八 利用空间向量研究空间距离问题 例题 41．如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离. 【解析】设的中点为，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ，， 所以到直线的距离为. 故答案为： 巩固训练 42．已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，，AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为 ． 【答案】 【分析】取CD的中点E，连接AE，过B作交AE于F，可证得为AB与平面ACD所成的角，点B到平面ACD的距离为,计算可求得结果. 【解析】如图，取CD的中点E，连接AE，过B作交AE于F. ，E是CD的中点， ，. 又平面ABE， 平面ABE.又平面ACD， 平面平面ACD. 又平面平面，， 平面ACD，故为AB与平面ACD所成的角. ，故. 又， 故答案为： 43．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据二面角、空间向量运算等知识来求得点与点之间的距离. 【解析】分别作，，垂足为，，则 由已知可得，，，．因为， 则，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛: 空间折叠与二面角的利用：通过将矩形沿对角线折叠，构造出了二面角，并利用垂线的位置关系，结合向量法来求解距离，这是一种有效的空间几何求解方法. 44．如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 【答案】/0.5 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解. 【解析】连接，如下图，     由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 题型九 解答题（空间向量的应用综合） 例题 45．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算求异面直线的夹角； （2）根据三垂线定理说明线面垂直得到面的法向量，由空间向量的坐标运算求点面距离. 【解析】（1）以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 根据题意， 所以， ，又与所成角的范围为， 与所成角的余弦值为； （2）由三垂线定理有，且两直线都在面内，则⊥平面， 平面C法向量为，又=， 点E到平面C的距离d===. 巩固训练 46．如图，已知点在圆柱的底面圆O上，圆O的直径，圆柱的表面积为，． (1)求四面体全面积； (2)求二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面垂直可得，利用表面积公式可得，即可利用锥体表面积公式求解求解， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解即可. 【解析】（1）因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以， 因为平面，平面，可得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由题意，解得． 在中，，，所以， 在中，，，所以， , 所以全面积为 ， （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则, 故 设平面的法向量为， 故且 取， 设平面的法向量为， 故且 取， 故 由图可知二面角的平面角为锐角，故其余弦值为，故角的大小为 47．如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）根据题意分析四边形为平行四边形，从而证明; （2）构建空间直角坐标系，根据空间向量平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）连接，如图所示， 因为分别为棱的中点，所以且， 又因为所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面,平面, 所以平面 （2）以为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 则 设面的法向量为 则 令则 设面的法向量为 则 令则 设平面与平面的夹角为， ， 故平面与平面的夹角的余弦值. 48．如图，在三棱锥中，，，，. (1)求，并说明异面直线与所成的角的大小在棱长度增大时是怎样变化的； (2)判断点在平面上的射影是否可能在直线上，给出你的结论并加以证明. 【答案】(1)，随长度增大，减少，故增大 (2)不可能，证明见解析 【分析】（1）将转化为计算即可，再根据向量数量积与余弦函数的单调性可知随长度增大，也增大； （2）用反证法，假设点在平面上的射影点在直线上，则有，得出矛盾故得证． 【解析】（1） ； ， 所以，因为，在上单调递减， 所以随长度增大，减少，故增大； （2）不可能，证明如下， 假设点在平面上的射影点在直线上，即平面， 且平面，由平面平面， 所以平面平面， 在中由余弦定理可得， 所以，所以，即， 由平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 从而，这与矛盾， 所以点在平面上的射影不可能在直线上. 49．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，再结合中位线可得证； （2）根据线线平行可证线面平行，进而可证直线，建立空间直角坐标系，可设，结合异面直线夹角可解得点，再根据向量法可得平面的法向量，进而可得二面角余弦值. 【解析】（1），平面平面，平面平面，平面， 又，分别是，的中点， ， 平面； （2） ，平面平面 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则点在平面内， 即，，，，， 则，，， 而，平面，平面， 平面， 又平面与平面的交线为直线， ， 设, 则点坐标为，，，解得， 则点坐标为，， 设平面的法向量， 即，即，取，可得； 设平面法向量为， 则，即，取，可得； ， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 50．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）通过证明，，可证明相关结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，后由空间向量知识可得答案； （3）由题目信息可表示出平面的法向量，后由可解决问题. 【解析】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 结合可得是等边三角形.又为中点，则； 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形. 结合是等边三角形，可得四边形是菱形， 则是等边三角形，又为中点，则. 因为平面，，所以； （2）因平面平面，平面平面， 平面，，则平面. 又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则. 则. 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则； （3）假设存在满足条件的点，设，则. 又，得，则. 又由题可得，结合， 为的中点，可得. 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量. 要使平面，则，又， 则.故在侧棱上存在点，使得平面，且.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 空间向量及其应用 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、空间向量及其线性运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y. (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底. 二、空间向量的数量积与坐标表示 1.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 2.