16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.2 完全平方公式 人教版八年级上册 2. 灵活应用完全平方公式进行计算. 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释. 3. 体验归纳添括号法则. 学习目标 符号语言 (a+b)(a−b)=a2−b2. 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这 两个数(式子)的平方差． 问题1 上一节课，我们学习了多项式乘法的特殊形式：(a+b)(a−b)，得到了平方差公式，你能说一说平方差公式的内容吗？ 复习引入 问题2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 ， 另一项 ； 2.右边是 的平方减去 的平方； 3.公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． 相同 相反 相同项 相反项 数字 单项式 多项式 复习引入 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较. a a b b 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 情景激趣 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 (2) (m+2)2=( )( )= . m2+4m+4 (3) (p–1)2=( )( )= . p2–2p+1 (4) (m–2)2=( )( )= . m2–4m+4 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 问题1： 问题2： m+2 m+2 p-1 p-1 m-2 m-2 分析问题，寻找对应 (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央” 完全平方公式 完全平方公式 (1) (x+3)(x−3) (2) (1+2a)(−2a+1) (3) (x+4y)(x−4y) (4) (−5z+y) (y+5z) =x2−9 ; =1−4a2 ; =x2−16y2 ; =y2−25z2 . =x2−32 =12−(2a)2 =x2−(4y)2 =y2−(5z)2 计算下列各题: 平方差公式(a+b)(a−b)= a2−b2. 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 知识要点 完全平方公式 （a+b)2= . （a-b)2= . a2 +b2 a2 +b2 “首平方，尾平方，积的2倍放中央,符号看前方” +2ab -2ab 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2. 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a+b)2 a2+2ab+b2 = 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a−b)2 a2−2ab+b2 = 合作探究 ( 4m + n )2=( )2+( )+( )2. ( a + b )2= a 2 + 2ab + b 2 . 8mn n 4m 典 例 分 析 解： y y 典 例 分 析 确定 首项 确定 尾项 尾项平方 首项平方 首项尾项 积的两倍 解 (1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2 =16m2+8mn+n2； 典例分析 解 (1)原式=(100+2)2 =(100)2+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404 ； 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之和的平方 典例分析 解 (2)原式=(100−1)2 =(100)2−2×100×1+12 =10 000−200+1 =9 801 . 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之差的平方 典例分析 方法总结 应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数(式子)的平方和； （3）另一项是两数(式子)积的2倍，且与乘式中间的符号相同； （4）公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式. 总 结 思考 1. (a+b)2与(−a−b)2相等吗? 相等， 因为(−a−b)2=(−a)2+2·(−a)·(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2. 2. (a−b)2与(b−a)2相等吗? 相等， 因为(b−a)2=b2−2ba+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2. 3.(a−b)2与 a2−b2相等吗? 不相等， 因为(a−b)2=a2−2ab+b2≠a2−b2. 差的平方 平方差 2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( ) A．(a–b)2 B．(–a–b)2 C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2 1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(　　) A．a2–4a+4 B．a2–2a+4 C．a2–4 D．a2–4a–4 A D 对照练习 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=______________；(2)(4x–3y)2=_____________； (3) (2m–1)2 =______________；(4)(–2m–1)2 =____________. 36a2+60ab+25b2 16x2–24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2–4m+1 4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792=________． 25 对照练习 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2) (a−b)2=a2−ab+b2； (3) (−x +y)2 =x2+2xy +y2； (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2. 不正确 不正确 原式=a2+2ab+b2 原式=a2−2ab+b2 不正确 不正确 原式=x2−2xy +y2 原式=4x2 +4xy +y2 巩固练习 2. 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( ) A．(a−b)2 B．(−a−b)2 C．−(a＋b)2 D．−(a−b)2 D 巩固练习 巩固练习 解 (1)原式=(100−2)2 =(100)2−2×100×2+22 =10 000−400+4 =9 604 ； 4. 运用完全平方公式计算： (1) 982 ； (2) 70.52 . (2)原式=(70+0.5)2 =(70)2+2×70×0.5+0.52 =4 900+70+0.25 =4 970.25 . 巩固练习 整式的乘法公式——完全平方公式 符号语言 (a±b)2= . 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的 ，等于它们的 ，加上(或减去)它们的 ． 注意事项 公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． a2±2ab+b2 平方 平方和 积的2倍 数字 单项式 多项式 归纳总结 当堂检测 1.式子 其中计算正确的是（ ）. A. 36 B. 12 C. 6 D. 5 2.式子 中 ，m表示的数是（ ） 3.下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） B.（2x+3y)(3y+x) C.（2x-3y)(-2x-3y) D.（2x+3y)(3y-2x) 4.用完全平方公式计算结果正确的是（ ） A.（a+bx)(-bx+a)=a2-bx2 B.（-3x+y)2=3x2-6xy+y2 C.（-a-b)(a+b)=-a2-2ab-b2 D.（2x-y)2=4x2-y2 (a-b)2=(b-a)2 (a+b)2=(-a-b)2 A.（2x-3y)(3y-2x) 5.用完全平方公式计算： 解： 拓展延伸 作业 必做题： 习题16.3第2题 计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)． (2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)] 解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)] ＝(3a)2–(b–2)2 ＝9a2–b2＋4b–4.　 ＝(x–y)2–(m–n)2 ＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2. 能力提升 1.若a+b=5，ab= –6， 求a2+b2，a2–ab+b2. 2.已知x+y=8，x–y=4，求xy. 解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37； a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43. 解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①; ∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②; 由①–②得 4xy=48， ∴xy=12. 能力提升 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面) a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2. 课堂小结 谢 谢！ $