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 共线 b＝λa(a≠0，λ∈R) x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量. (2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 温馨提示： 1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点. 2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点. 三、法向量的求解与空间向量的应用 （1）求平面的法向量： 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 空间位置关系的向量表示小结： 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 四、空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 五、空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ， 03 题型归纳 题型一　空间向量的运算 数量积 例题 1．若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是 ． ①；②； ③；④． 巩固训练 2．在平行六面体中，设，则 .（用表示） 3．已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于 ． 4．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 5．平行六面体中，， ，，，则向量 的模长 . 题型二共线、共面问题 例题 6．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足条件，判断点P与A，B，C是否共面． 8．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 题型三　空间向量基本定理及推论 例题 9．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则 . 巩固训练 10．下列关于空间向量的命题中， ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； ②若非零向量，，满足，，则有； ③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； ④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底． 上述命题中，正确的有 ． 11．已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 12．如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)； (2)． 题型四　空间向量基本定理的应用、数量积的应用 例题 13．已知都是空间向量，，，则的取值范围是 ． 巩固训练 14．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为 ． 15．设x、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 16．已知向量，且，则 ． 17．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 18．平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为 ． 19．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 ． 20．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 21．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值 ． 题型五 空间向量的坐标表示 例题 22．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是 ． 巩固训练 23．已知空间向量，，则 . 24．已知点，，，若直线，则 ． 25．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 26．在空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则 . 27．下列说法错误的是（    ） A．若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B．对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 28．已知向量=(1，1，0)，=. (1)若()∥()，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的范围. 29．已知． (1)求； (2)已知点在直线上，求的值； (3)当为何值时，与垂直？ 30．如图，在棱长为3的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，若直线与平面AEF交于点M，则线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D．3 题型六 利用空间向量研究空间位置关系 例题 31．下列命题正确的是（    ） A．一条直线的方向向量是唯一的 B．若直线的方向向量与平面的法向量平行，则 C．若平面的法向量与平面的法向量平行，则 D．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 巩固训练 32．直线a的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 33．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 34．正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 35．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．    （1）求证：BM∥平面ADEF； （2）求证：BC⊥平面BDE； （3）证明：平面BCE⊥平面BDE. 36．已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 题型七 利用空间向量研究空间角度问题 例题 37．空间四边形中，，，，则与所成角的余弦值等于 . 巩固训练 38．已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 39．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，，则二面角的余弦值为 40．已知，，为三个不同的平面，为直线，，，与夹角的余弦值为，与所成角的正弦值为，则与夹角的余弦值为 ． 题型八 利用空间向量研究空间距离问题 例题 41．如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为 . 巩固训练 42．已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，，AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为 ． 43．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是 ． 44．如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 题型九 解答题（空间向量的应用综合） 例题 45．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 巩固训练 46．如图，已知点在圆柱的底面圆O上，圆O的直径，圆柱的表面积为，． (1)求四面体全面积； (2)求二面角的大小； 47．如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 48．如图，在三棱锥中，，，，. (1)求，并说明异面直线与所成的角的大小在棱长度增大时是怎样变化的； (2)判断点在平面上的射影是否可能在直线上，给出你的结论并加以证明. 49．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 50．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$